Бугаев николай васильевич. Николай бугаев

Жаропонижающие средства для детей назначаются педиатром. Но бывают ситуации неотложной помощи при лихорадке, когда ребенку нужно дать лекарство немедленно. Тогда родители берут на себя ответственность и применяют жаропонижающие препараты. Что разрешено давать детям грудного возраста? Чем можно сбить температуру у детей постарше? Какие лекарства самые безопасные?

Николай Васильевич Бугаев (1837-1903) - российский математик и философ. Член-корреспондент Императорской Санкт-Петербургской академии наук (); заслуженный профессор математики Императорского Московского университета , председатель Московского математического общества ( -), наиболее яркий представитель Московской философско-математической школы . Шахматист, оставивший след в теории дебютов (начало Бугаева или дебют 1.b2-b4). Отец поэта Андрея Белого .

Биография

Николай Бугаев родился в Тбилисской губернии в семье военного врача кавказских войск. В 1847 году был отправлен отцом в Москву для обучения в гимназии; учился в Первой московской гимназии (по другим данным - во Второй московской гимназии ), уже с четвёртого класса он ничего не получал из дома и жил исключительно на то, что зарабатывал уроками; школу он окончил с золотой медалью .

Н. Е. Зернов

Научная деятельность в области математики

Исследования в основном в области анализа и теории чисел. Доказал гипотезы, сформулированные Лиувиллем . Наиболее важные работы Бугаева по теории чисел были основаны на аналогии между некоторыми операциями в теории чисел и операциями дифференцирования и интегрирования в анализе. Построил систематическую теорию разрывных функций.

Работы Бугаева привели к созданию в 1911 году , спустя 8 лет после его смерти, его учеником Дмитрием Фёдоровичем Егоровым (1869-1931), московской школы теории функций вещественных переменных.

Николай Дмитриевич Брашман - один из преподавателей Н. В. Бугаева, позже - основатель и первый президент Московского математического общества.

В 1863-1865 гг. Бугаев был в Европе. В это время в Москве, в сентябре 1864 года , возникло Московское математическое общество - сначала как научный кружок преподавателей математики (большей частью из Московского университета), объединившихся вокруг профессора Николая Дмитриевича Брашмана . Вернувшись в Москву, Бугаев активно включился в научную работу Общества. Изначальной целью общества было знакомство друг друга посредством оригинальных рефератов с новыми работами в различных областях математики и смежных наук - как собственными, так и других учёных; но уже в январе 1866 года , когда была подана просьба об официальном утверждении Общества, в его уставе была записана существенно более амбициозная цель: «Московское математическое Общество учреждается с целью содействовать развитию математических наук в России». Официально Общество было утверждено в январе 1867 года .

Бугаев до самой своей кончины был деятельным сотрудником Общества, входил в состав его бюро, исполнял обязанности секретаря. С 1886 года , после смерти Давидова, президентом Московского математического общества был избран Василий Яковлевич Цингер (1836-1907), а вице-президентом - Бугаев. В 1891 году , после того, как Цингер попросился в отставку по состоянию здоровья, президентом Общества был избран Бугаев; Николай Васильевич занимал этот пост до конца своих дней .

Для публикации докладов, прочитанных на заседаниях, был организован журнал «Математический сборник », его первый номер вышел в 1866 году ; большинство работ Бугаева были напечатаны именно в нём .

Бугаев принимал активное участие и в работе других научных обществ - Общества распространения технических знаний , Общества естествознания, Психологического общества, Общества натуралистов .

Научная деятельность в области философии

Л. М. Лопатин

Философией Бугаев активно занимался ещё в студенческие годы. В тот период его занимала возможность примирения идеализма с реализмом, он говорил, что «всё относительно и толъко в пределах данных условий становится абсолютным» .

Позже Бугаева привлекали идеи позитивизма , но в конце концов отошёл от них .

На заседании Московского Математического Общества в марте 1904 года , посвящённому памяти Бугаеву, профессор философии Лев Михайлович Лопатин (1855-1920) в своей речи говорил, что Николай Бугаев «по внутреннему складу своего ума, по заветным стремлениям своего духа… был столько же философ, как и математик». В центре философского мировоззрения Бугаева лежит (по Лопатину) творчески переработанное понятие немецкого математика и философа Готфрида Лейбница (1646-1716) - монада . Согласно Лейбницу, мир состоит из монад - психически деятельных субстанций, находящихся между собой в отношении предустановленной гармонии. Бугаев под монадой понимает «самостоятельный и самодеятельный индивидуум… живой элемент…» - живой, поскольку обладает психическим содержанием, суть которого - бытие монады для себя самой. Монада для Бугаева - тот единичный элемент, который является базовым для изучения, поскольку монада есть «целое, неделимое, единое, неизменное и себе равное начало при всех возможных отношениях к другим монадам и к себе самой», то есть «то, что в целом ряде изменений остаётся неизменным». Бугаев в своих работах исследует свойства монад, предлагает некоторые методики анализа монад, указывает на некоторые законы, свойственные монадам .

П. А. Некрасов

Кто мы, какое положение занимали и занимаем мы в мире, в каком контакте находимся мы с окружающею средою, какими физическими и духовными функциями, средствами и методами можем мы располагать для наших задач, целей и дел в будущем, - эти вопросы требуют для своего решения прежде всего точных азбучных принципов, обоснованию которых многие из основателей Московского Математического Общества и в их числе Николай Васильевич посвятили труд целой своей жизни. Этим принципам, представляющим собою азбуку мудрецов, они дали глубокое, мудрое, благочестивое, покорное делу Творца, научное, практическое и философское разъяснение.
Да будет же вечно памятным весь союз основателей Московского Математического Общества, и да будетъ незабвенным имя Николая Васильевича Бугаева.

Из речи П. А. Некрасова, произнесённой в марте 1904 года на заседании Московского математического общества, посвящённом памяти Николая Васильевича Бугаева

В. Я. Цингер

Научные работы

Названия работ Бугаева даны в соответствии со списком, размещённым в журнале «Математический сборник » за 1905 год . Некоторые из этих работ в статье из , посвящённой Бугаеву, имеют несколько иные названия .

