El triángulo es una figura familiar para todos. Y esto a pesar de la rica variedad de sus formas. Rectangular, equilátero, agudo, isósceles, obtuso. Cada uno de ellos es diferente de alguna manera. Pero cualquiera necesita averiguar el área de un triángulo.

Fórmulas comunes a todos los triángulos que utilizan las longitudes de los lados o las alturas.

Las designaciones adoptadas en ellos: lados - a, b, c; alturas en los lados correspondientes en a, n in, n con.

1. El área de un triángulo se calcula como el producto de ½, un lado y la altura restada del mismo. S = ½ * a * n a. Las fórmulas para los otros dos lados deben escribirse de manera similar.

2. Fórmula de Herón, en la que aparece el semiperímetro (suele denotarse con la letra p minúscula, a diferencia del perímetro completo). El semiperímetro se debe calcular de la siguiente manera: suma todos los lados y divídelos entre 2. La fórmula del semiperímetro es: p = (a+b+c) / 2. Entonces la igualdad para el área de ​​la figura se ve así: S = √ (p * (p - a) * ( р - в) * (р - с)).

3. Si no desea utilizar un semiperímetro, entonces le resultará útil una fórmula que contenga solo las longitudes de los lados: S = ¼ * √ ((a + b + c) * (b + c - a ) * (a + c - c) * (a + b - c)). Es un poco más largo que el anterior, pero te ayudará si has olvidado cómo encontrar el semiperímetro.

Fórmulas generales que involucran los ángulos de un triángulo.

Notaciones necesarias para leer las fórmulas: α, β, γ - ángulos. Se encuentran en lados opuestos a, b, c, respectivamente.

1. Según él, la mitad del producto de dos lados por el seno del ángulo entre ellos es igual al área del triángulo. Es decir: S = ½ a * b * sen γ. Las fórmulas para los otros dos casos deben escribirse de forma similar.

2. El área de un triángulo se puede calcular a partir de un lado y tres ángulos conocidos. S = (a 2 * sen β * sen γ) / (2 sen α).

3. También existe una fórmula con un lado conocido y dos ángulos adyacentes. Se ve así: S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β)).

Las dos últimas fórmulas no son las más sencillas. Es bastante difícil recordarlos.

Fórmulas generales para situaciones en las que se conocen los radios de círculos inscritos o circunscritos.

Designaciones adicionales: r, R - radios. El primero se utiliza para el radio del círculo inscrito. El segundo es para el descrito.

1. La primera fórmula mediante la cual se calcula el área de un triángulo está relacionada con el semiperímetro. S = r * r. Otra forma de escribirlo es: S = ½ r * (a + b + c).

2. En el segundo caso, necesitarás multiplicar todos los lados del triángulo y dividirlos por cuadriplicar el radio del círculo circunscrito. En expresión literal se ve así: S = (a * b * c) / (4R).

3. La tercera situación te permite prescindir de conocer los lados, pero necesitarás los valores de los tres ángulos. S = 2 R 2 * pecado α * pecado β * pecado γ.

Caso especial: triángulo rectángulo

Esta es la situación más sencilla, ya que sólo se requiere la longitud de ambas piernas. estan designados con letras latinas a y c. El área de un triángulo rectángulo es igual a la mitad del área del rectángulo que se le suma.

Matemáticamente se ve así: S = ½ a * b. Es el más fácil de recordar. Debido a que se parece a la fórmula para el área de un rectángulo, solo aparece una fracción, que indica la mitad.

Caso especial: triángulo isósceles

Como tiene dos lados iguales, algunas fórmulas para su área parecen algo simplificadas. Por ejemplo, la fórmula de Heron, que calcula el área de un triángulo isósceles, toma la siguiente forma:

S = ½ pulg √((a + ½ pulg)*(a - ½ pulg)).

Si lo transformas, se acortará. En este caso, la fórmula de Herón para un triángulo isósceles se escribe de la siguiente manera:

S = ¼ en √(4 * a 2 - b 2).

La fórmula del área parece algo más simple que la de un triángulo arbitrario si se conocen los lados y el ángulo entre ellos. S = ½ a 2 * sen β.

