पाइथागोरस प्रमेय का प्रमाण

अंकों के समान क्षेत्रफल की अवधारणा के प्रयोग पर आधारित प्रमाण।

उसी समय, हम उन साक्ष्यों पर विचार कर सकते हैं जिनमें किसी दिए गए समकोण त्रिभुज के कर्ण पर निर्मित वर्ग पैरों पर बने वर्गों के समान आकृतियों से "बना" है। हम ऐसे प्रमाणों पर भी विचार कर सकते हैं जिनमें अंकों के पदों के क्रमचय का प्रयोग किया जाता है और अनेक नए विचारों को ध्यान में रखा जाता है।

अंजीर पर। 2 दो बराबर वर्ग दिखाता है। प्रत्येक वर्ग की भुजाओं की लंबाई a + b है। प्रत्येक वर्ग को वर्गों और समकोण त्रिभुजों से युक्त भागों में विभाजित किया गया है। यह स्पष्ट है कि यदि हम एक समकोण त्रिभुज के चतुर्भुज क्षेत्र को वर्ग क्षेत्र से a, b के साथ घटाते हैं, तो समान क्षेत्र शेष रहते हैं, अर्थात c 2 \u003d a 2 + b 2। हालाँकि, प्राचीन हिंदू, जिनके पास यह तर्क है, आमतौर पर इसे नहीं लिखते थे, लेकिन

ड्राइंग के साथ केवल एक शब्द था: "देखो!" यह बहुत संभव है कि पाइथागोरस ने भी यही प्रमाण दिया हो।

योगात्मक साक्ष्य।

ये प्रमाण पादों पर बने वर्गों के आकृतियों में अपघटन पर आधारित हैं, जिनसे कर्ण पर बने वर्ग को जोड़ना संभव है।

आइंस्टाइन का प्रमाण (चित्र 3) कर्ण पर बने वर्ग को 8 त्रिभुजों में विभाजित करने पर आधारित है।

यहाँ: ABC समकोण C के साथ एक समकोण त्रिभुज है; कॉम; सीके ^ एमएन; पीओ || एमएन; ईएफ || एमएन।

पादों और कर्ण पर बने वर्गों को विभाजित करके प्राप्त त्रिभुजों की युग्मवार समानता को स्वयं सिद्ध कीजिए।

अंजीर पर। 4 यूक्लिड की "शुरुआत" पर मध्यकालीन बगदाद टीकाकार अल-नैरिज़िया के विभाजन का उपयोग करते हुए पाइथागोरस प्रमेय का प्रमाण दिखाता है। इस विभाजन में कर्ण पर बने वर्ग को 3 त्रिभुज और 2 चतुर्भुजों में विभाजित किया जाता है। यहाँ: ABC समकोण C के साथ एक समकोण त्रिभुज है; डीई = बीएफ।

इस विभाजन का प्रयोग करके प्रमेय को सिद्ध कीजिए।

· अल-नैरिज़िया के प्रमाण के आधार पर, वर्गों का जोड़ीदार समान आकृतियों में एक और अपघटन किया गया था (चित्र 5, यहाँ ABC समकोण C के साथ एक समकोण त्रिभुज है)।

वर्गों को समान भागों में विघटित करने की विधि द्वारा एक अन्य प्रमाण, जिसे "ब्लेड वाला पहिया" कहा जाता है, अंजीर में दिखाया गया है। 6. यहाँ: ABC समकोण C के साथ एक समकोण त्रिभुज है; ओ - एक बड़े पैर पर बने वर्ग का केंद्र; बिंदु O से गुजरने वाली धराशायी रेखाएँ कर्ण के लंबवत या समानांतर होती हैं।

· वर्गों का यह अपघटन इस मायने में दिलचस्प है कि इसके जोड़ीदार समान चतुर्भुजों को समानांतर अनुवाद द्वारा एक दूसरे पर मैप किया जा सकता है। पाइथागोरस प्रमेय के कई अन्य प्रमाण वर्गों को अंकों में अपघटन का उपयोग करके पेश किए जा सकते हैं।

निर्माण विधि द्वारा सबूत।

इस पद्धति का सार यह है कि टाँगों पर बने वर्ग और कर्ण पर बने वर्ग पर समान आकृतियाँ इस प्रकार जोड़ी जाती हैं कि समान आकार की आकृतियाँ प्राप्त होती हैं।

· अंजीर में। 7 सामान्य पायथागॉरियन आकृति दिखाता है - एक समकोण त्रिभुज ABC जिसकी भुजाओं पर वर्ग बने हैं। इस आकृति से जुड़े त्रिभुज 1 और 2 हैं, जो मूल समकोण त्रिभुज के बराबर हैं।

पाइथागोरस प्रमेय की वैधता हेक्सागोन्स AEDFPB और ACBNMQ के समान आकार से होती है। यहाँ CОEP, रेखा EP षट्भुज AEDFPB को दो समान-क्षेत्रीय चतुष्कोणों में विभाजित करती है, रेखा CM षट्भुज ACBNMQ को दो समान-क्षेत्रीय चतुष्कोणों में विभाजित करती है; केंद्र A के चारों ओर विमान का 90° का घूर्णन चतुर्भुज AEPB को चतुर्भुज ACMQ में मैप करता है।

· अंजीर में। 8 पायथागॉरियन आकृति एक आयत के रूप में पूर्ण होती है, जिसकी भुजाएँ पैरों पर बने वर्गों के संगत पक्षों के समानांतर होती हैं। आइए इस आयत को त्रिभुजों और आयतों में तोड़ते हैं। सबसे पहले, हम परिणामी आयत से सभी बहुभुज 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 घटाते हैं, जिससे कर्ण पर एक वर्ग बनता है। फिर, उसी आयत से, हम आयतों को 5, 6, 7 और छायांकित आयतों को घटाते हैं, हमें पैरों पर निर्मित वर्ग मिलते हैं।

अब हम सिद्ध करते हैं कि पहली स्थिति में घटाए गए अंक दूसरी स्थिति में घटाए गए अंकों के आकार के बराबर हैं।

· चावल। 9 नासिर-एड-दीन (1594) द्वारा दिए गए प्रमाण को दर्शाता है। यहाँ: पीसीएल - सीधी रेखा;

केएलओए = एसीपीएफ = एसीईडी = ए 2;

एलजीबीओ = सीबीएमपी = सीबीएनक्यू = बी 2;

AKGB = AKLO + LGBO = c2;

इसलिए सी 2 = ए 2 + बी 2।

चावल। 11 हॉफमैन द्वारा प्रस्तावित एक और अधिक मूल प्रमाण को दर्शाता है।

यहाँ: समकोण C के साथ त्रिभुज ABC; खंड बीएफ सीबी के लिए लंबवत और बराबर है, खंड बीई लंबवत है और एबी के बराबर है, खंड एडी लंबवत है और एसी के बराबर है; बिंदु F, C, D एक सीधी रेखा से संबंधित हैं; चतुर्भुज ADFB और ACBE बराबर हैं क्योंकि ABF=ECB; त्रिभुज ADF और ACE बराबर हैं; दोनों समान चतुर्भुजों में से उनके उभयनिष्ठ त्रिभुज ABC को घटाने पर हमें प्राप्त होता है

प्रमाण की बीजगणितीय विधि।

· चावल। 12 महान भारतीय गणितज्ञ भास्करी (प्रसिद्ध लेखक लीलावती, 12वीं शताब्दी) के प्रमाण को दर्शाता है। चित्र के साथ केवल एक शब्द था: देखो! बीजगणितीय विधि द्वारा पाइथागोरस प्रमेय के प्रमाणों में, समानता का उपयोग करने वाला प्रमाण पहले स्थान पर है (शायद सबसे पुराना)।

आइए आधुनिक प्रस्तुति में पाइथागोरस से संबंधित ऐसे ही एक प्रमाण को प्रस्तुत करते हैं।

अंजीर पर। 13 ABC - आयताकार, C - समकोण, CM^AB, b1 - कर्ण पर भुजा b का प्रक्षेपण, a1 - कर्ण पर भुजा a का प्रक्षेपण, h - कर्ण पर खींचे गए त्रिभुज की ऊँचाई।

इस तथ्य से कि DABC DACM के समान है, यह इस प्रकार है

बी 2 \u003d सीबी 1; (1)

इस तथ्य से कि DABC DBCM के समान है, यह अनुसरण करता है

ए 2 = सीए 1। (2)

समता (1) और (2) पदों को पदानुसार जोड़ने पर, हमें a 2 + b 2 = cb 1 + ca 1 = c(b 1 + a 1) = c 2 प्राप्त होता है।

यदि पाइथागोरस ने वास्तव में इस तरह का प्रमाण दिया था, तो वह कई महत्वपूर्ण ज्यामितीय प्रमेयों से भी परिचित था, जो गणित के आधुनिक इतिहासकार आमतौर पर यूक्लिड को श्रेय देते हैं।

मोल्मन का प्रमाण (चित्र 14)।

इस समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल एक ओर, दूसरी ओर बराबर है, जहाँ p त्रिभुज की अर्धपरिधि है, r इसमें अंकित वृत्त की त्रिज्या है। हमारे पास है:

जहाँ से यह अनुसरण करता है कि c2=a2+b2.