Работы по математике :

Н. В. Бугаев

Руководство к арифметике. Арифметика целых чисел.
Руководство к арифметике. Арифметика дробных чисел.
Задачник к арифметике целых чисел.
Задачник к арифметике дробных чисел.
Начальная алгебра.
Вопросы к алгебре.
Начальная геометрия. Планиметрия.
Начальная геометрия. Стереометрия.
Сергей Алексеевич Усов. // Отчёт Московского университета. - 1887.
Доказательство теоремы Коши. // Вестник математических наук.
Доказательство теоремы Вильсона. // Вестник математических наук.
Замечания на одну статью высшей алгебры Серре. // Вестник математических наук.
Рациональные функции, выражающие два корня кубического уравнения по третьему. // Вестник математических наук.
Графический способ проведения касательной к кривой на плоскости. // Вестник математических наук.
Решение уравнений 4 степени. // Вестник математических наук.
Интегрирование рациональных дробей без помощи разложения. // Вестник математических наук.
Замечание к теории равных корней. // Вестник математических наук.
По поводу правила сходимости Поппера. // Математический Сборник. - т. 2.
Сходимость бесконечных рядов по их внешнему виду.
Числовые тождества, находящияся в связи с свойствами символа E . // Математический Сборник. - т. 1.
Учение о числовых производных. // Математический Сборник. - тт. 5, 6.
Некоторые приложения теории эллиптических функций к теории функций прерывных. // Математический Сборник. - тт. 11, 12.
Общие основания исчисления Eφx с одним независимым переменным. // Математический Сборник. - тт. 12, 13.
Введение в теорию чисел. // Учёные записки Московского университета.
Интегрируемые формы дифференциальных уравнений. // Математический Сборник. - т. 4.
Некоторые частные теоремы для числовых функций. // Математический Сборник. - т. 3.
Дифференциальные уравнения 1-го порядка. // Математический Сборник. - т. 3.
Общая теорема теории чисел с одной произвольной функцией. // Математический Сборник. - т. 2.
Теорема Эйлера о многогранниках. Свойства плоской геометрической сети. // Математический Сборник. - т. 2.
Некоторые вопросы числовой алгебры. // Математический Сборник. - т. 7.
Числовые уравнения второй степени. // Математический Сборник. - т. 8.
К теории делимости чисел. // Математический Сборник. - т. 8.
К теории функциональных уравнений. // Математический Сборник. - т. 8.
Решение одного шахматного вопроса с помощью числовых функций. // Математический Сборник. - т. 9.
Некоторые свойства вычетов и числовых сумм. // Математический Сборник. - т. 10.
Решение сравнений второй степени при модуле простом. // Математический Сборник. - т. 10.
Рациональные функции, находящиеся в связи с теорией приближенного извлечения квадратных корней. // Математический Сборник. - т. 10.
Один общий закон теории разбиения чисел. // Математический Сборник. - т. 12.
Свойства одного числового интеграла по делителям и его различные применения. Логарифмические числовые функции. // Математический Сборник. - т. 13.
Общие приёмы вычисления числовых интегралов по делителям. Естественная классификация целых чисел и прерывных функций. // Математический Сборник. - т. 14.
Общие преобразования числовых интегралов по делителям. // Математический Сборник. - т. 14.
К теории сходимости рядов. // Математический Сборник. - т. 14.
Геометрия произвольных величин. // Математический Сборник. - т. 14.
Различные применения начала наибольших и наименьших показателей к теории алгебраических функций. // Математический Сборник. - т. 14.
Одна общая теорема алгебраических кривых высшего порядка. // Математический Сборник. - т. 15.
Об уравнениях пятой степени, разрешаемых в радикалах (в соавторстве с Л. К. Лахтиным ). // Математический Сборник. - т. 15.
Прерывная геометрия. // Математический Сборник. - т. 15.
Начало наибольших и наименьших показателей в теории дифференциальных уравнений. Целые частные интегралы. // Математический Сборник. - т. 16.
Дробные частные интегралы дифференциальных уравнений.
Выражение эллиптических интегралов в конечном виде.
Общие условия интегрируемости в конечном виде эллиптического диифференциала.
Алгебраические частные интегралы дифференциальных уравнений.
Определённые числовые интегралы по делителям.
Определённые числовые интегралы по делителям смешанного характера.
Способ последовательных приближений. Его приложение к численному решению алгебраических уравнений высших степеней.
Способ последовательных приближений. Его приложение к разложению функций в непрерывные ряды.
Способ последовательных приближений. Его приложение к выводу теорем Тейлора и Лагранжа в преобразованной форме.
Способ последовательных приближений. Его приложение к интегрированию дифференциальных уравнений.
Способ последовательных приближений. Вспомогательные и дополнительные способы приближенного исчисления.
Моногенность интегралов дифференциальных уравнений.
Приближенное вычисление определённых интегралов.
Об одной теореме теории чисел.
Приложение исчисления E(φx) к определению целого частного двух полиномов.
Геометрические приёмы приближенной квадратуры и кубатуры.
Различные способы исследования определённых числовых интегралов по делителям.
Связь числовых интегралов по делителям с числовыми интегралами по натуральным числам.
Связь числовых интегралов по натуральным числам с определёнными числовыми интегралами смешанного характера.
Обобщённая форма ряда Лагранжа.
О ряде подобном ряду Лагранжа.
Разложение функций в числовой ряд по функциям ψ(n) .
Различные вопросы исчисления E(x) .
Некоторые общие соотношения в теории многократных интегралов.

Работы по философии и педагогике :

О свободе воли. // Труды психологического общества. - 1869.
Основные начала эволюционной монадологии.
Математика как орудие научное и педагогическое. // Математический Сборник. - т. 3.
Математика и научно-философское миросозерцание // Математический сборник : журнал. - М ., 1905. - Т. 25. - № 2. - С. 349-369. (Проверено 7 декабря 2009)

Семья

Жена - Александра Дмитриевна (урождённая Егорова) (1858-1922).
Сын - Бугаев, Борис Николаевич (псевдоним Андрей Белый) (1880-1934), писатель, поэт, критик, один из ведущих деятелей русского символизма ; он оставил яркие воспоминания о своём отце и окружавших его людях.

В Москве семья проживала на Арбате (дом 55) в квартире профессорского дома, специально выделенного под квартиры преподавателям Московского университета.

Педагогические взгляды

Педагогические взгляды Николая Васильевича Бугаева представляют не меньший интерес, чем его математические идеи и философские воззрения. Сохранилось немало опубликованных и неопубликованных материалов, позволяющих реконструировать основные педагогические идеи Н. В. Бугаева. Некоторые из этих работ:

«Математика как орудие научное и педагогическое» (1-е издание вышло в 1869 году)
«Влияние Московского университета на развитие математики в русских университетах» (около 1884 г.)
«Записка по вопросу о начальном образовании» (1898 г.)
К вопросу о подготовке преподавателей для средних учебных заведений (1899 г.)
«К вопросу о средней школе» (1899 г.)
«Доклад ординарного профессора Московского университета Н. В. Бугаева» (1900 г.)
«К вопросу о подготовке преподавателей для средних учебных заведений» (1901 г.).

Основываясь на культурно-исторических, религиозных традициях русского народа, результатах психологии, обобщая свой опыт и опыт своих многочисленных учителей, Н. В. Бугаев обосновал собственные главные педагогические принципы, которые, привлекая современную педагогическую терминологию, можно назвать так:

учет индивидуальных особенностей учащихся;
активность и самодеятельность учащихся;
преемственность между разными уровнями образования;
возбуждение эстетических эмоций у учащихся в процессе обучения;
сосредоточение внимания учащихся на ограниченном числе предметов одновременно;
гибкость проведения экзаменационной сессии в вузе;
научность содержания математики как учебного предмета, характеризующаяся ясностью и полнотой, логичностью и последовательностью.