Caso especial: triángulo equilátero

Por lo general, en los problemas se conoce el lado al respecto o se puede descubrir de alguna manera. Entonces la fórmula para encontrar el área de dicho triángulo es la siguiente:

S = (a 2 √3) / 4.

Problemas para encontrar el área si el triángulo está representado en papel cuadriculado

La situación más sencilla es cuando se dibuja un triángulo rectángulo de modo que sus catetos coincidan con las líneas del papel. Luego solo necesitas contar la cantidad de células que caben en las piernas. Luego multiplícalos y divídelos por dos.

Cuando el triángulo es agudo u obtuso, es necesario dibujarlo en un rectángulo. Entonces la figura resultante tendrá 3 triángulos. Uno es el que se da en el problema. Y los otros dos son auxiliares y rectangulares. Las áreas de los dos últimos deben determinarse utilizando el método descrito anteriormente. Luego calcula el área del rectángulo y réstale las calculadas para los auxiliares. Se determina el área del triángulo.

La situación en la que ninguno de los lados del triángulo coincide con las líneas del papel resulta mucho más complicada. Luego hay que inscribirlo en un rectángulo de modo que los vértices de la figura original queden sobre sus lados. En este caso, habrá tres triángulos rectángulos auxiliares.

Ejemplo de un problema usando la fórmula de Heron

Condición. Algún triángulo tiene lados conocidos. Son iguales a 3, 5 y 6 cm, necesitas averiguar su área.

Ahora puedes calcular el área del triángulo usando la fórmula anterior. Debajo de la raíz cuadrada está el producto de cuatro números: 7, 4, 2 y 1. Es decir, el área es √(4 * 14) = 2 √(14).

Si no se requiere mayor precisión, se puede sacar la raíz cuadrada de 14. Es igual a 3,74. Entonces el área será 7,48.

Respuesta. S = 2 √14 cm 2 o 7,48 cm 2.

Problema de ejemplo con triángulo rectángulo

Condición. Un cateto de un triángulo rectángulo es 31 cm más grande que el segundo y debes averiguar sus longitudes si el área del triángulo es 180 cm 2.
Solución. Tendremos que resolver un sistema de dos ecuaciones. El primero está relacionado con el área. El segundo es con la proporción de los catetos, que se da en el problema.
180 = ½ a * b;

a = b + 31.
Primero, se debe sustituir el valor de "a" en la primera ecuación. Resulta: 180 = ½ (pulg + 31) * pulg. Sólo tiene una incógnita, por lo que es fácil de resolver. Después de abrir los corchetes obtenemos ecuación cuadrática: en 2 + 31 en - 360 = 0. Da dos valores para "en": 9 y - 40. El segundo número no es adecuado como respuesta, ya que la longitud del lado de un triángulo no puede ser negativa valor.

Queda por calcular el segundo tramo: al número resultante se le suma 31. Resulta 40. Estas son las cantidades buscadas en el problema.

Respuesta. Los catetos del triángulo miden 9 y 40 cm.

Problema de encontrar un lado a través del área, lado y ángulo de un triángulo

Condición. El área de cierto triángulo es 60 cm 2. Es necesario calcular uno de sus lados si el segundo lado mide 15 cm y el ángulo entre ellos es 30º.

Solución. Según la notación aceptada, el lado deseado es "a", el lado conocido es "b", el ángulo dado es "γ". Entonces la fórmula del área se puede reescribir de la siguiente manera:

60 = ½ a * 15 * sen 30º. Aquí el seno de 30 grados es 0,5.

Después de las transformaciones, “a” resulta ser igual a 60 / (0,5 * 0,5 * 15). Eso es 16.

Respuesta. El lado requerido es de 16 cm.

Problema sobre un cuadrado inscrito en un triángulo rectángulo

Condición. El vértice de un cuadrado de 24 cm de lado coincide con el ángulo recto del triángulo. Los otros dos se encuentran a los lados. El tercero pertenece a la hipotenusa. La longitud de uno de los catetos es de 42 cm ¿Cuál es el área del triángulo rectángulo?