गारफील्ड का प्रमाण।

चित्र 15 में, तीन समकोण त्रिभुज एक समलम्बाकार बनाते हैं। इसलिए, इस आकृति का क्षेत्रफल एक आयताकार चतुर्भुज के क्षेत्रफल के सूत्र द्वारा, या तीन त्रिभुजों के क्षेत्रों के योग के रूप में पाया जा सकता है। पहले मामले में, यह क्षेत्र है

क्षण में

इन व्यंजकों की बराबरी करने पर हमें पाइथागोरस प्रमेय प्राप्त होता है।

पायथागॉरियन प्रमेय के कई प्रमाण हैं, वर्णित विधियों में से प्रत्येक द्वारा और विभिन्न विधियों के संयोजन का उपयोग करके दोनों को पूरा किया गया है। विभिन्न प्रमाणों के उदाहरणों की समीक्षा को पूरा करते हुए, हम यूक्लिड के "तत्वों" (चित्र 16 - 23) में आठ तरीकों को दर्शाते हुए अधिक चित्र देंगे। इन रेखाचित्रों में, पायथागॉरियन आकृति को एक ठोस रेखा के साथ दिखाया गया है, और अतिरिक्त निर्माणों को बिंदीदार रेखा के साथ दिखाया गया है।

जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, 2000 से अधिक साल पहले, प्राचीन मिस्र के लोगों ने व्यावहारिक रूप से समकोण बनाने के लिए 3, 4, 5 भुजाओं वाले त्रिभुज के गुणों का उपयोग किया था, अर्थात, वास्तव में, उन्होंने पाइथागोरस प्रमेय के विपरीत प्रमेय का उपयोग किया था। आइए हम इस प्रमेय की एक उपपत्ति दें, जो त्रिभुजों की समानता के लिए परीक्षण पर आधारित है (अर्थात, जिसे स्कूल में बहुत जल्दी शुरू किया जा सकता है)। अतः, मान लीजिए कि त्रिभुज ABC की भुजाएँ (आकृति 24) संबंध द्वारा संबंधित हैं

सी 2 = ए 2 + बी 2। (3)

आइए सिद्ध करें कि यह त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है।

आइए दो पैरों पर एक समकोण त्रिभुज A1B1C1 का निर्माण करें, जिसकी लंबाई इस त्रिभुज के पैरों की लंबाई a और b के बराबर हो (चित्र 25)।

बता दें कि निर्मित त्रिभुज के कर्ण की लंबाई c1 के बराबर है। चूँकि निर्मित त्रिभुज आयताकार है, तो पायथागॉरियन प्रमेय द्वारा हमारे पास: c 1 2 = a 2 + b 2। (4)

संबंध (3) और (4) की तुलना करने पर हमें वह प्राप्त होता है

c 1 2 = c 2 , या c 1 = c।

इस प्रकार, त्रिभुज - दिए गए और बनाए गए - समान हैं, क्योंकि उनकी तीन संगत समान भुजाएँ हैं। कोण C1 समकोण है, अत: इस त्रिभुज का कोण C भी समकोण है।

अपघटन द्वारा प्रमाण

पायथागॉरियन प्रमेय के कई प्रमाण हैं, जिसमें पैरों पर और कर्ण पर बने वर्गों को काट दिया जाता है ताकि कर्ण पर बने वर्ग का प्रत्येक भाग पैरों पर बने वर्गों में से एक के हिस्से से मेल खाता हो। इन सभी मामलों में, प्रमाण को समझने के लिए आरेखण पर एक नज़र पर्याप्त है; यहाँ तर्क एक शब्द तक सीमित हो सकता है: "देखो!", जैसा कि प्राचीन हिंदू गणितज्ञों के लेखन में किया गया था। हालांकि, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि वास्तव में प्रमाण को तब तक पूर्ण नहीं माना जा सकता जब तक कि हम एक दूसरे के अनुरूप सभी भागों की समानता साबित न कर दें। यह करना लगभग हमेशा काफी आसान होता है, लेकिन (विशेष रूप से बड़ी संख्या में भागों के साथ) इसके लिए बहुत अधिक काम की आवश्यकता होती है।

एपस्टीन का प्रमाण

आइए एपस्टीन के प्रमाण से शुरू करें (चित्र 1); इसका लाभ यह है कि यहाँ केवल त्रिभुज अपघटन के घटकों के रूप में दिखाई देते हैं। आरेखण को समझने के लिए, ध्यान दें कि रेखा CD, रेखा EF के लंबवत खींची गई है।

त्रिकोण में अपघटन को चित्र की तुलना में अधिक दृश्य भी बनाया जा सकता है।

नीलसन का प्रमाण।

चित्र में, नीलसन के सुझाव पर सहायक लाइनों को बदल दिया गया है।

बेचर का प्रमाण।

यह आंकड़ा एक बहुत ही उदाहरण बोथर विस्तार दिखाता है।

पेरिगल का सबूत।

पाठ्यपुस्तकों में अक्सर चित्र में दर्शाए गए अपघटन होते हैं (तथाकथित "ब्लेड वाला पहिया"; यह प्रमाण पेरिगल द्वारा पाया गया था)। बड़े पैर पर बने वर्ग के केंद्र O के माध्यम से, हम कर्ण के समानांतर और लंबवत सीधी रेखाएँ खींचते हैं। आकृति के हिस्सों का पत्राचार आरेखण से स्पष्ट रूप से दिखाई देता है।

गुथिल का प्रमाण।

चित्र में दिखाया गया अपघटन गुथिल के कारण होता है; यह व्यक्तिगत भागों की एक दृश्य व्यवस्था की विशेषता है, जो आपको तुरंत देखने की अनुमति देता है कि एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज के मामले में क्या सरलीकरण होगा।

9वीं शताब्दी सीई सबूत

पहले केवल ऐसे ही प्रमाण प्रस्तुत किए जाते थे जिनमें एक ओर कर्ण पर बना वर्ग तथा दूसरी ओर पादों पर बना वर्ग समान भागों से बना होता था। ऐसे प्रमाणों को जोड़ प्रमाण ("योगात्मक प्रमाण") या, अधिक सामान्यतः, अपघटन प्रमाण कहा जाता है। अब तक, हम त्रिभुज की संगत भुजाओं पर बने वर्गों की सामान्य व्यवस्था से आगे बढ़े हैं, अर्थात् त्रिभुज के बाहर। हालाँकि, कई मामलों में, वर्गों की एक अलग व्यवस्था अधिक लाभप्रद होती है।

आकृति में, पैरों पर बने वर्ग एक दूसरे के बगल में चरणों में रखे गए हैं। यह आंकड़ा, जो 9वीं शताब्दी सीई के बाद के साक्ष्य में होता है, ई।, हिंदुओं ने "दुल्हन की कुर्सी" कहा। कर्ण के बराबर भुजा वाला वर्ग बनाने की विधि चित्र से स्पष्ट है। पैरों पर बने दो वर्गों और कर्ण पर बने वर्ग का सामान्य भाग एक अनियमित छायांकित पेंटागन 5 है। इसमें त्रिकोण 1 और 2 को जोड़कर, हम दोनों वर्गों को पैरों पर निर्मित करते हैं; यदि हम त्रिभुज 1 और 2 को उनके बराबर के त्रिभुज 3 और 4 से बदल दें, तो हमें कर्ण पर एक वर्ग निर्मित हो जाता है। नीचे दिए गए आंकड़े पहले आंकड़े में दी गई व्यवस्था के करीब दो अलग-अलग व्यवस्थाओं को दिखाते हैं।

पूरक विधि द्वारा प्रमाण

सबूत पहले।

जोड़ विधि द्वारा उपपत्ति के साथ घटाव द्वारा उपपत्ति के उदाहरण दिए जा सकते हैं, जिन्हें योग विधि द्वारा उपपत्ति भी कहा जाता है। ऐसे प्रमाणों का सामान्य विचार इस प्रकार है।

दो समान क्षेत्रों से, समान भागों को घटाया जाना चाहिए ताकि एक मामले में पैरों पर निर्मित दो वर्ग हों, और दूसरे में, कर्ण पर निर्मित एक वर्ग हो। आखिर, अगर समानता में

बी-ए \u003d सी और बी 1 -ए 1 \u003d सी 1

भाग A, भाग A 1 के बराबर है, और भाग B, B 1 के बराबर है, तो भाग C और C 1 भी बराबर हैं।

आइए इस विधि को एक उदाहरण से समझाते हैं। अंजीर पर। त्रिभुज 2 और 3, मूल त्रिभुज 1 के बराबर, मूल त्रिभुज 1 के बराबर, ऊपर और नीचे एक सामान्य पायथागॉरियन आकृति से जुड़े होते हैं। रेखा DG आवश्यक रूप से C से होकर गुजरेगी। अब हम ध्यान दें (हम इसे बाद में सिद्ध करेंगे) कि हेक्सागोन्स DABGFE और CAJKHB बराबर हैं। यदि हम उनमें से पहले त्रिकोण से 1 और 2 घटाते हैं, तो पादों पर बने वर्ग शेष रहेंगे, और यदि हम दूसरे षट्भुज से बराबर त्रिभुज 1 और 3 घटाते हैं, तो कर्ण पर बना वर्ग शेष रहेगा। इसका तात्पर्य यह है कि कर्ण पर निर्मित वर्ग पादों पर बने वर्गों के योग के बराबर होता है।

यह साबित करना बाकी है कि हमारे षट्भुज बराबर हैं। ध्यान दें कि रेखा DG ऊपरी षट्भुज को समान भागों में विभाजित करती है; सीधी रेखा CK और निचले षट्भुज के बारे में भी यही कहा जा सकता है। चतुर्भुज DABG को घुमाएँ, जो षट्भुज DABGFE का आधा है, बिंदु A के चारों ओर 90 के कोण से दक्षिणावर्त; तो यह चतुर्भुज CAJK के साथ मेल खाएगा, जो षट्भुज CAJKHB का आधा है। इसलिए, हेक्सागोन्स DABGFE और CAJKHB बराबर हैं।