Перу Николая Васильевича принадлежат учебные руководства для средней школы (по арифметике, геометрии, алгебре). Среди книг, написанных учёным для школы, наибольшую популярность имели руководства и задачники по арифметике. «Задачник к арифметике целых чисел» был рекомендован Министерством народного просвещения для приготовительного класса гимназий, «Руководство к арифметике, арифметика целых чисел» и «Руководство к арифметике, арифметика дробных чисел» - для первого класса, «Руководство к арифметике, арифметика дробных чисел» - для второго и третьего классов.

Примечания

Лахтин Л. К. Николай Васильевич Бугаев (см. раздел Литература).
Бугаев, Николай Васильевич - статья из Энциклопедического словаря Брокгауза и Ефрона (см. раздел Ссылки).
Лёвшин Л. В. Деканы физического факультета Московского университета . - М .: Физический факультет МГУ, 2002. - 272 с. - 500 экз. - ISBN 5-8279-0025-5
Демидов С. С., Тихомиров В. М., Токарева Т. А. История Московского математического общества // Московское математическое общество : официальный сайт. (Проверено 11 октября 2009)
Лопатин Л. М. Философское мировоззрение Н. В. Бугаева // Математический сборник : журнал. - М ., 1905. - Т. 25. - № 2. - С. 270-292.
Некрасов П. А. Московская философско-математическая школа и её основатели // Математический сборник : журнал. - М ., 1904. - Т. 25. - № 1. - С. 3-249. (Проверено 3 ноября 2009)
Советская математика за 20 лет // Успехи математических наук : журнал. - М ., 1938. - № 4. - С. 3-13.
Годин А. Е. Развитие идей Московской философско-математической школы . - Издание второе, расширенное. - М .: Красный свет, 2006. - 379 с. - ISBN 5-902967-05-8
Сочинения Н. В. Бугаева // Математический сборник : журнал. - М ., 1905. - Т. 25. - № 2. - С. 370-373. (Проверено 23 ноября 2009)

Литература

Лахтин Л. К. Труды Н. В. Бугаева в области анализа // Математический сборник : журнал. - М ., 1905. - Т. 25. - № 2. - С. 322-330. (Проверено 16 ноября 2009)
Лахтин Л. К. Николай Васильевич Бугаев (биографический очерк) // Математический сборник : журнал. - М ., 1905. - Т. 25. - № 2. - С. 251-269.
Колягин Ю. М., Саввина О.А. Математики-педагоги России. Забытые имена. Книга 4. Николай Васильевич Бугаев. - Елец: ЕГУ им.И.А.Бунина, 2009. - 276 с.

Ссылки

Бугаев Николай Васильевич

Заслуженный ординарный профессор математики Московского университета, родился в 1837 г. в Душете (Тифлисской губернии), где получил первоначальное образование, а в 1847 г. был отправлен своим отцом, военным врачом кавказских войск, во 2-ю московскую гимназию. По окончании в ней курса с золотою медалью, поступил на физико-математический факультет Московского университета, где занимался под руководством профессоров Зернова, Брашмана, Давидова и др. После окончания курса в 1859 г. был оставлен при университете для приготовления к профессуре; но, желая получить также прикладное математическое образование, поступил в инженерное училище, а после, по производству в офицеры, в Николаевскую инженерную академию, где слушал лекции Остроградского. В 1861 г., по случаю временного закрытия академии, Бугаев был откомандирован в 5-й саперный батальон, но вскоре, выйдя в отставку, возвратился в Московский университет, где выдержал магистерский экзамен и в 1863 г. защищал диссертацию для получения степени магистра "Сходимость бесконечных рядов по их внешнему виду". В том же году командирован министерством за границу, где провел около 2 1/2 лет. По возвращении, в 1866 г. защитил диссертацию на степень доктора чистой математики "Числовые тождества, находящиеся в связи со свойствами символа Е". С 1887 по 1891 г. был деканом факультета. Учено-литературную деятельность Бугаев начал в 1861 г. в "Вестнике математических наук" Гусева, где он поместил следующие статьи: "Доказательство теоремы Коши"; "Доказательство теоремы Вильсона"; "Замечания на одну статью высшей алгебры Серре"; "Рациональные функции, выражающие два корня кубического уравнения к третьему. Новый способ решения этого уравнения"; "Графический способ проведения касательных к кривым на плоскости"; "Решение уравнений 4-й степени"; "Интегрирование рациональных дробей без помощи разложения"; "Замечания на теорию равных корней". Большая часть ученых работ Бугаева помещены в "Математическом Сборнике", а именно: "Числовые тождества, находящиеся в связи со свойствами символа Е" ("Математический Сборник", т. I); "Общая теорема теории чисел с одной произвольной функцией" ("Математический Сборник", т. II); "По поводу правила сходимости Поммера" ("Математический Сборник", т. II); "Теорема Эйлера о многогранниках; свойство плоской геометрической сети" (там же); "Некоторые частные теоремы для числовых функций" ("Математический Сборник", т. III); "Дифференциальные уравнения 1-го порядка" (там же); "Математика, как орудие научное и педагогическое" (там же); "Интегрируемые формы дифференциальных уравнений 1-го порядка" ("Математический Сборник", т. IV); "Учение о числовых производных" ("Математический Сборник", т. V и VI); "Некоторые вопросы числовой алгебры" ("Математический Сборник", т. VII); "Числовые уравнения 2-й степени" (Математический Сборник", т. VIII); "К теории делимости чисел" (там же); "К теории функциональных уравнений" (там же); "Решение одного шахматного вопроса помощью числовых функций" ("Математический Сборник", т. IX); "Некоторые свойства вычетов и числовых сумм" ("Математический Сборник", т. Х); "Решение уравнений 2-й степени при модуле простом" (там же); "Рациональные функции, находящиеся в связи с теориею приближенного извлечения квадратных корней" (там же); "Некоторые приложения теории эллиптических функций к теории функций прерывных" ("Математический Сборник", т. XI и XII); "Один общий закон теории разбиения чисел" ("Математический Сборник", т. XII); "Общие основания исчисления E...(x) с одним независимым переменным" ("Математический Сборник", т. XII и XIII); "Свойства одного числового интеграла по делителям и его применения. Логарифмические числовые функции" ("Математический Сборник", т. XIII); "Общие приемы вычисления числовых интегралов по делителям. Естественная классификация целых чисел и прерывных функций" ("Математический Сборник", т. XIV); "Общие преобразования числовых интегралов и делителей" ("Математический Сборник", т. XIV); "К теории сходимости рядов" (там же); "Геометрия произвольных величин" (там же); "Различные применения начала наибольших и наименьших показателей в теории алгебраических функций" (там же); "Одна общая теорема теории алгебраических кривых высшего порядка" ("Математический Сборник", т. XV); "Об уравнениях пятой степени, решаемых в радикалах" (вместе с Лахтиным, ibid.); "Прерывная геометрия" (там же); "Начало наибольших и наименьших показателей в теории дифференциальных уравнений. Целые частные интегралы" ("Математический Сборник", т. XVI). Кроме того, в отчете университета за 1887 г.: "С.А. Усов" (биография) и в "Трудах психологического общества" за 1889 г.: "О свободе воли". Затем в разное время Бугаев напечатал ряд сочинений педагогических: "Введение в теорию чисел" ("Ученые Записки Московского Университета"); "Руководство к арифметике"; "Задачник к арифметике"; "Начальная алгебра"; "Вопросы к алгебре"; "Начальная геометрия". Бугаев поместил ряд статей критико-библиографического содержания в "Bulletin des sciences mathematiques et astronomiques", издаваемый Darboux, и несколько статей в "Comptes rendus" Парижской Академии Наук. Профессор Бугаев был не только деятельным сотрудником Московского математического общества, но с давнего времени принадлежал к составу его бюро, исполняя сначала обязанность секретаря, а потом вице-президента общества. В настоящее время он избран председателем его; в то же время он почетный член общества распространения технических знаний, непременный член общества естествознания и действительный член обществ психологического и натуралистов. Почти во всех университетах России находятся профессоры математики, бывшие учениками Бугаева; в Москве - Некрасов, в Харькове - Андреев, в Варшаве - Сонин и Анисимов, в Казани - Назимов, в Киеве - Покровский, в Одессе - Преображенский. Кроме этих ученых, приобрели еще известность покойные Баскаков и Ливенцов. Ученые исследования Бугаева весьма разнообразны, но большая часть их относится к теории прерывных функций и к анализу. В исследованиях по теории прерывных функций (так называемой теории чисел) автор исходил из той мысли, что чистая математика распадается на два равноправных отдела: анализ или теорию непрерывных функций, и теорию прерывных функций. Эти два отдела, по мнению автора, имеют полное соответствие. Неопределенный анализ и теория форм, или так называемая теория чисел, соответствуют алгебре прерывных функций. В "Числовых тождествах etc.", "Учении о числовых производных" и в других статьях Бугаев дает в первый раз систематическое изложение теории прерывных функций и указывает методы для их исследования. Многие из результатов автора много лет спустя подтверждены учеными Cesaro, Hermite, Gegenbauer и другими. При помощи найденных им в сказанных сочинениях результатов Бугаев мог изучить теорию некоторых приложения эллиптических функций к теории чисел совершенно особым способом, причем он не только доказал многие недоказанные теоремы Лиувилля, но сверх того нашел еще более сложные теоремы, которые едва ли удалось бы вывести без посредства приемов числового анализа; эти исследования находятся в сочинении "Некоторые приложения теории эллиптических функций". К работам по анализу относится магистерская диссертация о сходимости рядов, в которой дается возможность получить бесконечное множество признаков сходимости, исходя из идеи о сопряженности рядов. В сочинении "Общие основания исчисления E...(x) etc." Бугаев предлагает новое исчисление, которое стоит в таком же отношении к анализу, в каком исчисление E(x) стоит к теории чисел. Здесь Бугаев показывает, что исчисления дифференциальное, конечных разностей, деривационное суть частные случаи этого исчисления. Решая многие новые вопросы и давая новые соотношения, автор дает возможность и в прежних вопросах получать более быстрые решения. В статье "Рациональные функции etc." дается возможность выразить разложение корня квадратного из полинома рациональными функциями с каким угодно приближением. В сочинениях педагогических Бугаев обращает внимание между прочим и на литературную обработку языка, а в задачниках Бугаев задолго предупредил указания известного английского психолога Бэна, выбирая для многих задач конкретные факты, характеризующие различные стороны явлений природы, истории и жизни.

