• टास्क 1. पिरामिड का कुल सतह क्षेत्र ज्ञात करें
• टास्क 2। एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए

कार्य 1. एक नियमित पिरामिड का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए

समाधान.

एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड के आधार पर एक समबाहु त्रिभुज होता है।
इसलिए, समस्या को हल करने के लिए, हम नियमित त्रिकोण के गुणों का उपयोग करते हैं:

हम त्रिभुज की ऊँचाई जानते हैं, जहाँ से हम इसका क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं।
एच = √3/2a
ए = एच / (√3/2)
ए = 3 / (√3/2)
ए = 6 / √3

जहाँ से आधार का क्षेत्रफल बराबर होगा:
एस = √3/4 ए 2
एस = √3/4 (6 / √3) 2
एस = 3√3

पार्श्व फलक का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हम ऊँचाई KM की गणना करते हैं। समस्या कथन के अनुसार OKM कोण 45 डिग्री है।
इस प्रकार:
ओके / एमके = कॉस 45
आइए त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों की तालिका का उपयोग करें और ज्ञात मूल्यों को प्रतिस्थापित करें।

ओके / एमके = √2/2

हम इस बात को ध्यान में रखते हैं कि OK, खुदे हुए वृत्त की त्रिज्या के बराबर है। तब
ठीक = √3/6 ए
ठीक = √3/6 * 6/√3 = 1

तब
ओके / एमके = √2/2
1 / एमके = √2/2
एमके = 2/√2

साइड फेस का क्षेत्रफल तब ऊंचाई के आधे उत्पाद और त्रिकोण के आधार के बराबर होता है।
साइड = 1/2 (6 / √3) (2/√2) = 6/√6

इस प्रकार, पिरामिड का कुल सतह क्षेत्रफल बराबर होगा
एस = 3√3 + 3 * 6/√6
एस = 3√3 + 18/√6

उत्तर: 3√3 + 18/√6

कार्य 2. एक नियमित पिरामिड का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए

समाधान.

चूँकि एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड का आधार एक समबाहु त्रिभुज है, तो AO आधार के चारों ओर परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या है।
(यह इस प्रकार है)

एक समबाहु त्रिभुज के चारों ओर परिचालित एक वृत्त की त्रिज्या इसके गुणों से पाई जाती है

जहाँ से एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड के किनारों की लंबाई बराबर होगी:
एएम 2 = एमओ 2 + एओ 2
पिरामिड की ऊँचाई स्थिति (10 सेमी), AO = 16√3/3 से जानी जाती है
पूर्वाह्न 2 = 100 + 256/3
एएम = √(556/3)

पिरामिड का प्रत्येक पक्ष एक समद्विबाहु त्रिभुज है। नीचे दिए गए पहले सूत्र से समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात किया जाता है

एस = 1/2 * 16 sqrt ((√(556/3) + 8) (√(556/3) - 8))
एस = 8 वर्ग ((556/3) - 64)
एस = 8 sqrt(364/3)
एस = 16 sqrt(91/3)

चूंकि एक नियमित पिरामिड के सभी तीन चेहरे समान हैं, पार्श्व सतह का क्षेत्रफल बराबर होगा
3S = 48√(91/3)

उत्तर: 48 √(91/3)

टास्क 3। एक नियमित पिरामिड का कुल सतह क्षेत्र ज्ञात करें

एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड की भुजा 3 सेमी है और पार्श्व फलक और पिरामिड के आधार के बीच का कोण 45 डिग्री है। पिरामिड का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए.

समाधान.
चूँकि पिरामिड नियमित है, इसके आधार पर एक समबाहु त्रिभुज है। अतः आधार का क्षेत्रफल है


तो = 9 * √3/4

पार्श्व फलक का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हम ऊँचाई KM की गणना करते हैं। समस्या कथन के अनुसार OKM कोण 45 डिग्री है।
इस प्रकार:
ओके / एमके = कॉस 45
चलो इस्तेमाल करते हैं

