• कार्य 1. पिरामिड का कुल सतह क्षेत्रफल ज्ञात करें
• कार्य 2. एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात करें

कार्य 1. एक नियमित पिरामिड का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये

समाधान.

एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड के आधार पर एक समबाहु त्रिभुज होता है।
इसलिए, समस्या को हल करने के लिए, हम एक नियमित त्रिभुज के गुणों का उपयोग करते हैं:

हम त्रिभुज की ऊँचाई जानते हैं, जहाँ से हम इसका क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं।
एच = √3/2ए
ए = एच / (√3/2)
ए = 3 / (√3/2)
ए = 6 / √3

जहां से आधार का क्षेत्रफल बराबर होगा:
एस = √3/4 ए 2
एस = √3/4 (6 / √3) 2
एस = 3√3

पार्श्व फलक का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हम ऊँचाई KM की गणना करते हैं। समस्या कथन के अनुसार ओकेएम कोण 45 डिग्री है।
इस प्रकार:
ओके/एमके = कॉस 45
आइए त्रिकोणमितीय कार्यों के मानों की तालिका का उपयोग करें और ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करें।

ठीक / एमके = √2/2

हम इस बात को ध्यान में रखते हैं कि ओके अंकित वृत्त की त्रिज्या के बराबर है। तब
ठीक = √3/6 ए
ठीक = √3/6 * 6/√3 = 1

तब
ठीक / एमके = √2/2
1 / एमके = √2/2
एमके = 2/√2

फिर पार्श्व फलक का क्षेत्रफल त्रिभुज की ऊँचाई और आधार के आधे गुणनफल के बराबर होता है।
साइड = 1/2 (6 / √3) (2/√2) = 6/√6

इस प्रकार, पिरामिड का कुल सतह क्षेत्र बराबर होगा
एस = 3√3 + 3 * 6/√6
एस = 3√3 + 18/√6

उत्तर: 3√3 + 18/√6

कार्य 2. एक नियमित पिरामिड का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए

समाधान.

चूँकि एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड का आधार एक समबाहु त्रिभुज है, तो AO आधार के चारों ओर परिचालित वृत्त की त्रिज्या है।
(यह इस प्रकार है)

एक समबाहु त्रिभुज के चारों ओर परिचालित वृत्त की त्रिज्या उसके गुणों से ज्ञात की जाती है

जहाँ से एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड के किनारों की लंबाई बराबर होगी:
एएम 2 = एमओ 2 + एओ 2
पिरामिड की ऊंचाई स्थिति (10 सेमी), AO = 16√3/3 से ज्ञात होती है
पूर्वाह्न 2 = 100 + 256/3
एएम = √(556/3)

पिरामिड की प्रत्येक भुजा एक समद्विबाहु त्रिभुज है। नीचे दिए गए पहले सूत्र से एक समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात किया जाता है

एस = 1/2 * 16 वर्ग((√(556/3) + 8) (√(556/3) - 8))
एस = 8 वर्ग((556/3) - 64)
एस = 8 वर्ग(364/3)
एस = 16 वर्ग(91/3)

चूँकि एक नियमित पिरामिड के तीनों फलक बराबर होते हैं, पार्श्व सतह का क्षेत्रफल बराबर होगा
3एस = 48√(91/3)

उत्तर: 48 √(91/3)

कार्य 3. एक नियमित पिरामिड का कुल सतह क्षेत्रफल ज्ञात करें

एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड की भुजा 3 सेमी है और पार्श्व फलक और पिरामिड के आधार के बीच का कोण 45 डिग्री है। पिरामिड का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये.