Бугаев Николай Васильевич

Русский математик. Отец писателя А. Белого. С 1866 профессор Московского университета. Большая часть многочисленных математических работ Б. относится к анализу и теории чисел. Б. - один из создателей Московского математического общества (президент с 1891) и его органа - «Математический сборник», где опубликованы основные труды Б.

Лит.: Юшкевич А. П., История математики в России до 1917 года, М., 1968.

Большая советская энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия. 1969-1978.

БУГАЕВ Николай Васильевич

(14 (26) сентября 1837, Душет Тифлисской губ.-29 мая (12 июня) 1903, Москва] - русский математик и философ. Отец Андрея Белого. Окончил физико-математический факультет Московского университета (1859). Доктор физико-математических наук (1886); экстраординарный (1867) и ординарный (1869) профессор Московского университета. “Член-корреспондент императорской Академии наук (1897). Один из основателей Московского математического общества, с 1891- его президент. Член Московского психологического общества и член редколлегии журн. “Вопросы философии и психологии”; основатель Московской философско-математической школы.
Математические интересы Бугаева лежали в области теории чисел и разрывных функций. На их основе он создал оригинальное учение- аритмалогию. В центре внимания Бугаева было противопоставление аритмологии-теории разрывности как мировоззренческого принципа и аналитического миросозерцания, связанного с непрерывностью. В аритмологии он пытается найти универсальные понятия и законы, действующие во всех областях знания. В сфере собственно философии аритмология преломляется в монадологию. В учение Лейбница о монадах Бугаев вносит оригинальные положения: монады разных порядков и сложные монады. Порядок монады вносит разрывы в Лейбницев непрерывный процесс внутримонадных изменений, а двойные (диады), тройные (триады) и т. д. монады аритмологически варьируют тип соединения монад. В отличие от Лейбницевых взаимонепроницаемых монад, у Бугаева монады вступают во взаимные отношения, которые могут быть только отношениями любви. Бугаев рисует оптимистическую картину совершенствования монад, конечная цель которого, с одной стороны, поднять психическое содержание монады до психического содержания целого мира, а с другой-целый мир сделать монадою. Иерархия монад завершается Безусловным.
Соч.: О свободе воли. М., 1889; Основные начала эволюционной монадологии.-“Вопросы философии и психологии”, 1893, № 17; Математика и научно-философское миросозерцание.-Там же, 1898, № 45.

Лит.: Некрасов П. А. Московская философско-математическая школа и ее основатели. М., 1904; Алексеев В. Г. Н. В. Бугаев и проблемы идеализма Московской математической школы. Юрьев, 1905; Лопатт Д. М. Философское мировоззрение И. В. Бугаева.-Он же. Философские характеристики и речи. М., 1995.

С. М. Половинкин

Новая философская энциклопедия: В 4 тт. М.: Мысль. Под редакцией В. С. Стёпина. 2001.

Он поступил на Физико-математический факультет Московского университета . Среди преподавателей Бугаева были профессора Н. Е. Зернов , Н. Д. Брашман , А. Ю. Давидов . Известно, что после лекций Бугаев занимался самообразованием, читая дома труды по философии и политэкономии .

В феврале 1866 года Бугаев защитил докторскую диссертацию о рядах, связанных с основанием натуральных логарифмов («Числовые тождества, находящиеся в связи со свойствами символа Е») и в январе 1867 года стал экстраординарным профессором Московского университета, а в декабре 1869 года - ординарным профессором. Сначала он читал теорию чисел , а позже исчисление конечных разностей , вариационное исчисление , теорию эллиптических функций , теорию функций комплексного переменного . В это время он был товарищем председателя Общества распространения технических знаний .

Дважды Н. В. Бугаев был деканом физико-математического факультета университета: в 1887-1891 и в 1893-1897 годах .

