क्या 0 होना संभव है? आप शून्य से भाग क्यों नहीं दे सकते? उदाहरणात्मक उदाहरण

शून्य से विभाजनगणित में, एक विभाजन जिस पर भाजक शून्य होता है। इस तरह के विभाजन को औपचारिक रूप से ⁄ 0 के रूप में लिखा जा सकता है, जहां लाभांश है।

सामान्य अंकगणित में (वास्तविक संख्याओं के साथ), इस अभिव्यक्ति का कोई मतलब नहीं है, क्योंकि:

• ≠ 0 पर, ऐसी कोई संख्या नहीं है, जिसे 0 से गुणा करने पर, प्राप्त हो, इसलिए, किसी भी संख्या को भागफल ⁄ 0 के रूप में नहीं लिया जा सकता है;
• = 0 पर, शून्य से विभाजन भी अपरिभाषित है, क्योंकि किसी भी संख्या को 0 से गुणा करने पर 0 मिलता है और भागफल 0 ⁄ 0 के रूप में लिया जा सकता है।

ऐतिहासिक रूप से, मान निर्दिष्ट करने की गणितीय असंभवता के पहले संदर्भों में से एक ⁄ 0 जॉर्ज बर्कले की इनफिनिटसिमल कैलकुलस की आलोचना में है।

तर्क त्रुटियाँ

चूँकि किसी भी संख्या को शून्य से गुणा करने पर, हमें हमेशा परिणाम के रूप में शून्य प्राप्त होता है, अभिव्यक्ति के दोनों भागों को विभाजित करने पर × 0 = × 0, जो कि मान की परवाह किए बिना सत्य है और, 0 से, हमें अभिव्यक्ति = प्राप्त होती है, जो है मनमाने ढंग से दिए गए चर के मामले में गलत। चूँकि शून्य को अंतर्निहित रूप से दिया जा सकता है, लेकिन एक जटिल गणितीय अभिव्यक्ति के रूप में, उदाहरण के लिए, बीजगणितीय परिवर्तनों द्वारा एक दूसरे से कम किए गए दो मूल्यों के अंतर के रूप में, ऐसा विभाजन एक स्पष्ट गलती हो सकता है। स्पष्ट रूप से अलग-अलग मात्राओं की पहचान दिखाने के लिए प्रमाण प्रक्रिया में इस तरह के विभाजन का अगोचर परिचय, जिससे कोई भी बेतुका बयान साबित हो, गणितीय परिष्कार की किस्मों में से एक है।

कंप्यूटर विज्ञान में

प्रोग्रामिंग में, प्रोग्रामिंग भाषा, डेटा प्रकार और लाभांश के मूल्य के आधार पर, शून्य से विभाजित करने का प्रयास अलग-अलग परिणाम दे सकता है। पूर्णांक और वास्तविक अंकगणित में शून्य से विभाजन के परिणाम मौलिक रूप से भिन्न हैं:

• कोशिश करना पूर्णांकशून्य से विभाजन हमेशा एक गंभीर त्रुटि होती है जिससे प्रोग्राम को निष्पादित करना जारी रखना असंभव हो जाता है। यह या तो एक अपवाद को फेंकने की ओर ले जाता है (जिसे प्रोग्राम स्वयं संभाल सकता है, जिससे आपातकालीन रोक से बचा जा सकता है), या एक घातक त्रुटि संदेश और संभवतः, कॉल स्टैक की सामग्री के साथ प्रोग्राम को तुरंत रोक देता है। कुछ प्रोग्रामिंग भाषाओं में, जैसे कि गो, शून्य स्थिरांक द्वारा पूर्णांक विभाजन को एक वाक्यविन्यास त्रुटि माना जाता है और प्रोग्राम को संकलित करने का कारण बनता है।
• में असलीविभिन्न भाषाओं में अंकगणितीय परिणाम भिन्न हो सकते हैं:

• अपवाद फेंकना या प्रोग्राम को रोकना, जैसा कि पूर्णांक विभाजन के साथ होता है;
• ऑपरेशन के परिणामस्वरूप एक विशेष गैर-संख्यात्मक मान प्राप्त करना। इस मामले में, गणना बाधित नहीं होती है, और उनके परिणाम को बाद में प्रोग्राम द्वारा या उपयोगकर्ता द्वारा सार्थक मूल्य या गलत गणना के सबूत के रूप में व्याख्या किया जा सकता है। सिद्धांत का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, जिसके अनुसार, फॉर्म ⁄ 0 को विभाजित करते समय, जहां ≠ 0 एक फ्लोटिंग पॉइंट संख्या है, परिणाम सकारात्मक या नकारात्मक (लाभांश के संकेत के आधार पर) अनंत के बराबर होता है - या, और जब = 0, परिणाम एक विशेष मान NaN है (अंग्रेजी से संक्षेप में एक संख्या नहीं - "एक संख्या नहीं")। यह दृष्टिकोण IEEE 754 मानक में अपनाया गया है, जो कई आधुनिक प्रोग्रामिंग भाषाओं द्वारा समर्थित है।

कंप्यूटर प्रोग्राम में शून्य द्वारा यादृच्छिक विभाजन कभी-कभी प्रोग्राम द्वारा नियंत्रित उपकरणों में महंगी या खतरनाक विफलताओं का कारण बन सकता है। उदाहरण के लिए, 21 सितंबर, 1997 को अमेरिकी नौसेना के क्रूजर यूएसएस यॉर्कटाउन (सीजी-48) के कम्प्यूटरीकृत नियंत्रण प्रणाली में शून्य से एक विभाजन ने सिस्टम में सभी इलेक्ट्रॉनिक उपकरणों को बंद कर दिया, जिससे जहाज के बिजली संयंत्र ने काम करना बंद कर दिया।

यह सभी देखें

टिप्पणियाँ

फ़ंक्शन = 1 ⁄ . जब दाईं ओर से शून्य की ओर जाता है, अनंत की ओर जाता है; जब बायीं ओर से शून्य की ओर प्रवृत्त होता है, तो शून्य से अनंत की ओर प्रवृत्त होता है

यदि आप पारंपरिक कैलकुलेटर पर किसी भी संख्या को शून्य से विभाजित करते हैं, तो यह आपको अक्षर ई या त्रुटि शब्द देगा, अर्थात "त्रुटि"।

ऐसे ही मामले में कंप्यूटर कैलकुलेटर लिखता है (Windows XP में): "शून्य से विभाजन निषिद्ध है।"

सब कुछ स्कूल के ज्ञात नियम के अनुरूप है कि आप शून्य से भाग नहीं दे सकते।

आइए देखें क्यों.

भाग एक गणितीय संक्रिया है जो गुणन का व्युत्क्रम है। भाग को गुणन द्वारा परिभाषित किया जाता है।

किसी संख्या को विभाजित करें ए(लाभांश, उदाहरण के लिए 8) एक संख्या से बी(भाजक, उदाहरण के लिए, संख्या 2) - का अर्थ है ऐसी संख्या ज्ञात करना एक्स(भागफल), जब एक भाजक से गुणा किया जाता है बीयह विभाज्य हो जाता है ए(4 2 = 8), अर्थात्। एसे भाग बीसमीकरण x · b = a को हल करने का मतलब है.

समीकरण a: b = x, समीकरण x · b = a के समतुल्य है।

हम भाग को गुणन से बदलते हैं: 8: 2 = x के बजाय हम x 2 = 8 लिखते हैं।

8: 2 = 4, 4 2 = 8 के बराबर है

18: 3 = 6, 6 3 = 18 के बराबर है

20: 2 = 10, 10 2 = 20 के बराबर है

भाग के परिणाम को सदैव गुणन द्वारा जांचा जा सकता है। किसी भाजक को भागफल से गुणा करने का परिणाम लाभांश होना चाहिए।

इसी प्रकार, आइए शून्य से भाग देने का प्रयास करें।

उदाहरण के लिए, 6: 0 =... हमें एक ऐसी संख्या ढूंढनी होगी जिसे 0 से गुणा करने पर 6 प्राप्त हो। लेकिन हम जानते हैं कि जब शून्य से गुणा किया जाता है, तो हमेशा शून्य प्राप्त होता है। ऐसी कोई संख्या नहीं है, जिसे शून्य से गुणा करने पर शून्य के अलावा कुछ और मिले।

जब वे कहते हैं कि शून्य से विभाजित करना असंभव या निषिद्ध है, तो इसका मतलब है कि ऐसे विभाजन के परिणाम के अनुरूप कोई संख्या नहीं है (शून्य से विभाजित करना संभव है, लेकिन विभाजित करना नहीं :))।

वे स्कूल में क्यों कहते हैं कि आप शून्य से भाग नहीं दे सकते?