इस ज्यामितीय आकृति और इसके गुणों के बारे में प्रश्नों का अध्ययन करने से पहले, कुछ शर्तों को समझना आवश्यक है। जब कोई व्यक्ति पिरामिड के बारे में सुनता है, तो वह मिस्र में विशाल इमारतों की कल्पना करता है। यह वही है जो सबसे सरल दिखते हैं। लेकिन वे विभिन्न प्रकार और आकार में आते हैं, जिसका अर्थ है कि ज्यामितीय आकृतियों के लिए गणना सूत्र अलग होंगे।

पिरामिड - ज्यामितीय आकृति, अनेक चेहरों को दर्शाना और उनका प्रतिनिधित्व करना। वास्तव में, यह वही पॉलीहेड्रॉन है, जिसके आधार पर एक बहुभुज स्थित है, और इसके किनारों पर त्रिभुज हैं जो एक बिंदु पर जुड़ते हैं - शीर्ष। आकृति दो मुख्य प्रकार की होती है:

• सही;
• काट दिया।

पहले मामले में, आधार एक नियमित बहुभुज है। यहाँ सभी पार्श्व पृष्ठ समान हैंउनके और आकृति के बीच ही एक पूर्णतावादी की आंख को प्रसन्न करेगा।

दूसरे मामले में, दो आधार हैं - बहुत नीचे एक बड़ा और शीर्ष के बीच एक छोटा, मुख्य के आकार को दोहराता है। दूसरे शब्दों में, एक छोटा पिरामिड एक पॉलीहेड्रॉन है जिसका एक खंड आधार के समानांतर बना है।

नियम और अंकन

मूल शर्तें:

• नियमित (समबाहु) त्रिभुजतीन समान कोणों और समान भुजाओं वाली एक आकृति। इस स्थिति में सभी कोण 60 डिग्री के होते हैं। आंकड़ा नियमित पॉलीहेड्रा का सबसे सरल है। यदि यह आंकड़ा आधार पर स्थित है, तो ऐसे पॉलीहेड्रॉन को नियमित त्रिकोणीय कहा जाएगा। यदि आधार एक वर्ग है, तो पिरामिड को नियमित चतुष्कोणीय पिरामिड कहा जाएगा।
• शिखर- उच्चतम बिंदु जहां किनारे मिलते हैं। शीर्ष की ऊंचाई ऊपर से पिरामिड के आधार तक निकलने वाली एक सीधी रेखा से बनती है।
• किनाराबहुभुज के तलों में से एक है। यह त्रिकोणीय पिरामिड के मामले में एक त्रिकोण के रूप में हो सकता है, या एक काटे गए पिरामिड के लिए एक ट्रेपोज़ॉइड के रूप में हो सकता है।
• क्रॉस सेक्शन- विच्छेदन के परिणामस्वरूप गठित एक सपाट आकृति। खंड के साथ भ्रमित न हों, क्योंकि खंड यह भी दिखाता है कि अनुभाग के पीछे क्या है।
• एपोटेम- पिरामिड के शीर्ष से उसके आधार तक खींचा गया खंड। यह चेहरे की ऊँचाई भी है जहाँ दूसरा ऊँचाई बिंदु है। यह परिभाषा केवल नियमित पॉलीहेड्रॉन के संबंध में मान्य है। उदाहरण के लिए - यदि यह छोटा पिरामिड नहीं है, तो चेहरा त्रिभुज होगा। इस स्थिति में, इस त्रिभुज की ऊँचाई एक अंतःत्रिज्या बन जाएगी।

क्षेत्र सूत्र

पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिएकिसी भी प्रकार को कई तरीकों से किया जा सकता है। यदि आकृति सममित नहीं है और विभिन्न भुजाओं वाला एक बहुभुज है, तो इस मामले में सभी सतहों की समग्रता के माध्यम से कुल सतह क्षेत्र की गणना करना आसान होता है। दूसरे शब्दों में, आपको प्रत्येक चेहरे के क्षेत्र की गणना करने और उन्हें एक साथ जोड़ने की आवश्यकता है।

ज्ञात मापदंडों के आधार पर, एक वर्ग, एक ट्रेपोज़ॉइड, एक मनमाना चतुर्भुज, आदि की गणना के लिए सूत्र की आवश्यकता हो सकती है। विभिन्न मामलों में स्वयं सूत्रभी अलग होगा।