Научная деятельность в области математики

Московское математическое общество

Научная деятельность в области философии

Философией Бугаев активно занимался ещё в студенческие годы. В тот период его занимала возможность примирения идеализма с реализмом, он говорил, что «всё относительно и только в пределах данных условий становится абсолютным» .

Позже Бугаева привлекали идеи позитивизма , но в конце концов отошёл от них .

Кто мы, какое положение занимали и занимаем мы в мире, в каком контакте находимся мы с окружающею средою, какими физическими и духовными функциями, средствами и методами можем мы располагать для наших задач, целей и дел в будущем, - эти вопросы требуют для своего решения прежде всего точных азбучных принципов, обоснованию которых многие из основателей Московского Математического Общества и в их числе Николай Васильевич посвятили труд целой своей жизни. Этим принципам, представляющим собою азбуку мудрецов, они дали глубокое, мудрое, благочестивое, покорное делу Творца, научное, практическое и философское разъяснение.
Да будет же вечно памятным весь союз основателей Московского Математического Общества, и да будет незабвенным имя Николая Васильевича Бугаева.

Научные работы

Названия работ Бугаева даны в соответствии со списком, размещённым в журнале «Математический сборник » за 1905 год . Некоторые из этих работ в статье из Энциклопедического словаря Брокгауза и Ефрона , посвящённой Бугаеву, имеют несколько иные названия .

Работы по математике :

Руководство к арифметике. Арифметика целых чисел.
Руководство к арифметике. Арифметика дробных чисел.
Задачник к арифметике целых чисел.
Задачник к арифметике дробных чисел.
Начальная алгебра.
Вопросы к алгебре.
Начальная геометрия. Планиметрия.
Начальная геометрия. Стереометрия.
Сергей Алексеевич Усов. // Отчёт Московского университета. - 1887.
Доказательство теоремы Коши. // Вестник математических наук.
Доказательство теоремы Вильсона. // Вестник математических наук.
Замечания на одну статью высшей алгебры Серре. // Вестник математических наук.
Рациональные функции, выражающие два корня кубического уравнения по третьему. // Вестник математических наук.
Графический способ проведения касательной к кривой на плоскости. // Вестник математических наук.
Решение уравнений 4 степени. // Вестник математических наук.
Интегрирование рациональных дробей без помощи разложения. // Вестник математических наук.
Замечание к теории равных корней. // Вестник математических наук.
По поводу правила сходимости Поппера. // Математический Сборник. - т. 2.
Сходимость бесконечных рядов по их внешнему виду.
Числовые тождества, находящияся в связи с свойствами символа E . // Математический Сборник. - т. 1.
Учение о числовых производных. // Математический Сборник. - тт. 5, 6.
Некоторые приложения теории эллиптических функций к теории функций прерывных. // Математический Сборник. - тт. 11, 12.
Общие основания исчисления Eφx с одним независимым переменным. // Математический Сборник. - тт. 12, 13.
Введение в теорию чисел. // Учёные записки Московского университета.
Интегрируемые формы дифференциальных уравнений. // Математический Сборник. - т. 4.
Некоторые частные теоремы для числовых функций. // Математический Сборник. - т. 3.
Дифференциальные уравнения 1-го порядка. // Математический Сборник. - т. 3.
Общая теорема теории чисел с одной произвольной функцией. // Математический Сборник. - т. 2.
Теорема Эйлера о многогранниках. Свойства плоской геометрической сети. // Математический Сборник. - т. 2.
Некоторые вопросы числовой алгебры. // Математический Сборник. - т. 7.
Числовые уравнения второй степени. // Математический Сборник. - т. 8.
К теории делимости чисел. // Математический Сборник. - т. 8.
К теории функциональных уравнений. // Математический Сборник. - т. 8.
Решение одного шахматного вопроса с помощью числовых функций. // Математический Сборник. - т. 9.
Некоторые свойства вычетов и числовых сумм. // Математический Сборник. - т. 10.
Решение сравнений второй степени при модуле простом. // Математический Сборник. - т. 10.
Рациональные функции, находящиеся в связи с теорией приближенного извлечения квадратных корней. // Математический Сборник. - т. 10.
Один общий закон теории разбиения чисел. // Математический Сборник. - т. 12.
Свойства одного числового интеграла по делителям и его различные применения. Логарифмические числовые функции. // Математический Сборник. - т. 13.
Общие приёмы вычисления числовых интегралов по делителям. Естественная классификация целых чисел и прерывных функций. // Математический Сборник. - т. 14.
Общие преобразования числовых интегралов по делителям. // Математический Сборник. - т. 14.
К теории сходимости рядов. // Математический Сборник. - т. 14.
Геометрия произвольных величин. // Математический Сборник. - т. 14.
Различные применения начала наибольших и наименьших показателей к теории алгебраических функций. // Математический Сборник. - т. 14.
Одна общая теорема алгебраических кривых высшего порядка. // Математический Сборник. - т. 15.
Об уравнениях пятой степени, разрешаемых в радикалах (в соавторстве с Л. К. Лахтиным ). // Математический Сборник. - т. 15.
Прерывная геометрия. // Математический Сборник. - т. 15.
Начало наибольших и наименьших показателей в теории дифференциальных уравнений. Целые частные интегралы. // Математический Сборник. - т. 16.
Дробные частные интегралы дифференциальных уравнений.
Выражение эллиптических интегралов в конечном виде.
Общие условия интегрируемости в конечном виде эллиптического диифференциала.
Алгебраические частные интегралы дифференциальных уравнений.
Определённые числовые интегралы по делителям.
Определённые числовые интегралы по делителям смешанного характера.
Способ последовательных приближений. Его приложение к численному решению алгебраических уравнений высших степеней.
Способ последовательных приближений. Его приложение к разложению функций в непрерывные ряды.
Способ последовательных приближений. Его приложение к выводу теорем Тейлора и Лагранжа в преобразованной форме.
Способ последовательных приближений. Его приложение к интегрированию дифференциальных уравнений.
Способ последовательных приближений. Вспомогательные и дополнительные способы приближенного исчисления.
Моногенность интегралов дифференциальных уравнений.
Приближенное вычисление определённых интегралов.
Об одной теореме теории чисел.
Приложение исчисления E(φx) к определению целого частного двух полиномов.
Геометрические приёмы приближенной квадратуры и кубатуры.
Различные способы исследования определённых числовых интегралов по делителям.
Связь числовых интегралов по делителям с числовыми интегралами по натуральным числам.
Связь числовых интегралов по натуральным числам с определёнными числовыми интегралами смешанного характера.
Обобщённая форма ряда Лагранжа.
О ряде подобном ряду Лагранжа.
Разложение функций в числовой ряд по функциям ψ(n) .
Различные вопросы исчисления E(x) .
Некоторые общие соотношения в теории многократных интегралов.