एक अन्य प्रमाण घटाव द्वारा है।

आइए घटाव विधि द्वारा एक अन्य उपपत्ति से परिचित हों। हम पाइथागोरस प्रमेय के परिचित आरेखण को एक आयताकार फ्रेम में संलग्न करते हैं, जिसकी भुजाओं की दिशा त्रिभुज के पैरों की दिशाओं के साथ मेल खाती है। आइए आकृति के कुछ खंडों को जारी रखें जैसा कि चित्र में दिखाया गया है, जबकि आयत कई त्रिभुजों, आयतों और वर्गों में टूट जाती है। सबसे पहले, आइए आयत से कुछ हिस्सों को हटा दें ताकि केवल कर्ण पर निर्मित एक वर्ग शेष रहे। ये भाग इस प्रकार हैं:

1. त्रिभुज 1, 2, 3, 4;

2. आयत 5;

3. आयत 6 और वर्ग 8;

4. आयत 7 और वर्ग 9;

फिर हम आयत से भागों को त्याग देते हैं ताकि कटों पर बने वर्ग ही रहें। ये भाग होंगे:

1. आयत 6 और 7;

2. आयत 5;

3. आयत 1 (छायांकित);

4. आयत 2 (छायांकित);

यह केवल हमारे लिए यह दिखाने के लिए रहता है कि घटाए गए भाग समान हैं। आंकड़ों की व्यवस्था के कारण यह देखना आसान है। चित्र से स्पष्ट है कि:

1. आयत 5 आकार में स्वयं के बराबर है;

2. चार त्रिभुज 1,2,3,4 क्षेत्रफल में दो आयत 6 और 7 के बराबर हैं;

3. आयत 6 और वर्ग 8, एक साथ लेने पर, आयत 1 (छायांकित) के आकार के बराबर हैं;

4. आयत 7 और वर्ग 9 आयत 2 (छायांकित) के क्षेत्रफल के बराबर हैं;

प्रमाण पूर्ण है।

अन्य प्रमाण

यूक्लिड का प्रमाण

यह प्रमाण यूक्लिड ने अपने एलिमेंट्स में दिया था। प्रोक्लस (बीजान्टियम) के अनुसार, इसका आविष्कार स्वयं यूक्लिड ने किया था। शुरुआत की पहली पुस्तक के प्रस्ताव 47 में यूक्लिड का प्रमाण दिया गया है।

समकोण त्रिभुज ABC के कर्ण और पादों पर संगत वर्गों का निर्माण किया जाता है और यह सिद्ध होता है कि आयत BJLD वर्ग ABFH के बराबर है, और आयत ICEL वर्ग ACCS के बराबर है। फिर पैरों पर वर्गों का योग कर्ण पर वर्ग के बराबर होगा।

दरअसल, त्रिभुज ABD और BFC दो भुजाओं और उनके बीच के कोण में बराबर हैं:

एफबी = एबी, बीसी = बीडी

पीएफबीसी = डी + आरएबीसी = आरएबीडी

SABD = 1/2 S BJLD,

चूँकि त्रिभुज ABD और आयत BJLD का एक उभयनिष्ठ आधार BD और एक उभयनिष्ठ ऊँचाई LD है। उसी प्रकार

(बीएफ-सामान्य आधार, एबी-सामान्य ऊंचाई)। इसलिए, यह देखते हुए

इसी प्रकार, त्रिभुज BCK और ACE की समानता का उपयोग करके, हम इसे सिद्ध करते हैं

SABFH+SACKG= SBJLD+SJCEL= SBCED,

Q.E.D.

हॉकिन्स सबूत।

आइए हम एक और उपपत्ति दें, जो संगणनात्मक प्रकृति की है, लेकिन पिछली सभी उपपत्तियों से बहुत भिन्न है। यह 1909 में अंग्रेज हॉकिन्स द्वारा प्रकाशित किया गया था; यह पहले से ज्ञात था या नहीं, यह कहना मुश्किल है।

समकोण C वाले समकोण त्रिभुज ABC को 90° से घुमाएं ताकि वह A"CB" की स्थिति में आ जाए। हम बिंदु ए से परे कर्ण ए "बी" को बिंदु डी पर लाइन एबी के साथ चौराहे तक जारी रखते हैं। सेगमेंट बी "डी त्रिकोण बी" एबी की ऊंचाई होगी। अब छायांकित चतुर्भुज ए "एबी" बी पर विचार करें। इसे दो समद्विबाहु त्रिभुजों CAA" और SVV" (या दो त्रिभुजों A"B"A और A"B"B) में विघटित किया जा सकता है।

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चारों ओर और चारों ओर

पायथागॉरियन प्रमेय का इतिहास सदियों और सहस्राब्दी पीछे चला जाता है। इस लेख में, हम ऐतिहासिक विषयों पर विस्तार से ध्यान नहीं देंगे। साज़िश के लिए, मान लीजिए कि, जाहिरा तौर पर, यह प्रमेय प्राचीन मिस्र के पुजारियों द्वारा भी जाना जाता था, जो ईसा पूर्व 2000 से अधिक वर्षों तक जीवित रहे थे। जो लोग उत्सुक हैं, उनके लिए यहां विकिपीडिया लेख का लिंक दिया गया है।

सबसे पहले, पूर्णता के लिए, मैं यहाँ पायथागॉरियन प्रमेय का प्रमाण देना चाहूंगा, जो कि, मेरी राय में, सबसे सुरुचिपूर्ण और स्पष्ट है। ऊपर दिया गया आंकड़ा दो समान वर्गों को दिखाता है: बाएँ और दाएँ। यह चित्र से देखा जा सकता है कि छायांकित आकृतियों के क्षेत्रफल बाईं ओर और दाईं ओर बराबर हैं, क्योंकि प्रत्येक बड़े वर्ग में 4 समान समकोण त्रिभुज छायांकित हैं। और इसका मतलब है कि बाएँ और दाएँ पर खाली (सफ़ेद) क्षेत्र भी बराबर हैं। ध्यान दें कि पहले मामले में, अछायांकित आकृति का क्षेत्रफल है, और दूसरे मामले में, अछायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल है। इस प्रकार, । प्रमेय सिद्ध!

इन नंबरों पर कॉल कैसे करें? आप उन्हें त्रिभुज नहीं कह सकते, क्योंकि चार संख्याएँ किसी भी तरह से त्रिभुज नहीं बना सकतीं। और यहां! नीले रंग से बोल्ट की तरह

चूँकि ऐसी चौगुनी संख्याएँ हैं, तो इन संख्याओं में परिलक्षित समान गुणों वाली एक ज्यामितीय वस्तु होनी चाहिए!

अब यह केवल इस संपत्ति के लिए कुछ ज्यामितीय वस्तु लेने के लिए बनी हुई है, और सब कुछ ठीक हो जाएगा! बेशक, धारणा विशुद्ध रूप से काल्पनिक थी, और इसकी कोई पुष्टि नहीं थी। लेकिन अगर ऐसा है तो क्या!

वस्तुओं की तलाश शुरू कर दी गई है। तारे, बहुभुज, नियमित, अनियमित, समकोण, इत्यादि इत्यादि। फिर से, कुछ भी फिट नहीं होता। क्या करें? और उसी क्षण शरलॉक को अपनी दूसरी भूमिका मिल जाती है।

हमें बढ़ाने की जरूरत है! चूँकि त्रिगुण समतल पर त्रिभुज से मेल खाता है, तो चौगुना त्रि-आयामी से मेल खाता है!

ओह तेरी! दोबारा, बहुत सारे विकल्प! और तीन आयामों में बहुत, बहुत अधिक सभी प्रकार के ज्यामितीय निकाय हैं। उन सभी को छाँटने का प्रयास करें! लेकिन यह सब इतना बुरा भी नहीं है। एक समकोण और अन्य सुराग भी हैं! हमारे पास क्या है? मिस्र की चौगुनी संख्या (उन्हें मिस्री होने दें, आपको उन्हें किसी तरह कॉल करना होगा), एक समकोण (या कोण) और कुछ त्रि-आयामी वस्तु। कटौती काम किया! और ... मेरा मानना ​​​​है कि तेज-तर्रार पाठक पहले ही समझ चुके हैं कि हम पिरामिड के बारे में बात कर रहे हैं, जिसमें एक कोने में तीनों कोण सही हैं। आप उन्हें कॉल भी कर सकते हैं आयताकार पिरामिडएक समकोण त्रिभुज के समान।

नया प्रमेय

इसलिए, हमारे पास वह सब कुछ है जिसकी हमें आवश्यकता है। आयताकार (!) पिरामिड, पार्श्व पक्ष-पैरऔर छेदक चेहरा-कर्ण. यह एक और चित्र बनाने का समय है।

चित्र आयताकार निर्देशांक के मूल में एक शीर्ष के साथ एक पिरामिड दिखाता है (पिरामिड, जैसा कि यह था, इसके किनारे स्थित है)। पिरामिड का निर्माण समन्वय अक्षों के साथ उत्पत्ति से प्लॉट किए गए तीन पारस्परिक लंबवत वैक्टरों द्वारा किया जाता है। अर्थात्, पिरामिड का प्रत्येक पार्श्व फलक एक समकोण त्रिभुज है, जिसके मूल में एक समकोण है। वैक्टर के सिरे कटिंग प्लेन को परिभाषित करते हैं और पिरामिड का बेस फेस बनाते हैं।

प्रमेय

बता दें कि तीन परस्पर लंबवत वैक्टर से बना एक आयताकार पिरामिड है, जिसमें भुजाओं-पैरों का क्षेत्रफल - , और कर्ण का क्षेत्रफल - . तब

वैकल्पिक सूत्रीकरण: एक टेट्राहेड्रल पिरामिड के लिए, जिसमें एक शीर्ष पर सभी समतल कोण समकोण होते हैं, पार्श्व चेहरों के क्षेत्रों के वर्गों का योग आधार के क्षेत्रफल के वर्ग के बराबर होता है।

बेशक, यदि सामान्य पाइथागोरस प्रमेय को त्रिभुजों की भुजाओं की लंबाई के लिए तैयार किया जाता है, तो हमारे प्रमेय को पिरामिड की भुजाओं के क्षेत्रों के लिए तैयार किया जाता है। यदि आप कुछ सदिश बीजगणित जानते हैं तो इस प्रमेय को तीन आयामों में सिद्ध करना बहुत आसान है।

सबूत

हम क्षेत्रों को सदिशों की लंबाई के रूप में व्यक्त करते हैं।

कहाँ ।

हम वैक्टर पर निर्मित समांतर चतुर्भुज के आधे क्षेत्र के रूप में क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करते हैं और

जैसा कि आप जानते हैं कि दो सदिशों का अनुप्रस्थ गुणन एक सदिश होता है जिसकी लंबाई संख्यात्मक रूप से इन सदिशों पर निर्मित समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर होती है।
इसीलिए

इस प्रकार,

Q.E.D!