एक नियमित आंकड़े के मामले में, क्षेत्र का पता लगाना बहुत आसान है। केवल कुछ प्रमुख मापदंडों को जानना पर्याप्त है। ज्यादातर मामलों में, ऐसे आंकड़ों के लिए सटीक गणना की आवश्यकता होती है। इसलिए, संबंधित सूत्र नीचे दिए जाएंगे। अन्यथा, आपको सब कुछ कई पृष्ठों पर चित्रित करना होगा, जो केवल भ्रमित और भ्रमित करेगा।

गणना के लिए मूल सूत्रएक नियमित पिरामिड का पार्श्व सतह क्षेत्र इस तरह दिखेगा:

S \u003d ½ Pa (P आधार की परिधि है, और अंतःत्रिज्या है)

आइए उदाहरणों में से एक पर विचार करें। पॉलीहेड्रॉन का आधार A1, A2, A3, A4, A5 है, और वे सभी 10 सेमी के बराबर हैं। अंतःत्रिज्या को 5 सेमी के बराबर होने दें। पहले आपको परिधि खोजने की आवश्यकता है। चूँकि आधार के सभी पाँच चेहरे समान हैं, इसे निम्नानुसार पाया जा सकता है: P \u003d 5 * 10 \u003d 50 सेमी। अगला, हम मूल सूत्र लागू करते हैं: S \u003d ½ * 50 * 5 \u003d 125 सेमी वर्ग .

एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड का पार्श्व सतह क्षेत्रगणना करने में सबसे आसान। सूत्र ऐसा दिखता है:

S =½* ab *3, जहां a अंतःत्रिज्या है, b आधार का फलक है। यहाँ तीन के कारक का अर्थ है आधार के चेहरों की संख्या, और पहला भाग पार्श्व सतह का क्षेत्रफल है। एक उदाहरण पर विचार करें। 5 सेमी के अंतःत्रिज्या और 8 सेमी के आधार फलक के साथ एक आकृति दी गई है। हम गणना करते हैं: S = 1/2 * 5 * 8 * 3 = 60 सेमी वर्ग।

एक काटे गए पिरामिड का पार्श्व सतह क्षेत्रगणना करना थोड़ा अधिक कठिन है। सूत्र इस तरह दिखता है: S \u003d 1/2 * (p _01 + p _02) * a, जहाँ p_01 और p_02 आधारों की परिधि हैं, और अंतःत्रिज्या है। एक उदाहरण पर विचार करें। मान लीजिए, एक चतुष्कोणीय आकृति के लिए, आधारों की भुजाओं का आयाम 3 और 6 सेमी है, अंतःत्रिज्या 4 सेमी है।

यहां, शुरुआत के लिए, आपको आधारों की परिधि का पता लगाना चाहिए: p_01 \u003d 3 * 4 \u003d 12 सेमी; p_02=6*4=24 सेमी। यह मूल्यों को मुख्य सूत्र में प्रतिस्थापित करने के लिए बनी हुई है और प्राप्त करें: एस =1/2*(12+24)*4=0.5*36*4=72 सेमी वर्ग।

इस प्रकार, किसी भी जटिलता के एक नियमित पिरामिड के पार्श्व सतह क्षेत्र का पता लगाना संभव है। भ्रमित न हों, इसका ध्यान रखेंये गणना पूरे पॉलीहेड्रॉन के कुल क्षेत्रफल के साथ। और अगर आपको अभी भी ऐसा करने की आवश्यकता है, तो यह पॉलीहेड्रॉन के सबसे बड़े आधार के क्षेत्र की गणना करने और इसे पॉलीहेड्रॉन की पार्श्व सतह के क्षेत्र में जोड़ने के लिए पर्याप्त है।

वीडियो

विभिन्न पिरामिडों के पार्श्व सतह क्षेत्र को कैसे निकालना है, इसकी जानकारी को समेकित करने के लिए, यह वीडियो आपकी सहायता करेगा।

आपके प्रश्न का उत्तर नहीं मिला? लेखकों को एक विषय सुझाएं।

समतल और त्रि-आयामी अंतरिक्ष में विशिष्ट ज्यामितीय समस्याएं विभिन्न आकृतियों के सतह क्षेत्रों को निर्धारित करने की समस्याएं हैं। इस लेख में, हम एक नियमित चतुष्कोणीय पिरामिड की पार्श्व सतह के क्षेत्रफल के लिए सूत्र प्रस्तुत करते हैं।

पिरामिड क्या है?