इसलिए, में परिभाषाए को बी से विभाजित करने की प्रक्रिया में, तुरंत इस बात पर जोर दिया जाता है कि बी ≠ 0.

यदि ऊपर लिखी गई हर बात आपके लिए बहुत जटिल लगती है, तो यह पूरी तरह से आपकी उंगलियों पर है: 8 को 2 से विभाजित करने का मतलब यह पता लगाना है कि 8 प्राप्त करने के लिए आपको कितने दो की आवश्यकता है (उत्तर: 4)। 18 को 3 से विभाजित करने का अर्थ यह पता लगाना है कि 18 प्राप्त करने के लिए आपको कितने त्रिगुणों की आवश्यकता है (उत्तर: 6)।

6 को शून्य से विभाजित करने का अर्थ है यह पता लगाना कि 6 प्राप्त करने के लिए आपको कितने शून्य लेने होंगे। आप चाहे कितने भी शून्य लें, फिर भी आपको शून्य ही मिलेगा, लेकिन आपको कभी भी 6 नहीं मिलेगा, यानी शून्य से विभाजन परिभाषित नहीं है।

यदि आप एंड्रॉइड कैलकुलेटर पर संख्या को शून्य से विभाजित करने का प्रयास करते हैं तो एक दिलचस्प परिणाम प्राप्त होता है। स्क्रीन ∞ (अनंत) (या - ∞ यदि आप ऋणात्मक संख्या से विभाजित करते हैं) प्रदर्शित करेगी। यह परिणाम ग़लत है, क्योंकि इसमें कोई संख्या ∞ नहीं है। जाहिरा तौर पर, प्रोग्रामर ने पूरी तरह से अलग-अलग ऑपरेशनों को भ्रमित कर दिया है - संख्याओं को विभाजित करना और संख्यात्मक अनुक्रम n / x की सीमा का पता लगाना, जहां x → 0. शून्य को शून्य से विभाजित करने पर, NaN (एक संख्या नहीं - एक संख्या नहीं) लिखा जाएगा।

"आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते!" - अधिकांश छात्र बिना कोई प्रश्न पूछे इस नियम को याद कर लेते हैं। सभी बच्चे जानते हैं कि "नहीं" क्या है और यदि आप इसके उत्तर में पूछें: "क्यों?" तो क्या होगा? लेकिन वास्तव में, यह जानना बहुत दिलचस्प और महत्वपूर्ण है कि यह असंभव क्यों है।

बात यह है कि अंकगणित की चार संक्रियाएँ - जोड़, घटाव, गुणा और भाग - वास्तव में असमान हैं। गणितज्ञ उनमें से केवल दो को ही पूर्ण रूप से पहचानते हैं - जोड़ और गुणा। ये संक्रियाएँ और उनके गुण संख्या की अवधारणा की परिभाषा में ही शामिल हैं। अन्य सभी क्रियाएँ किसी न किसी रूप में इन्हीं दोनों से निर्मित होती हैं।

उदाहरण के लिए, घटाव पर विचार करें। मतलब क्या है 5 - 3 ? छात्र इसका सरलता से उत्तर देगा: आपको पांच वस्तुएं लेनी होंगी, उनमें से तीन को हटा देना होगा और देखना होगा कि कितनी बची हैं। लेकिन गणितज्ञ इस समस्या को बिल्कुल अलग तरीके से देखते हैं। इसमें कोई घटाव नहीं है, केवल जोड़ है। इसलिए, प्रवेश 5 - 3 एक संख्या का मतलब है, जब किसी संख्या में जोड़ा जाता है 3 नंबर दे देंगे 5 . वह है 5 - 3 समीकरण के लिए बस एक आशुलिपि है: एक्स + 3 = 5. इस समीकरण में कोई घटाव नहीं है.

शून्य से विभाजन

केवल एक कार्य है - एक उपयुक्त संख्या ढूँढ़ना।

गुणा और भाग के साथ भी यही सच है। रिकॉर्डिंग 8: 4 आठ वस्तुओं को चार बराबर ढेरों में विभाजित करने के परिणाम के रूप में समझा जा सकता है। लेकिन यह वास्तव में समीकरण का एक संक्षिप्त रूप है 4 x = 8.

यहीं पर यह स्पष्ट हो जाता है कि शून्य से विभाजित करना असंभव (या बल्कि असंभव) क्यों है। रिकॉर्डिंग 5: 0 का संक्षिप्त रूप है 0 एक्स = 5. अर्थात् यह कार्य एक ऐसी संख्या ज्ञात करना है, जिसे गुणा करने पर 0 दे देंगे 5 . लेकिन हम जानते हैं कि जब इसे गुणा किया जाता है 0 हमेशा निकलता है 0 . यह शून्य का एक अंतर्निहित गुण है, कड़ाई से कहें तो इसकी परिभाषा का हिस्सा है।

एक संख्या जिसे, जब गुणा किया जाता है 0 शून्य के अलावा कुछ और देगा, बस अस्तित्व में नहीं है। यानी हमारी समस्या का कोई समाधान नहीं है. (हां, ऐसा होता है, हर समस्या का समाधान नहीं होता।) 5: 0 किसी विशिष्ट संख्या के अनुरूप नहीं है, और इसका कोई मतलब नहीं है और इसलिए इसका कोई मतलब नहीं है। इस प्रविष्टि की निरर्थकता को संक्षेप में यह कहकर व्यक्त किया गया है कि आप शून्य से भाग नहीं दे सकते।

इस बिंदु पर सबसे चौकस पाठक निश्चित रूप से पूछेंगे: क्या शून्य को शून्य से विभाजित करना संभव है?

दरअसल, समीकरण के बाद से 0 एक्स = 0सफलतापूर्वक हल किया गया. उदाहरण के तौर पर आप ले सकते हैं एक्स=0, और फिर हम पाते हैं 0 0 = 0. यह पता चला है 0: 0=0 ? लेकिन आइए जल्दबाजी न करें। आइए लेने का प्रयास करें एक्स=1. पाना 0 1 = 0. सही? साधन, 0: 0 = 1 ? लेकिन आप कोई भी नंबर ले सकते हैं और प्राप्त कर सकते हैं 0: 0 = 5 , 0: 0 = 317 वगैरह।

लेकिन यदि कोई संख्या उपयुक्त है, तो हमारे पास उनमें से किसी एक को चुनने का कोई कारण नहीं है। यानी हम यह नहीं बता सकते कि कौन सी संख्या प्रविष्टि से मेल खाती है 0: 0 . और यदि हां, तो हमें यह स्वीकार करने के लिए मजबूर होना पड़ता है कि इस रिकॉर्ड का भी कोई मतलब नहीं है। इससे पता चलता है कि शून्य को भी शून्य से विभाजित नहीं किया जा सकता। (गणितीय विश्लेषण में, ऐसे मामले होते हैं, जब समस्या की अतिरिक्त स्थितियों के कारण, कोई समीकरण को हल करने के लिए संभावित विकल्पों में से किसी एक को प्राथमिकता दे सकता है 0 एक्स = 0; ऐसे मामलों में, गणितज्ञ "अनिश्चितता के प्रकटीकरण" की बात करते हैं, लेकिन अंकगणित में ऐसे मामले नहीं होते हैं।)

यह डिवीजन ऑपरेशन की विशेषता है. अधिक सटीक रूप से, गुणन संक्रिया और उससे जुड़ी संख्या में शून्य होता है।

खैर, इस बिंदु तक पढ़ने वाले सबसे सूक्ष्म लोग पूछ सकते हैं: ऐसा क्यों है कि आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते, लेकिन आप शून्य घटा सकते हैं? एक तरह से, यहीं से वास्तविक गणित शुरू होता है। इसका उत्तर केवल संख्यात्मक सेटों की औपचारिक गणितीय परिभाषाओं और उन पर संक्रियाओं से परिचित होकर ही दिया जा सकता है। यह इतना कठिन नहीं है, लेकिन किसी कारण से स्कूल में इसका अध्ययन नहीं किया जाता है। लेकिन विश्वविद्यालय में गणित पर व्याख्यान में आपको सबसे पहले यही सिखाया जाएगा।