समाधान.
चूँकि पिरामिड नियमित है, इसके आधार पर एक समबाहु त्रिभुज है। तो आधार का क्षेत्रफल है


तो = 9 * √3/4

पार्श्व फलक का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हम ऊँचाई KM की गणना करते हैं। समस्या कथन के अनुसार ओकेएम कोण 45 डिग्री है।
इस प्रकार:
ओके/एमके = कॉस 45
आइए उपयोग करें

इस ज्यामितीय आकृति और इसके गुणों के बारे में प्रश्नों का अध्ययन करने से पहले, कुछ शब्दों को समझना आवश्यक है। जब कोई व्यक्ति पिरामिड के बारे में सुनता है तो उसके मन में मिस्र की विशाल इमारतों की कल्पना आती है। सबसे सरल वाले इस तरह दिखते हैं। लेकिन वे विभिन्न प्रकार और आकार में आते हैं, जिसका अर्थ है कि ज्यामितीय आकृतियों के लिए गणना सूत्र अलग-अलग होंगे।

पिरामिड - ज्यामितीय आकृति, कई चेहरों को दर्शाना और उनका प्रतिनिधित्व करना। वास्तव में, यह वही बहुफलक है, जिसके आधार पर एक बहुभुज स्थित है, और किनारों पर त्रिभुज हैं जो एक बिंदु - शीर्ष पर जुड़ते हैं। आकृति दो मुख्य प्रकार की होती है:

• सही;
• काट दिया गया

पहले मामले में, आधार एक नियमित बहुभुज है। यहां सभी पार्श्व सतहें समान हैंउनके और आकृति के बीच स्वयं एक पूर्णतावादी की आंख को प्रसन्न करेगा।

दूसरे मामले में, दो आधार हैं - सबसे नीचे एक बड़ा और शीर्ष के बीच एक छोटा, जो मुख्य के आकार को दोहराता है। दूसरे शब्दों में, एक कटा हुआ पिरामिड एक बहुफलक है जिसका एक खंड आधार के समानांतर बनता है।

शर्तें और संकेतन

मूल शर्तें:

• नियमित (समबाहु) त्रिभुजतीन समान कोणों और समान भुजाओं वाली एक आकृति। इस स्थिति में, सभी कोण 60 डिग्री हैं। यह आकृति नियमित पॉलीहेड्रा में सबसे सरल है। यदि यह आकृति आधार पर स्थित है, तो ऐसे बहुफलक को नियमित त्रिभुजाकार कहा जाएगा। यदि आधार वर्ग है तो पिरामिड को नियमित चतुर्भुज पिरामिड कहा जाएगा।
• शिखर- उच्चतम बिंदु जहां किनारे मिलते हैं। शीर्ष की ऊँचाई शीर्ष से पिरामिड के आधार तक निकलने वाली एक सीधी रेखा से बनती है।
• किनाराबहुभुज के तलों में से एक है. यह त्रिकोणीय पिरामिड के मामले में एक त्रिकोण के रूप में हो सकता है, या एक काटे गए पिरामिड के लिए एक ट्रेपेज़ॉइड के रूप में हो सकता है।
• क्रॉस सेक्शन- विच्छेदन के परिणामस्वरूप बनी एक सपाट आकृति। खंड से भ्रमित न हों, क्योंकि खंड यह भी दर्शाता है कि खंड के पीछे क्या है।
• एपोथेम- पिरामिड के शीर्ष से उसके आधार तक खींचा गया एक खंड। यह चेहरे की ऊंचाई भी है जहां दूसरा ऊंचाई बिंदु है। यह परिभाषा केवल एक नियमित बहुफलक के संबंध में मान्य है। उदाहरण के लिए - यदि यह एक छोटा पिरामिड नहीं है, तो चेहरा एक त्रिकोण होगा। इस स्थिति में, इस त्रिभुज की ऊंचाई एक एपोथेम बन जाएगी।

क्षेत्र सूत्र

पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात करेंकिसी भी प्रकार को कई तरीकों से किया जा सकता है। यदि आकृति सममित नहीं है और विभिन्न भुजाओं वाला बहुभुज है, तो इस मामले में सभी सतहों की समग्रता के माध्यम से कुल सतह क्षेत्र की गणना करना आसान है। दूसरे शब्दों में, आपको प्रत्येक चेहरे के क्षेत्र की गणना करने और उन्हें एक साथ जोड़ने की आवश्यकता है।

कौन से पैरामीटर ज्ञात हैं, इसके आधार पर, एक वर्ग, एक ट्रेपेज़ॉइड, एक मनमाना चतुर्भुज, आदि की गणना के लिए सूत्रों की आवश्यकता हो सकती है। अलग-अलग मामलों में सूत्र स्वयंभी अलग होगा.