Solución. Considere dos triángulos rectángulos. El primero es el especificado en la tarea. El segundo se basa en el cateto conocido del triángulo original. Son semejantes porque tienen un ángulo común y están formadas por rectas paralelas.

Entonces las proporciones de sus catetos son iguales. Los catetos del triángulo más pequeño son iguales a 24 cm (lado del cuadrado) y 18 cm (dado el cateto de 42 cm, reste el lado del cuadrado de 24 cm). Los catetos correspondientes de un triángulo grande son 42 cm y x cm, es esta "x" la que se necesita para calcular el área del triángulo.

18/42 = 24/x, es decir, x = 24 * 42 / 18 = 56 (cm).

Entonces el área es igual al producto de 56 y 42 dividido por dos, es decir, 1176 cm 2.

Respuesta. El área requerida es 1176 cm 2.

A veces en la vida hay situaciones en las que hay que ahondar en la memoria en busca de algo olvidado hace mucho tiempo. conocimiento escolar. Por ejemplo, es necesario determinar el área de un terreno de forma triangular, o ha llegado el momento de realizar otra renovación en un apartamento o casa privada, y es necesario calcular cuánto material se necesitará para una superficie con una forma triangular. Hubo un tiempo en el que podías resolver un problema de este tipo en un par de minutos, pero ahora estás tratando desesperadamente de recordar cómo determinar el área de un triángulo.

¡No te preocupes por eso! Después de todo, es bastante normal que el cerebro de una persona decida transferir conocimientos que no se han utilizado durante mucho tiempo a algún lugar remoto, del que a veces no es tan fácil extraerlos. Para que no tenga que luchar buscando conocimientos escolares olvidados para resolver tal problema, este artículo contiene varios métodos, que facilitan encontrar el área requerida del triángulo.

Es bien sabido que un triángulo es un tipo de polígono que está limitado al mínimo número posible de lados. En principio, cualquier polígono se puede dividir en varios triángulos conectando sus vértices con segmentos que no intersecan sus lados. Por tanto, conociendo el triángulo, puedes calcular el área de casi cualquier figura.

Entre todos los triángulos posibles que se presentan en la vida, se pueden distinguir los siguientes tipos particulares: y rectangular.

La forma más sencilla de calcular el área de un triángulo es cuando uno de sus ángulos es recto, es decir, en el caso de un triángulo rectángulo. Es fácil ver que es medio rectángulo. Por tanto, su área es igual a la mitad del producto de los lados que forman un ángulo recto entre sí.

Si conocemos la altura de un triángulo, bajada desde uno de sus vértices hacia el lado opuesto, y la longitud de este lado, que se llama base, entonces el área se calcula como la mitad del producto de la altura por la base. Esto se escribe usando la siguiente fórmula:

S = 1/2*b*h, en el cual

S es el área requerida del triángulo;

b, h - respectivamente, la altura y la base del triángulo.

Es muy fácil calcular el área de un triángulo isósceles porque la altura dividirá el lado opuesto y se puede medir fácilmente. Si se determina el área, entonces conviene tomar como altura la longitud de uno de los lados que forman un ángulo recto.

Por supuesto, todo esto es bueno, pero ¿cómo determinar si uno de los ángulos de un triángulo es recto o no? Si el tamaño de nuestra figura es pequeño, entonces podemos utilizar una esquina de construcción, un triángulo de dibujo, una postal u otro objeto con forma rectangular.

Pero ¿y si tenemos un terreno triangular? En este caso, proceda de la siguiente manera: cuente desde arriba del valor esperado ángulo recto de un lado la distancia es múltiplo de 3 (30 cm, 90 cm, 3 m), y del otro lado se mide una distancia en la misma proporción que es múltiplo de 4 (40 cm, 160 cm, 4 m) . Ahora necesitas medir la distancia entre los puntos finales de estos dos segmentos. Si el resultado es múltiplo de 5 (50 cm, 250 cm, 5 m), entonces podemos decir que el ángulo es recto.