विभाजन फ़ंक्शन उस श्रेणी के लिए परिभाषित नहीं है जहां भाजक शून्य है। आप विभाजित कर सकते हैं, लेकिन परिणाम परिभाषित नहीं है

आप शून्य से अंतर नहीं कर सकते. हाई स्कूल की गणित 2 कक्षाएँ।

यदि मेरी स्मृति मेरी सही सेवा करती है, तो शून्य को एक अतिसूक्ष्म मान के रूप में दर्शाया जा सकता है, इसलिए अनंत होगा। और स्कूल "शून्य - कुछ भी नहीं" सिर्फ एक सरलीकरण है, स्कूल गणित में उनमें से बहुत सारे हैं। लेकिन उनके बिना किसी भी तरह से, नियत समय में सब कुछ।

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शून्य से विभाजन

से निजी शून्य से विभाजनशून्य के अलावा कोई संख्या नहीं है.

यहां तर्क इस प्रकार है: चूंकि इस मामले में कोई भी संख्या भागफल की परिभाषा को संतुष्ट नहीं कर सकती है।

आइए लिखें, उदाहरण के लिए,

आप परीक्षण के लिए जो भी संख्या लें (जैसे, 2, 3, 7), वह अच्छी नहीं है क्योंकि:

\[2 0 = 0 \]

\[ 3 0 = 0 \]

\[7 0 = 0 \]

यदि आप 0 से भाग दें तो क्या होगा?

आदि, लेकिन आपको उत्पाद 2,3,7 प्राप्त करना होगा।

हम कह सकते हैं कि शून्य के अलावा किसी अन्य संख्या को शून्य से विभाजित करने की समस्या का कोई समाधान नहीं है। हालाँकि, शून्य के अलावा किसी अन्य संख्या को मनमाने ढंग से शून्य के करीब की संख्या से विभाजित किया जा सकता है, और भाजक शून्य के जितना करीब होगा, भागफल उतना ही बड़ा होगा। तो अगर हम 7 से भाग दें

\[ \frac(1)(10), \frac(1)(100), \frac(1)(1000), \frac(1)(10000) \]

तब हमें निजी 70, 700, 7000, 70,000 आदि मिलते हैं, जो अनिश्चित काल तक बढ़ते रहते हैं।

इसलिए, यह अक्सर कहा जाता है कि 7 को 0 से विभाजित करने का भागफल "असीम रूप से बड़ा" या "अनंत के बराबर" होता है, और वे लिखते हैं

\[7:0 = \इन्फिन\]

इस अभिव्यक्ति का अर्थ यह है कि यदि भाजक शून्य के करीब पहुंचता है, और लाभांश 7 के बराबर रहता है (या 7 के करीब पहुंचता है), तो भागफल अनिश्चित काल तक बढ़ता है।

स्कूल में हम सभी को एक सरल नियम सिखाया जाता है कि आप शून्य से भाग नहीं दे सकते। उसी समय, जब हम प्रश्न पूछते हैं: "क्यों?", तो हमें उत्तर दिया जाता है: "यह सिर्फ एक नियम है और आपको इसे जानना आवश्यक है।" इस लेख में मैं आपको यह समझाने की कोशिश करूंगा कि शून्य से भाग देना असंभव क्यों है। वे लोग क्यों ग़लत कहते हैं जो कहते हैं कि शून्य से भाग देना संभव है और फिर अनन्त भी ग़लत होगा।

आप शून्य से भाग क्यों नहीं दे सकते?

औपचारिक रूप से, गणित में, केवल दो क्रियाएँ होती हैं। संख्याओं का जोड़ और गुणा. तो घटाव और विभाजन के बारे में क्या? आइए ऐसे एक उदाहरण पर विचार करें। 7-4=3, हम सभी जानते हैं कि सात घटा चार बराबर तीन होता है। वास्तव में, इस उदाहरण को, औपचारिक रूप से, समीकरण x + 4 = 7 को हल करने का एक तरीका माना जा सकता है। यानी हम एक ऐसी संख्या चुनते हैं जो चार के साथ मिलकर 7 देगी. फिर हम ज्यादा देर तक नहीं सोचेंगे और समझेंगे कि यह संख्या तीन के बराबर है. विभाजन के साथ भी ऐसा ही है। मान लीजिए 12/3. यह x*3=12 के समान होगा।

हम एक संख्या चुनते हैं, जिसे 3 से गुणा करने पर हमें 12 प्राप्त होगा। इस मामले में, यह चार होगा। यह काफी स्पष्ट है. 7/0 जैसे उदाहरणों के बारे में क्या? यदि हम सात को शून्य से विभाजित करके लिखें तो क्या होगा? इसका मतलब यह है कि हम, मानो, 0*x=7 के रूप का एक समीकरण हल कर रहे हैं। लेकिन इस समीकरण का कोई हल नहीं है, क्योंकि यदि आप शून्य को किसी भी संख्या से गुणा करते हैं, तो आपको हमेशा शून्य ही मिलता है। यानी कोई समाधान नहीं है. इसे या तो इन शब्दों के साथ लिखा जाता है कि कोई समाधान नहीं है, या किसी संकेत के साथ लिखा जाता है जिसका अर्थ है खाली सेट।

दूसरे शब्दों में

इस नियम का मतलब ये है. आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते क्योंकि संबंधित समीकरण, शून्य को x से गुणा करने पर सात होता है, या जिस भी संख्या को हम शून्य से विभाजित करने का प्रयास कर रहे हैं, उसका कोई समाधान नहीं है। सबसे चौकस व्यक्ति यह कह सकता है कि यदि हम शून्य को शून्य से विभाजित करते हैं, तो यह काफी निष्पक्ष रूप से प्राप्त होता है कि यदि 0*X=0। सब कुछ ठीक है, हम शून्य को किसी संख्या से गुणा करते हैं, हमें शून्य मिलता है। लेकिन तब हमारे पास समाधान के रूप में कोई भी संख्या हो सकती है। यदि हम x=1, 0*1=0, x=100500, 0*100500=0 को देखें। यहां कोई भी संख्या काम करेगी.

तो हम उनमें से किसी एक को क्यों चुनें? वास्तव में हमारे पास ऐसा कोई विचार नहीं है जिसके द्वारा हम इनमें से किसी एक संख्या को ले सकें और कह सकें कि ये समीकरणों के समाधान हैं। इसलिए, इसके अनंत रूप से कई समाधान हैं, और यह एक अस्पष्ट समस्या भी है, जिसके बारे में यह माना जाता है कि इसका कोई समाधान नहीं है।

अनंतता

ऊपर, मैंने आपको वे कारण बताए कि आप क्यों विभाजित नहीं हो सकते, अब मैं आपसे बात करना चाहता हूं। आइए सावधानी के साथ शून्य ऑपरेशन द्वारा डिवीजन से संपर्क करने का प्रयास करें। सबसे पहले संख्या 5 को दो से विभाजित करें। हम जानते हैं कि दशमलव भिन्न 2.5 निकलेगा। अब हम भाजक को कम करते हैं और 5 को 1 से विभाजित करते हैं, यह 5 होगा। अब हम 5 को 0.5 से विभाजित करते हैं। यह पाँच को एक आधे से विभाजित करने के समान है, या 5 * 2 के समान है, यह 10 होगा। ध्यान दें कि विभाजन का परिणाम, यानी भागफल, बढ़ता है: 2.5, 5, 10।

अब 5 को 0.1 से विभाजित करते हैं, यह 5*10=50 के समान होगा, भागफल फिर से बढ़ गया है। उसी समय, हमने भाजक को कम कर दिया। यदि हम 5 को 0.01 से विभाजित करें तो यह 5*100=500 के समान होगा। देखना। हम भाजक को जितना छोटा करेंगे, भागफल उतना ही बड़ा होगा। यदि हम 5 को 0.00001 से विभाजित करते हैं, तो हमें 500000 प्राप्त होता है।

संक्षेप

यदि आप इसे इस अर्थ में देखें तो शून्य से विभाजन क्या है? ध्यान दें कि हमने अपना भागफल कैसे कम किया? यदि आप एक अक्ष बनाते हैं, तो यह दर्शाता है कि हमारे पास पहले दो थे, फिर एक, फिर 0.5, 0.1, इत्यादि। हम शून्य के करीब और दाहिनी ओर करीब पहुंचते रहे, लेकिन हम कभी भी शून्य तक नहीं पहुंचे। हम छोटी से छोटी संख्या लेते हैं और उससे अपने भागफल को विभाजित करते हैं। यह और भी बड़ा होता जा रहा है. इस मामले में, वे लिखते हैं कि हम 5 को X से विभाजित करते हैं, जहाँ x अपरिमित रूप से छोटा है। यानी यह शून्य के करीब और करीब होता जा रहा है। इस मामले में भी यह वैसा ही है, जब पाँच को X से विभाजित करने पर हमें अनंत प्राप्त होता है। एक अपरिमित बड़ी संख्या. यहां एक बारीकियां है.