आइए हम पिरामिड की सख्त ज्यामितीय परिभाषा दें। मान लीजिए कि n भुजाओं और n कोनों वाला कोई बहुभुज है। हम अंतरिक्ष में एक मनमाना बिंदु चुनते हैं जो निर्दिष्ट एन-गॉन के विमान में नहीं होगा, और इसे बहुभुज के प्रत्येक शीर्ष से जोड़ते हैं। हमें एक ऐसी आकृति मिलेगी जिसका कुछ आयतन है, जिसे n-गोनल पिरामिड कहा जाता है। उदाहरण के लिए, आइए नीचे दिए गए चित्र में दिखाते हैं कि एक पंचकोणीय पिरामिड कैसा दिखता है।

किसी भी पिरामिड के दो महत्वपूर्ण तत्व उसका आधार (एन-गॉन) और शीर्ष होते हैं। ये तत्व एक दूसरे से n त्रिभुजों द्वारा जुड़े हुए हैं, जो आम तौर पर एक दूसरे के बराबर नहीं होते हैं। शीर्ष से आधार पर गिराए गए लंब को आकृति की ऊंचाई कहा जाता है। यदि यह ज्यामितीय केंद्र में आधार को प्रतिच्छेद करता है (बहुभुज के द्रव्यमान के केंद्र के साथ मेल खाता है), तो ऐसे पिरामिड को एक सीधी रेखा कहा जाता है। यदि, इस स्थिति के अतिरिक्त, आधार एक नियमित बहुभुज है, तो संपूर्ण पिरामिड को नियमित कहा जाता है। नीचे दिया गया आंकड़ा दिखाता है कि त्रिकोणीय, चतुष्कोणीय, पंचकोणीय और षट्कोणीय आधारों के साथ नियमित पिरामिड कैसा दिखता है।

पिरामिड की सतह

एक नियमित चतुष्कोणीय पिरामिड की पार्श्व सतह के क्षेत्र के प्रश्न की ओर मुड़ने से पहले, किसी को सतह की अवधारणा पर अधिक विस्तार से ध्यान देना चाहिए।

जैसा कि ऊपर बताया गया है और चित्रों में दिखाया गया है, कोई भी पिरामिड चेहरों या भुजाओं के समूह से बनता है। एक भुजा आधार है और n भुजाएँ त्रिभुज हैं। संपूर्ण आकृति की सतह उसके प्रत्येक पक्ष के क्षेत्रों का योग है।

सामने आने वाली आकृति के उदाहरण का उपयोग करके सतह का अध्ययन करना सुविधाजनक है। एक नियमित चतुष्कोणीय पिरामिड के लिए एक स्कैन नीचे दिए गए आंकड़ों में दिखाया गया है।

हम देखते हैं कि इसकी सतह का क्षेत्रफल समान समद्विबाहु त्रिभुजों के चार क्षेत्रों और एक वर्ग के क्षेत्रफल के योग के बराबर है।

आकृति की भुजाओं को बनाने वाले सभी त्रिभुजों का कुल क्षेत्रफल पार्श्व सतह का क्षेत्रफल कहलाता है। अगला, हम दिखाते हैं कि एक नियमित चतुष्कोणीय पिरामिड के लिए इसकी गणना कैसे करें।

एक आयताकार नियमित पिरामिड का पार्श्व सतह क्षेत्र

निर्दिष्ट आकृति के पार्श्व सतह क्षेत्र की गणना करने के लिए, हम फिर से उपरोक्त झाडू की ओर मुड़ते हैं। मान लीजिए हम वर्गाकार आधार की भुजा जानते हैं। आइए इसे प्रतीक a द्वारा निरूपित करें। यह देखा जा सकता है कि चार समरूप त्रिभुजों में से प्रत्येक का आधार लंबाई a है। उनके कुल क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, आपको एक त्रिभुज के लिए यह मान जानने की आवश्यकता है। ज्यामिति के पाठ्यक्रम से यह ज्ञात होता है कि त्रिभुज S t का क्षेत्रफल आधार और ऊँचाई के उत्पाद के बराबर है, जिसे आधे में विभाजित किया जाना चाहिए। वह है:

जहाँ h b आधार a की ओर खींचे गए समद्विबाहु त्रिभुज की ऊँचाई है। एक पिरामिड के लिए, यह ऊंचाई अंतःत्रिज्या है। अब यह प्रश्न में पिरामिड के लिए पार्श्व सतह के क्षेत्र S b को प्राप्त करने के लिए परिणामी अभिव्यक्ति को 4 से गुणा करना बाकी है:

एस बी = 4 * एस टी = 2 * एच बी * ए।

इस सूत्र में दो पैरामीटर हैं: अंतःत्रिज्या और आधार का किनारा। यदि बाद वाले को समस्याओं की अधिकांश स्थितियों में जाना जाता है, तो पूर्व की गणना अन्य मात्राओं को जानकर की जानी चाहिए। यहां दो मामलों के लिए अपोटेमा एच बी की गणना के सूत्र दिए गए हैं:

• जब साइड रिब की लंबाई ज्ञात हो;
• जब पिरामिड की ऊंचाई ज्ञात होती है।

यदि हम प्रतीक L के साथ पार्श्व किनारे (एक समद्विबाहु त्रिभुज की भुजा) की लंबाई को निरूपित करते हैं, तो apotema h b सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

एच बी \u003d √ (एल 2 - ए 2/4)।

यह अभिव्यक्ति पार्श्व सतह त्रिकोण के लिए पाइथागोरस प्रमेय को लागू करने का परिणाम है।

यदि पिरामिड की ऊँचाई h ज्ञात है, तो अपोटेमा h b की गणना निम्न प्रकार से की जा सकती है:

एच बी = √ (एच 2 + ए 2/4)।

इस अभिव्यक्ति को प्राप्त करना भी मुश्किल नहीं है यदि हम पैर h और a / 2 और कर्ण h b द्वारा गठित पिरामिड के अंदर एक समकोण त्रिभुज पर विचार करें।

हम दो दिलचस्प समस्याओं को हल करके दिखाएंगे कि इन सूत्रों को कैसे लागू किया जाए।

ज्ञात सतह क्षेत्र के साथ समस्या

यह ज्ञात है कि एक चतुर्भुज की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल 108 सेमी2 है। पिरामिड की ऊंचाई 7 सेमी होने पर इसके एपोटेम एच बी की लंबाई के मूल्य की गणना करना आवश्यक है।

हम ऊंचाई के माध्यम से पार्श्व सतह के क्षेत्रफल S b के लिए सूत्र लिखते हैं। अपने पास:

एस बी = 2 * √ (एच 2 + ए 2/4) * ए।

यहाँ हमने केवल संबंधित अपोटेमा सूत्र को S b के व्यंजक में प्रतिस्थापित किया है। आइए समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करें:

एस बी 2 \u003d 4 * ए 2 * एच 2 + ए 4।

a का मान ज्ञात करने के लिए, हम चरों में परिवर्तन करते हैं:

टी 2 + 4 * एच 2 * टी - एस बी 2 = 0।

अब हम ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करते हैं और द्विघात समीकरण को हल करते हैं:

टी 2 + 196*टी - 11664 = 0।

हमने इस समीकरण का केवल धनात्मक मूल लिखा है। तब पिरामिड के आधार की भुजाएँ बराबर होंगी:

ए = √t = √47.8355 ≈ 6.916 सेमी।

एपोटेमा की लंबाई प्राप्त करने के लिए, केवल सूत्र का उपयोग करें:

एच बी \u003d √ (एच 2 + ए 2/4) \u003d √ (7 2 + 6.916 2/4) ≈ 7.808 सेमी।

चेप्स के पिरामिड की पार्श्व सतह

आइए मिस्र के सबसे बड़े पिरामिड के लिए पार्श्व सतह क्षेत्र का मान निर्धारित करें। यह ज्ञात है कि इसके आधार पर एक वर्ग है जिसकी लंबाई 230.363 मीटर है। संरचना की ऊंचाई मूल रूप से 146.5 मीटर थी। S b के संगत सूत्र में इन संख्याओं को प्रतिस्थापित करें, हम पाते हैं:

एस बी \u003d 2 * √ (एच 2 + ए 2/4) * ए \u003d 2 * √ (146.5 2 + 230.363 2/4) * 230.363 ≈ 85860 मीटर 2।

पाया गया मूल्य 17 फुटबॉल मैदानों के क्षेत्रफल से थोड़ा अधिक है।

एक बेलन एक ज्यामितीय पिंड है जो दो समानांतर समतलों और एक बेलनाकार सतह से घिरा होता है। लेख में, हम इस बारे में बात करेंगे कि एक सिलेंडर का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात किया जाए और सूत्र का उपयोग करके हम उदाहरण के लिए कई समस्याओं का समाधान करेंगे।

एक सिलेंडर में तीन सतहें होती हैं: एक शीर्ष, एक तल और एक पार्श्व सतह।

सिलेंडर के ऊपर और नीचे सर्कल हैं और पहचानना आसान है।

यह ज्ञात है कि एक वृत्त का क्षेत्रफल πr 2 के बराबर होता है। इसलिए, दो सर्कल (सिलेंडर के ऊपर और नीचे) के क्षेत्र के लिए सूत्र πr 2 + πr 2 = 2πr 2 जैसा दिखेगा।

बेलन की तीसरी पार्श्व सतह, बेलन की घुमावदार दीवार होती है। इस सतह को बेहतर ढंग से प्रस्तुत करने के लिए, आइए पहचानने योग्य आकार प्राप्त करने के लिए इसे बदलने का प्रयास करें। कल्पना कीजिए कि एक बेलन एक साधारण टिन का डिब्बा है जिसका ऊपरी ढक्कन और तल नहीं होता। चलो जार के ऊपर से नीचे की तरफ की दीवार पर एक ऊर्ध्वाधर चीरा बनाते हैं (आकृति में चरण 1) और परिणामी आकृति को जितना संभव हो उतना खोलने (सीधा) करने का प्रयास करें (चरण 2)।

परिणामी जार के पूर्ण प्रकटीकरण के बाद, हम एक परिचित आकृति (चरण 3) देखेंगे, यह एक आयत है। एक आयत के क्षेत्रफल की गणना करना आसान है। लेकिन इससे पहले, हम एक पल के लिए मूल सिलेंडर पर लौटते हैं। मूल बेलन का शीर्ष एक वृत्त है, और हम जानते हैं कि वृत्त की परिधि की गणना सूत्र द्वारा की जाती है: L = 2πr। चित्र में इसे लाल रंग से अंकित किया गया है।

जब बेलन की पार्श्व दीवार पूरी तरह फैल जाती है, तो हम देखते हैं कि परिधि परिणामी आयत की लंबाई बन जाती है। इस आयत की भुजाएँ परिधि (L = 2πr) और बेलन की ऊँचाई (h) होंगी। एक आयत का क्षेत्रफल उसकी भुजाओं के गुणनफल के बराबर होता है - S = लंबाई x चौड़ाई = L x h = 2πr x h = 2πrh। नतीजतन, हमने सिलेंडर के पार्श्व सतह क्षेत्र की गणना के लिए एक सूत्र प्राप्त किया।

एक सिलेंडर की पार्श्व सतह के क्षेत्र के लिए सूत्र
एस पक्ष = 2prh

एक सिलेंडर का पूर्ण सतह क्षेत्र

अंत में, यदि हम तीनों सतहों के क्षेत्रफल को जोड़ते हैं, तो हमें एक बेलन के कुल सतह क्षेत्रफल का सूत्र प्राप्त होता है। सिलेंडर का सतह क्षेत्र सिलेंडर के शीर्ष के क्षेत्र के बराबर है + सिलेंडर के आधार का क्षेत्र + सिलेंडर की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल या S = πr 2 + πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh। कभी-कभी यह अभिव्यक्ति समान सूत्र 2πr (r + h) द्वारा लिखी जाती है।

एक सिलेंडर के कुल सतह क्षेत्र के लिए सूत्र
एस = 2πr 2 + 2πrh = 2πr (आर + एच)
r बेलन की त्रिज्या है, h बेलन की ऊंचाई है

