क्या 0 होना संभव है। आप शून्य से विभाजित क्यों नहीं हो सकते? व्याख्यात्मक उदाहरण

शून्य से विभाजनगणित में, एक विभाजन जिस पर भाजक शून्य होता है। इस तरह के विभाजन को औपचारिक रूप से ⁄ 0 के रूप में लिखा जा सकता है, लाभांश कहां है।

साधारण अंकगणित (वास्तविक संख्या के साथ) में, इस अभिव्यक्ति का कोई मतलब नहीं है, क्योंकि:

• ≠ 0 पर, ऐसी कोई संख्या नहीं है, जो 0 से गुणा करने पर प्राप्त होती है, इसलिए, किसी संख्या को भागफल ⁄ 0 के रूप में नहीं लिया जा सकता है;
• = 0 पर, शून्य से विभाजन भी अपरिभाषित है, क्योंकि किसी भी संख्या को जब 0 से गुणा किया जाता है, तो 0 देता है और भागफल 0 ⁄ 0 के रूप में लिया जा सकता है।

ऐतिहासिक रूप से, ⁄ 0 का मान निर्दिष्ट करने की गणितीय असंभवता के पहले संदर्भों में से एक जॉर्ज बर्कले की इनफिनिटसिमल कैलकुलस की आलोचना है।

तर्क त्रुटियाँ

चूँकि किसी भी संख्या को शून्य से गुणा करने पर हमें हमेशा शून्य प्राप्त होता है, जिसके परिणामस्वरूप व्यंजक × 0 = × 0 के दोनों भागों को विभाजित करने पर, जो कि मान की परवाह किए बिना सत्य है और 0 से, हमें व्यंजक = प्राप्त होता है, जो है मनमाने ढंग से दिए गए चर के मामले में गलत। चूँकि शून्य को स्पष्ट रूप से दिया जा सकता है, लेकिन एक जटिल गणितीय अभिव्यक्ति के रूप में, उदाहरण के लिए, बीजगणितीय परिवर्तनों द्वारा एक दूसरे से कम किए गए दो मानों के अंतर के रूप में, ऐसा विभाजन एक स्पष्ट गलती हो सकती है। स्पष्ट रूप से अलग-अलग मात्राओं की पहचान दिखाने के लिए प्रमाण प्रक्रिया में इस तरह के विभाजन का अगोचर परिचय, जिससे कोई बेतुका बयान साबित होता है, गणितीय परिष्कार की किस्मों में से एक है।

कंप्यूटर विज्ञान में

प्रोग्रामिंग में, प्रोग्रामिंग भाषा, डेटा प्रकार और लाभांश के मूल्य के आधार पर, शून्य से विभाजित करने का प्रयास विभिन्न परिणामों को जन्म दे सकता है। पूर्णांक और वास्तविक अंकगणित में शून्य से विभाजन के परिणाम मूलभूत रूप से भिन्न हैं:

• कोशिश करना पूर्णांकशून्य से विभाजन हमेशा एक महत्वपूर्ण त्रुटि है जो प्रोग्राम को निष्पादित करना जारी रखना असंभव बना देता है। यह या तो एक अपवाद को फेंकने की ओर ले जाता है (जो प्रोग्राम खुद को संभाल सकता है, जिससे एक आपातकालीन रोक से बचा जा सकता है), या एक घातक त्रुटि संदेश और संभवतः, कॉल स्टैक की सामग्री के साथ प्रोग्राम को तुरंत बंद कर देता है। कुछ प्रोग्रामिंग भाषाओं में, जैसे गो, एक शून्य स्थिरांक द्वारा पूर्णांक विभाजन को एक सिंटैक्स त्रुटि माना जाता है और प्रोग्राम को संकलित करने का कारण बनता है।
• में असलीविभिन्न भाषाओं में अंकगणितीय परिणाम भिन्न हो सकते हैं:

• एक अपवाद को फेंकना या कार्यक्रम को रोकना, जैसा कि पूर्णांक विभाजन के साथ होता है;
• ऑपरेशन के परिणामस्वरूप एक विशेष गैर-संख्यात्मक मान प्राप्त करना। इस मामले में, गणना बाधित नहीं होती है, और उनके परिणाम को बाद में कार्यक्रम द्वारा या उपयोगकर्ता द्वारा सार्थक मूल्य के रूप में या गलत गणनाओं के प्रमाण के रूप में व्याख्या किया जा सकता है। सिद्धांत का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, जिसके अनुसार, फॉर्म को विभाजित करते समय ⁄ 0, जहां ≠ 0 एक फ्लोटिंग पॉइंट संख्या है, परिणाम सकारात्मक या नकारात्मक (लाभांश के संकेत के आधार पर) अनंत के बराबर होता है - या, और जब = 0, परिणाम एक विशेष मान NaN है (संक्षिप्त अंग्रेजी से संख्या नहीं - "संख्या नहीं")। यह दृष्टिकोण IEEE 754 मानक में अपनाया गया है, जो कई आधुनिक प्रोग्रामिंग भाषाओं द्वारा समर्थित है।

कंप्यूटर प्रोग्राम में शून्य से यादृच्छिक विभाजन कभी-कभी प्रोग्राम द्वारा नियंत्रित उपकरण में महंगी या खतरनाक विफलताओं का कारण बन सकता है। उदाहरण के लिए, 21 सितंबर, 1997 को अमेरिकी नौसेना के क्रूजर यूएसएस यॉर्कटाउन (सीजी-48) के कम्प्यूटरीकृत नियंत्रण प्रणाली में शून्य से एक डिवीजन ने सिस्टम में सभी इलेक्ट्रॉनिक उपकरणों को बंद कर दिया, जिससे जहाज का बिजली संयंत्र काम करना बंद कर दिया।

यह सभी देखें

टिप्पणियाँ

समारोह = 1 ⁄। जब दाईं ओर से शून्य की ओर जाता है, अनंत की ओर जाता है; जब बाईं ओर से शून्य की ओर जाता है, तो माइनस इनफिनिटी की ओर जाता है

यदि आप पारंपरिक कैलकुलेटर पर किसी संख्या को शून्य से विभाजित करते हैं, तो यह आपको अक्षर E या त्रुटि शब्द देगा, अर्थात "त्रुटि"।

इसी तरह के मामले में कंप्यूटर कैलकुलेटर (Windows XP में) लिखता है: "शून्य से विभाजन निषिद्ध है।"

सब कुछ स्कूल से ज्ञात नियम के अनुरूप है जिसे आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते।

आइए देखें क्यों।

भाग एक गणितीय संक्रिया है जो गुणन का विलोम है। भाग को गुणन द्वारा परिभाषित किया जाता है।

एक संख्या को विभाजित करें ए(लाभांश, उदाहरण के लिए 8) एक संख्या से बी(भाजक, उदाहरण के लिए, संख्या 2) - का अर्थ है ऐसी संख्या ज्ञात करना एक्स(भागफल), जब एक भाजक से गुणा किया जाता है बीयह विभाज्य निकला ए(4 2 = 8), अर्थात एसे भाग बीसमीकरण x · b = a को हल करने का मतलब है।

समीकरण a: b = x समीकरण x · b = a के समतुल्य है।

हम विभाजन को गुणन से बदलते हैं: 8: 2 = x के बजाय हम x 2 = 8 लिखते हैं।

8:2 = 4, 4 2 = 8 के बराबर है

18: 3 = 6, 6 3 = 18 के बराबर है

20:2 = 10, 10 2 = 20 के बराबर है

विभाजन के परिणाम को हमेशा गुणा द्वारा जांचा जा सकता है। भाजक को भागफल से गुणा करने का परिणाम भाज्य होना चाहिए।

इसी तरह, आइए शून्य से भाग देने का प्रयास करें।

उदाहरण के लिए, 6: 0 = ... हमें एक ऐसी संख्या ज्ञात करने की आवश्यकता है, जिसे 0 से गुणा करने पर 6 प्राप्त हो। लेकिन हम जानते हैं कि जब शून्य से गुणा किया जाता है, तो हमेशा शून्य प्राप्त होता है। ऐसी कोई संख्या नहीं है, जिसे शून्य से गुणा करने पर शून्य के अलावा कुछ और मिले।

जब वे कहते हैं कि शून्य से विभाजित करना असंभव या निषिद्ध है, तो इसका मतलब है कि इस तरह के विभाजन के परिणाम के अनुरूप कोई संख्या नहीं है (शून्य से विभाजित करना संभव है, लेकिन विभाजित नहीं करना :))।

वे स्कूल में क्यों कहते हैं कि आप शून्य से भाग नहीं कर सकते?