यदि हम दाईं ओर से शून्य की ओर बढ़ते हैं, तो यह अतिसूक्ष्म हमारे लिए सकारात्मक होगा, और हमें प्लस अनंत प्राप्त होगा। यदि हम बायीं ओर से x की ओर बढ़ते हैं, अर्थात, यदि हम पहले -2 से विभाजित करते हैं, फिर -1 से, -0.5 से, -0.1 से, इत्यादि। हमें ऋणात्मक भागफल प्राप्त होगा। और फिर पांच को x से विभाजित किया जाता है, जहां x असीम रूप से छोटा होगा, लेकिन पहले से ही बाईं ओर, शून्य से अनंत के बराबर होगा। इस मामले में, वे लिखते हैं: x दाईं ओर से शून्य की ओर प्रवृत्त होता है, 0 + 0, यह दर्शाता है कि हम दाईं ओर से शून्य की ओर प्रवृत्त होते हैं। मान लीजिए कि यदि हम दाईं ओर के तीन के लिए प्रयास कर रहे थे, तो इस मामले में वे लिखते हैं कि x बाईं ओर जाता है। तदनुसार, हम बायीं ओर से तीन के लिए प्रयास करेंगे, इसे ऐसे लिखेंगे जैसे x 3-0 की ओर जाता है।

फ़ीचर ग्राफ़ कैसे मदद कर सकता है

फ़ंक्शन का ग्राफ़, जिसे हम स्कूल में हर समय देखते थे, इसे बेहतर ढंग से समझने में मदद करता है। फ़ंक्शन को व्युत्क्रम संबंध कहा जाता है, और इसका ग्राफ़ एक अतिशयोक्ति है। अतिशयोक्ति इस प्रकार दिखती है. यह एक वक्र है जिसके अनंतस्पर्शी अक्षर x और y हैं। अनंतस्पर्शी वह रेखा है जिस तक वक्र जाता है लेकिन कभी पहुंचता नहीं है। ऐसा है गणितीय नाटक. हम देखते हैं कि जितना हम शून्य के करीब पहुँचते हैं, y का हमारा मान उतना ही बड़ा हो जाता है। x छोटा हो जाता है, यानी, जब x दाहिनी ओर शून्य की ओर बढ़ता है, तो y अधिक से अधिक हो जाता है, और प्लस अनंत तक चला जाता है। तदनुसार, जब बायीं ओर से शून्य की ओर प्रवृत्त होता है, जब x बायीं ओर से शून्य की ओर प्रवृत्त होता है, अर्थात x 0-0 की ओर प्रवृत्त होता है, तो y शून्य से अनंत की ओर प्रवृत्त होता है। ऐसा बिल्कुल सही लिखा है. Y शून्य से अनंत की ओर प्रवृत्त होता है, जबकि X बायीं ओर से शून्य की ओर प्रवृत्त होता है। तदनुसार, हम लिखेंगे कि Y धन अनंत की ओर प्रवृत्त है, जबकि x दाहिनी ओर शून्य की ओर प्रवृत्त है। अर्थात्, वास्तव में, हम शून्य से विभाजित नहीं होते हैं, हम एक अतिसूक्ष्म मान से विभाजित होते हैं।

और जो लोग कहते हैं कि आप शून्य से विभाजित कर सकते हैं, हमें बस अनंत मिलता है, उनका मतलब सिर्फ यह है कि आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते हैं, लेकिन आप शून्य के करीब एक संख्या से विभाजित कर सकते हैं, यानी एक अनंत मान से। यदि हम अतिसूक्ष्म धनात्मक से भाग देते हैं तो हमें धन अनंत प्राप्त होता है और यदि अतिसूक्ष्म ऋणात्मक से भाग देते हैं तो ऋण अनंत प्राप्त होता है।

मुझे आशा है कि इस लेख से आपको उस प्रश्न को समझने में मदद मिली होगी जो बचपन से सबसे ज्यादा परेशान करता रहा है कि शून्य से भाग देना असंभव क्यों है। क्यों हमें कोई नियम सीखने के लिए मजबूर किया जाता है, लेकिन कुछ भी समझाया नहीं जाता है। मुझे आशा है कि लेख ने आपको यह समझने में मदद की है कि आप वास्तव में शून्य से विभाजित नहीं कर सकते हैं, और जो लोग कहते हैं कि आप शून्य से विभाजित कर सकते हैं, उनका वास्तव में मतलब यह है कि आप एक अनंत मान से विभाजित कर सकते हैं।

• ट्यूटोरियल

मेरी तीन साल की बेटी सोफिया हाल ही में अक्सर "शून्य" का उल्लेख करती है, उदाहरण के लिए, इस संदर्भ में:

- सोन्या, पहले तो तुमने आज्ञा नहीं मानी, और फिर मान ली, क्या होता है?..
- अच्छा... शून्य!

वे। नकारात्मक संख्याओं की अनुभूति और शून्य की तटस्थता पहले से ही मौजूद है, ओह कैसे। जल्द ही वह पूछेगा: शून्य से भाग देना असंभव क्यों है?
और इसलिए मैंने शून्य से विभाजन और उस सब के बारे में जो कुछ भी मुझे अभी भी याद है, उसे सरल शब्दों में लिखने का निर्णय लिया।

आम तौर पर विभाजन को सौ बार सुनने की तुलना में एक बार देखना बेहतर होता है।
खैर, या देखने के लिए x गुना से विभाजित किया गया...

यहां यह तुरंत स्पष्ट है कि शून्य ही जीवन, ब्रह्मांड और उन सभी का केंद्र है। मान लीजिए कि इस सब के बारे में मुख्य प्रश्न का उत्तर 42 है, लेकिन केंद्र वैसे भी 0 है। इसमें कोई चिह्न भी नहीं है, न तो प्लस (पालन किया गया), न ही माइनस (नहीं माना गया), यह वास्तव में शून्य है। और वह सूअर के बच्चों के बारे में बहुत कुछ जानता है।

क्योंकि यदि किसी सुअर को शून्य से गुणा किया जाता है, तो सुअर को इस गोल ब्लैक होल में खींच लिया जाता है, और फिर से शून्य प्राप्त होता है। जोड़-घटाने से लेकर गुणा तो क्या भाग तक की बात आने पर यह शून्य उतना तटस्थ नहीं होता...वहां, यदि शून्य "0/x" के शीर्ष पर है, तो फिर एक ब्लैक होल। सब कुछ शून्य हो जाता है. लेकिन अगर विभाजन के दौरान, और नीचे से भी - "x / 0", तो यह शुरू होता है ... सफेद खरगोश का पालन करें, सोन्या!