बेशक, एक ऐसे व्यक्ति के रूप में जो पेशेवर रूप से अनुसंधान में लगा हुआ है, यह मेरे जीवन में और एक से अधिक बार पहले ही हो चुका है। लेकिन यह पल सबसे चमकीला और सबसे यादगार था। मैंने खोजकर्ता की भावनाओं, भावनाओं, अनुभवों की पूरी श्रृंखला का अनुभव किया। एक विचार के जन्म से, एक विचार का क्रिस्टलीकरण, सबूत ढूंढना - पूरी गलतफहमी और यहां तक ​​\u200b\u200bकि अस्वीकृति कि मेरे विचार मेरे दोस्तों, परिचितों और, जैसा कि मुझे तब लग रहा था, पूरी दुनिया के साथ मिला। यह अनोखा था! यह ऐसा था जैसे मैंने खुद को गैलीलियो, कोपरनिकस, न्यूटन, श्रोडिंगर, बोह्र, आइंस्टीन और कई अन्य खोजकर्ताओं के जूते में महसूस किया।

अंतभाषण

जीवन में, सब कुछ बहुत सरल और समृद्ध निकला। मुझे देर हो गई ... लेकिन कितना! बस कुछ 18 साल की! भयानक लंबी यातना के तहत और पहली बार नहीं, Google ने मुझे स्वीकार किया कि यह प्रमेय 1996 में प्रकाशित हुआ था!

टेक्सास टेक यूनिवर्सिटी प्रेस द्वारा प्रकाशित लेख। लेखकों, पेशेवर गणितज्ञों ने शब्दावली का परिचय दिया (जो, वैसे, काफी हद तक मेरे साथ मेल खाता है) और एक सामान्यीकृत प्रमेय भी साबित किया जो एक से अधिक किसी भी आयाम के स्थान के लिए मान्य है। 3 से अधिक आयामों में क्या होता है? सब कुछ बहुत सरल है: चेहरों और क्षेत्रों के बजाय, हाइपरसर्फ्स और बहुआयामी वॉल्यूम होंगे। और कथन, निश्चित रूप से, समान रहेगा: पार्श्व चेहरों के आयतन के वर्गों का योग आधार के आयतन के वर्ग के बराबर है, - बस चेहरों की संख्या अधिक होगी, और आयतन उनमें से प्रत्येक उत्पन्न करने वाले वैक्टर के आधे उत्पाद के बराबर हो जाएगा। कल्पना करना लगभग असंभव है! कोई केवल, जैसा कि दार्शनिक कहते हैं, सोच सकता है!

हैरानी की बात है कि जब मुझे पता चला कि ऐसी प्रमेय पहले से ही ज्ञात थी, तो मैं बिल्कुल परेशान नहीं हुआ। कहीं न कहीं मेरी आत्मा की गहराई में, मुझे संदेह था कि यह बहुत संभव है कि मैं पहला नहीं था, और मैं समझ गया कि मुझे इसके लिए हमेशा तैयार रहना होगा। लेकिन जो भावनात्मक अनुभव मुझे प्राप्त हुआ उसने मेरे अंदर शोधकर्ता की चिंगारी को प्रज्वलित कर दिया, जो, मुझे यकीन है, अब कभी नहीं मिटेगा!

पी.एस.

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डी गुआ की प्रमेय

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1783 में, फ्रांसीसी गणितज्ञ जे.पी. द्वारा प्रमेय को पेरिस एकेडमी ऑफ साइंसेज में प्रस्तुत किया गया था। डी गोइस, लेकिन यह पहले रेने डेसकार्टेस के लिए जाना जाता था और उससे पहले जोहान्स फुलगेबर के लिए जाना जाता था, जिन्होंने शायद इसे पहली बार 1622 में खोजा था। अधिक सामान्य रूप में, 1774 में पेरिस एकेडमी ऑफ साइंसेज की रिपोर्ट में चार्ल्स टिनसोट (एफआर) द्वारा प्रमेय तैयार किया गया था।

तो मैं 18 साल देर से नहीं हूँ, लेकिन कम से कम कुछ सदियों देर से हूँ!

सूत्रों का कहना है

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एक बात में, आप एक सौ प्रतिशत निश्चित हो सकते हैं कि जब पूछा जाए कि कर्ण का वर्ग क्या है, तो कोई भी वयस्क साहसपूर्वक उत्तर देगा: "पैरों के वर्गों का योग।" यह प्रमेय प्रत्येक शिक्षित व्यक्ति के मन में दृढ़ता से स्थापित है, लेकिन यह केवल किसी को इसे साबित करने के लिए कहने के लिए पर्याप्त है, और फिर मुश्किलें पैदा हो सकती हैं। इसलिए, आइए पाइथागोरस प्रमेय को सिद्ध करने के विभिन्न तरीकों को याद करें और उन पर विचार करें।

जीवनी का संक्षिप्त विवरण

पायथागॉरियन प्रमेय लगभग सभी से परिचित है, लेकिन किसी कारण से इसे बनाने वाले व्यक्ति की जीवनी इतनी लोकप्रिय नहीं है। हम इसे ठीक कर देंगे। इसलिए, पाइथागोरस प्रमेय को सिद्ध करने के विभिन्न तरीकों का अध्ययन करने से पहले, आपको उनके व्यक्तित्व से संक्षेप में परिचित होने की आवश्यकता है।

पाइथागोरस - एक दार्शनिक, गणितज्ञ, विचारक, मूल रूप से आज से उनकी जीवनी को उन किंवदंतियों से अलग करना बहुत मुश्किल है जो इस महान व्यक्ति की स्मृति में विकसित हुई हैं। लेकिन जैसा कि उनके अनुयायियों के लेखन से पता चलता है, समोस के पाइथागोरस का जन्म समोस द्वीप पर हुआ था। उनके पिता एक साधारण पत्थर काटने वाले थे, लेकिन उनकी माँ एक कुलीन परिवार से थीं।

किंवदंती के अनुसार, पाइथागोरस के जन्म की भविष्यवाणी पाइथिया नामक एक महिला ने की थी, जिसके सम्मान में लड़के का नाम रखा गया था। उनकी भविष्यवाणी के अनुसार, एक पैदा हुआ लड़का मानव जाति के लिए कई लाभ और अच्छाई लाने वाला था। उसने वास्तव में यही किया है।

एक प्रमेय का जन्म

अपनी युवावस्था में, पाइथागोरस मिस्र के प्रसिद्ध संतों से मिलने के लिए मिस्र चले गए। उनसे मिलने के बाद, उन्हें अध्ययन के लिए भर्ती कराया गया, जहाँ उन्होंने मिस्र के दर्शन, गणित और चिकित्सा की सभी महान उपलब्धियाँ सीखीं।

शायद, यह मिस्र में था कि पाइथागोरस पिरामिडों की महिमा और सुंदरता से प्रेरित थे और उन्होंने अपना महान सिद्धांत बनाया। इससे पाठकों को झटका लग सकता है, लेकिन आधुनिक इतिहासकारों का मानना ​​है कि पाइथागोरस ने अपने सिद्धांत को सिद्ध नहीं किया। लेकिन उन्होंने केवल अपने अनुयायियों को अपना ज्ञान दिया, जिन्होंने बाद में सभी आवश्यक गणितीय गणनाएँ पूरी कीं।

जैसा कि हो सकता है, आज इस प्रमेय को सिद्ध करने की एक तकनीक ज्ञात नहीं है, लेकिन एक साथ कई। आज हम केवल अनुमान लगा सकते हैं कि प्राचीन यूनानियों ने अपनी गणना कैसे की थी, इसलिए यहां हम पाइथागोरस प्रमेय को सिद्ध करने के विभिन्न तरीकों पर विचार करेंगे।

पाइथागोरस प्रमेय

इससे पहले कि आप कोई गणना शुरू करें, आपको यह पता लगाना होगा कि किस सिद्धांत को सिद्ध करना है। पायथागॉरियन प्रमेय इस तरह लगता है: "एक त्रिभुज में जिसमें एक कोण 90 o है, पैरों के वर्गों का योग कर्ण के वर्ग के बराबर है।"

पायथागॉरियन प्रमेय को कुल मिलाकर 15 अलग-अलग तरीकों से सिद्ध किया जा सकता है। यह काफी बड़ी संख्या है, तो आइए उनमें से सबसे लोकप्रिय पर ध्यान दें।

विधि एक

आइए पहले परिभाषित करें कि हमारे पास क्या है। यह डेटा पायथागॉरियन प्रमेय को सिद्ध करने के अन्य तरीकों पर भी लागू होगा, इसलिए आपको तुरंत सभी उपलब्ध अंकन याद रखने चाहिए।