Si se conoce la longitud de cada uno de los tres lados de nuestra figura, entonces el área del triángulo se puede determinar mediante la fórmula de Heron. Para que tenga una forma más sencilla se utiliza un nuevo valor, al que se le llama semiperímetro. Esta es la suma de todos los lados de nuestro triángulo, divididos por la mitad. Una vez calculado el semiperímetro, puedes comenzar a determinar el área mediante la fórmula:

S = raíz cuadrada (p (p-a)(p-b)(p-c)), donde

raíz cuadrada - Raíz cuadrada;

p - valor del semiperímetro (p = (a+b+c)/2);

a, b, c - bordes (lados) del triángulo.

Pero ¿y si el triángulo tiene Forma irregular? Hay dos formas posibles aquí. El primero de ellos es intentar dividir dicha figura en dos triángulos rectángulos, cuya suma de áreas se calcula por separado y luego se suma. O, si se conoce el ángulo entre dos lados y el tamaño de estos lados, aplique la fórmula:

S = 0,5 * ab * senC, donde

a,b - lados del triángulo;

c es el tamaño del ángulo entre estos lados.

Este último caso es raro en la práctica, pero aún así todo es posible en la vida, por lo que la fórmula anterior no será superflua. ¡Buena suerte con tus cálculos!

Área de un triángulo: fórmulas y ejemplos de resolución de problemas

Debajo están fórmulas para encontrar el área de un triángulo arbitrario los cuales son adecuados para encontrar el área de cualquier triángulo, independientemente de sus propiedades, ángulos o tamaños. Las fórmulas se presentan en forma de imagen, con explicaciones de su aplicación o justificación de su corrección. Además, una figura separada muestra la correspondencia entre los símbolos de letras en las fórmulas y los símbolos gráficos en el dibujo.

Nota . Si el triángulo tiene propiedades especiales (isosceles, rectangular, equilátero), puede utilizar las fórmulas que se indican a continuación, así como fórmulas especiales adicionales que son válidas sólo para triángulos con estas propiedades:

• "Fórmula para el área de un triángulo equilátero"

Fórmulas de área de triángulo

Explicaciones de fórmulas:
a B C- las longitudes de los lados del triángulo cuya área queremos encontrar
r- radio del círculo inscrito en el triángulo
R- radio del círculo circunscrito alrededor del triángulo
h- altura del triángulo bajado hacia un lado
pag- semiperímetro de un triángulo, la mitad de la suma de sus lados (perímetro)
α - ángulo opuesto al lado a del triángulo
β - ángulo opuesto al lado b del triángulo
γ - ángulo opuesto al lado c del triángulo
h a, h b , h C- altura del triángulo bajada a los lados a, b, c

Tenga en cuenta que las notaciones dadas corresponden a la figura anterior, por lo que al resolver un problema de geometría real, le resultará visualmente más fácil sustituir los valores correctos en los lugares correctos de la fórmula.