इसलिए, में परिभाषा a को b से विभाजित करने की संक्रियाएँ, इस बात पर तुरंत बल दिया जाता है कि b ≠ 0.

यदि ऊपर लिखा गया सब कुछ आपके लिए बहुत जटिल लग रहा है, तो यह पूरी तरह से आपकी उंगलियों पर है: 8 को 2 से विभाजित करने का मतलब यह पता लगाना है कि आपको 8 प्राप्त करने के लिए कितने दोहों की आवश्यकता है (उत्तर: 4)। 18 को 3 से विभाजित करने का अर्थ यह पता लगाना है कि आपको 18 प्राप्त करने के लिए कितने त्रिक लेने की आवश्यकता है (उत्तर: 6)।

6 को शून्य से विभाजित करने का मतलब है कि यह पता लगाना कि आपको 6 प्राप्त करने के लिए कितने शून्य लेने की आवश्यकता है। आप कितने भी शून्य लें, फिर भी आपको शून्य मिलता है, लेकिन आपको कभी भी 6 नहीं मिलता है, अर्थात शून्य से विभाजन परिभाषित नहीं होता है।

एंड्रॉइड कैलकुलेटर पर संख्या को शून्य से विभाजित करने का प्रयास करने पर एक दिलचस्प परिणाम प्राप्त होता है। स्क्रीन ∞ (अनंत) (या - ∞ यदि आप ऋणात्मक संख्या से विभाजित करते हैं) प्रदर्शित करेगा। यह परिणाम गलत है, क्योंकि कोई संख्या ∞ नहीं है। जाहिरा तौर पर, प्रोग्रामर ने पूरी तरह से अलग-अलग ऑपरेशनों को भ्रमित किया है - संख्याओं को विभाजित करना और एक संख्यात्मक अनुक्रम n / x की सीमा का पता लगाना, जहां x → 0. शून्य को शून्य से विभाजित करते समय, NaN (संख्या नहीं - संख्या नहीं) लिखा जाएगा।

"आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते!" - अधिकांश छात्र बिना प्रश्न पूछे इस नियम को कंठस्थ कर लेते हैं। सभी बच्चे जानते हैं कि "नहीं" क्या है और अगर आप इसके जवाब में पूछेंगे तो क्या होगा: "क्यों?" लेकिन वास्तव में, यह जानना बहुत ही रोचक और महत्वपूर्ण है कि यह असंभव क्यों है।

बात यह है कि अंकगणित की चार संक्रियाएँ - जोड़, घटाव, गुणा और भाग - वास्तव में असमान हैं। गणितज्ञ उनमें से केवल दो को पूर्ण - जोड़ और गुणन के रूप में पहचानते हैं। ये संक्रियाएँ और उनके गुण संख्या की अवधारणा की परिभाषा में ही शामिल हैं। अन्य सभी क्रियाएं इन्हीं दोनों से किसी न किसी रूप में निर्मित होती हैं।

उदाहरण के लिए, घटाव पर विचार करें। मतलब क्या है 5 - 3 ? छात्र इसका उत्तर सरलता से देगा: आपको पाँच वस्तुएँ लेने की आवश्यकता है, उनमें से तीन को हटा दें (निकालें) और देखें कि कितने शेष हैं। लेकिन गणितज्ञ इस समस्या को बिल्कुल अलग तरीके से देखते हैं। कोई घटाव नहीं है, केवल जोड़ है। इसलिए प्रवेश 5 - 3 मतलब एक संख्या है, जब एक संख्या में जोड़ा जाता है 3 नंबर देगा 5 . वह है 5 - 3 समीकरण के लिए सिर्फ एक आशुलिपि है: एक्स + 3 = 5. इस समीकरण में कोई घटाव नहीं है।

शून्य से विभाजन

केवल एक कार्य है - एक उपयुक्त संख्या खोजना।

गुणा और भाग के साथ भी यही सच है। रिकॉर्डिंग 8: 4 आठ वस्तुओं के चार बराबर ढेरों में विभाजन के परिणाम के रूप में समझा जा सकता है। लेकिन यह वास्तव में समीकरण का संक्षिप्त रूप है 4 एक्स = 8.

यहीं पर यह स्पष्ट हो जाता है कि क्यों शून्य से विभाजित करना असंभव (या बल्कि असंभव) है। रिकॉर्डिंग 5: 0 का संक्षिप्त रूप है 0 एक्स = 5. अर्थात्, यह कार्य एक संख्या का पता लगाना है, जिसे गुणा करने पर 0 दे देंगे 5 . लेकिन हम जानते हैं कि जब से गुणा किया जाता है 0 हमेशा निकलता है 0 . यह शून्य की अंतर्निहित संपत्ति है, सख्ती से बोलना, इसकी परिभाषा का हिस्सा है।

एक संख्या जिसे, जब गुणा किया जाता है 0 अशक्त के अलावा कुछ और देगा, बस मौजूद नहीं है। यानी हमारी समस्या का कोई समाधान नहीं है। (हां, ऐसा होता है, हर समस्या का समाधान नहीं होता।) 5: 0 किसी विशिष्ट संख्या के अनुरूप नहीं है, और यह किसी भी चीज़ के लिए खड़ा नहीं होता है और इसलिए इसका कोई मतलब नहीं है। इस प्रविष्टि की अर्थहीनता को संक्षेप में यह कहकर व्यक्त किया गया है कि आप शून्य से भाग नहीं कर सकते।

इस बिंदु पर सबसे चौकस पाठक निश्चित रूप से पूछेंगे: क्या शून्य को शून्य से विभाजित करना संभव है?

दरअसल, समीकरण के बाद से 0 एक्स = 0सफलतापूर्वक हल किया गया। उदाहरण के लिए, आप ले सकते हैं एक्स = 0, और फिर हम प्राप्त करते हैं 0 0 = 0. यह पता चला है 0: 0=0 ? लेकिन जल्दी मत करो। आइए लेने की कोशिश करते हैं एक्स = 1. पाना 0 1 = 0. सही? साधन, 0: 0 = 1 ? लेकिन आप कोई भी संख्या ले सकते हैं और प्राप्त कर सकते हैं 0: 0 = 5 , 0: 0 = 317 वगैरह।

लेकिन यदि कोई संख्या उपयुक्त है, तो हमारे पास उनमें से किसी एक को चुनने का कोई कारण नहीं है। अर्थात्, हम यह नहीं बता सकते कि कौन-सी संख्या प्रविष्टि से मेल खाती है 0: 0 . और यदि ऐसा है, तो हमें यह स्वीकार करने के लिए मजबूर होना पड़ता है कि यह रिकॉर्ड भी समझ में नहीं आता है। यह पता चला है कि शून्य को भी शून्य से विभाजित नहीं किया जा सकता है। (गणितीय विश्लेषण में, ऐसे मामले होते हैं, जब समस्या की अतिरिक्त स्थितियों के कारण, कोई समीकरण को हल करने के संभावित विकल्पों में से किसी एक को वरीयता दे सकता है 0 एक्स = 0; ऐसे मामलों में, गणितज्ञ "अनिश्चितता के प्रकटीकरण" की बात करते हैं, लेकिन अंकगणित में ऐसे मामले नहीं होते हैं।)

यह डिवीजन ऑपरेशन की विशेषता है। अधिक सटीक रूप से, गुणन संक्रिया और उससे जुड़ी संख्या शून्य होती है।