नियमित आकृति के मामले में, क्षेत्रफल ज्ञात करना बहुत आसान है। बस कुछ प्रमुख मापदंडों को जानना ही काफी है। ज्यादातर मामलों में, ऐसे आंकड़ों के लिए गणना की आवश्यकता होती है। इसलिए, संबंधित सूत्र नीचे दिए जाएंगे। अन्यथा, आपको हर चीज़ को कई पृष्ठों पर चित्रित करना होगा, जो केवल भ्रमित और भ्रमित करेगा।

गणना के लिए मूल सूत्रएक नियमित पिरामिड का पार्श्व सतह क्षेत्र इस तरह दिखेगा:

S = ½ Pa (P आधार का परिमाप है, और एपोथेम है)

आइए एक उदाहरण पर विचार करें। पॉलीहेड्रॉन का आधार खंड A1, A2, A3, A4, A5 है, और वे सभी 10 सेमी के बराबर हैं। एपोथेम को 5 सेमी के बराबर होने दें। सबसे पहले आपको परिधि खोजने की आवश्यकता है। चूँकि आधार के सभी पाँच फलक समान हैं, इसे इस प्रकार पाया जा सकता है: P = 5 * 10 = 50 सेमी। अगला, हम मूल सूत्र लागू करते हैं: S = ½ * 50 * 5 = 125 सेमी वर्ग .

एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड का पार्श्व सतह क्षेत्रगणना करना सबसे आसान. सूत्र इस प्रकार दिखता है:

S =½* ab *3, जहां a एपोथेम है, b आधार का पहलू है। यहां तीन के गुणनखंड का अर्थ आधार के फलकों की संख्या है, और पहला भाग पार्श्व सतह का क्षेत्रफल है। एक उदाहरण पर विचार करें. 5 सेमी के एपोटेम और 8 सेमी के आधार फलक वाली एक आकृति दी गई है। हम गणना करते हैं: एस = 1/2 * 5 * 8 * 3 = 60 सेमी वर्ग।

एक काटे गए पिरामिड का पार्श्व सतह क्षेत्रइसकी गणना करना थोड़ा अधिक कठिन है। सूत्र इस तरह दिखता है: S \u003d 1/2 * (p _01 + p _02) * a, जहां p_01 और p_02 आधारों की परिधि हैं, और एपोथेम है। एक उदाहरण पर विचार करें. मान लीजिए, एक चतुर्भुज आकृति के लिए, आधारों की भुजाओं का आयाम 3 और 6 सेमी है, एपोथेम 4 सेमी है।

यहां, शुरुआत के लिए, आपको आधारों की परिधि ढूंढनी चाहिए: p_01 = 3 * 4 = 12 सेमी; p_02=6*4=24 सेमी। यह मानों को मुख्य सूत्र में प्रतिस्थापित करने और प्राप्त करने के लिए बना हुआ है: S =1/2*(12+24)*4=0.5*36*4=72 सेमी वर्ग।

इस प्रकार, किसी भी जटिलता के नियमित पिरामिड का पार्श्व सतह क्षेत्र ज्ञात करना संभव है। सावधान रहें भ्रमित न होंसंपूर्ण बहुफलक के कुल क्षेत्रफल के साथ ये गणनाएँ। और यदि आपको अभी भी ऐसा करने की आवश्यकता है, तो यह पॉलीहेड्रॉन के सबसे बड़े आधार के क्षेत्र की गणना करने और इसे पॉलीहेड्रॉन की पार्श्व सतह के क्षेत्र में जोड़ने के लिए पर्याप्त है।

वीडियो

विभिन्न पिरामिडों के पार्श्व सतह क्षेत्र का पता लगाने के तरीके के बारे में जानकारी समेकित करने के लिए, यह वीडियो आपकी सहायता करेगा।

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समतल और त्रि-आयामी अंतरिक्ष में विशिष्ट ज्यामितीय समस्याएं विभिन्न आकृतियों के सतह क्षेत्रों को निर्धारित करने की समस्याएं हैं। इस लेख में, हम एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड की पार्श्व सतह के क्षेत्रफल का सूत्र प्रस्तुत करते हैं।

पिरामिड क्या है?