• El área del triángulo es la mitad del producto de la altura del triángulo por la longitud del lado por el cual se baja esta altura(Fórmula 1). La exactitud de esta fórmula se puede entender lógicamente. La altura bajada a la base dividirá un triángulo arbitrario en dos rectangulares. Si construyes cada uno de ellos en un rectángulo con dimensiones b y h, entonces obviamente el área de estos triángulos será igual a exactamente la mitad del área del rectángulo (Spr = bh)
• El área del triángulo es la mitad del producto de sus dos lados por el seno del ángulo entre ellos(Fórmula 2) (vea un ejemplo de cómo resolver un problema usando esta fórmula a continuación). Aunque parezca diferente al anterior, se puede transformar fácilmente en él. Si bajamos la altura del ángulo B al lado b, resulta que el producto del lado a por el seno del ángulo γ, según las propiedades del seno en un triángulo rectángulo, es igual a la altura del triángulo que dibujamos. , que nos da la fórmula anterior
• Se puede encontrar el área de un triángulo arbitrario. a través de trabajar la mitad del radio del círculo inscrito en él por la suma de las longitudes de todos sus lados(Fórmula 3), en pocas palabras, debes multiplicar el semiperímetro del triángulo por el radio del círculo inscrito (esto es más fácil de recordar)
• El área de un triángulo arbitrario se puede encontrar dividiendo el producto de todos sus lados por 4 radios del círculo circunscrito a su alrededor (Fórmula 4)
• La fórmula 5 consiste en encontrar el área de un triángulo a través de las longitudes de sus lados y su semiperímetro (la mitad de la suma de todos sus lados)
• la fórmula de garza(6) es una representación de la misma fórmula sin utilizar el concepto de semiperímetro, sólo a través de las longitudes de los lados
• El área de un triángulo arbitrario es igual al producto del cuadrado del lado del triángulo y los senos de los ángulos adyacentes a este lado dividido por el doble seno del ángulo opuesto a este lado (Fórmula 7)
• El área de un triángulo arbitrario se puede encontrar como el producto de dos cuadrados del círculo circunscrito a él por los senos de cada uno de sus ángulos. (Fórmula 8)
• Si se conoce la longitud de un lado y los valores de dos ángulos adyacentes, entonces el área del triángulo se puede encontrar como el cuadrado de este lado dividido por la doble suma de las cotangentes de estos ángulos (Fórmula 9)
• Si solo se conoce la longitud de cada una de las alturas del triángulo (Fórmula 10), entonces el área de dicho triángulo es inversamente proporcional a las longitudes de estas alturas, como según la Fórmula de Heron
• La fórmula 11 te permite calcular. área de un triángulo según las coordenadas de sus vértices, que se especifican como valores (x;y) para cada uno de los vértices. Tenga en cuenta que el valor resultante debe tomarse en módulo, ya que las coordenadas de los vértices individuales (o incluso de todos) pueden estar en la región de valores negativos.

Nota. Los siguientes son ejemplos de resolución de problemas de geometría para encontrar el área de un triángulo. Si necesitas resolver un problema de geometría que no es similar aquí, escríbelo en el foro. En las soluciones, en lugar del símbolo de "raíz cuadrada", se puede utilizar la función sqrt(), en la que sqrt es el símbolo de la raíz cuadrada y la expresión radical se indica entre paréntesis..A veces, para expresiones radicales simples, se puede utilizar el símbolo. √

Tarea. Calcula el área dados dos lados y el ángulo entre ellos.

Los lados del triángulo miden 5 y 6 cm y el ángulo entre ellos es de 60 grados. Encuentra el área del triángulo..

Solución.

Para solucionar este problema utilizamos la fórmula número dos de la parte teórica de la lección.
El área de un triángulo se puede encontrar a través de las longitudes de dos lados y el seno del ángulo entre ellos y será igual a
S=1/2 ab sen γ

Como tenemos todos los datos necesarios para la solución (según la fórmula), solo podemos sustituir los valores de las condiciones del problema en la fórmula:
S = 1/2 * 5 * 6 * pecado 60

En la tabla de valores funciones trigonométricas Busquemos y sustituyamos el valor del seno de 60 grados en la expresión. Será igual a la raíz de tres por dos.
S = 15 √3 / 2

Respuesta: 7.5 √3 (dependiendo de los requerimientos del profesor, probablemente puedas dejar 15 √3/2)

Tarea. Encuentra el área de un triángulo equilátero

Calcula el área de un triángulo equilátero de 3 cm de lado.

Solución .

El área de un triángulo se puede encontrar usando la fórmula de Heron:

S = 1/4 raíz cuadrada ((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

Como a = b = c, la fórmula para el área de un triángulo equilátero toma la forma:

S = √3 / 4 * a 2

S = √3 / 4 * 3 2

Respuesta: 9 √3 / 4.

Tarea. Cambio de área al cambiar la longitud de los lados

¿Cuántas veces aumentará el área del triángulo si los lados aumentan 4 veces?

Solución.

Dado que desconocemos las dimensiones de los lados del triángulo, para resolver el problema asumiremos que las longitudes de los lados son respectivamente iguales a los números arbitrarios a, b, c. Luego, para responder a la pregunta del problema, encontraremos el área del triángulo dado, y luego encontraremos el área del triángulo cuyos lados son cuatro veces más grandes. La razón de las áreas de estos triángulos nos dará la respuesta al problema.