एक सिलेंडर के सतह क्षेत्र की गणना के उदाहरण

उपरोक्त सूत्रों को समझने के लिए, आइए उदाहरणों का उपयोग करके एक सिलेंडर के सतह क्षेत्र की गणना करने का प्रयास करें।

1. बेलन के आधार की त्रिज्या 2 है, ऊँचाई 3 है। बेलन के पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

कुल सतह क्षेत्र की गणना सूत्र द्वारा की जाती है: S पक्ष। = 2prh

एस पक्ष = 2 * 3.14 * 2 * 3

एस पक्ष = 6.28 * 6

एस पक्ष = 37.68

सिलेंडर का पार्श्व सतह क्षेत्र 37.68 है।

2. यदि किसी बेलन की ऊंचाई 4 और त्रिज्या 6 है तो उसका पृष्ठीय क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें?

कुल सतह क्षेत्र की गणना सूत्र द्वारा की जाती है: S = 2πr 2 + 2πrh

एस = 2 * 3.14 * 6 2 + 2 * 3.14 * 6 * 4

एस = 2 * 3.14 * 36 + 2 * 3.14 * 24

संक्षेप में मुख्य के बारे में

भूतल क्षेत्र (2019)

प्रिज्म सतह क्षेत्र

क्या कोई सामान्य सूत्र है? नहीं, सामान्य तौर पर, नहीं। आपको केवल पार्श्व फलकों का क्षेत्रफल ज्ञात करने और उनका योग करने की आवश्यकता है।

के लिए सूत्र लिखा जा सकता है सीधा प्रिज्म:

आधार की परिधि कहाँ है।

लेकिन फिर भी, प्रत्येक मामले में अतिरिक्त सूत्रों को याद करने की तुलना में सभी क्षेत्रों को जोड़ना बहुत आसान है। उदाहरण के लिए, आइए नियमित हेक्सागोनल प्रिज्म की कुल सतह की गणना करें।

सभी भुजाएँ आयत हैं। साधन।

वॉल्यूम की गणना करते समय इसे पहले ही ध्यान में रखा जा चुका है।

तो हमें मिलता है:

पिरामिड का सतह क्षेत्र

पिरामिड के लिए, सामान्य नियम भी लागू होता है:

अब आइए सबसे लोकप्रिय पिरामिडों के सतह क्षेत्र की गणना करें।

एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड का सतह क्षेत्र

मान लें कि आधार की भुजा बराबर है, और पार्श्व की भुजा समान है। मुझे और खोजने की जरूरत है।

अब स्मरण करो

यह एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल है।

और आइए याद रखें कि इस क्षेत्र को कैसे खोजा जाए। हम क्षेत्र सूत्र का उपयोग करते हैं:

हमारे पास "" - यह है, और "" - यह भी, एह।

अब चलिए ढूंढते हैं।

मूल क्षेत्र सूत्र और पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके, हम पाते हैं

ध्यान:यदि आपके पास नियमित टेट्राहेड्रॉन (यानी) है, तो सूत्र है:

एक नियमित चतुष्कोणीय पिरामिड का सतह क्षेत्र

मान लें कि आधार की भुजा बराबर है, और पार्श्व की भुजा समान है।

आधार पर एक वर्ग है, और इसलिए।

यह साइड फेस का क्षेत्र खोजने के लिए बना हुआ है

एक नियमित हेक्सागोनल पिरामिड का सतह क्षेत्र।

आधार की भुजा को समान होने दें, और पार्श्व किनारे को।

कैसे ढूंढें? एक षट्भुज में ठीक छह समरूप नियमित त्रिभुज होते हैं। एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड के सतह क्षेत्र की गणना करते समय हम पहले से ही एक नियमित त्रिकोण के क्षेत्र की खोज कर चुके हैं, यहां हम पाए गए सूत्र का उपयोग करते हैं।

खैर, हम पहले ही दो बार साइड फेस का क्षेत्र खोज चुके हैं

खैर, विषय समाप्त हो गया। अगर आप इन पंक्तियों को पढ़ रहे हैं तो आप बहुत मस्त हैं।

क्योंकि केवल 5% लोग ही अपने दम पर किसी चीज में महारत हासिल कर पाते हैं। और अगर आपने अंत तक पढ़ा है, तो आप 5% में हैं!