मान लीजिए कि एक समकोण त्रिभुज दिया गया है, जिसके पैर a, b और कर्ण c के बराबर है। उपपत्ति की पहली विधि इस तथ्य पर आधारित है कि समकोण त्रिभुज से एक वर्ग अवश्य खींचा जाना चाहिए।

ऐसा करने के लिए, आपको पैर के बराबर एक खंड को पैर की लंबाई और इसके विपरीत खींचने की जरूरत है। तो यह वर्ग के दो समान भुजाओं को प्राप्त करना चाहिए। यह केवल दो समानांतर रेखाएँ खींचने के लिए बनी हुई है, और वर्ग तैयार है।

परिणामी आकृति के अंदर, आपको मूल त्रिभुज के कर्ण के बराबर भुजा के साथ एक और वर्ग बनाना होगा। ऐसा करने के लिए, शीर्ष एसी और एसवी से, आपको सी के बराबर दो समांतर खंडों को आकर्षित करने की आवश्यकता है। इस प्रकार, हमें वर्ग की तीन भुजाएँ मिलती हैं, जिनमें से एक मूल समकोण त्रिभुज का कर्ण है। यह केवल चौथा खंड बनाने के लिए बनी हुई है।

परिणामी आकृति के आधार पर, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि बाहरी वर्ग का क्षेत्रफल (a + b) 2 है। यदि आप आकृति के अंदर देखें, तो आप देख सकते हैं कि आंतरिक वर्ग के अतिरिक्त, इसमें चार समकोण त्रिभुज हैं। प्रत्येक का क्षेत्रफल 0.5 ए.वी. है।

इसलिए, क्षेत्रफल है: 4 * 0.5av + s 2 \u003d 2av + s 2

इसलिए (ए + सी) 2 \u003d 2एवी + सी 2

और, इसलिए, 2 \u003d 2 + में 2 के साथ

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

विधि दो: समान त्रिभुज

पायथागॉरियन प्रमेय के प्रमाण के लिए यह सूत्र समरूप त्रिभुजों के बारे में ज्यामिति के खंड से एक कथन के आधार पर प्राप्त किया गया था। इसमें कहा गया है कि समकोण त्रिभुज का पाद उसके कर्ण और 90° के कोण के शीर्ष से निकलने वाले कर्ण खंड का माध्य समानुपाती होता है।

प्रारंभिक डेटा वही रहता है, तो चलिए अभी से प्रमाण के साथ शुरू करते हैं। आइए भुजा AB पर एक लंब CD लंब खींचें। उपरोक्त कथन के आधार पर, त्रिभुजों के पाद बराबर हैं:

एसी=√एबी*एडी, एसडब्ल्यू=√एबी*डीवी।

पायथागॉरियन प्रमेय को कैसे सिद्ध किया जाए, इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए, दोनों असमानताओं का वर्ग करके प्रमाण दिया जाना चाहिए।

एसी 2 \u003d एबी * हेल और एसवी 2 \u003d एबी * डीवी

अब हमें परिणामी असमानताओं को जोड़ने की जरूरत है।

एसी 2 + एसवी 2 \u003d एबी * (एडी * डीवी), जहां एडी + डीवी \u003d एबी

यह पता चला है कि:

एसी 2 + सीबी 2 \u003d एबी * एबी

और इसलिए:

एसी 2 + सीबी 2 \u003d एबी 2

पाइथागोरस प्रमेय के प्रमाण और इसे हल करने के विभिन्न तरीकों के लिए इस समस्या के लिए एक बहुमुखी दृष्टिकोण की आवश्यकता है। हालाँकि, यह विकल्प सबसे सरल में से एक है।

एक और गणना पद्धति

पाइथागोरस प्रमेय को सिद्ध करने के विभिन्न तरीकों का विवरण तब तक कुछ नहीं कह सकता, जब तक आप स्वयं अभ्यास करना शुरू नहीं करते। कई विधियों में न केवल गणितीय गणनाएँ शामिल हैं, बल्कि मूल त्रिभुज से नए अंकों का निर्माण भी शामिल है।

इस मामले में, विमान के पैर से एक और समकोण त्रिभुज VSD को पूरा करना आवश्यक है। इस प्रकार, अब एक उभयनिष्ठ पाद BC वाले दो त्रिभुज हैं।

यह जानते हुए कि समरूप आकृतियों के क्षेत्रफलों का उनके समान रैखिक आयामों के वर्गों के अनुपात में अनुपात होता है, तब:

एस एवीएस * एस 2 - एस एवीडी * 2 \u003d एस एवीडी * ए 2 - एस वीडी * ए 2

एस एवीएस * (2 से 2 तक) \u003d ए 2 * (एस एवीडी-एस वीवीडी)

2 से 2 \u003d 2 तक

सी 2 \u003d ए 2 + इन 2

चूंकि यह विकल्प ग्रेड 8 के लिए पाइथागोरस प्रमेय को साबित करने के विभिन्न तरीकों से शायद ही उपयुक्त हो, आप निम्न तकनीक का उपयोग कर सकते हैं।

पायथागॉरियन प्रमेय को सिद्ध करने का सबसे आसान तरीका। समीक्षा

इतिहासकारों का मानना ​​है कि इस पद्धति का प्रयोग सबसे पहले प्राचीन यूनान में एक प्रमेय को सिद्ध करने के लिए किया गया था। यह सबसे सरल है, क्योंकि इसमें बिल्कुल किसी गणना की आवश्यकता नहीं होती है। यदि आप चित्र को सही ढंग से खींचते हैं, तो कथन का प्रमाण स्पष्ट रूप से दिखाई देगा कि a 2 + b 2 \u003d c 2।

इस पद्धति की शर्तें पिछले वाले से थोड़ी अलग होंगी। प्रमेय को सिद्ध करने के लिए, मान लीजिए कि समद्विबाहु त्रिभुज ABC समद्विबाहु है।

हम कर्ण AC को वर्ग की भुजा के रूप में लेते हैं और उसकी तीन भुजाएँ बनाते हैं। इसके अलावा, परिणामी वर्ग में दो विकर्ण रेखाएँ खींचना आवश्यक है। ताकि इसके अंदर आपको चार समद्विबाहु त्रिभुज मिलें।

AB और CB के पैरों के लिए, आपको एक वर्ग भी बनाना होगा और उनमें से प्रत्येक में एक विकर्ण रेखा खींचनी होगी। हम पहली पंक्ति शीर्ष A से खींचते हैं, दूसरी - C से।

अब आपको परिणामी ड्राइंग को ध्यान से देखने की जरूरत है। चूंकि कर्ण एसी पर चार त्रिकोण हैं, मूल एक के बराबर, और दो पैरों पर, यह इस प्रमेय की सत्यता को इंगित करता है।

वैसे, पायथागॉरियन प्रमेय को साबित करने की इस पद्धति के लिए धन्यवाद, प्रसिद्ध वाक्यांश का जन्म हुआ: "पाइथागोरस पैंट सभी दिशाओं में समान हैं।"

जे गारफील्ड द्वारा सबूत

जेम्स गारफील्ड संयुक्त राज्य अमेरिका के 20वें राष्ट्रपति हैं। संयुक्त राज्य अमेरिका के शासक के रूप में इतिहास पर अपनी छाप छोड़ने के अलावा, वह एक प्रतिभाशाली स्व-सिखाया भी था।

अपने करियर की शुरुआत में, वह एक लोक विद्यालय में एक साधारण शिक्षक थे, लेकिन जल्द ही उच्च शिक्षण संस्थानों में से एक के निदेशक बन गए। आत्म-विकास की इच्छा ने उन्हें पाइथागोरस प्रमेय के प्रमाण के एक नए सिद्धांत की पेशकश करने की अनुमति दी। प्रमेय और उसके समाधान का एक उदाहरण इस प्रकार है।

सबसे पहले आपको कागज के एक टुकड़े पर दो समकोण त्रिकोण बनाने की जरूरत है ताकि उनमें से एक का पैर दूसरे की निरंतरता हो। इन त्रिभुजों के शीर्षों को एक समलम्बाकार के साथ समाप्त करने के लिए जोड़ा जाना चाहिए।

जैसा कि आप जानते हैं, एक ट्रेपेज़ॉइड का क्षेत्रफल उसके आधारों और ऊँचाई के आधे योग के उत्पाद के बराबर होता है।

एस=ए+बी/2 * (ए+बी)

यदि हम परिणामी ट्रेपेज़ॉइड को तीन त्रिभुजों से बनी आकृति के रूप में मानते हैं, तो इसका क्षेत्रफल निम्नानुसार पाया जा सकता है:

एस \u003d एवी / 2 * 2 + एस 2 / 2

अब हमें दो मूल भावों की बराबरी करने की आवश्यकता है

2एवी / 2 + एस / 2 \u003d (ए + सी) 2/2

सी 2 \u003d ए 2 + इन 2

पाइथागोरस प्रमेय और इसे सिद्ध करने के तरीके के बारे में पाठ्यपुस्तक के एक से अधिक खंड लिखे जा सकते हैं। लेकिन क्या इसका कोई मतलब है जब इस ज्ञान को व्यवहार में नहीं लाया जा सकता है?