स्कूल में, वे आपसे कहेंगे "आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते" और वे शरमाएंगे नहीं। सबूत के तौर पर, वे कैलकुलेटर पर "1/0 =" दबाते हैं और सामान्य कैलकुलेटर भी, बिना शरमाए, "ई", "त्रुटि" लिख देगा, वे कहते हैं, "यह असंभव है - इसका मतलब है कि यह असंभव है।" हालाँकि साधारण कैलकुलेटर किसे माना जाएगा यह एक और सवाल है। अब, 2014 में, एंड्रॉइड फोन पर एक मानक कैलकुलेटर मेरे लिए बिल्कुल अलग कुछ लिखता है:

वाह अनंत! अपनी आँखें सरकाएँ, वृत्त काटें। यहाँ आप नहीं कर सकते. यह पता चला है कि आप कर सकते हैं. अगर ध्यान से. क्योंकि सावधान न रहें, मेरा एंड्रॉइड अभी भी सहमत नहीं है: "0/0=त्रुटि", फिर भी आप नहीं कर सकते। आइए पुनः प्रयास करें: "-1/0 = -∞", ओह कैसे। दिलचस्प राय, लेकिन मैं इससे सहमत नहीं हूं. चूँकि मैं "0/0=त्रुटि" से सहमत नहीं हूँ।

वैसे, आज की साइटों को शक्ति प्रदान करने वाला जावास्क्रिप्ट एंड्रॉइड कैलकुलेटर से भी असहमत है: ब्राउज़र कंसोल पर जाएं (अभी भी F12?) और वहां लिखें: "0/0" (दर्ज करें)। JS आपको उत्तर देगा: "NaN"। यह कोई गलती नहीं है. यह "कोई संख्या नहीं" है - अर्थात। ऐसा कुछ, लेकिन कोई संख्या नहीं। जबकि "1/0" जेएस "इन्फिनिटी" के रूप में भी समझता है। यह करीब है. लेकिन जब तक गर्मी है...

विश्वविद्यालय में - उच्च गणित। सीमाएं, ध्रुव और अन्य शर्मिंदगी हैं। और सब कुछ अधिक जटिल, अधिक जटिल हो जाता है, वे इधर-उधर भटकते रहते हैं, लेकिन गणित के क्रिस्टल नियमों का उल्लंघन नहीं करते हैं। लेकिन यदि आप इन मौजूदा कानूनों में शून्य से विभाजन दर्ज करने का प्रयास नहीं करते हैं, तो आप इस कल्पना को अपनी उंगलियों पर महसूस कर सकते हैं।

ऐसा करने के लिए, आइए विभाजन को फिर से देखें:

दाएँ पंक्ति का अनुसरण करें, दाएँ से बाएँ। x शून्य के जितना करीब होता है, x से विभाजित भाग उतना ही अधिक ऊपर की ओर उड़ता है। और कहीं बादलों में "प्लस इनफिनिटी"। वह हमेशा आगे रहती है, क्षितिज की तरह, तुम उसे पकड़ नहीं पाओगे।

अब बायीं रेखा का अनुसरण करें, बायें से दायें। वही कहानी, केवल अब विभाजित, अनंत रूप से नीचे, "माइनस इनफिनिटी" में उड़ जाता है। इसलिए यह राय है कि "1/0= +∞", और "-1/0 = 1/-0 = -∞"।

लेकिन चाल यह है कि "0 = -0", शून्य का कोई चिह्न नहीं है, यदि आप सीमाओं को जटिल नहीं बनाते हैं। और यदि आप किसी को बिना किसी चिन्ह के ऐसे "सरल" शून्य से विभाजित करते हैं, तो क्या यह मान लेना तर्कसंगत नहीं है कि अनंत भी निकलेगा - "सिर्फ" अनंत, बिना किसी चिन्ह के, शून्य की तरह। यह कहाँ है - ऊपर या नीचे? यह हर जगह है - सभी दिशाओं में शून्य से असीम रूप से दूर। यह शून्य अंदर से बाहर निकला हुआ है। शून्य - कुछ भी नहीं. अनंत ही सब कुछ है. सकारात्मक और नकारात्मक दोनों. सामान्य तौर पर, सब कुछ। और तुरंत. शुद्ध।

लेकिन "0/0" के बारे में कुछ था, अनंत नहीं, कुछ और... आइए यह ट्रिक करें: "2 * 0 = 0", हाँ, स्कूल में शिक्षक कहेंगे। इसके अलावा: "3 * 0 = 0" - फिर से, हाँ। और "आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते" पर थोड़ा थूकने के बाद, वे कहते हैं, पूरी दुनिया पहले से ही धीरे-धीरे विभाजित हो रही है, हमें मिलता है: "2=0/0" और "3=0/0"। यह किस कक्षा में आयोजित किया जाता है, केवल शून्य के बिना, बिल्कुल।

एक मिनट रुकें, यह "2 = 0/0 = 3", "2=3" निकलेगा?! इसीलिए वे डरते हैं, इसीलिए वे "नहीं कर सकते"। केवल "0/0" "1/0" से भी बदतर है, यहां तक ​​कि एंड्रॉइड कैलकुलेटर भी इससे डरता है।

और हम डरते नहीं हैं! क्योंकि हमारे पास कल्पना गणित की शक्ति है. हम खुद को सितारों में कहीं एक अनंत निरपेक्ष के रूप में कल्पना कर सकते हैं, वहां से सीमित संख्याओं और लोगों की पापी दुनिया को देख सकते हैं और समझ सकते हैं कि इस दृष्टिकोण से वे सभी एक जैसे हैं। और "2" सी "3", और यहां तक ​​कि "-1", और स्कूल में शिक्षक, शायद, भी।

इसलिए, मैं विनम्रतापूर्वक मानता हूं कि 0/0 पूरी सीमित दुनिया है, या बल्कि वह सब कुछ जो अनंत नहीं है और शून्यता नहीं है।

आधिकारिक गणित से दूर, मेरी कल्पनाओं में x से विभाजित शून्य ऐसा ही दिखता है। वास्तव में, यह 1/x जैसा दिखता है, केवल विभक्ति एक पर नहीं, बल्कि शून्य पर है। वैसे, 2/x में दो में विभक्ति है, और 0.5/x में 0.5 में विभक्ति है।

यह पता चलता है कि x=0 पर 0/x सभी परिमित मान लेता है - अनंत नहीं, शून्यता नहीं। ग्राफ़ में शून्य पर एक छेद है, अक्ष दिखाई दे रहे हैं।

बेशक, कोई इस बात पर आपत्ति कर सकता है कि "0 * 0 = 0", जिसका अर्थ है कि शून्य (खालीपन) भी 0/0 की श्रेणी में आता है। मैं थोड़ा आगे दौड़ूंगा - शून्य की डिग्री होगी और यह आपत्ति टुकड़े-टुकड़े हो जाएगी।

उफ़, अनंत में जो है उसे 0/0 के रूप में भी लिखा जा सकता है, यह (0/0)/0 - अनंत हो जाता है। अब क्रम, सब कुछ शून्य के अनुपात से व्यक्त किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए, यदि आप परिमित को अनंत में जोड़ते हैं, तो अनंत परिमित को अवशोषित कर लेगा और अनंत ही रहेगा:
1/0 + 0/0 = (1+0)/0 = 1/0.

और यदि अनंत को शून्यता से गुणा किया जाता है, तो वे एक दूसरे को अवशोषित करते हैं, और एक सीमित दुनिया प्राप्त होती है:
1/0 * 0 = (1*0)/0 = 0/0.

लेकिन यह सपनों का केवल पहला स्तर है। आप गहरी खुदाई कर सकते हैं.

यदि आप पहले से ही "किसी संख्या की शक्ति" और "1/x = x^-1" की अवधारणा को जानते हैं, तो, कुछ विचार के साथ, आप इन सभी विभाजनों और कोष्ठकों (जैसे (0/0)/) से आगे बढ़ सकते हैं 0) केवल शक्तियों के लिए:

1/0 = 0^-1
0/0 = 0^0
0 = 0^1

संकेत।
यहां, अनंतता और शून्यता के साथ, सब कुछ सरल है, जैसे स्कूल में। और सीमित दुनिया इस तरह डिग्री तक जाती है:

0/0
= (0*1)/0
= 0*(1/0)
= 0 * 1/0
= 0^1 * 0^-1
= 0^(1 + -1)
= 0^(1-1)
= 0^0.

उफ़!