ठीक है, सबसे सावधानीपूर्वक, इस बिंदु तक पढ़ने के बाद, पूछ सकता है: ऐसा क्यों है कि आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते, लेकिन आप शून्य घटा सकते हैं? एक मायने में, यहीं से असली गणित शुरू होता है। इसका उत्तर संख्यात्मक समुच्चयों की औपचारिक गणितीय परिभाषाओं और उन पर संक्रियाओं से परिचित होकर ही दिया जा सकता है। यह इतना कठिन नहीं है, लेकिन किसी कारण से स्कूल में इसकी पढ़ाई नहीं होती है। लेकिन विश्वविद्यालय में गणित के व्याख्यानों में आपको सबसे पहले यही पढ़ाया जाएगा।

विभाजन समारोह उस श्रेणी के लिए परिभाषित नहीं है जहां विभाजक शून्य है। आप विभाजित कर सकते हैं, लेकिन परिणाम परिभाषित नहीं है

आप शून्य से नहीं जा सकते। हाई स्कूल की गणित 2 कक्षाएं।

यदि मेरी स्मृति मेरी सही सेवा करती है, तो शून्य को एक अतिसूक्ष्म मान के रूप में दर्शाया जा सकता है, इसलिए अनंत होगा। और स्कूल "शून्य - कुछ नहीं" सिर्फ एक सरलीकरण है, स्कूल गणित में उनमें से बहुत सारे हैं। लेकिन उनके बिना किसी भी तरह से नियत समय में सब कुछ।

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शून्य से विभाजन

से निजी शून्य से विभाजनशून्य के अलावा कोई संख्या नहीं है।

यहाँ तर्क इस प्रकार है: चूँकि इस मामले में कोई भी संख्या भागफल की परिभाषा को संतुष्ट नहीं कर सकती है।

आइए लिखते हैं, उदाहरण के लिए,

परीक्षण के लिए आप जो भी संख्या लेते हैं (मान लीजिए, 2, 3, 7), वह अच्छा नहीं है क्योंकि:

\[ 2 0 = 0 \]

\[ 3 0 = 0 \]

\[ 7 0 = 0 \]

यदि आप 0 से विभाजित करते हैं तो क्या होता है?

इत्यादि, लेकिन आपको उत्पाद 2,3,7 प्राप्त करने की आवश्यकता है।

हम कह सकते हैं कि शून्य के अतिरिक्त किसी अन्य संख्या को शून्य से भाग देने की समस्या का कोई हल नहीं है। हालाँकि, शून्य के अलावा एक संख्या को मनमाने ढंग से शून्य के करीब एक संख्या से विभाजित किया जा सकता है, और भाजक शून्य के जितना करीब होगा, भागफल उतना ही बड़ा होगा। इसलिए अगर हम 7 को भाग दें

\[ \frac(1)(10), \frac(1)(100), \frac(1)(1000), \frac(1)(10000) \]

फिर हमें निजी 70, 700, 7000, 70,000 आदि मिलते हैं, जो अनिश्चित काल तक बढ़ते हैं।

इसलिए, यह अक्सर कहा जाता है कि 7 को 0 से विभाजित करने का भागफल "असीम रूप से बड़ा", या "अनंत के बराबर" है, और वे लिखते हैं

\[7:0 = \infin\]

इस अभिव्यक्ति का अर्थ यह है कि यदि भाजक शून्य तक पहुंचता है, और लाभांश 7 के बराबर रहता है (या 7 तक पहुंचता है), तो भागफल अनिश्चित काल तक बढ़ता है।

स्कूल में हम सभी को एक सरल नियम सिखाया जाता है कि आप शून्य से भाग नहीं कर सकते। उसी समय, जब हम प्रश्न पूछते हैं: "क्यों?", हमें उत्तर दिया जाता है: "यह सिर्फ एक नियम है और आपको इसे जानने की आवश्यकता है।" इस लेख में मैं आपको यह समझाने की कोशिश करूंगा कि शून्य से भाग देना असंभव क्यों है। वे लोग क्यों गलत हैं जो कहते हैं कि शून्य से भाग देना संभव है और फिर अनंत गलत होगा।

आप शून्य से भाग क्यों नहीं कर सकते?

औपचारिक रूप से, गणित में केवल दो क्रियाएं होती हैं। संख्याओं का जोड़ और गुणा। तो घटाव और भाग के बारे में क्या? आइए ऐसे उदाहरण पर विचार करें। 7-4=3, हम सभी जानते हैं कि सात माइनस चार बराबर तीन। वास्तव में, इस उदाहरण को, औपचारिक रूप से, समीकरण x + 4 = 7 को हल करने के तरीके के रूप में माना जा सकता है। यही है, हम एक संख्या का चयन करते हैं, जो चार के साथ मिलकर 7 देगा। तब हम लंबे समय तक नहीं सोचेंगे और समझेंगे कि यह संख्या तीन के बराबर है। विभाजन के साथ ही। मान लीजिए 12/3। यह x*3=12 के समान होगा।

हम एक संख्या का चयन करते हैं, जिसे 3 से गुणा करने पर हमें 12 मिलेगा। इस मामले में, यह चार होगा। यह काफी स्पष्ट है। 7/0 जैसे उदाहरणों के बारे में क्या। यदि हम सात को शून्य से विभाजित करें तो क्या होगा? इसका मतलब है कि हम, मानो, 0*x=7 के रूप के एक समीकरण को हल कर रहे हैं। लेकिन इस समीकरण का कोई हल नहीं है, क्योंकि अगर आप शून्य को किसी भी संख्या से गुणा करते हैं, तो आपको हमेशा शून्य ही मिलता है। यानी कोई उपाय नहीं है। यह या तो शब्दों के साथ लिखा गया है, कोई समाधान नहीं है, या एक संकेत के साथ जिसका अर्थ है एक खाली सेट।

दूसरे शब्दों में

यहाँ इस नियम का अर्थ है। आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते क्योंकि संगत समीकरण, शून्य गुणा x बराबर सात, या जो भी संख्या हम शून्य से विभाजित करने का प्रयास कर रहे हैं, उसका कोई समाधान नहीं है। सबसे अधिक ध्यान देने वाला कह सकता है कि यदि हम शून्य को शून्य से विभाजित करते हैं, तो यह निष्पक्ष रूप से निकलता है कि यदि 0*X=0 है। सब कुछ ठीक है, हम शून्य को किसी संख्या से गुणा करते हैं, हमें शून्य मिलता है। लेकिन तब हमारे पास हल के रूप में कोई भी संख्या हो सकती है। यदि हम x=1, 0*1=0, x=100500, 0*100500=0 को देखें। कोई भी नंबर यहां करेगा।

तो हमें उनमें से किसी एक को क्यों चुनना चाहिए? हमारे पास वास्तव में कोई विचार नहीं है जिसके द्वारा हम इनमें से एक संख्या ले सकते हैं और कह सकते हैं कि ये समीकरणों के समाधान हैं। इसलिए, अपरिमित रूप से अनेक समाधान हैं, और यह भी एक अस्पष्ट समस्या है, जिसमें यह माना जाता है कि कोई समाधान नहीं है।

अनंतता

ऊपर, मैंने आपको उन कारणों के बारे में बताया कि आप क्यों विभाजित नहीं हो सकते, अब मैं आपसे बात करना चाहता हूं। आइए सावधानी के साथ शून्य ऑपरेशन द्वारा डिवीजन से संपर्क करने का प्रयास करें। संख्या 5 को पहले दो से विभाजित करें। हम जानते हैं कि दशमलव भिन्न 2.5 प्राप्त होगा। अब हम भाजक को घटाते हैं और 5 को 1 से विभाजित करते हैं, यह 5 होगा। अब हम 5 को 0.5 से विभाजित करते हैं। यह पांच को एक आधे से विभाजित करने के समान है, या 5 * 2 के समान है, यह 10 होगा। ध्यान दें कि विभाजन का परिणाम, यानी भागफल, बढ़ता है: 2.5, 5, 10।

अब 5 को 0.1 से भाग करते हैं, यह 5*10=50 के समान होगा, भागफल फिर से बढ़ गया है। उसी समय, हमने विभाजक को घटा दिया। यदि हम 5 को 0.01 से विभाजित करते हैं, तो यह 5*100=500 के बराबर होगा। देखना। जितना छोटा हम भाजक बनाते हैं, भागफल उतना ही बड़ा होता जाता है। यदि हम 5 को 0.00001 से विभाजित करते हैं, तो हमें 500000 मिलते हैं।