Работы по философии и педагогике :

О свободе воли. // Труды психологического общества. - 1869.
Основные начала эволюционной монадологии.
Математика как орудие научное и педагогическое. // Математический Сборник. - т. 3.
// Математический сборник : журнал. - М ., 1905. - Т. 25 , № 2 . - С. 349-369 . (Проверено 7 декабря 2009)

Семья

Жена - Александра Дмитриевна (урождённая Егорова) (1858-1922).
Сын - Бугаев, Борис Николаевич (псевдоним Андрей Белый) (1880-1934), писатель, поэт, критик, один из ведущих деятелей русского символизма ; он оставил яркие воспоминания о своём отце и окружавших его людях.

Педагогические взгляды

«Математика как орудие научное и педагогическое» (1-е издание вышло в 1869 году)
«Влияние Московского университета на развитие математики в русских университетах» (около 1884 г.)
«Записка по вопросу о начальном образовании» (1898 г.)
К вопросу о подготовке преподавателей для средних учебных заведений (1899 г.)
«К вопросу о средней школе» (1899 г.)
«Доклад ординарного профессора Московского университета Н. В. Бугаева» (1900 г.)
«К вопросу о подготовке преподавателей для средних учебных заведений» (1901 г.).

учёт индивидуальных особенностей учащихся;
активность и самодеятельность учащихся;
преемственность между разными уровнями образования;
возбуждение эстетических эмоций у учащихся в процессе обучения;
сосредоточение внимания учащихся на ограниченном числе предметов одновременно;
гибкость проведения экзаменационной сессии в вузе;
научность содержания математики как учебного предмета, характеризующаяся ясностью и полнотой, логичностью и последовательностью.

Н. В. Бугаев был хорошим шахматистом. Он первым применил дебют, который в дореволюционных изданиях назывался «дебютом Бугаева» - «Дебют Сокольского ». В сеансе одновременной игры 7 февраля 1896 года он смог выиграть, применив этот дебют, у экс-чемпиона мира В. Стейница .

Напишите отзыв о статье "Бугаев, Николай Васильевич"

Примечания

Отрывок, характеризующий Бугаев, Николай Васильевич

После своего объяснения с женой, Пьер поехал в Петербург. В Торжке на cтанции не было лошадей, или не хотел их смотритель. Пьер должен был ждать. Он не раздеваясь лег на кожаный диван перед круглым столом, положил на этот стол свои большие ноги в теплых сапогах и задумался.
– Прикажете чемоданы внести? Постель постелить, чаю прикажете? – спрашивал камердинер.
Пьер не отвечал, потому что ничего не слыхал и не видел. Он задумался еще на прошлой станции и всё продолжал думать о том же – о столь важном, что он не обращал никакого.внимания на то, что происходило вокруг него. Его не только не интересовало то, что он позже или раньше приедет в Петербург, или то, что будет или не будет ему места отдохнуть на этой станции, но всё равно было в сравнении с теми мыслями, которые его занимали теперь, пробудет ли он несколько часов или всю жизнь на этой станции.
Смотритель, смотрительша, камердинер, баба с торжковским шитьем заходили в комнату, предлагая свои услуги. Пьер, не переменяя своего положения задранных ног, смотрел на них через очки, и не понимал, что им может быть нужно и каким образом все они могли жить, не разрешив тех вопросов, которые занимали его. А его занимали всё одни и те же вопросы с самого того дня, как он после дуэли вернулся из Сокольников и провел первую, мучительную, бессонную ночь; только теперь в уединении путешествия, они с особенной силой овладели им. О чем бы он ни начинал думать, он возвращался к одним и тем же вопросам, которых он не мог разрешить, и не мог перестать задавать себе. Как будто в голове его свернулся тот главный винт, на котором держалась вся его жизнь. Винт не входил дальше, не выходил вон, а вертелся, ничего не захватывая, всё на том же нарезе, и нельзя было перестать вертеть его.
Вошел смотритель и униженно стал просить его сиятельство подождать только два часика, после которых он для его сиятельства (что будет, то будет) даст курьерских. Смотритель очевидно врал и хотел только получить с проезжего лишние деньги. «Дурно ли это было или хорошо?», спрашивал себя Пьер. «Для меня хорошо, для другого проезжающего дурно, а для него самого неизбежно, потому что ему есть нечего: он говорил, что его прибил за это офицер. А офицер прибил за то, что ему ехать надо было скорее. А я стрелял в Долохова за то, что я счел себя оскорбленным, а Людовика XVI казнили за то, что его считали преступником, а через год убили тех, кто его казнил, тоже за что то. Что дурно? Что хорошо? Что надо любить, что ненавидеть? Для чего жить, и что такое я? Что такое жизнь, что смерть? Какая сила управляет всем?», спрашивал он себя. И не было ответа ни на один из этих вопросов, кроме одного, не логического ответа, вовсе не на эти вопросы. Ответ этот был: «умрешь – всё кончится. Умрешь и всё узнаешь, или перестанешь спрашивать». Но и умереть было страшно.
Торжковская торговка визгливым голосом предлагала свой товар и в особенности козловые туфли. «У меня сотни рублей, которых мне некуда деть, а она в прорванной шубе стоит и робко смотрит на меня, – думал Пьер. И зачем нужны эти деньги? Точно на один волос могут прибавить ей счастья, спокойствия души, эти деньги? Разве может что нибудь в мире сделать ее и меня менее подверженными злу и смерти? Смерть, которая всё кончит и которая должна притти нынче или завтра – всё равно через мгновение, в сравнении с вечностью». И он опять нажимал на ничего не захватывающий винт, и винт всё так же вертелся на одном и том же месте.
Слуга его подал ему разрезанную до половины книгу романа в письмах m mе Suza. [мадам Сюза.] Он стал читать о страданиях и добродетельной борьбе какой то Аmelie de Mansfeld. [Амалии Мансфельд.] «И зачем она боролась против своего соблазнителя, думал он, – когда она любила его? Не мог Бог вложить в ее душу стремления, противного Его воле. Моя бывшая жена не боролась и, может быть, она была права. Ничего не найдено, опять говорил себе Пьер, ничего не придумано. Знать мы можем только то, что ничего не знаем. И это высшая степень человеческой премудрости».
Всё в нем самом и вокруг него представлялось ему запутанным, бессмысленным и отвратительным. Но в этом самом отвращении ко всему окружающему Пьер находил своего рода раздражающее наслаждение.
– Осмелюсь просить ваше сиятельство потесниться крошечку, вот для них, – сказал смотритель, входя в комнату и вводя за собой другого, остановленного за недостатком лошадей проезжающего. Проезжающий был приземистый, ширококостый, желтый, морщинистый старик с седыми нависшими бровями над блестящими, неопределенного сероватого цвета, глазами.
Пьер снял ноги со стола, встал и перелег на приготовленную для него кровать, изредка поглядывая на вошедшего, который с угрюмо усталым видом, не глядя на Пьера, тяжело раздевался с помощью слуги. Оставшись в заношенном крытом нанкой тулупчике и в валеных сапогах на худых костлявых ногах, проезжий сел на диван, прислонив к спинке свою очень большую и широкую в висках, коротко обстриженную голову и взглянул на Безухого. Строгое, умное и проницательное выражение этого взгляда поразило Пьера. Ему захотелось заговорить с проезжающим, но когда он собрался обратиться к нему с вопросом о дороге, проезжающий уже закрыл глаза и сложив сморщенные старые руки, на пальце одной из которых был большой чугунный перстень с изображением Адамовой головы, неподвижно сидел, или отдыхая, или о чем то глубокомысленно и спокойно размышляя, как показалось Пьеру. Слуга проезжающего был весь покрытый морщинами, тоже желтый старичек, без усов и бороды, которые видимо не были сбриты, а никогда и не росли у него. Поворотливый старичек слуга разбирал погребец, приготовлял чайный стол, и принес кипящий самовар. Когда всё было готово, проезжающий открыл глаза, придвинулся к столу и налив себе один стакан чаю, налил другой безбородому старичку и подал ему. Пьер начинал чувствовать беспокойство и необходимость, и даже неизбежность вступления в разговор с этим проезжающим.
Слуга принес назад свой пустой, перевернутый стакан с недокусанным кусочком сахара и спросил, не нужно ли чего.
– Ничего. Подай книгу, – сказал проезжающий. Слуга подал книгу, которая показалась Пьеру духовною, и проезжающий углубился в чтение. Пьер смотрел на него. Вдруг проезжающий отложил книгу, заложив закрыл ее и, опять закрыв глаза и облокотившись на спинку, сел в свое прежнее положение. Пьер смотрел на него и не успел отвернуться, как старик открыл глаза и уставил свой твердый и строгий взгляд прямо в лицо Пьеру.
Пьер чувствовал себя смущенным и хотел отклониться от этого взгляда, но блестящие, старческие глаза неотразимо притягивали его к себе.