इससे पता चलता है कि शून्य की सकारात्मक डिग्री शून्य हैं, शून्य की नकारात्मक डिग्री अनंत हैं, और शून्य की शून्य डिग्री एक सीमित दुनिया है।

इस प्रकार सार्वभौमिक वस्तु "0^x" प्राप्त होती है। ऐसी वस्तुएं एक-दूसरे के साथ पूरी तरह से बातचीत करती हैं, फिर से वे सामान्य रूप से कई कानूनों, सौंदर्य का पालन करती हैं।

गणित के बारे में मेरा मामूली ज्ञान उनमें से एक एबेलियन समूह को आकर्षित करने के लिए पर्याप्त था, जो शून्य में अलग-थलग था ("सिर्फ अमूर्त वस्तुएं, संकेतन का एक रूप, एक घातांक की तरह"), यहां तक ​​​​कि सबसे अच्छे गणित शिक्षक की परीक्षा भी दे दी फैसला "दिलचस्प है, लेकिन कुछ भी काम नहीं आएगा"। फिर भी, यहाँ कुछ निकलेगा, यह एक वर्जित विषय है - शून्य से विभाजन। सामान्य तौर पर, परेशान मत होइए।

आइए अनंत को एक सीमित संख्या से गुणा करने का प्रयास करें:
0^-1 * 0^0 = 0^(-1 + 0) = 0^-1.

पुनः, अनन्तता ने एक परिमित संख्या को उसी प्रकार निगल लिया जैसे उसका एंटीपोड शून्य परिमित संख्याओं को निगल लेता है, वही ब्लैक होल:
0^1 * 0^0 = 0^(1 + 0) = 0^1.

और यह पता चला कि डिग्रियां ताकत की तरह हैं। वे। दूसरी डिग्री का शून्य सामान्य शून्य (पहली डिग्री का, 0^1) से अधिक मजबूत होता है। और अनंत शून्य से दूसरी डिग्री सामान्य अनंत (0^-1) से अधिक मजबूत है।

और जब शून्य पूर्ण से टकराता है, तो वे अपनी ताकत मापते हैं - जिसके पास अधिक होगा, वह जीतेगा:
0^1 * 0^-2 = 0^(1 + -2) = 0^-1 = ∞.
0^2 * 0^-1 = 0^(2 + -1) = 0^1 = 0.

यदि वे ताकत में समान हैं, तो वे नष्ट हो जाते हैं और सीमित दुनिया बनी रहती है:
0^1 * 0^-1 = 0^(1 + -1) = 0^0.

वैसे, आधिकारिक गणित पहले से ही करीब है। इसके प्रतिनिधि "ध्रुवों" के बारे में जानते हैं और ध्रुवों की अलग-अलग ताकतें (क्रम) हैं, साथ ही "शून्य क्रम k" के बारे में भी जानते हैं। लेकिन वे अभी भी "बगल में" ठोस सतह को रौंद रहे हैं और ब्लैक होल में कूदने से डरते हैं।

और मेरे लिए आखिरी वाला सपनों का तीसरा स्तर है। उदाहरण के लिए, ये सभी 0^-1 और 0^-2 हैं - विभिन्न शक्तियों की अनंतताएँ। या 0^1, 0^2 - विभिन्न ताकत के शून्य। लेकिन आख़िरकार, "-1" और "-2" और "+1" और "+2" - बस इतना ही - 0/0, 0 ^ 0 के बराबर, पहले ही बीत चुका है। यह पता चलता है कि सपनों के इस स्तर से, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि यह क्या है - शून्य, अनंत और यहां तक ​​कि सीमित दुनिया भी कुछ ज्ञानोदय के साथ वहां पहुंचती है। एक बिंदु पर। एक श्रेणी में. इस ख़ुशी को विलक्षणता कहा जाता है।

यह स्वीकार किया जाना चाहिए कि आत्मज्ञान की स्थिति के बाहर मैं एक बिंदु नहीं, बल्कि एक श्रेणी - संघ "0 ^ 0 यू 0 ^ (0 ^ 0)" - का पूरी तरह से निरीक्षण करता हूं।

इस सब से क्या लाभ हो सकता है? आख़िरकार, थोड़ा कम पागल "काल्पनिक संख्याएँ" भी, जो त्रुटि = √-1 में कैलकुलेटर को भी फाड़ देती हैं, और वे आधिकारिक गणित बन सकते हैं और अब स्टीलमेकिंग गणना को सरल बना सकते हैं।

जैसे किसी पेड़ पर पत्ते दूर से एक जैसे लगते हैं, लेकिन अगर आप उन्हें ध्यान से देखेंगे तो वे सभी अलग-अलग हैं। और अगर सोचो तो फिर वही हाल. और आपसे या मुझसे बहुत अलग नहीं है. या यों कहें कि, यदि आप गहराई से सोचें तो उनमें बिल्कुल भी अंतर नहीं है।

यहां लाभ अंतर और अमूर्त दोनों पर ध्यान केंद्रित करने की क्षमता है। यह काम और जीवन दोनों में, और यहां तक ​​कि मृत्यु के संबंध में भी बहुत उपयोगी है।

खरगोश के बिल के नीचे ऐसी यात्राएँ, सोन्या!

गणितज्ञों में हास्य की एक विशिष्ट भावना होती है और गणना से संबंधित कुछ मुद्दों को लंबे समय से गंभीरता से नहीं लिया गया है। यह हमेशा स्पष्ट नहीं होता है कि क्या वे आपको पूरी गंभीरता से समझाने की कोशिश कर रहे हैं कि शून्य से विभाजित करना असंभव क्यों है, या यह एक और मजाक है। लेकिन प्रश्न स्वयं इतना स्पष्ट नहीं है, यदि प्रारंभिक गणित में इसके समाधान तक पूरी तरह तार्किक रूप से पहुंचना संभव है, तो उच्च गणित में अन्य प्रारंभिक शर्तें भी हो सकती हैं।

शून्य कब प्रकट हुआ?

शून्य संख्या कई रहस्यों से भरी है:

• प्राचीन रोम में यह संख्या ज्ञात नहीं थी, सन्दर्भ प्रणाली I से प्रारम्भ होती थी।
• अरबों और भारतीयों ने लंबे समय तक शून्य के पूर्वज कहलाने के अधिकार के लिए बहस की।
• माया संस्कृति के अध्ययन से पता चला है कि यह प्राचीन सभ्यता शून्य के उपयोग के मामले में प्रथम हो सकती है।
• शून्य का कोई संख्यात्मक मान नहीं है, न्यूनतम भी नहीं।
• इसका शाब्दिक अर्थ कुछ भी नहीं है, गिनने लायक चीजों का अभाव।

आदिम व्यवस्था में ऐसी किसी आकृति की विशेष आवश्यकता नहीं होती थी, किसी चीज़ की अनुपस्थिति को शब्दों की सहायता से समझाया जा सकता था। लेकिन सभ्यताओं के उदय के साथ, वास्तुकला और इंजीनियरिंग के मामले में मानव की ज़रूरतें भी बढ़ी हैं।

अधिक जटिल गणनाएँ करने और नए कार्य प्राप्त करने में इसकी आवश्यकता पड़ी एक संख्या जो किसी चीज़ की पूर्ण अनुपस्थिति को इंगित करेगी.

क्या शून्य से भाग देना संभव है?

इस खाते पर, वहाँ हैं दो बिल्कुल विपरीत राय:

स्कूल में, यहाँ तक कि प्राथमिक कक्षाओं में भी, वे पढ़ाते हैं कि शून्य से विभाजन किसी भी स्थिति में असंभव है। इसे बहुत सरलता से समझाया गया है:

1. कल्पना कीजिए कि आपके पास 20 कीनू के टुकड़े हैं।
2. इन्हें 5 से विभाजित करके आप 4 स्लाइस पांच दोस्तों में बांटेंगे.
3. शून्य से भाग देने से काम नहीं चलेगा, क्योंकि किसी के बीच विभाजन की प्रक्रिया नहीं चलेगी।

बेशक, यह एक आलंकारिक व्याख्या है, जो काफी हद तक सरलीकृत है और पूरी तरह से वास्तविकता के अनुरूप नहीं है। लेकिन यह किसी चीज़ को शून्य से विभाजित करने की निरर्थकता को सबसे सुलभ तरीके से समझाता है।

आख़िरकार, वास्तव में, इस तरह से विभाजन की अनुपस्थिति के तथ्य को निरूपित करना संभव है। और गणितीय गणनाओं को जटिल क्यों बनाते हैं और विभाजन की अनुपस्थिति को भी क्यों लिखते हैं?