संक्षेप

यदि आप इसे इस अर्थ में देखें तो शून्य से विभाजन क्या है? ध्यान दें कि हमने अपना भागफल कैसे घटाया? यदि आप एक अक्ष बनाते हैं, तो यह दर्शाता है कि हमारे पास पहले दो थे, फिर एक, फिर 0.5, 0.1, और इसी तरह। हम शून्य के करीब और करीब दाईं ओर पहुंचे, लेकिन हम कभी शून्य तक नहीं पहुंचे। हम एक छोटी और छोटी संख्या लेते हैं और अपने भागफल को इससे विभाजित करते हैं। यह बड़ा और बड़ा होता जा रहा है। इस मामले में, वे लिखते हैं कि हम 5 को X से विभाजित करते हैं, जहाँ x असीम रूप से छोटा है। यानी यह शून्य के करीब और करीब आ रहा है। इस मामले में भी यही बात है, जब पाँच को X से भाग दिया जाता है, तो हमें अनंत मिलता है। एक असीम रूप से बड़ी संख्या। यहाँ एक सूक्ष्मता है।

यदि हम दाहिनी ओर से शून्य तक पहुंचते हैं, तो यह अतिसूक्ष्म हमारे लिए धनात्मक होगा, और हमें प्लस अनंत मिलता है। यदि हम बाईं ओर से x तक पहुँचते हैं, अर्थात, यदि हम पहले -2 से विभाजित करते हैं, तो -1 से, -0.5 से, -0.1 से, और इसी तरह। हमें एक नकारात्मक भागफल मिलेगा। और फिर पाँच को x से विभाजित किया जाता है, जहाँ x असीम रूप से छोटा होगा, लेकिन पहले से ही बाईं ओर, माइनस इनफिनिटी के बराबर होगा। इस मामले में, वे लिखते हैं: x दाईं ओर से शून्य की ओर जाता है, 0 + 0, यह दर्शाता है कि हम दाईं ओर से शून्य की ओर जाते हैं। मान लीजिए कि अगर हम दाईं ओर तीनों के लिए प्रयास कर रहे थे, तो इस मामले में वे बाईं ओर x झुकाव लिखते हैं। तदनुसार, हम बाईं ओर से एक तीन के लिए प्रयास करेंगे, इसे x के रूप में लिखते हुए 3-0 हो जाता है।

फीचर ग्राफ कैसे मदद कर सकता है

फंक्शन का ग्राफ, जिसे हम स्कूल में हर समय देखते थे, इसे बेहतर ढंग से समझने में मदद करता है। फ़ंक्शन को व्युत्क्रम संबंध कहा जाता है, और इसका ग्राफ़ एक अतिशयोक्ति है। हाइपरबोले इस तरह दिखता है। यह एक वक्र है जिसकी अनन्तस्पर्शी x और y हैं। स्पर्शोन्मुख एक रेखा है जो वक्र की ओर झुकती है लेकिन कभी नहीं पहुँचती है। ऐसा गणितीय नाटक है। हम देखते हैं कि हम शून्य के जितने करीब होते हैं, y का मान उतना ही बड़ा होता जाता है। छोटा x बन जाता है, अर्थात, जब x दाईं ओर शून्य हो जाता है, तो y अधिक से अधिक हो जाता है, और प्लस अनंत तक पहुंच जाता है। तदनुसार, जब बाईं ओर से शून्य की ओर प्रवृत्त होता है, जब x बाईं ओर से शून्य की ओर प्रवृत्त होता है, अर्थात x 0-0 की ओर प्रवृत्त होता है, तो y माइनस इनफिनिटी की ओर प्रवृत्त होता है। ऐसे ही सही लिखा है। Y माइनस इनफिनिटी की ओर जाता है, X बाईं ओर से शून्य की ओर जाता है। तदनुसार, हम लिखेंगे कि Y की प्रवृत्ति अनंत से अधिक है, जबकि x दाईं ओर शून्य की ओर अग्रसर है। अर्थात्, वास्तव में, हम शून्य से भाग नहीं करते हैं, हम एक अतिसूक्ष्म मान से विभाजित करते हैं।

और जो कहते हैं कि आप शून्य से विभाजित कर सकते हैं, हमें केवल अनंत मिलता है, उनका मतलब है कि आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते हैं, लेकिन आप शून्य के करीब एक संख्या से विभाजित कर सकते हैं, जो कि एक असीम मूल्य है। तब हमें प्लस इन्फिनिटी मिलती है यदि हम एक इनफिनिटिमल पॉजिटिव और माइनस इन्फिनिटी से विभाजित करते हैं तो हम एक इनफिनिटिमल नेगेटिव से विभाजित करते हैं।

मुझे उम्मीद है कि इस लेख ने आपको उस प्रश्न को समझने में मदद की है जो बचपन से सबसे अधिक पीड़ा देता रहा है कि शून्य से भाग देना असंभव क्यों है। हमें कुछ नियम सीखने के लिए क्यों मजबूर किया जाता है, लेकिन कुछ भी समझाया नहीं जाता है। मुझे उम्मीद है कि लेख ने आपको यह समझने में मदद की है कि आप वास्तव में शून्य से विभाजित नहीं हो सकते हैं, और जो कहते हैं कि आप शून्य से विभाजित कर सकते हैं वास्तव में इसका मतलब है कि आप एक असीम मूल्य से विभाजित कर सकते हैं।

• ट्यूटोरियल

मेरी तीन साल की बेटी सोफिया हाल ही में "शून्य" का उल्लेख करती है, उदाहरण के लिए, इस संदर्भ में:

- सोन्या, तुमने पहले तो नहीं माना, और फिर तुमने मान लिया, क्या होता है? ..
- अच्छा ... शून्य!

वे। नकारात्मक संख्याओं की भावना और शून्य की तटस्थता पहले से ही है, ओह कैसे। जल्द ही वह पूछेगा: शून्य से भाग देना असंभव क्यों है?
और इसलिए मैंने सरल शब्दों में वह सब कुछ लिखने का फैसला किया जो मुझे अभी भी शून्य से भाग देने के बारे में याद है और वह सब।

विभाजन को सौ बार सुनने की अपेक्षा एक बार देखना बेहतर है।
ठीक है, या एक को देखने के लिए x बार से विभाजित किया गया है ...

यहाँ यह तुरंत स्पष्ट हो जाता है कि शून्य जीवन, ब्रह्मांड और उस सब का केंद्र है। इस सब के मुख्य प्रश्न का उत्तर 42 होने दो, लेकिन केंद्र वैसे भी 0 है। इसका कोई चिन्ह भी नहीं है, न तो प्लस (आज्ञा) है, न ही माइनस (आज्ञा नहीं), यह वास्तव में शून्य है। और वह सूअरों के बारे में बहुत कुछ जानता है।

क्योंकि अगर किसी सुअर को शून्य से गुणा किया जाए तो सुअर को इस गोल ब्लैक होल में खींच लिया जाता है, और फिर से शून्य प्राप्त हो जाता है। यह शून्य इतना तटस्थ नहीं है जब यह जोड़-घटाव से गुणा तक आता है, विभाजन का उल्लेख नहीं करता ... वहाँ, यदि शून्य "0 / x" के ऊपर है, तो फिर से एक ब्लैक होल है। सब कुछ शून्य हो जाता है। लेकिन अगर विभाजन के दौरान, और नीचे से भी - "x / 0", तो यह शुरू होता है ... सफेद खरगोश, सोन्या का पालन करें!