A continuación proporcionamos una explicación textual de la solución al problema paso a paso. Sin embargo, al final, esta misma solución se presenta en una forma gráfica más conveniente. Los interesados ​​pueden consultar inmediatamente las soluciones.

Para resolverlo utilizamos la fórmula de Heron (ver arriba en la parte teórica de la lección). Se parece a esto:

S = 1/4 raíz cuadrada ((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(ver la primera línea de la imagen a continuación)

Las longitudes de los lados de un triángulo arbitrario están especificadas por las variables a, b, c.
Si los lados se aumentan 4 veces, entonces el área del nuevo triángulo c será:

S 2 = 1/4 raíz((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(ver segunda línea en la imagen de abajo)

Como puede ver, 4 es un factor común que se puede sacar entre paréntesis de las cuatro expresiones según reglas generales matemáticas.
Entonces

S 2 = 1/4 raíz cuadrada (4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - en la tercera línea de la imagen
S 2 = 1/4 sqrt(256 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - cuarta linea

La raíz cuadrada del número 256 está perfectamente extraída, así que saquémosla de debajo de la raíz.
S 2 = 16 * 1/4 raíz cuadrada ((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 raíz cuadrada ((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(ver quinta línea de la imagen a continuación)

Para responder a la pregunta del problema, solo necesitamos dividir el área del triángulo resultante por el área del original.
Determinemos las razones de área dividiendo las expresiones entre sí y reduciendo la fracción resultante.

Un triángulo es la figura geométrica más simple, que consta de tres lados y tres vértices. Por su sencillez, el triángulo se ha utilizado desde la antigüedad para realizar varias medidas, y hoy la figura puede resultar útil para resolver problemas prácticos y cotidianos.

Características de un triángulo

La figura se ha utilizado para los cálculos desde la antigüedad; por ejemplo, los agrimensores y astrónomos utilizan las propiedades de los triángulos para calcular áreas y distancias. Es fácil expresar el área de cualquier n-gón a través del área de esta figura, y los científicos antiguos utilizaron esta propiedad para derivar fórmulas para las áreas de polígonos. El trabajo constante con triángulos, especialmente el triángulo rectángulo, se convirtió en la base de toda una rama de las matemáticas: la trigonometría.

Geometría del triángulo

Propiedades figura geométrica Se han estudiado desde la antigüedad: la información más antigua sobre el triángulo se encontró en papiros egipcios de hace 4.000 años. Luego la figura fue estudiada en Antigua Grecia y las mayores contribuciones a la geometría del triángulo las hicieron Euclides, Pitágoras y Herón. El estudio del triángulo nunca cesó y, en el siglo XVIII, Leonhard Euler introdujo el concepto de ortocentro de una figura y el círculo de Euler. A principios del siglo XIX y XX, cuando parecía que se sabía absolutamente todo sobre el triángulo, Frank Morley formuló el teorema de los trisectores de ángulos y Waclaw Sierpinski propuso el triángulo fractal.

Hay varios tipos de triángulos planos que nos son familiares. curso escolar geometría:

• agudo: todas las esquinas de la figura son agudas;
• obtuso: la figura tiene un ángulo obtuso (más de 90 grados);
• rectangular: la figura contiene un ángulo recto igual a 90 grados;
• isósceles: un triángulo con dos lados iguales;
• equilátero: un triángulo con todos los lados iguales.
• EN vida real Hay todo tipo de triángulos, y en algunos casos es posible que necesitemos calcular el área de una figura geométrica.

Área de un triángulo

El área es una estimación de la cantidad del plano que encierra una figura. El área de un triángulo se puede encontrar de seis formas, utilizando los lados, la altura, los ángulos, el radio del círculo inscrito o circunscrito, así como utilizando la fórmula de Herón o calculando la integral doble a lo largo de las líneas que delimitan el plano. La fórmula más sencilla para calcular el área de un triángulo es:

donde a es el lado del triángulo, h es su altura.