अब सबसे जरूरी बात।

आपने इस विषय पर सिद्धांत का पता लगा लिया है। और, मैं दोहराता हूं, यह ... यह सिर्फ सुपर है! आप पहले से ही अपने अधिकांश साथियों से बेहतर हैं।

समस्या यह है कि यह पर्याप्त नहीं हो सकता है ...

किसलिए?

परीक्षा में सफल उत्तीर्ण होने के लिए, बजट पर संस्थान में प्रवेश के लिए और, सबसे महत्वपूर्ण, जीवन भर के लिए।

मैं तुम्हें किसी बात का यकीन नहीं दिलाऊंगा, बस एक बात कहूंगा...

जिन लोगों ने अच्छी शिक्षा प्राप्त की है वे उन लोगों की तुलना में बहुत अधिक कमाते हैं जिन्होंने इसे प्राप्त नहीं किया है। यह आँकड़े हैं।

लेकिन यह मुख्य बात नहीं है.

मुख्य बात यह है कि वे अधिक खुश हैं (ऐसे अध्ययन हैं)। शायद इसलिए कि उनके सामने बहुत अधिक अवसर खुल जाते हैं और जीवन उज्जवल हो जाता है? पता नहीं...

लेकिन आप खुद सोचिए...

परीक्षा में दूसरों से बेहतर होने और अंतत: खुश रहने के लिए क्या करना चाहिए?

इस विषय पर समस्याओं को हल करते हुए अपना हाथ भरें।

परीक्षा में आपसे थ्योरी नहीं पूछी जाएगी।

आपको चाहिये होगा समय पर समस्याओं का समाधान करें.

और, यदि आपने उन्हें (बहुत सारे!) हल नहीं किया है, तो आप निश्चित रूप से कहीं न कहीं एक बेवकूफी भरी गलती करेंगे या बस इसे समय पर नहीं करेंगे।

यह खेल की तरह है - आपको निश्चित रूप से जीतने के लिए कई बार दोहराने की जरूरत है।

आप जहां चाहें एक संग्रह खोजें आवश्यक रूप से समाधान, विस्तृत विश्लेषण के साथऔर तय करो, तय करो, फैसला करो!

आप हमारे कार्यों का उपयोग कर सकते हैं (आवश्यक नहीं) और हम निश्चित रूप से उनकी अनुशंसा करते हैं।

हमारे कार्यों में मदद करने के लिए, आपको YouClever पाठ्यपुस्तक के जीवन को बढ़ाने में मदद करने की आवश्यकता है जिसे आप वर्तमान में पढ़ रहे हैं।

कैसे? दो विकल्प हैं:

1. इस आलेख में सभी छिपे हुए कार्यों तक पहुंच अनलॉक करें - 299 रगड़।
2. ट्यूटोरियल के सभी 99 लेखों में सभी छिपे हुए कार्यों तक पहुंच अनलॉक करें - 999 रगड़।

हां, हमारे पास पाठ्यपुस्तक में ऐसे 99 लेख हैं और सभी कार्यों तक पहुंच और उनमें छिपे सभी पाठों को तुरंत खोला जा सकता है।

दूसरे मामले में हम आपको देंगेसिम्युलेटर "जटिलता के सभी स्तरों के लिए, प्रत्येक विषय के लिए समाधान और उत्तर के साथ 6000 कार्य।" किसी भी विषय पर समस्याओं को हल करने के लिए यह निश्चित रूप से पर्याप्त है।

वास्तव में, यह सिर्फ एक सिम्युलेटर से कहीं अधिक है - एक संपूर्ण प्रशिक्षण कार्यक्रम। जरूरत पड़ने पर आप इसे फ्री में भी इस्तेमाल कर सकते हैं।

साइट के पूरे जीवनकाल के लिए सभी ग्रंथों और कार्यक्रमों तक पहुंच प्रदान की जाती है।

निष्कर्ष के तौर पर...

यदि आपको हमारे कार्य पसंद नहीं हैं, तो अन्य खोजें। बस सिद्धांत के साथ मत रुको।

"समझ गया" और "मुझे पता है कि कैसे हल करना है" पूरी तरह से अलग कौशल हैं। आपको दोनों की जरूरत है।

समस्याओं का पता लगाएं और हल करें!