पायथागॉरियन प्रमेय का व्यावहारिक अनुप्रयोग

दुर्भाग्य से, आधुनिक स्कूल पाठ्यक्रम केवल ज्यामितीय समस्याओं में इस प्रमेय के उपयोग के लिए प्रदान करते हैं। स्नातक जल्द ही स्कूल की दीवारों को बिना यह जाने छोड़ देंगे कि वे अभ्यास में अपने ज्ञान और कौशल को कैसे लागू कर सकते हैं।

वास्तव में, हर कोई अपने दैनिक जीवन में पायथागॉरियन प्रमेय का उपयोग कर सकता है। और न केवल पेशेवर गतिविधियों में, बल्कि साधारण घरेलू कामों में भी। आइए कई मामलों पर विचार करें जब पायथागॉरियन प्रमेय और इसके प्रमाण के तरीके अत्यंत आवश्यक हो सकते हैं।

प्रमेय और खगोल विज्ञान का कनेक्शन

ऐसा लगता है कि कागज पर सितारों और त्रिकोणों को कैसे जोड़ा जा सकता है। वास्तव में, खगोल विज्ञान एक वैज्ञानिक क्षेत्र है जिसमें पायथागॉरियन प्रमेय का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

उदाहरण के लिए, अंतरिक्ष में प्रकाश किरण की गति पर विचार करें। हम जानते हैं कि प्रकाश दोनों दिशाओं में समान गति से चलता है। हम उस प्रक्षेपवक्र AB को कहते हैं जिसके साथ प्रकाश किरण चलती है एल. और आधा समय प्रकाश को बिंदु A से बिंदु B तक पहुंचने में लगता है, चलिए कॉल करते हैं टी. और किरण की गति - सी. यह पता चला है कि: सी * टी = एल

यदि आप इसी बीम को दूसरे विमान से देखते हैं, उदाहरण के लिए, एक स्पेस लाइनर से जो v गति से चलता है, तो पिंडों के इस तरह के अवलोकन से उनकी गति बदल जाएगी। इस स्थिति में, स्थिर तत्व भी विपरीत दिशा में v गति से गति करेंगे।

मान लीजिए कि कॉमिक लाइनर दाईं ओर जा रहा है। फिर बिंदु A और B, जिनके बीच किरण दौड़ती है, बाईं ओर जाएगी। इसके अलावा, जब बीम बिंदु A से बिंदु B तक जाता है, तो बिंदु A के पास स्थानांतरित होने का समय होता है और तदनुसार, प्रकाश पहले से ही एक नए बिंदु C पर पहुंच जाएगा। बिंदु A द्वारा स्थानांतरित की गई आधी दूरी का पता लगाने के लिए, आपको गुणा करने की आवश्यकता है बीम के आधे यात्रा समय (टी ") द्वारा लाइनर की गति।

और इस समय के दौरान प्रकाश की किरण कितनी दूर यात्रा कर सकती है, यह जानने के लिए, आपको नए बीच के आधे रास्ते को निर्दिष्ट करने और निम्नलिखित अभिव्यक्ति प्राप्त करने की आवश्यकता है:

यदि हम कल्पना करते हैं कि प्रकाश के बिंदु C और B, साथ ही अंतरिक्ष लाइनर, एक समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं, तो बिंदु A से लाइनर तक का खंड इसे दो समकोण त्रिभुजों में विभाजित करेगा। इसलिए, पायथागॉरियन प्रमेय के लिए धन्यवाद, आप वह दूरी पा सकते हैं जो प्रकाश की किरण यात्रा कर सकती है।

यह उदाहरण, निश्चित रूप से, सबसे सफल नहीं है, क्योंकि केवल कुछ ही भाग्यशाली हो सकते हैं जो इसे व्यवहार में आजमा सकते हैं। इसलिए, हम इस प्रमेय के अधिक सांसारिक अनुप्रयोगों पर विचार करते हैं।

मोबाइल सिग्नल ट्रांसमिशन रेंज

स्मार्टफोन के बिना आधुनिक जीवन की कल्पना नहीं की जा सकती है। लेकिन अगर वे ग्राहकों को मोबाइल संचार के माध्यम से नहीं जोड़ सकते तो वे कितने उपयोगी होंगे?!

मोबाइल संचार की गुणवत्ता सीधे उस ऊंचाई पर निर्भर करती है जिस पर मोबाइल ऑपरेटर का एंटीना स्थित है। यह गणना करने के लिए कि मोबाइल टावर से फोन कितनी दूर सिग्नल प्राप्त कर सकता है, आप पायथागॉरियन प्रमेय लागू कर सकते हैं।

मान लीजिए कि आपको एक स्थिर टावर की अनुमानित ऊंचाई ज्ञात करने की आवश्यकता है ताकि यह 200 किलोमीटर के दायरे में सिग्नल प्रसारित कर सके।

एबी (टॉवर ऊंचाई) = एक्स;

बीसी (संकेत संचरण की त्रिज्या) = 200 किमी;

OS (ग्लोब की त्रिज्या) = 6380 किमी;

OB=OA+ABOB=r+x

पायथागॉरियन प्रमेय को लागू करने पर हमें पता चलता है कि टावर की न्यूनतम ऊंचाई 2.3 किलोमीटर होनी चाहिए।

दैनिक जीवन में पाइथागोरस प्रमेय

विचित्र रूप से पर्याप्त, पाइथागोरस प्रमेय रोजमर्रा के मामलों में भी उपयोगी हो सकता है, उदाहरण के लिए कोठरी की ऊंचाई निर्धारित करना। पहली नज़र में, ऐसी जटिल गणनाओं का उपयोग करने की कोई आवश्यकता नहीं है, क्योंकि आप टेप माप के साथ माप ले सकते हैं। लेकिन कई लोग आश्चर्यचकित हैं कि असेंबली प्रक्रिया के दौरान कुछ समस्याएं क्यों उत्पन्न होती हैं यदि सभी माप सही से अधिक लिए गए हों।

तथ्य यह है कि अलमारी क्षैतिज स्थिति में इकट्ठी होती है और उसके बाद ही उठती है और दीवार के खिलाफ स्थापित होती है। इसलिए, संरचना को उठाने की प्रक्रिया में कैबिनेट के किनारे को कमरे की ऊंचाई और तिरछे दोनों के साथ स्वतंत्र रूप से गुजरना चाहिए।

मान लीजिए कि 800 मिमी की गहराई वाली अलमारी है। फर्श से छत तक की दूरी - 2600 मिमी। एक अनुभवी फर्नीचर निर्माता कहेगा कि कैबिनेट की ऊंचाई कमरे की ऊंचाई से 126 मिमी कम होनी चाहिए। लेकिन ठीक 126 मिमी क्यों? आइए एक उदाहरण देखें।

कैबिनेट के आदर्श आयामों के साथ, पायथागॉरियन प्रमेय के संचालन की जाँच करें:

एसी \u003d √एबी 2 + √बीसी 2

एसी \u003d √ 2474 2 +800 2 \u003d 2600 मिमी - सब कुछ अभिसरण करता है।

बता दें कि कैबिनेट की ऊंचाई 2474 मिमी नहीं, बल्कि 2505 मिमी है। तब:

एसी \u003d √2505 2 + √800 2 \u003d 2629 मिमी।

इसलिए, यह कैबिनेट इस कमरे में स्थापना के लिए उपयुक्त नहीं है। चूंकि इसे सीधा खड़ा करने पर इसके शरीर को नुकसान पहुंच सकता है।

शायद, विभिन्न वैज्ञानिकों द्वारा पाइथागोरस प्रमेय को सिद्ध करने के विभिन्न तरीकों पर विचार करने के बाद, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि यह सत्य से कहीं अधिक है। अब आप अपने दैनिक जीवन में प्राप्त सूचनाओं का उपयोग कर सकते हैं और पूरी तरह से सुनिश्चित हो सकते हैं कि सभी गणनाएँ न केवल उपयोगी होंगी, बल्कि सही भी होंगी।

पाइथागोरस प्रमेय- यूक्लिडियन ज्यामिति के मौलिक प्रमेयों में से एक, संबंध स्थापित करना

एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं के बीच।

ऐसा माना जाता है कि यह यूनानी गणितज्ञ पाइथागोरस द्वारा सिद्ध किया गया था, जिनके नाम पर इसका नाम रखा गया है।

पाइथागोरस प्रमेय का ज्यामितीय सूत्रीकरण।

प्रमेय मूल रूप से निम्नानुसार तैयार किया गया था:

एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण पर निर्मित वर्ग का क्षेत्रफल वर्गों के क्षेत्रफल के योग के बराबर होता है,

कैथेटर पर बनाया गया।

पायथागॉरियन प्रमेय का बीजगणितीय सूत्रीकरण।

एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण की लंबाई का वर्ग पैरों की लंबाई के वर्गों के योग के बराबर होता है।

अर्थात्, त्रिभुज के कर्ण की लंबाई के माध्यम से निरूपित करना सी, और पैरों की लंबाई के माध्यम से एऔर बी:

दोनों फॉर्मूलेशन पाइथागोरस प्रमेयसमतुल्य हैं, लेकिन दूसरा सूत्रीकरण अधिक प्रारंभिक है, ऐसा नहीं है

क्षेत्र की अवधारणा की आवश्यकता है। अर्थात्, क्षेत्र के बारे में कुछ भी जाने बिना दूसरे कथन को सत्यापित किया जा सकता है और

केवल एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं की लंबाइयों को मापकर।

उलटा पाइथागोरस प्रमेय।

यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर हो, तो

त्रिभुज आयताकार है।

या, दूसरे शब्दों में:

सकारात्मक संख्या के किसी भी तिहरे के लिए ए, बीऔर सी, ऐसा है कि

पैरों के साथ एक समकोण त्रिभुज है एऔर बीऔर कर्ण सी.