Sin embargo, en la práctica no siempre nos resulta conveniente encontrar la altura de una figura geométrica. El algoritmo de nuestra calculadora te permite calcular el área sabiendo:

• tres lados;
• dos lados y el ángulo entre ellos;
• un lado y dos esquinas.

Para determinar el área a través de tres lados, utilizamos la fórmula de Heron:

S = raíz cuadrada (p × (p-a) × (p-b) × (p-c)),

donde p es el semiperímetro del triángulo.

El área de dos lados y un ángulo se calcula mediante la fórmula clásica:

S = a × b × pecado(alfa),

donde alfa es el ángulo entre los lados a y b.

Para determinar el área en términos de un lado y dos ángulos, usamos la relación que:

a / pecado(alfa) = b / pecado(beta) = c / pecado(gamma)

Usando una proporción simple, determinamos la longitud del segundo lado, después de lo cual calculamos el área usando la fórmula S = a × b × sin(alfa). Este algoritmo está completamente automatizado y solo necesita ingresar las variables especificadas y obtener el resultado. Veamos un par de ejemplos.

Ejemplos de la vida

Lajas para piso

Supongamos que desea pavimentar el piso con baldosas triangulares y, para determinar la cantidad de material necesario, necesita conocer el área de una losa y el área del piso. Supongamos que necesita procesar 6 metros cuadrados de superficie utilizando una baldosa cuyas dimensiones son a = 20 cm, b = 21 cm, c = 29 cm, obviamente, para calcular el área de un triángulo, la calculadora usa la fórmula de Heron y da el resultado:

Por lo tanto, el área de un elemento de baldosa será de 0,021 metros cuadrados y necesitarás 6/0,021 = 285 triángulos para mejorar el piso. Los números 20, 21 y 29 forman un triple pitagórico que satisface . Y así es, nuestra calculadora también calculó todos los ángulos del triángulo, y el ángulo gamma es exactamente 90 grados.

tarea escolar

EN problema escolar es necesario encontrar el área del triángulo, sabiendo que el lado a = 5 cm, y los ángulos alfa y beta miden 30 y 50 grados, respectivamente. Para resolver este problema manualmente, primero encontraríamos el valor del lado b usando la proporción de la relación de aspecto y los senos de los ángulos opuestos, y luego determinaríamos el área usando la fórmula simple S = a × b × sin(alfa). Ahorremos tiempo, ingresemos los datos en el formulario de la calculadora y obtengamos una respuesta instantánea

Al utilizar la calculadora, es importante indicar correctamente los ángulos y lados, de lo contrario el resultado será incorrecto.

Conclusión

El triángulo es una figura única que se encuentra tanto en la vida real como en cálculos abstractos. Utilice nuestra calculadora en línea para determinar el área de triángulos de cualquier tipo.

Del vértice opuesto) y divide el producto resultante entre dos. Esto se parece a esto:

S = ½ * a * h,

Dónde:
S – área del triángulo,
a es la longitud de su lado,
h es la altura bajada a este lado.

La longitud y la altura de los lados deben presentarse en las mismas unidades de medida. En este caso el área del triángulo se obtendrá en las unidades “ ” correspondientes.

Ejemplo.
En un lado de un triángulo escaleno de 20 cm de largo, se baja una perpendicular desde el vértice opuesto de 10 cm de largo.
Se requiere el área del triángulo.
Solución.
S = ½ * 20 * 10 = 100 (cm²).

Si se conocen las longitudes de dos lados cualesquiera de un triángulo escaleno y el ángulo entre ellos, entonces use la fórmula:

S = ½ * a * b * senγ,

donde: a, b son las longitudes de dos lados arbitrarios y γ es el ángulo entre ellos.

En la práctica, por ejemplo, al medir terrenos, el uso de las fórmulas anteriores a veces resulta difícil, ya que requiere construcción y medición de ángulos adicionales.

Si conoces las longitudes de los tres lados de un triángulo escaleno, usa la fórmula de Heron:

S = √(p(p-a)(pb)(p-c)),

a, b, c – longitudes de los lados del triángulo,
p – semiperímetro: p = (a+b+c)/2.