क्या शून्य को किसी संख्या से विभाजित किया जा सकता है?

व्यावहारिक गणित के दृष्टिकोण से, कोई भी विभाजन जिसमें शून्य भाग लेता है, उसका कोई विशेष अर्थ नहीं है। लेकिन स्कूल की पाठ्यपुस्तकें उनकी राय में स्पष्ट हैं:

• शून्य को विभाजित किया जा सकता है.
• भाग के लिए किसी भी संख्या का प्रयोग करना चाहिए।
• आप शून्य को शून्य से विभाजित नहीं कर सकते.

तीसरा बिंदु थोड़ी हैरानी का कारण बन सकता है, क्योंकि इसके ऊपर के कुछ पैराग्राफों में ही संकेत दिया गया था कि ऐसा विभाजन काफी संभव है। वास्तव में, यह सब उस अनुशासन पर निर्भर करता है जिसमें आप गणना करते हैं।

ऐसे में स्कूली बच्चों के लिए यह लिखना वाकई बेहतर है अभिव्यक्ति निर्धारित नहीं की जा सकती और, इसलिए, इसका कोई मतलब नहीं है। लेकिन बीजगणितीय विज्ञान की कुछ शाखाओं में शून्य को शून्य से विभाजित करने पर ऐसा व्यंजक लिखने की अनुमति है। खासकर जब बात कंप्यूटर और प्रोग्रामिंग भाषाओं की आती है।

शून्य को किसी संख्या से विभाजित करने की आवश्यकता किसी समानता के समाधान और प्रारंभिक मूल्यों की खोज के दौरान उत्पन्न हो सकती है। लेकिन उस मामले में, उत्तर सदैव शून्य ही होगा. यहां, गुणन की तरह, चाहे आप शून्य को किसी भी संख्या से विभाजित करें, आपको शून्य से अधिक नहीं मिलेगा। इसलिए, यदि इस पोषित संख्या को एक विशाल सूत्र में देखा जाता है, तो जल्दी से "अनुमान" लगाने का प्रयास करें कि क्या सभी गणनाएं एक बहुत ही सरल समाधान में कम हो जाएंगी।

यदि अनंत को शून्य से विभाजित किया जाए

कुछ समय पहले असीम रूप से बड़े और असीम रूप से छोटे मूल्यों का उल्लेख करना आवश्यक था, क्योंकि इससे विभाजन के लिए कुछ खामियां भी खुलती हैं, जिसमें शून्य का उपयोग भी शामिल है। यह सच है, और इसमें एक छोटी सी बाधा है, क्योंकि अतिसूक्ष्म मूल्य और मूल्य की पूर्ण अनुपस्थिति अलग-अलग अवधारणाएँ हैं.

लेकिन हमारी स्थितियों में इस छोटे से अंतर को नजरअंदाज किया जा सकता है, अंत में, गणना अमूर्त मात्राओं का उपयोग करके की जाती है:

• अंश में अनंत का चिन्ह होना चाहिए।
• हर शून्य की ओर रुझान वाले मान की एक प्रतीकात्मक छवि हैं।
• उत्तर अनंत होगा, जो एक अनंत बड़े फलन का प्रतिनिधित्व करता है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि हम अभी भी एक अतिसूक्ष्म फ़ंक्शन के प्रतीकात्मक प्रदर्शन के बारे में बात कर रहे हैं, न कि शून्य का उपयोग करने के बारे में। इस संकेत के साथ कुछ भी नहीं बदला है, इसे अभी भी इसमें विभाजित नहीं किया जा सकता है, केवल बहुत ही दुर्लभ अपवादों के रूप में।

अधिकांश भाग में, शून्य का उपयोग समस्याओं को हल करने के लिए किया जाता है विशुद्ध रूप से सैद्धांतिक स्तर. शायद, दशकों या सदियों के बाद, सभी आधुनिक गणनाओं को व्यावहारिक अनुप्रयोग मिल जाएगा, और वे विज्ञान में किसी प्रकार की भव्य सफलता प्रदान करेंगे।

इस बीच, अधिकांश गणितीय प्रतिभाएँ केवल विश्व मान्यता का सपना देखती हैं। इन नियमों का अपवाद हमारा हमवतन है, पेरेलमैन. लेकिन उन्हें पॉइनकेर अनुमान और असाधारण व्यवहार के प्रमाण के साथ वास्तव में युगांतरकारी समस्या के समाधान के लिए जाना जाता है।

विरोधाभास और शून्य से विभाजन की अर्थहीनता

अधिकांश भाग में शून्य से विभाजन का कोई मतलब नहीं है:

• विभाजन को इस प्रकार दर्शाया गया है गुणन के विपरीत कार्य करें.
• हम किसी भी संख्या को शून्य से गुणा कर सकते हैं और उत्तर में शून्य प्राप्त कर सकते हैं।
• इसी तर्क से, कोई भी किसी भी संख्या को शून्य से विभाजित कर सकता है।
• ऐसी परिस्थितियों में, यह निष्कर्ष निकालना मुश्किल नहीं होगा कि शून्य से गुणा या विभाजित की गई कोई भी संख्या किसी अन्य संख्या के बराबर होती है जिस पर यह कार्रवाई की गई थी।
• हम गणितीय क्रिया को त्याग देते हैं और एक दिलचस्प निष्कर्ष निकालते हैं - कोई भी संख्या किसी भी संख्या के बराबर होती है।

ऐसी घटनाएँ रचने के साथ-साथ शून्य से विभाजन का कोई व्यावहारिक मूल्य नहीं है, सामान्य रूप से शब्द से। यदि आप यह क्रिया कर भी लें तो भी आपको कोई नई जानकारी नहीं मिलेगी.

प्रारंभिक गणित की दृष्टि से शून्य से भाग करने पर पूरी वस्तु शून्य बार अर्थात एक बार भी विभाजित नहीं होती है। सीधे शब्दों में कहें - कोई विभाजन प्रक्रिया नहीं, इसलिए, इस घटना का परिणाम नहीं हो सकता.

एक गणितज्ञ के साथ एक ही समाज में होने के कारण, आप हमेशा कुछ सामान्य प्रश्न पूछ सकते हैं, उदाहरण के लिए, आप शून्य से भाग क्यों नहीं दे सकते हैं और एक दिलचस्प और समझने योग्य उत्तर प्राप्त कर सकते हैं। या चिड़चिड़ापन, क्योंकि यह शायद पहली बार नहीं है जब किसी व्यक्ति से यह पूछा गया हो। और दस भी नहीं. इसलिए अपने गणितज्ञ मित्रों का ख्याल रखें, उनसे एक ही स्पष्टीकरण को सैकड़ों बार न दोहराएं।

वीडियो: शून्य से भाग दें

इस वीडियो में, गणितज्ञ अन्ना लोमकोवा आपको बताएंगी कि यदि आप किसी संख्या को शून्य से विभाजित करते हैं तो क्या होता है और गणित के दृष्टिकोण से ऐसा क्यों नहीं किया जा सकता है:

एवगेनी शिर्याव, पॉलिटेक्निक संग्रहालय के गणित प्रयोगशाला के व्याख्याता और प्रमुख, शून्य से विभाजन के बारे में AiF.ru को बताया:

1. मुद्दे का क्षेत्राधिकार

सहमत हूँ, प्रतिबंध नियम को एक विशेष उत्तेजकता देता है। यह असंभव कैसे है? प्रतिबंध किसने लगाया? लेकिन हमारे नागरिक अधिकारों का क्या?

न तो रूसी संघ का संविधान, न ही आपराधिक संहिता, और न ही आपके स्कूल का चार्टर उस बौद्धिक कार्रवाई पर आपत्ति करता है जिसमें हमारी रुचि है। इसका मतलब यह है कि प्रतिबंध में कोई कानूनी बल नहीं है, और कुछ भी यहीं, AiF.ru के पन्नों पर, किसी चीज़ को शून्य से विभाजित करने की कोशिश करने से नहीं रोकता है। उदाहरण के लिए, एक हजार.