स्कूल में, वे आपको बताएंगे "आप शून्य से विभाजित नहीं हो सकते" और वे शरमाएंगे नहीं। प्रमाण के रूप में, वे कैलकुलेटर और सामान्य कैलकुलेटर पर "1/0 =" प्रहार करते हैं, वह भी बिना शरमाए, "ई", "त्रुटि" लिखेंगे, वे कहते हैं, "यह असंभव है - इसका मतलब है कि यह असंभव है।" हालांकि एक साधारण कैलकुलेटर किसे माना जाएगा, एक और सवाल है। अब, 2014 में, एंड्रॉइड फोन पर एक मानक कैलक्यूलेटर मेरे लिए कुछ पूरी तरह से अलग लिखता है:

वाह अनंत। अपनी आंखें स्लाइड करें, हलकों को काटें। यहाँ आप नहीं कर सकते। यह पता चला है कि आप कर सकते हैं। अगर ध्यान से। क्योंकि सावधान न रहें, मेरा Android अभी भी सहमत नहीं है: "0/0 = त्रुटि", फिर से आप नहीं कर सकते। आइए फिर से प्रयास करें: "-1/0 = -∞", ओह कैसे। दिलचस्प राय है, लेकिन मैं इससे सहमत नहीं हूं। जैसा कि मैं "0/0 = त्रुटि" से सहमत नहीं हूं।

वैसे, आज की साइटों को संचालित करने वाली जावास्क्रिप्ट भी एंड्रॉइड कैलकुलेटर से असहमत है: ब्राउज़र कंसोल (अभी भी F12?) पर जाएं और वहां लिखें: "0/0" (एंटर)। जेएस आपको जवाब देगा: "नाएन"। यह कोई गलती नहीं है। यह "नॉट ए नंबर" है - यानी। ऐसा कुछ, लेकिन संख्या नहीं। जबकि "1/0" JS "इन्फिनिटी" के रूप में भी समझता है। यह करीब है। लेकिन जब तक गर्मी...

विश्वविद्यालय में - उच्च गणित। सीमाएं, डंडे और अन्य शर्मिंदगी हैं। और सब कुछ और अधिक जटिल हो जाता है, और अधिक जटिल, वे झाड़ी के चारों ओर घूमते हैं, लेकिन सिर्फ गणित के क्रिस्टल कानूनों का उल्लंघन नहीं करते हैं। लेकिन अगर आप इन मौजूदा कानूनों में शून्य से भाग देने की कोशिश नहीं करते हैं, तो आप इस कल्पना को अपनी उंगलियों पर महसूस कर सकते हैं।

ऐसा करने के लिए, आइए विभाजन को फिर से देखें:

दाएँ से बाएँ, दाएँ रेखा का अनुसरण करें। x शून्य के जितना करीब होता है, x से विभाजित होने पर उतना ही मजबूत होता है। और कहीं बादलों में "प्लस इनफिनिटी"। वह हमेशा आगे है, क्षितिज की तरह, आप उसे पकड़ नहीं पाएंगे।

अब बाईं रेखा का अनुसरण करें, बाएं से दाएं। वही कहानी, केवल अब विभाजित उड़ता है, असीम रूप से नीचे, "माइनस इनफिनिटी" में। इसलिए राय है कि "1/0 = +∞", और "-1/0 = 1/-0 = -∞"।

लेकिन चाल यह है कि "0 = -0", शून्य का कोई संकेत नहीं है, यदि आप सीमाओं से जटिल नहीं हैं। और यदि आप एक ऐसे "सरल" शून्य को एक संकेत के बिना विभाजित करते हैं, तो क्या यह मान लेना तर्कसंगत नहीं है कि अनंत भी निकल जाएगा - "सिर्फ" अनंत, बिना किसी संकेत के, शून्य की तरह। यह कहाँ है - ऊपर या नीचे? यह हर जगह है - सभी दिशाओं में शून्य से असीम रूप से दूर। यह जीरो इनसाइड आउट है। शून्य - कुछ नहीं। अनंत ही सब कुछ है। सकारात्मक और नकारात्मक दोनों। सामान्य तौर पर, सब कुछ। और तुरंत। शुद्ध।

लेकिन "0/0" के बारे में कुछ था, कुछ और, अनंत नहीं ... चलो यह ट्रिक करते हैं: "2 * 0 = 0", हाँ, स्कूल में शिक्षक कहेंगे। इसके अलावा: "3 * 0 = 0" - फिर से, हाँ। और "आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते" पर थोड़ा थूक देते हुए, वे कहते हैं, पूरी दुनिया पहले से ही धीरे-धीरे विभाजित हो रही है, हमें मिलता है: "2=0/0" और "3=0/0"। यह किस वर्ग में आयोजित किया जाता है, केवल शून्य के बिना, बिल्कुल।

एक मिनट रुकिए, यह "2 = 0/0 = 3", "2=3" निकलता है?! इसलिए वे डरते हैं, इसलिए वे "नहीं कर सकते"। केवल "0/0" "1/0" से भी बदतर है, यहां तक ​​कि Android कैलकुलेटर भी इससे डरता है।

और हम डरते नहीं हैं! क्योंकि हमारे पास कल्पना गणित की शक्ति है। हम अपने आप को सितारों में कहीं अनंत निरपेक्ष के रूप में कल्पना कर सकते हैं, वहां से परिमित संख्या और लोगों की पापी दुनिया को देख सकते हैं और समझ सकते हैं कि इस दृष्टिकोण से वे सभी समान हैं। और "2" सी "3", और यहां तक ​​कि "-1", और स्कूल में शिक्षक, शायद, भी।

इसलिए, मैं विनयपूर्वक मानता हूं कि 0/0 संपूर्ण परिमित दुनिया है, या बल्कि वह सब कुछ है जो अनंत नहीं है और शून्यता नहीं है।

आधिकारिक गणित से दूर, मेरी कल्पनाओं में x से विभाजित शून्य ऐसा दिखता है। वास्तव में, यह 1 / x जैसा दिखता है, केवल विभक्ति एक पर नहीं, बल्कि शून्य पर है। वैसे, 2/x में दो में एक मोड़ है, और 0.5/x में 0.5 में एक मोड़ है।

यह पता चला है कि x=0 पर 0/x सभी परिमित मान लेता है - अनंत नहीं, शून्यता नहीं। ग्राफ़ में शून्य पर एक छेद है, अक्ष दिखाई दे रहे हैं।

बेशक, कोई आपत्ति कर सकता है कि "0 * 0 = 0", जिसका अर्थ है कि शून्य (शून्यता) भी 0/0 श्रेणी में आता है। मैं थोड़ा आगे भागूंगा - शून्य की डिग्री होगी और यह आपत्ति टुकड़ों में बिखर जाएगी।

उफ़, अनंत में एक को 0/0 के रूप में भी लिखा जा सकता है, यह निकला (0/0)/0 - अनंत। अब क्रम, सब कुछ शून्य के अनुपात से व्यक्त किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए, यदि आप परिमित को अनंत में जोड़ते हैं, तो अनंत परिमित को अवशोषित कर लेगा और अनंत बना रहेगा:
1/0 + 0/0 = (1+0)/0 = 1/0.

और यदि अनंतता को शून्यता से गुणा किया जाता है, तो वे एक दूसरे को अवशोषित करते हैं, और एक परिमित दुनिया प्राप्त होती है:
1/0 * 0 = (1*0)/0 = 0/0.

लेकिन यह केवल सपनों का पहला स्तर है। आप और गहरा खोद सकते हैं।

यदि आप पहले से ही "संख्या की शक्ति" और "1/x = x^-1" की अवधारणा को जानते हैं, तो कुछ विचार के साथ, आप इन सभी विभाजनों और कोष्ठकों से आगे बढ़ सकते हैं (जैसे (0/0)/ 0) सिर्फ शक्तियों के लिए:

1/0 = 0^-1
0/0 = 0^0
0 = 0^1

संकेत।
यहाँ, अनंतता और शून्यता के साथ, सब कुछ सरल है, जैसे स्कूल में। और परिमित दुनिया इस तरह की डिग्री तक जाती है:

0/0
= (0*1)/0
= 0*(1/0)
= 0 * 1/0
= 0^1 * 0^-1
= 0^(1 + -1)
= 0^(1-1)
= 0^0.

उफ्फ!