आइए हम पिरामिड की एक सख्त ज्यामितीय परिभाषा दें। मान लीजिए कि n भुजाओं और n कोनों वाला कोई बहुभुज है। हम अंतरिक्ष में एक मनमाना बिंदु चुनते हैं जो निर्दिष्ट एन-गॉन के विमान में नहीं होगा, और इसे बहुभुज के प्रत्येक शीर्ष से जोड़ते हैं। हमें एक आकृति मिलेगी जिसमें कुछ आयतन है, जिसे एन-गोनल पिरामिड कहा जाता है। उदाहरण के लिए, आइए नीचे दिए गए चित्र में दिखाएं कि एक पंचकोणीय पिरामिड कैसा दिखता है।

किसी भी पिरामिड के दो महत्वपूर्ण तत्व उसका आधार (एन-गॉन) और शीर्ष हैं। ये तत्व n त्रिभुजों द्वारा एक दूसरे से जुड़े हुए हैं, जो सामान्यतः एक दूसरे के बराबर नहीं होते हैं। ऊपर से आधार पर डाला गया लम्ब आकृति की ऊँचाई कहलाता है। यदि यह आधार को ज्यामितीय केंद्र में काटता है (बहुभुज के द्रव्यमान के केंद्र से मेल खाता है), तो ऐसे पिरामिड को एक सीधी रेखा कहा जाता है। यदि, इस स्थिति के अतिरिक्त, आधार एक नियमित बहुभुज है, तो संपूर्ण पिरामिड नियमित कहा जाता है। नीचे दिया गया चित्र दिखाता है कि त्रिकोणीय, चतुष्कोणीय, पंचकोणीय और षट्कोणीय आधारों वाले नियमित पिरामिड कैसे दिखते हैं।

पिरामिड की सतह

एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड की पार्श्व सतह के क्षेत्रफल के प्रश्न पर आगे बढ़ने से पहले, किसी को सतह की अवधारणा पर अधिक विस्तार से ध्यान देना चाहिए।

जैसा कि ऊपर बताया गया है और आंकड़ों में दिखाया गया है, कोई भी पिरामिड फलकों या भुजाओं के समूह से बनता है। एक भुजा आधार है और n भुजाएँ त्रिभुज हैं। संपूर्ण आकृति की सतह उसकी प्रत्येक भुजा के क्षेत्रफलों का योग है।

उभरी हुई आकृति के उदाहरण का उपयोग करके सतह का अध्ययन करना सुविधाजनक है। एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड का स्कैन नीचे दिए गए आंकड़ों में दिखाया गया है।

हम देखते हैं कि इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल समद्विबाहु त्रिभुजों के चार क्षेत्रफलों और एक वर्ग के क्षेत्रफल के योग के बराबर है।

आकृति की भुजाओं को बनाने वाले सभी त्रिभुजों का कुल क्षेत्रफल पार्श्व सतह का क्षेत्रफल कहलाता है। आगे, हम दिखाते हैं कि एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड के लिए इसकी गणना कैसे करें।

एक आयताकार नियमित पिरामिड का पार्श्व सतह क्षेत्र

निर्दिष्ट आकृति के पार्श्व सतह क्षेत्र की गणना करने के लिए, हम फिर से उपरोक्त स्वीप की ओर मुड़ते हैं। मान लीजिए कि हम वर्गाकार आधार की भुजा जानते हैं। आइए इसे प्रतीक ए द्वारा निरूपित करें। यह देखा जा सकता है कि चार समान त्रिभुजों में से प्रत्येक का आधार लंबाई a है। उनके कुल क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, आपको एक त्रिभुज के लिए यह मान जानना होगा। ज्यामिति के पाठ्यक्रम से ज्ञात होता है कि त्रिभुज S t का क्षेत्रफल आधार और ऊँचाई के गुणनफल के बराबर है, जिसे आधे में विभाजित किया जाना चाहिए। वह है:

जहाँ h b आधार a पर खींचे गए समद्विबाहु त्रिभुज की ऊँचाई है। एक पिरामिड के लिए, यह ऊँचाई एपोथेम है। अब प्रश्नगत पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल S b प्राप्त करने के लिए परिणामी अभिव्यक्ति को 4 से गुणा करना बाकी है:

एस बी = 4*एस टी = 2*एच बी *ए।

इस सूत्र में दो पैरामीटर हैं: एपोथेम और आधार का किनारा। यदि समस्याओं की अधिकांश स्थितियों में उत्तरार्द्ध ज्ञात है, तो पूर्व की गणना अन्य मात्राओं को जानकर की जानी चाहिए। यहां दो मामलों के लिए एपोटेमा एच बी की गणना के सूत्र दिए गए हैं:

• जब पार्श्व पसली की लंबाई ज्ञात हो;
• जब पिरामिड की ऊंचाई ज्ञात हो जाती है.

यदि हम पार्श्व किनारे (एक समद्विबाहु त्रिभुज की भुजा) की लंबाई को प्रतीक L से निरूपित करते हैं, तो एपोटेमा h b सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

एच बी = √ (एल 2 - ए 2/4)।

यह अभिव्यक्ति पार्श्व सतह त्रिभुज के लिए पाइथागोरस प्रमेय को लागू करने का परिणाम है।

यदि पिरामिड की ऊंचाई h ज्ञात है, तो एपोटेमा h b की गणना निम्नानुसार की जा सकती है:

एच बी = √(एच 2 + ए 2 /4).

इस अभिव्यक्ति को प्राप्त करना भी मुश्किल नहीं है अगर हम पैरों एच और ए / 2 और कर्ण एच बी द्वारा गठित पिरामिड के अंदर एक समकोण त्रिभुज पर विचार करें।

हम दो दिलचस्प समस्याओं को हल करके दिखाएंगे कि इन सूत्रों को कैसे लागू किया जाए।

ज्ञात सतह क्षेत्र के साथ समस्या

ज्ञातव्य है कि एक चतुर्भुज की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल 108 सेमी 2 है। यदि पिरामिड की ऊंचाई 7 सेमी है तो इसके एपोथेम एच बी की लंबाई के मूल्य की गणना करना आवश्यक है।

हम ऊंचाई के माध्यम से पार्श्व सतह के क्षेत्र एस बी के लिए सूत्र लिखते हैं। अपने पास:

एस बी = 2*√(एच 2 + ए 2 /4) *ए।

यहां हमने एस बी के लिए अभिव्यक्ति में संबंधित एपोटेमा सूत्र को प्रतिस्थापित कर दिया है। आइए समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करें:

एस बी 2 = 4 * ए 2 * एच 2 + ए 4।

A का मान ज्ञात करने के लिए, हम चरों में परिवर्तन करते हैं:

टी 2 + 4*एच 2 *टी - एस बी 2 = 0.

अब हम ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करते हैं और द्विघात समीकरण को हल करते हैं:

टी 2 + 196*टी - 11664 = 0.

हमने इस समीकरण का केवल सकारात्मक मूल लिखा है। तब पिरामिड के आधार की भुजाएँ बराबर होंगी:

a = √t = √47.8355 ≈ 6.916 सेमी.

एपोटेमा की लंबाई प्राप्त करने के लिए, बस सूत्र का उपयोग करें:

एच बी = √ (एच 2 + ए 2/4) = √ (7 2 + 6.916 2/4) ≈ 7.808 सेमी।

चेप्स के पिरामिड की पार्श्व सतह

आइए मिस्र के सबसे बड़े पिरामिड के पार्श्व सतह क्षेत्र का मूल्य निर्धारित करें। यह ज्ञात है कि इसके आधार पर एक वर्ग है जिसकी भुजा की लंबाई 230.363 मीटर है। संरचना की ऊंचाई मूल रूप से 146.5 मीटर थी। इन संख्याओं को S b के संगत सूत्र में रखें, हमें प्राप्त होता है:

एस बी = 2 * √ (एच 2 + ए 2/4) * ए = 2 * √ (146.5 2 + 230.363 2/4) * 230.363 ≈ 85860 मीटर 2।