– Имею удовольствие говорить с графом Безухим, ежели я не ошибаюсь, – сказал проезжающий неторопливо и громко. Пьер молча, вопросительно смотрел через очки на своего собеседника.
– Я слышал про вас, – продолжал проезжающий, – и про постигшее вас, государь мой, несчастье. – Он как бы подчеркнул последнее слово, как будто он сказал: «да, несчастье, как вы ни называйте, я знаю, что то, что случилось с вами в Москве, было несчастье». – Весьма сожалею о том, государь мой.
Пьер покраснел и, поспешно спустив ноги с постели, нагнулся к старику, неестественно и робко улыбаясь.
– Я не из любопытства упомянул вам об этом, государь мой, но по более важным причинам. – Он помолчал, не выпуская Пьера из своего взгляда, и подвинулся на диване, приглашая этим жестом Пьера сесть подле себя. Пьеру неприятно было вступать в разговор с этим стариком, но он, невольно покоряясь ему, подошел и сел подле него.
– Вы несчастливы, государь мой, – продолжал он. – Вы молоды, я стар. Я бы желал по мере моих сил помочь вам.
– Ах, да, – с неестественной улыбкой сказал Пьер. – Очень вам благодарен… Вы откуда изволите проезжать? – Лицо проезжающего было не ласково, даже холодно и строго, но несмотря на то, и речь и лицо нового знакомца неотразимо привлекательно действовали на Пьера.
– Но если по каким либо причинам вам неприятен разговор со мною, – сказал старик, – то вы так и скажите, государь мой. – И он вдруг улыбнулся неожиданно, отечески нежной улыбкой.
– Ах нет, совсем нет, напротив, я очень рад познакомиться с вами, – сказал Пьер, и, взглянув еще раз на руки нового знакомца, ближе рассмотрел перстень. Он увидал на нем Адамову голову, знак масонства.
– Позвольте мне спросить, – сказал он. – Вы масон?
– Да, я принадлежу к братству свободных каменьщиков, сказал проезжий, все глубже и глубже вглядываясь в глаза Пьеру. – И от себя и от их имени протягиваю вам братскую руку.
– Я боюсь, – сказал Пьер, улыбаясь и колеблясь между доверием, внушаемым ему личностью масона, и привычкой насмешки над верованиями масонов, – я боюсь, что я очень далек от пониманья, как это сказать, я боюсь, что мой образ мыслей насчет всего мироздания так противоположен вашему, что мы не поймем друг друга.
– Мне известен ваш образ мыслей, – сказал масон, – и тот ваш образ мыслей, о котором вы говорите, и который вам кажется произведением вашего мысленного труда, есть образ мыслей большинства людей, есть однообразный плод гордости, лени и невежества. Извините меня, государь мой, ежели бы я не знал его, я бы не заговорил с вами. Ваш образ мыслей есть печальное заблуждение.
– Точно так же, как я могу предполагать, что и вы находитесь в заблуждении, – сказал Пьер, слабо улыбаясь.
– Я никогда не посмею сказать, что я знаю истину, – сказал масон, всё более и более поражая Пьера своею определенностью и твердостью речи. – Никто один не может достигнуть до истины; только камень за камнем, с участием всех, миллионами поколений, от праотца Адама и до нашего времени, воздвигается тот храм, который должен быть достойным жилищем Великого Бога, – сказал масон и закрыл глаза.
– Я должен вам сказать, я не верю, не… верю в Бога, – с сожалением и усилием сказал Пьер, чувствуя необходимость высказать всю правду.
Масон внимательно посмотрел на Пьера и улыбнулся, как улыбнулся бы богач, державший в руках миллионы, бедняку, который бы сказал ему, что нет у него, у бедняка, пяти рублей, могущих сделать его счастие.
– Да, вы не знаете Его, государь мой, – сказал масон. – Вы не можете знать Его. Вы не знаете Его, оттого вы и несчастны.
– Да, да, я несчастен, подтвердил Пьер; – но что ж мне делать?
– Вы не знаете Его, государь мой, и оттого вы очень несчастны. Вы не знаете Его, а Он здесь, Он во мне. Он в моих словах, Он в тебе, и даже в тех кощунствующих речах, которые ты произнес сейчас! – строгим дрожащим голосом сказал масон.
Он помолчал и вздохнул, видимо стараясь успокоиться.
– Ежели бы Его не было, – сказал он тихо, – мы бы с вами не говорили о Нем, государь мой. О чем, о ком мы говорили? Кого ты отрицал? – вдруг сказал он с восторженной строгостью и властью в голосе. – Кто Его выдумал, ежели Его нет? Почему явилось в тебе предположение, что есть такое непонятное существо? Почему ты и весь мир предположили существование такого непостижимого существа, существа всемогущего, вечного и бесконечного во всех своих свойствах?… – Он остановился и долго молчал.
Пьер не мог и не хотел прерывать этого молчания.
– Он есть, но понять Его трудно, – заговорил опять масон, глядя не на лицо Пьера, а перед собою, своими старческими руками, которые от внутреннего волнения не могли оставаться спокойными, перебирая листы книги. – Ежели бы это был человек, в существовании которого ты бы сомневался, я бы привел к тебе этого человека, взял бы его за руку и показал тебе. Но как я, ничтожный смертный, покажу всё всемогущество, всю вечность, всю благость Его тому, кто слеп, или тому, кто закрывает глаза, чтобы не видать, не понимать Его, и не увидать, и не понять всю свою мерзость и порочность? – Он помолчал. – Кто ты? Что ты? Ты мечтаешь о себе, что ты мудрец, потому что ты мог произнести эти кощунственные слова, – сказал он с мрачной и презрительной усмешкой, – а ты глупее и безумнее малого ребенка, который бы, играя частями искусно сделанных часов, осмелился бы говорить, что, потому что он не понимает назначения этих часов, он и не верит в мастера, который их сделал. Познать Его трудно… Мы веками, от праотца Адама и до наших дней, работаем для этого познания и на бесконечность далеки от достижения нашей цели; но в непонимании Его мы видим только нашу слабость и Его величие… – Пьер, с замиранием сердца, блестящими глазами глядя в лицо масона, слушал его, не перебивал, не спрашивал его, а всей душой верил тому, что говорил ему этот чужой человек. Верил ли он тем разумным доводам, которые были в речи масона, или верил, как верят дети интонациям, убежденности и сердечности, которые были в речи масона, дрожанию голоса, которое иногда почти прерывало масона, или этим блестящим, старческим глазам, состарившимся на том же убеждении, или тому спокойствию, твердости и знанию своего назначения, которые светились из всего существа масона, и которые особенно сильно поражали его в сравнении с своей опущенностью и безнадежностью; – но он всей душой желал верить, и верил, и испытывал радостное чувство успокоения, обновления и возвращения к жизни.