यह पता चला है कि शून्य की सकारात्मक डिग्री शून्य है, शून्य की नकारात्मक डिग्री अनंत है, और शून्य की शून्य डिग्री एक परिमित दुनिया है।

इस प्रकार सार्वभौमिक वस्तु "0^x" निकलती है। ऐसी वस्तुएं एक दूसरे के साथ पूरी तरह से बातचीत करती हैं, फिर से वे सामान्य रूप से कई कानूनों, सुंदरता का पालन करती हैं।

गणित का मेरा मामूली ज्ञान उनमें से एक एबेलियन समूह को आकर्षित करने के लिए पर्याप्त था, जो एक निर्वात में अलग-थलग हो रहा था ("सिर्फ अमूर्त वस्तुएं, इस तरह का संकेतन, एक प्रतिपादक की तरह"), यहां तक ​​​​कि सबसे अच्छे गणित शिक्षक की परीक्षा में भी फैसला "दिलचस्प है, लेकिन कुछ भी काम नहीं करेगा"। फिर भी, यहाँ कुछ निकलेगा, यह एक वर्जित विषय है - शून्य से विभाजन। सामान्य तौर पर, परेशान मत हो।

आइए अनंत को परिमित संख्या से गुणा करने का प्रयास करें:
0^-1 * 0^0 = 0^(-1 + 0) = 0^-1.

फिर से, अनंत ने एक परिमित संख्या को उसी तरह से निगल लिया है जैसे उसका एंटीपोड शून्य परिमित संख्याओं को निगल लेता है, वही ब्लैक होल:
0^1 * 0^0 = 0^(1 + 0) = 0^1.

और यह पता चला है कि डिग्री ताकत की तरह होती है। वे। दूसरी डिग्री का शून्य सामान्य शून्य से अधिक मजबूत है (पहली डिग्री का, 0^1)। और अनंत शून्य से दूसरी डिग्री सामान्य अनंतता (0^-1) से अधिक मजबूत है।

और जब शून्यता परम से टकराती है, तो वे उसकी शक्ति नापते हैं - जिसके पास अधिक होगा, वही जीतेगा:
0^1 * 0^-2 = 0^(1 + -2) = 0^-1 = ∞.
0^2 * 0^-1 = 0^(2 + -1) = 0^1 = 0.

यदि वे बल में समान हैं, तो वे नष्ट हो जाते हैं और परिमित संसार बना रहता है:
0^1 * 0^-1 = 0^(1 + -1) = 0^0.

वैसे, आधिकारिक गणित पहले से ही निकट है। इसके प्रतिनिधि "ध्रुवों" के बारे में जानते हैं और यह कि ध्रुवों की अलग-अलग ताकत (आदेश) है, साथ ही साथ "शून्य के आदेश" के बारे में भी। लेकिन वे अभी भी "अगले" ठोस सतह पर रौंद रहे हैं और ब्लैक होल में कूदने से डरते हैं।

और आखिरी मेरे लिए सपनों का तीसरा स्तर है। उदाहरण के लिए, ये सभी 0^-1 और 0^-2 - अलग-अलग स्ट्रेंथ की अनन्तताएं हैं। या 0^1, 0^2 - विभिन्न ताकत के शून्य। लेकिन आखिरकार, "-1" और "-2" और "+1" और "+2" - वह सब - 0/0, 0 ^ 0 के बराबर, पहले ही बीत चुका है। यह पता चला है कि सपनों के इस स्तर से, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि यह क्या है - शून्य, अनंत, और यहां तक ​​​​कि सीमित दुनिया भी कुछ ज्ञान के साथ वहां पहुंच जाती है। एक बिंदु पर। एक श्रेणी में। इस खुशी को विलक्षणता कहा जाता है।

यह माना जाना चाहिए कि आत्मज्ञान की स्थिति के बाहर मैं एक बिंदु का पालन नहीं करता, लेकिन एक श्रेणी - संघ "0 ^ 0 यू 0 ^ (0 ^ 0)" - पूरी तरह से।

इस सब से क्या लाभ मिल सकता है? आखिरकार, थोड़ा कम पागल "काल्पनिक संख्या", जो त्रुटि = √-1 में कैलकुलेटर को भी फाड़ देती है, और वे आधिकारिक गणित बन सकते हैं और अब स्टीलमेकिंग गणनाओं को सरल बना सकते हैं।

जैसे दूर से पेड़ पर लगे पत्ते एक जैसे लगते हैं, लेकिन गौर से देखने पर वे सब अलग-अलग होते हैं। और अगर आप इसके बारे में सोचते हैं, तो फिर वही। और तुमसे या मुझसे बहुत अलग नहीं है। या यों कहें, यदि आप कठिन सोचते हैं, तो वे बिल्कुल भिन्न नहीं हैं।

यहां लाभ अंतर और सार दोनों पर ध्यान केंद्रित करने की क्षमता है। यह काम और जीवन दोनों में और यहां तक ​​कि मृत्यु के संबंध में भी बहुत उपयोगी है।

सोन्या!

गणितज्ञों में हास्य की एक विशिष्ट भावना होती है और गणना से संबंधित कुछ मुद्दों को लंबे समय से गंभीरता से नहीं लिया गया है। यह हमेशा स्पष्ट नहीं होता है कि क्या वे आपको पूरी गंभीरता से समझाने की कोशिश कर रहे हैं कि शून्य से विभाजित करना असंभव क्यों है, या यह एक और मजाक है। लेकिन यह प्रश्न अपने आप में इतना स्पष्ट नहीं है, यदि प्रारंभिक गणित में इसके समाधान तक विशुद्ध रूप से तार्किक रूप से पहुँचना संभव है, तो उच्च गणित में अन्य प्रारंभिक स्थितियाँ भी हो सकती हैं।

शून्य कब प्रकट हुआ?

शून्य संख्या कई रहस्यों से भरी है:

• प्राचीन रोम में, यह संख्या ज्ञात नहीं थी, संदर्भ प्रणाली I से शुरू हुई थी।
• अरब और भारतीयों ने लंबे समय तक शून्य के पूर्वज कहलाने के अधिकार के लिए तर्क दिया।
• माया संस्कृति के अध्ययन से पता चला है कि यह प्राचीन सभ्यता शून्य के उपयोग के मामले में पहली हो सकती है।
• शून्य का कोई संख्यात्मक मान नहीं होता, न्यूनतम भी नहीं।
• इसका शाब्दिक अर्थ कुछ भी नहीं है, गिनने के लिए चीजों की अनुपस्थिति।

आदिम व्यवस्था में ऐसी आकृति की कोई विशेष आवश्यकता नहीं थी, किसी वस्तु के अभाव को शब्दों की सहायता से समझाया जा सकता था। लेकिन सभ्यताओं के उदय के साथ, वास्तुकला और इंजीनियरिंग के मामले में मानव की ज़रूरतें भी बढ़ी हैं।

अधिक जटिल गणना करने और नए कार्यों को प्राप्त करने में यह लगा एक संख्या जो किसी चीज की पूर्ण अनुपस्थिति का संकेत देगी.

क्या शून्य से भाग देना संभव है?

इस खाते में हैं दो बिल्कुल विपरीत राय:

स्कूल में, प्राथमिक कक्षाओं में भी, वे सिखाते हैं कि शून्य से विभाजन किसी भी स्थिति में असंभव है। यह बहुत सरलता से समझाया गया है:

1. कल्पना कीजिए कि आपके पास कीनू के 20 टुकड़े हैं।
2. उन्हें 5 से भाग देकर आप 4 स्लाइस पांच दोस्तों को बांट देंगे।
3. शून्य से भाग देने से काम नहीं चलेगा, क्योंकि किसी के बीच विभाजन की प्रक्रिया नहीं चलेगी।

बेशक, यह एक आलंकारिक व्याख्या है, काफी हद तक सरल और पूरी तरह से वास्तविकता के अनुरूप नहीं है। लेकिन यह सबसे सुलभ तरीके से किसी चीज को शून्य से विभाजित करने की अर्थहीनता की व्याख्या करता है।

आखिरकार, वास्तव में, विभाजन की अनुपस्थिति के तथ्य को निरूपित करना संभव है। और गणितीय गणनाओं को जटिल क्यों करें और विभाजन की अनुपस्थिति को भी लिखें?

क्या शून्य को किसी संख्या से विभाजित किया जा सकता है?