पाया गया मूल्य 17 फुटबॉल मैदानों के क्षेत्रफल से थोड़ा बड़ा है।

सिलेंडर एक ज्यामितीय पिंड है जो दो समानांतर विमानों और एक बेलनाकार सतह से घिरा होता है। लेख में, हम बात करेंगे कि सिलेंडर का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात किया जाए और, उदाहरण के लिए, सूत्र का उपयोग करके, हम कई समस्याओं का समाधान करेंगे।

एक सिलेंडर में तीन सतहें होती हैं: एक शीर्ष, एक निचली और एक पार्श्व सतह।

सिलेंडर के ऊपर और नीचे वृत्त हैं और इन्हें परिभाषित करना आसान है।

यह ज्ञात है कि एक वृत्त का क्षेत्रफल πr2 के बराबर होता है। इसलिए, दो वृत्तों (सिलेंडर के ऊपर और नीचे) के क्षेत्रफल का सूत्र πr 2 + πr 2 = 2πr 2 जैसा दिखेगा।

सिलेंडर की तीसरी, पार्श्व सतह, सिलेंडर की घुमावदार दीवार है। इस सतह को बेहतर ढंग से प्रस्तुत करने के लिए, आइए इसे एक पहचानने योग्य आकार प्राप्त करने के लिए रूपांतरित करने का प्रयास करें। कल्पना कीजिए कि एक सिलेंडर एक साधारण टिन का डिब्बा है जिसमें ऊपर ढक्कन और तली नहीं है। आइए जार के ऊपर से नीचे तक साइड की दीवार पर एक ऊर्ध्वाधर चीरा लगाएं (आकृति में चरण 1) और परिणामी आकृति को जितना संभव हो उतना खोलने (सीधा करने) का प्रयास करें (चरण 2)।

परिणामी जार के पूर्ण प्रकटीकरण के बाद, हम एक परिचित आकृति (चरण 3) देखेंगे, यह एक आयत है। एक आयत के क्षेत्रफल की गणना करना आसान है। लेकिन उससे पहले, आइए एक पल के लिए मूल सिलेंडर पर लौटते हैं। मूल सिलेंडर का शीर्ष एक वृत्त है, और हम जानते हैं कि वृत्त की परिधि की गणना सूत्र द्वारा की जाती है: L = 2πr। यह चित्र में लाल रंग से अंकित है।

जब सिलेंडर की साइड की दीवार पूरी तरह से विस्तारित हो जाती है, तो हम देखते हैं कि परिधि परिणामी आयत की लंबाई बन जाती है। इस आयत की भुजाएँ परिधि (L = 2πr) और बेलन की ऊँचाई (h) होंगी। एक आयत का क्षेत्रफल उसकी भुजाओं के गुणनफल के बराबर होता है - S = लंबाई x चौड़ाई = L x h = 2πr x h = 2πrh. परिणामस्वरूप, हमें एक सिलेंडर के पार्श्व सतह क्षेत्र की गणना के लिए एक सूत्र प्राप्त हुआ है।

बेलन की पार्श्व सतह के क्षेत्रफल का सूत्र
एस ओर = 2प्रति घंटा

एक सिलेंडर का पूर्ण सतह क्षेत्र

अंत में, यदि हम तीनों सतहों के क्षेत्रफल को जोड़ दें, तो हमें एक सिलेंडर के कुल सतह क्षेत्र का सूत्र मिलता है। सिलेंडर का सतह क्षेत्रफल सिलेंडर के शीर्ष के क्षेत्रफल + सिलेंडर के आधार के क्षेत्रफल + सिलेंडर की पार्श्व सतह के क्षेत्रफल के बराबर होता है या S = πr 2 + πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh. कभी-कभी यह अभिव्यक्ति समान सूत्र 2πr (r + h) द्वारा लिखी जाती है।

एक सिलेंडर के कुल सतह क्षेत्र का सूत्र
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr(r + h)
r सिलेंडर की त्रिज्या है, h सिलेंडर की ऊंचाई है