एक समद्विबाहु त्रिभुज के लिए पायथागॉरियन प्रमेय।

समबाहु त्रिभुज के लिए पाइथागोरस प्रमेय।

पाइथागोरस प्रमेय के प्रमाण।

फिलहाल, वैज्ञानिक साहित्य में इस प्रमेय के 367 प्रमाण दर्ज किए गए हैं। शायद प्रमेय

इतने प्रभावशाली प्रमाणों के साथ पाइथागोरस एकमात्र प्रमेय है। ऐसी विविधता

ज्यामिति के लिए प्रमेय के मूलभूत महत्व से ही समझाया जा सकता है।

बेशक, वैचारिक रूप से, उन सभी को कम संख्या में वर्गों में विभाजित किया जा सकता है। उनमें से सबसे प्रसिद्ध:

सबूत क्षेत्र विधि, सिद्धऔर विदेशी सबूत(उदाहरण के लिए,

का उपयोग करके विभेदक समीकरण).

1. समरूप त्रिभुजों के संदर्भ में पाइथागोरस प्रमेय की उपपत्ति।

बीजगणितीय सूत्रीकरण का निम्नलिखित प्रमाण निर्मित प्रमाणों में सबसे सरल है

सीधे स्वयंसिद्धों से। विशेष रूप से, यह किसी आकृति के क्षेत्रफल की अवधारणा का उपयोग नहीं करता है।

होने देना एबीसीएक समकोण त्रिभुज है सी. से एक ऊंचाई बनाते हैं सीऔर निरूपित करें

के माध्यम से इसकी नींव एच.

त्रिकोण आकत्रिभुज के समान अबसी दो कोनों पर. इसी तरह त्रिकोण सीबीएचसमान एबीसी.

नोटेशन पेश करके:

हम पाते हैं:

,

जो मेल खाता है -

मुड़ा हुआ ए 2 और बी 2, हमें मिलता है:

या, जो सिद्ध किया जाना था।

2. क्षेत्र विधि द्वारा पाइथागोरस प्रमेय का प्रमाण।

निम्नलिखित प्रमाण, उनकी स्पष्ट सादगी के बावजूद, इतने सरल नहीं हैं। उन सभी को

क्षेत्र के गुणों का उपयोग करें, जिसका प्रमाण स्वयं पायथागॉरियन प्रमेय के प्रमाण से अधिक जटिल है।

• समानता के माध्यम से सबूत।

चार बराबर आयताकार व्यवस्थित करें

चित्र में दिखाया गया त्रिकोण

दायी ओर।

भुजाओं वाला चतुर्भुज सी- वर्ग,

चूँकि दो न्यूनकोणों का योग 90° होता है, और

विकसित कोण 180° है।

संपूर्ण आकृति का क्षेत्रफल एक ओर है,

पक्ष के साथ एक वर्ग का क्षेत्रफल ( क+ख), और दूसरी ओर, चार त्रिकोणों के क्षेत्रों का योग और

Q.E.D.

3. पाइथागोरस प्रमेय की उपपत्ति अतिसूक्ष्म विधि द्वारा।

​

चित्र में दिखाए गए चित्र को ध्यान में रखते हुए, और

पक्ष परिवर्तन देख रहा हूँए, हम कर सकते हैं

अनंत के लिए निम्नलिखित संबंध लिखिए

छोटा पार्श्व वृद्धिसाथऔर ए(समानता का उपयोग करते हुए

त्रिभुज):

चरों के पृथक्करण की विधि का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं:

दोनों पैरों की वृद्धि के मामले में कर्ण को बदलने के लिए एक अधिक सामान्य अभिव्यक्ति:

इस समीकरण को एकीकृत करने और प्रारंभिक शर्तों का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

इस प्रकार, हम वांछित उत्तर पर पहुंचते हैं:

जैसा कि यह देखना आसान है, अंतिम सूत्र में द्विघात निर्भरता रैखिक के कारण दिखाई देती है

त्रिभुज की भुजाओं के बीच आनुपातिकता और वृद्धि, जबकि योग स्वतंत्र से संबंधित है

विभिन्न पैरों की वृद्धि से योगदान।

एक सरल प्रमाण प्राप्त किया जा सकता है यदि हम मान लें कि पैरों में से एक में वृद्धि का अनुभव नहीं होता है

(इस मामले में, पैर बी). फिर एकीकरण स्थिरांक के लिए हमें मिलता है:

पाइथागोरस प्रमेय के बारे में और इसे कैसे सिद्ध करें

जी ग्लेसर,
रूसी शिक्षा अकादमी, मास्को के शिक्षाविद

पाइथागोरस प्रमेय के बारे में और इसे कैसे सिद्ध करें

लेख "अनुवाद के मास्टर" कंपनी के समर्थन से प्रकाशित किया गया था। क्या आप उच्च-गुणवत्ता और तेज़ अनुवाद चाहते हैं? नोटरीकृत अनुवाद एजेंसी "अनुवाद के मास्टर" से संपर्क करें। कई प्रसिद्ध रूसी कंपनियों सहित ब्यूरो के नियमित ग्राहकों द्वारा सेवाओं की गुणवत्ता की गारंटी दी जाती है। कंपनी की आधिकारिक वेबसाइट www.masterperevoda.ru पर जाएं और इसके द्वारा प्रदान की जाने वाली सेवाओं के बारे में अधिक जानें।

एक समकोण त्रिभुज के कर्ण पर बने वर्ग का क्षेत्रफल उसके पादों पर बने वर्गों के क्षेत्रफल के योग के बराबर होता है...

यह पुरातनता के सबसे प्रसिद्ध ज्यामितीय प्रमेयों में से एक है, जिसे पाइथागोरस प्रमेय कहा जाता है। यह अभी भी लगभग हर किसी के लिए जाना जाता है जिसने कभी प्लैनेमेट्री का अध्ययन किया है। मुझे ऐसा लगता है कि यदि हम अलौकिक सभ्यताओं को पृथ्वी पर बुद्धिमान जीवन के अस्तित्व के बारे में बताना चाहते हैं, तो हमें अंतरिक्ष में पायथागॉरियन आकृति की एक छवि भेजनी चाहिए। मुझे लगता है कि अगर विचारशील प्राणी इस जानकारी को स्वीकार कर सकते हैं, तो वे जटिल सिग्नल डिकोडिंग के बिना समझ पाएंगे कि पृथ्वी पर काफी विकसित सभ्यता है।

समोस के प्रसिद्ध यूनानी दार्शनिक और गणितज्ञ पायथागोरस, जिनके नाम पर प्रमेय का नाम रखा गया है, लगभग 2.5 हजार साल पहले रहते थे। पाइथागोरस के बारे में जो जीवनी संबंधी जानकारी हमारे पास आई है वह खंडित है और विश्वसनीय से बहुत दूर है। उनके नाम के साथ कई किंवदंतियां जुड़ी हुई हैं। यह प्रामाणिक रूप से ज्ञात है कि पाइथागोरस ने पूर्व के देशों में बहुत यात्रा की, मिस्र और बेबीलोन का दौरा किया। दक्षिणी इटली के ग्रीक उपनिवेशों में से एक में, उन्होंने प्रसिद्ध "पाइथागोरियन स्कूल" की स्थापना की, जिसने प्राचीन ग्रीस के वैज्ञानिक और राजनीतिक जीवन में महत्वपूर्ण भूमिका निभाई। यह पाइथागोरस है जिसे प्रसिद्ध ज्यामितीय प्रमेय को सिद्ध करने का श्रेय दिया जाता है। प्रसिद्ध गणितज्ञों (प्रोक्लस, प्लूटार्क, आदि) द्वारा फैलाई गई किंवदंतियों के आधार पर, लंबे समय तक यह माना जाता था कि यह प्रमेय पाइथागोरस से पहले ज्ञात नहीं था, इसलिए नाम - पाइथागोरस प्रमेय।

हालाँकि, इसमें कोई संदेह नहीं है कि यह प्रमेय पाइथागोरस से कई साल पहले जाना जाता था। इसलिए, पाइथागोरस से 1500 साल पहले, प्राचीन मिस्रवासी जानते थे कि 3, 4 और 5 भुजाओं वाला एक त्रिकोण आयताकार होता है, और भूमि भूखंडों और संरचनाओं की इमारतों की योजना बनाते समय समकोण बनाने के लिए इस संपत्ति (यानी, पाइथागोरस के व्युत्क्रम प्रमेय) का उपयोग किया। और आज भी, ग्रामीण बिल्डर और बढ़ई, झोपड़ी की नींव रखते हैं, उसका विवरण बनाते हैं, इस त्रिकोण को समकोण बनाने के लिए बनाते हैं। यही काम हजारों साल पहले मिस्र, बेबीलोन, चीन और शायद मैक्सिको में भव्य मंदिरों के निर्माण में किया गया था। सबसे पुराने चीनी गणितीय और खगोलीय कार्य में जो हमारे पास आया है, झोउ-बी, पाइथागोरस से लगभग 600 साल पहले लिखा गया था, एक समकोण त्रिभुज से संबंधित अन्य वाक्यों में, पाइथागोरस प्रमेय भी निहित है। पहले भी यह प्रमेय हिंदुओं को ज्ञात था। इस प्रकार, पाइथागोरस ने एक समकोण त्रिभुज की इस संपत्ति की खोज नहीं की; वह संभवतः इसे सामान्य बनाने और इसे सिद्ध करने वाले पहले व्यक्ति थे, जिससे इसे अभ्यास के क्षेत्र से विज्ञान के क्षेत्र में स्थानांतरित कर दिया गया। हम नहीं जानते कि उसने यह कैसे किया। गणित के कुछ इतिहासकारों का मानना ​​है कि, फिर भी, पाइथागोरस का प्रमाण मौलिक नहीं था, बल्कि एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज से शुरू होने वाले कई विशेष प्रकार के त्रिकोणों पर इस संपत्ति का सत्यापन, जिसके लिए यह स्पष्ट रूप से अंजीर से अनुसरण करता है। 1.