अनुप्रयुक्त गणित के दृष्टिकोण से, कोई भी विभाजन जिसमें शून्य भाग लेता है, बहुत मायने नहीं रखता है। लेकिन स्कूल की पाठ्यपुस्तकें उनकी राय में स्पष्ट हैं:

• शून्य को विभाजित किया जा सकता है।
• विभाजन के लिए किसी भी संख्या का उपयोग किया जाना चाहिए।
• आप शून्य को शून्य से विभाजित नहीं कर सकते।

तीसरा बिंदु थोड़ा विस्मयकारी हो सकता है, क्योंकि इसके ऊपर केवल कुछ पैराग्राफों ने संकेत दिया था कि ऐसा विभाजन काफी संभव है। वास्तव में, यह सब उस अनुशासन पर निर्भर करता है जिसमें आप गणना करते हैं।

इस मामले में, स्कूली बच्चों के लिए ऐसा लिखना वास्तव में बेहतर है अभिव्यक्ति निर्धारित नहीं की जा सकती और, इसलिए, इसका कोई मतलब नहीं है। लेकिन बीजगणितीय विज्ञान की कुछ शाखाओं में शून्य से शून्य के विभाजन के साथ ऐसी अभिव्यक्ति लिखने की अनुमति है। खासकर जब बात कंप्यूटर और प्रोग्रामिंग लैंग्वेज की हो।

किसी भी समानता के समाधान और प्रारंभिक मूल्यों की खोज के दौरान शून्य को एक संख्या से विभाजित करने की आवश्यकता उत्पन्न हो सकती है। लेकिन उस मामले में, उत्तर हमेशा शून्य होगा. यहाँ, गुणन की तरह, चाहे आप शून्य को किसी भी संख्या से विभाजित करें, आपको शून्य से अधिक नहीं मिलेगा। इसलिए, यदि यह पोषित संख्या एक विशाल सूत्र में देखी जाती है, तो जल्दी से "अनुमान" करने का प्रयास करें कि क्या सभी गणनाओं को एक बहुत ही सरल समाधान में घटाया जाएगा।

यदि अनंत को शून्य से विभाजित किया जाता है

थोड़ा पहले असीम रूप से बड़े और असीम रूप से छोटे मूल्यों का उल्लेख करना आवश्यक था, क्योंकि यह विभाजन के लिए कुछ खामियों को भी खोलता है, जिसमें शून्य का उपयोग करना भी शामिल है। यह सच है, और इसमें एक छोटा सा रोड़ा है, क्योंकि अतिसूक्ष्म मान और मूल्य का पूर्ण अभाव अलग-अलग अवधारणाएँ हैं.

लेकिन हमारी स्थितियों में इस छोटे से अंतर को उपेक्षित किया जा सकता है, अंत में, अमूर्त मात्राओं का उपयोग करके गणना की जाती है:

• अंश में अनंत चिन्ह होना चाहिए।
• भाजक शून्य की ओर जाने वाले मान की एक प्रतीकात्मक छवि है।
• उत्तर अनंत होगा, जो असीम रूप से बड़े फलन का प्रतिनिधित्व करता है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि हम अभी भी एक अतिसूक्ष्म कार्य के प्रतीकात्मक प्रदर्शन के बारे में बात कर रहे हैं, न कि शून्य का उपयोग करने के बारे में। इस संकेत के साथ कुछ भी नहीं बदला है, इसे अभी भी इसमें विभाजित नहीं किया जा सकता है, केवल बहुत ही दुर्लभ अपवादों के रूप में।

अधिकांश भाग के लिए, शून्य का उपयोग समस्याओं को हल करने के लिए किया जाता है विशुद्ध सैद्धांतिक विमान. शायद, दशकों या सदियों के बाद, सभी आधुनिक गणनाओं को व्यावहारिक अनुप्रयोग मिलेंगे, और वे विज्ञान में किसी प्रकार की भव्य सफलता प्रदान करेंगे।

इस बीच, अधिकांश गणितीय प्रतिभाएँ केवल विश्व मान्यता का सपना देखती हैं। इन नियमों का अपवाद हमारे हमवतन हैं, पेरेलमैन. लेकिन वह वास्तव में एक युगांतरकारी समस्या के समाधान के लिए धन्यवाद के लिए जाना जाता है, जो पॉइनकेरे अनुमान और असाधारण व्यवहार के प्रमाण के साथ है।

विरोधाभास और शून्य से विभाजन की अर्थहीनता

अधिकांश भाग के लिए शून्य से विभाजन का कोई मतलब नहीं है:

• विभाजन के रूप में दर्शाया गया है गुणन के विपरीत कार्य करें.
• हम किसी भी संख्या को शून्य से गुणा कर सकते हैं और उत्तर में शून्य प्राप्त कर सकते हैं।
• इसी तर्क से किसी भी संख्या को शून्य से भाग दिया जा सकता है।
• ऐसी परिस्थितियों में, यह निष्कर्ष निकालना मुश्किल नहीं होगा कि शून्य से गुणा या विभाजित किसी भी संख्या के बराबर है, जिस पर यह ऑपरेशन किया गया था।
• हम गणितीय क्रिया को त्याग देते हैं और एक दिलचस्प निष्कर्ष प्राप्त करते हैं - कोई भी संख्या किसी भी संख्या के बराबर होती है।

ऐसी घटनाओं को अंजाम देने के अलावा शून्य से विभाजन का कोई व्यावहारिक मूल्य नहीं है, सामान्य रूप से शब्द से। अगर आप इस क्रिया को कर भी लेते हैं, तो भी आपको कोई नई जानकारी नहीं मिलेगी।

प्रारम्भिक गणित की दृष्टि से शून्य से भाग देने पर सम्पूर्ण वस्तु को शून्य बार विभाजित किया जाता है, अर्थात एक बार भी नहीं। सीधे शब्दों में कहें - कोई विभाजन प्रक्रिया नहीं, इसलिए, इस घटना का परिणाम नहीं हो सकता।

एक गणितज्ञ के साथ एक ही समाज में होने के नाते, आप हमेशा कुछ तुच्छ प्रश्न पूछ सकते हैं, उदाहरण के लिए, आप शून्य से विभाजित क्यों नहीं हो सकते हैं और एक दिलचस्प और समझने योग्य उत्तर प्राप्त कर सकते हैं। या चिड़चिड़ापन, क्योंकि यह शायद पहली बार नहीं है जब किसी व्यक्ति से यह पूछा गया हो। और दस भी नहीं। इसलिए अपने गणितज्ञ मित्रों का ध्यान रखें, उन्हें एक स्पष्टीकरण को सैकड़ों बार दोहराने से न रोकें।

वीडियो: शून्य से विभाजित करें

इस वीडियो में, गणितज्ञ अन्ना लोमाकोवा आपको बताएगी कि यदि आप किसी संख्या को शून्य से विभाजित करते हैं तो क्या होता है और गणित के दृष्टिकोण से ऐसा क्यों नहीं किया जा सकता है:

पॉलिटेक्निक संग्रहालय के गणित की प्रयोगशाला के व्याख्याता और प्रमुख एवगेनी शिर्येव, AiF.ru को शून्य से विभाजन के बारे में बताया:

1. मुद्दे का क्षेत्राधिकार

सहमत हूं, प्रतिबंध नियम को विशेष उत्तेजना देता है। यह कैसे असंभव है? किसने बैन किया? लेकिन हमारे नागरिक अधिकारों का क्या?

न तो रूसी संघ का संविधान, न ही क्रिमिनल कोड, और न ही आपके स्कूल का चार्टर भी उस बौद्धिक कार्रवाई पर आपत्ति जताता है जो हमें रुचती है। इसका मतलब यह है कि प्रतिबंध के पास कोई कानूनी बल नहीं है, और एआईएफ.आरयू के पन्नों पर, शून्य से कुछ विभाजित करने की कोशिश करने से कुछ भी नहीं रोकता है। उदाहरण के लिए, एक हजार।

2. सिखाए अनुसार विभाजित करें

याद रखें, जब आपने पहली बार सीखा कि कैसे विभाजित किया जाता है, तो पहले उदाहरणों को गुणन द्वारा जाँच कर हल किया गया था: भाजक द्वारा गुणा किए गए परिणाम को विभाज्य से मेल खाना था। मैच नहीं हुआ - फैसला नहीं किया।

उदाहरण 1 1000: 0 =...