सिलेंडर के सतह क्षेत्र की गणना के उदाहरण

उपरोक्त सूत्रों को समझने के लिए, आइए उदाहरणों का उपयोग करके सिलेंडर के सतह क्षेत्र की गणना करने का प्रयास करें।

1. बेलन के आधार की त्रिज्या 2 है, ऊँचाई 3 है। बेलन की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

कुल सतह क्षेत्र की गणना सूत्र द्वारा की जाती है: एस साइड। = 2प्रति घंटा

एस ओर = 2 * 3.14 * 2 * 3

एस ओर = 6.28*6

एस ओर = 37.68

सिलेंडर का पार्श्व सतह क्षेत्रफल 37.68 है।

2. यदि किसी बेलन की ऊंचाई 4 और त्रिज्या 6 है तो उसका पृष्ठीय क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें?

कुल सतह क्षेत्र की गणना सूत्र द्वारा की जाती है: S = 2πr 2 + 2πrh

एस = 2 * 3.14 * 6 2 + 2 * 3.14 * 6 * 4

एस = 2 * 3.14 * 36 + 2 * 3.14 * 24

संक्षेप में मुख्य के बारे में

सतह क्षेत्र (2019)

प्रिज्म सतह क्षेत्र

क्या कोई सामान्य सूत्र है? नहीं, सामान्य तौर पर, नहीं. आपको बस पार्श्व फलकों का क्षेत्रफल ढूंढ़ना है और उनका योग करना है।

के लिए सूत्र लिखा जा सकता है सीधा प्रिज्म:

आधार की परिधि कहां है.

लेकिन फिर भी, प्रत्येक मामले में अतिरिक्त सूत्रों को याद करने की तुलना में सभी क्षेत्रों को जोड़ना बहुत आसान है। उदाहरण के लिए, आइए एक नियमित षट्कोणीय प्रिज्म की कुल सतह की गणना करें।

सभी पार्श्व फलक आयताकार हैं। साधन।

वॉल्यूम की गणना करते समय इसे पहले ही ध्यान में रखा जा चुका है।

तो हमें मिलता है:

पिरामिड का सतह क्षेत्र

पिरामिड के लिए, सामान्य नियम भी लागू होता है:

आइए अब सबसे लोकप्रिय पिरामिडों के सतह क्षेत्र की गणना करें।

एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड का सतह क्षेत्र

मान लीजिए कि आधार का किनारा बराबर है, और किनारे का किनारा भी बराबर है। मुझे खोजने की जरूरत है और.

अब उसे याद करें

यह एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल है.

और आइए याद रखें कि इस क्षेत्र को कैसे खोजा जाए। हम क्षेत्रफल सूत्र का उपयोग करते हैं:

हमारे पास "" - यह, और "" - यह भी है, एह।

अब आइए खोजें.

मूल क्षेत्र सूत्र और पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके, हम पाते हैं

ध्यान:यदि आपके पास एक नियमित चतुष्फलक (अर्थात) है, तो सूत्र यह है:

एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड का सतह क्षेत्र

मान लीजिए कि आधार का किनारा बराबर है, और किनारे का किनारा भी बराबर है।

आधार पर एक वर्ग है, और इसलिए।

यह पार्श्व फलक का क्षेत्रफल ज्ञात करना बाकी है

एक नियमित षट्कोणीय पिरामिड का सतह क्षेत्र।

आधार का किनारा और पार्श्व का किनारा बराबर होने दें।

कैसे ढूंढें? एक षट्भुज बिल्कुल छह समान नियमित त्रिभुजों से बना होता है। एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड के सतह क्षेत्र की गणना करते समय हमने पहले से ही एक नियमित त्रिकोण के क्षेत्र की खोज की है, यहां हम पाए गए सूत्र का उपयोग करते हैं।

खैर, हम पहले ही दो बार साइड फेस के क्षेत्र की खोज कर चुके हैं

खैर, बात ख़त्म हो गई. अगर आप ये पंक्तियां पढ़ रहे हैं तो आप बहुत अच्छे हैं.

क्योंकि केवल 5% लोग ही अपने दम पर किसी चीज़ में महारत हासिल कर पाते हैं। और यदि आपने अंत तक पढ़ा है, तो आप 5% में हैं!

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