प्राचीन काल से, गणितज्ञों ने पायथागॉरियन प्रमेय के अधिक से अधिक प्रमाण पाए हैं, इसके प्रमाणों के लिए अधिक से अधिक विचार। डेढ़ सौ से अधिक ऐसे प्रमाण - अधिक या कम कठोर, अधिक या कम दृश्य - ज्ञात हैं, लेकिन उनकी संख्या बढ़ाने की इच्छा को संरक्षित रखा गया है। मुझे लगता है कि पाइथागोरस प्रमेय के प्रमाणों की स्वतंत्र "खोज" आधुनिक स्कूली बच्चों के लिए उपयोगी होगी।

आइए सबूतों के कुछ उदाहरणों पर विचार करें जो ऐसी खोजों की दिशा का सुझाव दे सकते हैं।

अंकों के समान क्षेत्रफल की अवधारणा के प्रयोग पर आधारित प्रमाण।

उसी समय, हम उन साक्ष्यों पर विचार कर सकते हैं जिनमें किसी दिए गए समकोण त्रिभुज के कर्ण पर निर्मित वर्ग पैरों पर बने वर्गों के समान आकृतियों से "बना" है। हम ऐसे प्रमाणों पर भी विचार कर सकते हैं जिनमें अंकों के पदों के क्रमचय का प्रयोग किया जाता है और अनेक नए विचारों को ध्यान में रखा जाता है।

• अंजीर पर। 2 दो बराबर वर्ग दिखाता है। प्रत्येक वर्ग की भुजाओं की लंबाई a + b है। प्रत्येक वर्ग को वर्गों और समकोण त्रिभुजों से युक्त भागों में विभाजित किया गया है। यह स्पष्ट है कि यदि हम एक समकोण त्रिभुज के चतुर्भुज क्षेत्र को वर्ग क्षेत्र से a, b के साथ घटाते हैं, तो समान क्षेत्र शेष रहते हैं, अर्थात c 2 \u003d a 2 + b 2। हालाँकि, प्राचीन हिंदू, जिनके पास यह तर्क है, आमतौर पर इसे नहीं लिखते थे, लेकिन ड्राइंग के साथ केवल एक शब्द था: "देखो!" यह बहुत संभव है कि पाइथागोरस ने भी यही प्रमाण दिया हो।

योगात्मक साक्ष्य।

ये प्रमाण पादों पर बने वर्गों के आकृतियों में अपघटन पर आधारित हैं, जिनसे कर्ण पर बने वर्ग को जोड़ना संभव है।

यहाँ: ABC समकोण C के साथ एक समकोण त्रिभुज है; सीएमएन के बारे में; सीके ^ एमएन; पीओ || एमएन; ईएफ || एमएन।

पादों और कर्ण पर बने वर्गों को विभाजित करके प्राप्त त्रिभुजों की युग्मवार समानता को स्वयं सिद्ध कीजिए।

• अंजीर पर। 4 यूक्लिड की "शुरुआत" पर मध्यकालीन बगदाद टीकाकार अल-नैरिज़िया के विभाजन का उपयोग करते हुए पाइथागोरस प्रमेय का प्रमाण दिखाता है। इस विभाजन में कर्ण पर बने वर्ग को 3 त्रिभुज और 2 चतुर्भुजों में विभाजित किया जाता है। यहाँ: ABC समकोण C के साथ एक समकोण त्रिभुज है; डीई = बीएफ।

इस विभाजन का प्रयोग करके प्रमेय को सिद्ध कीजिए।

• अल-नैरिज़िया के प्रमाण के आधार पर, वर्गों का जोड़ीदार समान आकृतियों में एक और अपघटन भी किया गया था (चित्र 5, यहाँ ABC समकोण C के साथ एक समकोण त्रिभुज है)।

• वर्गों को समान भागों में विघटित करने की विधि द्वारा एक अन्य प्रमाण, जिसे "ब्लेड वाला पहिया" कहा जाता है, अंजीर में दिखाया गया है। 6. यहाँ: ABC समकोण C के साथ एक समकोण त्रिभुज है; ओ - एक बड़े पैर पर बने वर्ग का केंद्र; बिंदु O से गुजरने वाली धराशायी रेखाएँ कर्ण के लंबवत या समानांतर होती हैं।

• वर्गों का यह अपघटन इस मायने में दिलचस्प है कि इसके जोड़ीदार समान चतुर्भुजों को समानांतर अनुवाद द्वारा एक दूसरे पर मैप किया जा सकता है। पाइथागोरस प्रमेय के कई अन्य प्रमाण वर्गों को अंकों में अपघटन का उपयोग करके पेश किए जा सकते हैं।

विस्तार विधि द्वारा प्रमाण।

इस पद्धति का सार यह है कि टाँगों पर बने वर्ग और कर्ण पर बने वर्ग पर समान आकृतियाँ इस प्रकार जोड़ी जाती हैं कि समान आकार की आकृतियाँ प्राप्त होती हैं।

पाइथागोरस प्रमेय की वैधता हेक्सागोन्स AEDFPB और ACBNMQ के समान आकार से होती है। यहां सीके बारे में ईपी, लाइन ईपी षट्भुज एईडीएफपीबी को दो समान-क्षेत्रीय चतुष्कोणों में विभाजित करता है, रेखा सीएम षट्भुज एसीबीएनएमक्यू को दो समान-क्षेत्रीय चतुर्भुजों में विभाजित करता है; केंद्र A के चारों ओर विमान का 90° का घूर्णन चतुर्भुज AEPB को चतुर्भुज ACMQ में मैप करता है।

अब हम सिद्ध करते हैं कि पहली स्थिति में घटाए गए अंक दूसरी स्थिति में घटाए गए अंकों के आकार के बराबर हैं।

केएलओए = एसीपीएफ = एसीईडी = ए 2;

एलजीबीओ = सीबीएमपी = सीबीएनक्यू = बी 2;

AKGB = AKLO + LGBO = c 2;

इसलिए सी 2 = ए 2 + बी 2।

ओसीएलपी=एसीएलएफ=एसीईडी=बी2;

सीबीएमएल = सीबीएनक्यू = ए 2;

ओबीएमपी = एबीएमएफ = सी 2;

ओबीएमपी = ओसीएलपी + सीबीएमएल;

यहाँ से

सी 2 = ए 2 + बी 2।

• चावल। 11 हॉफमैन द्वारा प्रस्तावित एक और अधिक मूल प्रमाण को दर्शाता है।
  यहाँ: समकोण C के साथ त्रिभुज ABC; खंड बीएफ सीबी के लिए लंबवत और बराबर है, खंड बीई लंबवत है और एबी के बराबर है, खंड एडी लंबवत है और एसी के बराबर है; बिंदु F, C, D एक सीधी रेखा से संबंधित हैं; चतुर्भुज ADFB और ACBE बराबर हैं क्योंकि ABF=ECB; त्रिभुज ADF और ACE बराबर हैं; दोनों समान चतुर्भुजों में से उनके उभयनिष्ठ त्रिभुज ABC को घटाने पर हमें प्राप्त होता है

प्रमाण की बीजगणितीय विधि।

अंजीर पर। 13 ABC - आयताकार, C - समकोण, CM^ AB, b 1 कर्ण पर पैर b का प्रक्षेपण है, a 1 कर्ण पर पैर का प्रक्षेपण है, h कर्ण के लिए खींचे गए त्रिभुज की ऊँचाई है।

इस तथ्य से कि D ABC, D ACM के समान है, यह इस प्रकार है

बी 2 \u003d सीबी 1; (1)

इस तथ्य से कि D ABC, D BCM के समान है, यह इस प्रकार है

ए 2 = सीए 1। (2)

समता (1) और (2) पदों को पदानुसार जोड़ने पर, हमें a 2 + b 2 = cb 1 + ca 1 = c(b 1 + a 1) = c 2 प्राप्त होता है।

यदि पाइथागोरस ने वास्तव में इस तरह का प्रमाण दिया था, तो वह कई महत्वपूर्ण ज्यामितीय प्रमेयों से भी परिचित था, जो गणित के आधुनिक इतिहासकार आमतौर पर यूक्लिड को श्रेय देते हैं।

जिससे यह पता चलता है कि c 2 =a 2 +b 2 ।

क्षण में

इन व्यंजकों की बराबरी करने पर हमें पाइथागोरस प्रमेय प्राप्त होता है।

• पायथागॉरियन प्रमेय के कई प्रमाण हैं, वर्णित विधियों में से प्रत्येक द्वारा और विभिन्न विधियों के संयोजन का उपयोग करके दोनों को पूरा किया गया है। विभिन्न प्रमाणों के उदाहरणों की समीक्षा को पूरा करते हुए, हम यूक्लिड के "तत्वों" (चित्र 16 - 23) में आठ तरीकों को दर्शाते हुए अधिक चित्र देंगे। इन रेखाचित्रों में, पायथागॉरियन आकृति को एक ठोस रेखा के साथ दिखाया गया है, और अतिरिक्त निर्माणों को बिंदीदार रेखा के साथ दिखाया गया है।

1. वैन डेर वेर्डन बी.एल. जागृति विज्ञान। प्राचीन मिस्र, बाबुल और यूनान का गणित। एम।, 1959।
2. ग्लेज़र जी.आई. स्कूल में गणित का इतिहास। एम।, 1982।
3. एलेंस्की श पाइथागोरस के नक्शेकदम पर। एम।, 1961।
4. लिट्ज़मैन वी. पाइथागोरस प्रमेय। एम।, 1960।
5. स्कोपेट्स जेड.ए. ज्यामितीय लघुचित्र। एम।, 1990।