आइए एक मिनट के लिए निषिद्ध नियम को भूल जाएं और उत्तर का अनुमान लगाने के लिए कई प्रयास करें।

गलत चेक काट देगा। विकल्पों पर पुनरावृति करें: 100, 1, -23, 17, 0, 10,000। उनमें से प्रत्येक के लिए, परीक्षण समान परिणाम देगा:

100 0 = 1 0 = - 23 0 = 17 0 = 0 0 = 10,000 0 = 0

गुणा से शून्य सब कुछ अपने आप में बदल जाता है और कभी भी एक हजार में नहीं। निष्कर्ष तैयार करना आसान है: कोई भी संख्या परीक्षा पास नहीं करेगी। अर्थात् कोई भी संख्या किसी अशून्य संख्या को शून्य से भाग देने का परिणाम नहीं हो सकती। ऐसा विभाजन निषिद्ध नहीं है, लेकिन इसका कोई परिणाम नहीं है।

3. अति सूक्ष्म अंतर

प्रतिबंध का खंडन करने का एक अवसर लगभग चूक गया। हां, हम मानते हैं कि एक गैर-शून्य संख्या 0 से विभाज्य नहीं होगी। लेकिन शायद 0 ही हो सकता है?

उदाहरण 2 0: 0 = ...

निजी के लिए आपके सुझाव? 100? कृपया: 100 का भागफल 0 के भाजक से गुणा 0 के विभाज्य के बराबर है।

अधिक विकल्प! 1? उपयुक्त भी। और -23, और 17, और सब-सब-सब। इस उदाहरण में, परिणाम की जाँच किसी भी संख्या के लिए धनात्मक होगी। और ईमानदार होने के लिए, इस उदाहरण में समाधान को एक संख्या नहीं, बल्कि संख्याओं का एक समूह कहा जाना चाहिए। सब लोग। और यह मानने में देर नहीं लगेगी कि ऐलिस ऐलिस नहीं, बल्कि मैरी एन है और वे दोनों एक खरगोश का सपना हैं।

4. उच्च गणित के बारे में क्या?

समस्या हल हो गई है, बारीकियों को ध्यान में रखा गया है, बिंदुओं को रखा गया है, सब कुछ स्पष्ट है - उदाहरण के लिए शून्य से विभाजन के साथ कोई संख्या उत्तर नहीं हो सकती है। ऐसी समस्याओं का समाधान निराशाजनक और असंभव है। बहुत रुचिकर! डबल टू।

उदाहरण 3 1000 को 0 से विभाजित करने का तरीका जानें।

लेकिन कोई रास्ता नहीं। लेकिन 1000 को अन्य संख्याओं से आसानी से विभाजित किया जा सकता है। ठीक है, चलो कम से कम वही करें जो काम करता है, भले ही हम कार्य को बदल दें। और वहाँ, आप देखते हैं, हम बह जाएंगे, और उत्तर अपने आप प्रकट हो जाएगा। एक मिनट के लिए शून्य के बारे में भूल जाओ और सौ से विभाजित करें:

सौ शून्य से बहुत दूर है। आइए विभाजक को घटाकर इसकी ओर एक कदम बढ़ाएँ:

1000: 25 = 40,
1000: 20 = 50,
1000: 10 = 100,
1000: 8 = 125,
1000: 5 = 200,
1000: 4 = 250,
1000: 2 = 500,
1000: 1 = 1000.

स्पष्ट गतिकी: विभाजक शून्य के जितना करीब होता है, भागफल उतना ही अधिक होता है। प्रवृत्ति को आगे देखा जा सकता है, अंशों में जाने और अंश को कम करने के लिए जारी:

यह ध्यान रखना बाकी है कि हम जितना चाहें उतना करीब शून्य तक पहुंच सकते हैं, भागफल को मनमाने ढंग से बड़ा कर सकते हैं।

इस प्रक्रिया में कोई शून्य नहीं है और कोई अंतिम भागफल नहीं है। हमने संख्या को हमारे लिए ब्याज की संख्या में परिवर्तित करने वाले अनुक्रम के साथ संख्या को बदलकर उनके प्रति आंदोलन का संकेत दिया:

इसका तात्पर्य लाभांश के समान प्रतिस्थापन से है:

1000 ↔ { 1000, 1000, 1000,... }

तीर एक कारण से दो तरफा हैं: कुछ क्रम संख्याओं में परिवर्तित हो सकते हैं। तब हम किसी अनुक्रम को उसकी संख्यात्मक सीमा से जोड़ सकते हैं।

आइए उद्धरण के अनुक्रम को देखें:

यह अनिश्चित काल तक बढ़ता है, बिना किसी संख्या के प्रयास करता है और किसी को भी पार करता है। गणितज्ञ संख्याओं में प्रतीक जोड़ते हैं ∞ ऐसे क्रम के आगे दो तरफा तीर लगाने में सक्षम होने के लिए:

एक सीमा के साथ अनुक्रमों की संख्या की तुलना करने से हमें तीसरे उदाहरण के समाधान का प्रस्ताव करने की अनुमति मिलती है:

1000 तत्व-वार अभिसरण करने वाले अनुक्रम को धनात्मक संख्याओं के अनुक्रम द्वारा 0 में परिवर्तित करने से विभाजित करने पर, हमें ∞ में परिवर्तित होने वाला अनुक्रम मिलता है।

5. और यहाँ दो शून्य के साथ अति सूक्ष्म अंतर है

धनात्मक संख्याओं के दो अनुक्रमों को विभाजित करने का परिणाम क्या होगा जो शून्य में परिवर्तित हो जाते हैं? यदि वे समान हैं, तो समान इकाई। यदि अनुक्रम-लाभांश तेजी से शून्य में परिवर्तित हो जाता है, तो किसी विशेष क्रम में शून्य सीमा के साथ। और जब भाजक के तत्व भाज्य की तुलना में बहुत तेजी से घटते हैं, तो भागफल अनुक्रम दृढ़ता से बढ़ेगा:

अनिश्चित स्थिति। और इसलिए इसे कहा जाता है: रूप की अनिश्चितता 0/0 . जब गणितज्ञ ऐसे अनुक्रमों को देखते हैं जो इस तरह की अनिश्चितता के अंतर्गत आते हैं, तो वे दो समान संख्याओं को एक-दूसरे से विभाजित करने में जल्दबाजी नहीं करते हैं, लेकिन यह पता लगाते हैं कि कौन से अनुक्रम शून्य से तेज़ी से और कैसे चलते हैं। और प्रत्येक उदाहरण का अपना विशिष्ट उत्तर होगा!

6. जीवन में

ओम का नियम एक सर्किट में करंट, वोल्टेज और प्रतिरोध से संबंधित है। यह अक्सर इस रूप में लिखा जाता है:

आइए हम सटीक भौतिक समझ की उपेक्षा करें और औपचारिक रूप से दाईं ओर दो संख्याओं के भागफल के रूप में देखें। कल्पना कीजिए कि हम बिजली पर एक स्कूल की समस्या का समाधान कर रहे हैं। स्थिति को वोल्ट में वोल्टेज और ओम में प्रतिरोध दिया जाता है। प्रश्न स्पष्ट है, एक कार्रवाई में निर्णय।

अब आइए सुपरकंडक्टिविटी की परिभाषा देखें: यह कुछ धातुओं का गुण है जिसमें शून्य विद्युत प्रतिरोध होता है।

ठीक है, सुपरकंडक्टिंग सर्किट के लिए समस्या का समाधान करते हैं? बस इसे ऐसे ही लगाओ आर = 0 काम नहीं करता है, भौतिकी एक दिलचस्प समस्या को जन्म देती है, जिसके पीछे, जाहिर है, एक वैज्ञानिक खोज है। और जो लोग इस स्थिति में शून्य से विभाजित करने में कामयाब रहे उन्हें नोबेल पुरस्कार मिला। किसी भी निषेध को बायपास करने में सक्षम होना उपयोगी है!