Si, además de las longitudes de todos los lados, se conoce el radio del círculo inscrito en el triángulo, se utiliza la siguiente fórmula compacta:

donde: r – radio del círculo inscrito (р – semiperímetro).

Para calcular el área de un triángulo escaleno y la longitud de sus lados, use la fórmula:

donde: R – radio del círculo circunscrito.

Si se conoce la longitud de uno de los lados del triángulo y tres ángulos (en principio, dos son suficientes; el valor del tercero se calcula a partir de la igualdad de la suma de los tres ángulos del triángulo - 180º), entonces use la formula:

S = (a² * sinβ * sinγ)/2sinα,

donde α es el valor del ángulo opuesto al lado a;
β, γ – valores de los dos ángulos restantes del triángulo.

La necesidad de encontrar varios elementos, incluido el área. triángulo, apareció muchos siglos antes de Cristo entre los eruditos astrónomos de la Antigua Grecia. Cuadrado triángulo se puede calcular diferentes caminos utilizando diferentes fórmulas. El método de cálculo depende de qué elementos triángulo conocido.

Instrucciones

Si de la condición conocemos los valores de dos lados b, c y el ángulo que forman ellos?, entonces el área triángulo ABC se encuentra mediante la fórmula:
S = (bcsen?)/2.

Si de la condición conocemos los valores de dos lados a, b y el ángulo que no forman ellos?, entonces el área triángulo ABC se encuentra de la siguiente manera:
¿Encontrar el ángulo?, ¿pecado? = bsin?/a, luego usa la tabla para determinar el ángulo en sí.
¿Encontrar el ángulo?, ? = 180°-?-?.
Encontramos el área misma S = (absin?)/2.

Si de la condición conocemos los valores de solo tres lados triángulo a, b y c, entonces el área triángulo ABC se encuentra mediante la fórmula:
S = v(p(p-a)(p-b)(p-c)), donde p es el semiperímetro p = (a+b+c)/2

Si por las condiciones del problema conocemos la altura triángulo h y el lado al que se baja esta altura, entonces el área triángulo ABC según la fórmula:
S = ah(a)/2 = bh(b)/2 = ch(c)/2.

Si conocemos el significado de los lados triángulo a, b, c y el radio descrito sobre este triángulo R, entonces el área de este triángulo ABC está determinado por la fórmula:
S = abc/4R.
Si se conocen tres lados a, b, c y el radio del inscrito, entonces el área triángulo ABC se encuentra mediante la fórmula:
S = pr, donde p es el semiperímetro, p = (a+b+c)/2.

Si ABC es equilátero, entonces el área se encuentra mediante la fórmula:
S = (a^2v3)/4.
Si el triángulo ABC es isósceles, entonces el área está determinada por la fórmula:
S = (cv(4a^2-c^2))/4, donde c – triángulo.
Si el triángulo ABC es rectángulo, entonces el área está determinada por la fórmula:
S = ab/2, donde a y b son catetos triángulo.
Si el triángulo ABC es un triángulo rectángulo isósceles, entonces el área está determinada por la fórmula:
S = c^2/4 = a^2/2, donde c es la hipotenusa triángulo, a=b – pierna.

Vídeo sobre el tema.

Fuentes:

• cómo medir el área de un triángulo

Consejo 3: Cómo encontrar el área de un triángulo si se conoce el ángulo

Conocer un solo parámetro (el ángulo) no es suficiente para encontrar el área tre cuadrado . Si hay dimensiones adicionales, para determinar el área se puede elegir una de las fórmulas en las que también se utiliza el valor del ángulo como una de las variables conocidas. A continuación se detallan varias de las fórmulas más utilizadas.

Instrucciones

Si además del tamaño del ángulo (γ) formado por los dos lados tre cuadrado , las longitudes de estos lados (A y B) también son conocidas, entonces cuadrado(S) de una figura se puede definir como la mitad del producto de las longitudes de los lados y el seno de este ángulo conocido: S=½×A×B×sin(γ).