2. जैसा सिखाया गया है वैसा ही विभाजित करें

याद रखें, जब आपने पहली बार विभाजित करना सीखा था, तो पहले उदाहरणों को गुणा करके जाँच करके हल किया गया था: भाजक द्वारा गुणा किए गए परिणाम को विभाज्य से मेल खाना था। मेल नहीं खाया - निर्णय नहीं लिया।

उदाहरण 1 1000: 0 =...

आइए एक मिनट के लिए निषिद्ध नियम को भूल जाएं और उत्तर का अनुमान लगाने के लिए कई प्रयास करें।

गलत होने पर चेक काट दिया जाएगा। विकल्पों पर पुनरावृति करें: 100, 1, −23, 17, 0, 10,000। उनमें से प्रत्येक के लिए, परीक्षण समान परिणाम देगा:

100 0 = 1 0 = - 23 0 = 17 0 = 0 0 = 10,000 0 = 0

गुणा करने पर शून्य हर चीज को अपने में बदल देता है, कभी हजार में नहीं। निष्कर्ष निकालना आसान है: कोई भी संख्या परीक्षा में उत्तीर्ण नहीं होगी। अर्थात्, किसी गैर-शून्य संख्या को शून्य से विभाजित करने पर कोई भी संख्या प्राप्त नहीं हो सकती। ऐसा विभाजन निषिद्ध नहीं है, लेकिन इसका कोई परिणाम नहीं है।

3. सूक्ष्मता

प्रतिबंध का खंडन करने का एक अवसर लगभग चूक गया। हां, हम मानते हैं कि एक गैर-शून्य संख्या 0 से विभाज्य नहीं होगी। लेकिन शायद 0 स्वयं ऐसा कर सकता है?

उदाहरण 2 0: 0 = ...

निजी के लिए आपके सुझाव? 100? कृपया: 100 के भागफल को 0 के भाजक से गुणा करने पर प्राप्त भागफल 0 के विभाज्य के बराबर होता है।

अधिक विकल्प! 1? उपयुक्त भी. और -23, और 17, और सब-सब-सब। इस उदाहरण में, किसी भी संख्या के लिए परिणाम की जांच सकारात्मक होगी। और ईमानदारी से कहें तो, इस उदाहरण में समाधान को एक संख्या नहीं, बल्कि संख्याओं का एक समूह कहा जाना चाहिए। सब लोग। और इस बात पर सहमत होने में देर नहीं लगती कि ऐलिस ऐलिस नहीं है, बल्कि मैरी एन है, और वे दोनों एक खरगोश का सपना हैं।

4. उच्च गणित के बारे में क्या?

समस्या हल हो गई है, बारीकियों को ध्यान में रखा गया है, बिंदु लगाए गए हैं, सब कुछ स्पष्ट है - कोई भी संख्या शून्य से विभाजन वाले उदाहरण का उत्तर नहीं हो सकती है। ऐसी समस्याओं का समाधान निराशाजनक एवं असंभव है। बहुत रुचिकर! डबल दो.

उदाहरण 3 जानें कि 1000 को 0 से कैसे विभाजित किया जाए।

लेकिन कोई रास्ता नहीं. लेकिन 1000 को अन्य संख्याओं से आसानी से विभाजित किया जा सकता है। ठीक है, चलो कम से कम वही करें जो काम करता है, भले ही हम कार्य बदल दें। और वहां, आप देखिए, हम बहक जाएंगे, और उत्तर अपने आप प्रकट हो जाएगा। एक मिनट के लिए शून्य को भूल जाएं और सौ से भाग दें:

शतक शून्य से बहुत दूर है. आइए भाजक को कम करके इस ओर एक कदम बढ़ाएं:

1000: 25 = 40,
1000: 20 = 50,
1000: 10 = 100,
1000: 8 = 125,
1000: 5 = 200,
1000: 4 = 250,
1000: 2 = 500,
1000: 1 = 1000.

स्पष्ट गतिशीलता: भाजक शून्य के जितना करीब होगा, भागफल उतना ही अधिक होगा। इस प्रवृत्ति को आगे भी देखा जा सकता है, भिन्नों की ओर बढ़ते हुए और अंश को कम करना जारी रखते हुए:

ध्यान देने वाली बात यह है कि हम शून्य को जितना चाहें उतना करीब ला सकते हैं, जिससे भागफल मनमाने ढंग से बड़ा हो जाता है।

इस प्रक्रिया में कोई शून्य नहीं है और कोई अंतिम भागफल नहीं है। हमने संख्या को उस अनुक्रम से प्रतिस्थापित करके उनकी ओर आंदोलन का संकेत दिया जो हमारी रुचि की संख्या में परिवर्तित होता है:

इसका तात्पर्य लाभांश के लिए एक समान प्रतिस्थापन से है:

1000 ↔ { 1000, 1000, 1000,... }

तीर एक कारण से दो तरफा हैं: कुछ अनुक्रम संख्याओं में परिवर्तित हो सकते हैं। तब हम किसी अनुक्रम को उसकी संख्यात्मक सीमा के साथ जोड़ सकते हैं।

आइए भागफल के क्रम पर नजर डालें:

यह अनिश्चित काल तक बढ़ता है, बिना किसी संख्या के लिए प्रयास करता है और किसी से भी आगे निकल जाता है। गणितज्ञ संख्याओं में प्रतीक जोड़ते हैं ∞ ऐसे क्रम के आगे दो तरफा तीर लगाने में सक्षम होने के लिए:

एक सीमा के साथ अनुक्रमों की संख्या की तुलना करने से हमें तीसरे उदाहरण का समाधान प्रस्तावित करने की अनुमति मिलती है:

1000 तक अभिसरण करने वाले अनुक्रम को तत्व-वार 0 पर अभिसरण करने वाली सकारात्मक संख्याओं के अनुक्रम से विभाजित करने पर, हमें ∞ में अभिसरण करने वाला एक अनुक्रम मिलता है।

5. और यहां दो शून्य के साथ बारीकियां हैं

शून्य पर मिलने वाली सकारात्मक संख्याओं के दो अनुक्रमों को विभाजित करने का परिणाम क्या होगा? यदि वे समान हैं, तो समान इकाई। यदि कोई अनुक्रम-लाभांश तेजी से शून्य में परिवर्तित होता है, तो शून्य सीमा वाले किसी विशेष अनुक्रम में। और जब भाजक के तत्व लाभांश की तुलना में बहुत तेजी से घटते हैं, तो भागफल अनुक्रम दृढ़ता से बढ़ेगा:

अनिश्चित स्थिति. और इसलिए इसे कहा जाता है: रूप की अनिश्चितता 0/0 . जब गणितज्ञ ऐसे अनुक्रम देखते हैं जो ऐसी अनिश्चितता के अंतर्गत आते हैं, तो वे दो समान संख्याओं को एक-दूसरे से विभाजित करने में जल्दबाजी नहीं करते हैं, बल्कि यह पता लगाते हैं कि कौन सा अनुक्रम तेजी से शून्य पर चलता है और कैसे। और प्रत्येक उदाहरण का अपना विशिष्ट उत्तर होगा!

6. जीवन में

ओम का नियम एक सर्किट में करंट, वोल्टेज और प्रतिरोध से संबंधित है। इसे अक्सर इस रूप में लिखा जाता है:

आइए हम सटीक भौतिक समझ की उपेक्षा करें और औपचारिक रूप से दाईं ओर को दो संख्याओं के भागफल के रूप में देखें। कल्पना कीजिए कि हम स्कूल में बिजली की समस्या का समाधान कर रहे हैं। स्थिति को वोल्ट में वोल्टेज और ओम में प्रतिरोध दिया गया है। प्रश्न स्पष्ट है, निर्णय एक कार्यवाही में।

अब आइए अतिचालकता की परिभाषा देखें: यह कुछ धातुओं का शून्य विद्युत प्रतिरोध होने का गुण है।

खैर, आइए सुपरकंडक्टिंग सर्किट की समस्या का समाधान करें? बस इसे ऐसे ही रखो आर= 0 काम नहीं करता, भौतिकी एक दिलचस्प समस्या पेश करती है, जिसके पीछे, जाहिर है, एक वैज्ञानिक खोज है। और जो लोग इस स्थिति में शून्य से भाग देने में कामयाब रहे उन्हें नोबेल पुरस्कार मिला। किसी भी निषेध को दरकिनार करने में सक्षम होना उपयोगी है!