– Он не постигается умом, а постигается жизнью, – сказал масон.
– Я не понимаю, – сказал Пьер, со страхом чувствуя поднимающееся в себе сомнение. Он боялся неясности и слабости доводов своего собеседника, он боялся не верить ему. – Я не понимаю, – сказал он, – каким образом ум человеческий не может постигнуть того знания, о котором вы говорите.
Масон улыбнулся своей кроткой, отеческой улыбкой.
– Высшая мудрость и истина есть как бы чистейшая влага, которую мы хотим воспринять в себя, – сказал он. – Могу ли я в нечистый сосуд воспринять эту чистую влагу и судить о чистоте ее? Только внутренним очищением самого себя я могу до известной чистоты довести воспринимаемую влагу.
– Да, да, это так! – радостно сказал Пьер.
– Высшая мудрость основана не на одном разуме, не на тех светских науках физики, истории, химии и т. д., на которые распадается знание умственное. Высшая мудрость одна. Высшая мудрость имеет одну науку – науку всего, науку объясняющую всё мироздание и занимаемое в нем место человека. Для того чтобы вместить в себя эту науку, необходимо очистить и обновить своего внутреннего человека, и потому прежде, чем знать, нужно верить и совершенствоваться. И для достижения этих целей в душе нашей вложен свет Божий, называемый совестью.
– Да, да, – подтверждал Пьер.
– Погляди духовными глазами на своего внутреннего человека и спроси у самого себя, доволен ли ты собой. Чего ты достиг, руководясь одним умом? Что ты такое? Вы молоды, вы богаты, вы умны, образованы, государь мой. Что вы сделали из всех этих благ, данных вам? Довольны ли вы собой и своей жизнью?
– Нет, я ненавижу свою жизнь, – сморщась проговорил Пьер.
– Ты ненавидишь, так измени ее, очисти себя, и по мере очищения ты будешь познавать мудрость. Посмотрите на свою жизнь, государь мой. Как вы проводили ее? В буйных оргиях и разврате, всё получая от общества и ничего не отдавая ему. Вы получили богатство. Как вы употребили его? Что вы сделали для ближнего своего? Подумали ли вы о десятках тысяч ваших рабов, помогли ли вы им физически и нравственно? Нет. Вы пользовались их трудами, чтоб вести распутную жизнь. Вот что вы сделали. Избрали ли вы место служения, где бы вы приносили пользу своему ближнему? Нет. Вы в праздности проводили свою жизнь. Потом вы женились, государь мой, взяли на себя ответственность в руководстве молодой женщины, и что же вы сделали? Вы не помогли ей, государь мой, найти путь истины, а ввергли ее в пучину лжи и несчастья. Человек оскорбил вас, и вы убили его, и вы говорите, что вы не знаете Бога, и что вы ненавидите свою жизнь. Тут нет ничего мудреного, государь мой! – После этих слов, масон, как бы устав от продолжительного разговора, опять облокотился на спинку дивана и закрыл глаза. Пьер смотрел на это строгое, неподвижное, старческое, почти мертвое лицо, и беззвучно шевелил губами. Он хотел сказать: да, мерзкая, праздная, развратная жизнь, – и не смел прерывать молчание.
Масон хрипло, старчески прокашлялся и кликнул слугу.
– Что лошади? – спросил он, не глядя на Пьера.
– Привели сдаточных, – отвечал слуга. – Отдыхать не будете?
– Нет, вели закладывать.
«Неужели же он уедет и оставит меня одного, не договорив всего и не обещав мне помощи?», думал Пьер, вставая и опустив голову, изредка взглядывая на масона, и начиная ходить по комнате. «Да, я не думал этого, но я вел презренную, развратную жизнь, но я не любил ее, и не хотел этого, думал Пьер, – а этот человек знает истину, и ежели бы он захотел, он мог бы открыть мне её». Пьер хотел и не смел сказать этого масону. Проезжающий, привычными, старческими руками уложив свои вещи, застегивал свой тулупчик. Окончив эти дела, он обратился к Безухому и равнодушно, учтивым тоном, сказал ему:
– Вы куда теперь изволите ехать, государь мой?
– Я?… Я в Петербург, – отвечал Пьер детским, нерешительным голосом. – Я благодарю вас. Я во всем согласен с вами. Но вы не думайте, чтобы я был так дурен. Я всей душой желал быть тем, чем вы хотели бы, чтобы я был; но я ни в ком никогда не находил помощи… Впрочем, я сам прежде всего виноват во всем. Помогите мне, научите меня и, может быть, я буду… – Пьер не мог говорить дальше; он засопел носом и отвернулся.
Масон долго молчал, видимо что то обдумывая.
– Помощь дается токмо от Бога, – сказал он, – но ту меру помощи, которую во власти подать наш орден, он подаст вам, государь мой. Вы едете в Петербург, передайте это графу Вилларскому (он достал бумажник и на сложенном вчетверо большом листе бумаги написал несколько слов). Один совет позвольте подать вам. Приехав в столицу, посвятите первое время уединению, обсуждению самого себя, и не вступайте на прежние пути жизни. Затем желаю вам счастливого пути, государь мой, – сказал он, заметив, что слуга его вошел в комнату, – и успеха…
Проезжающий был Осип Алексеевич Баздеев, как узнал Пьер по книге смотрителя. Баздеев был одним из известнейших масонов и мартинистов еще Новиковского времени. Долго после его отъезда Пьер, не ложась спать и не спрашивая лошадей, ходил по станционной комнате, обдумывая свое порочное прошедшее и с восторгом обновления представляя себе свое блаженное, безупречное и добродетельное будущее, которое казалось ему так легко. Он был, как ему казалось, порочным только потому, что он как то случайно запамятовал, как хорошо быть добродетельным. В душе его не оставалось ни следа прежних сомнений. Он твердо верил в возможность братства людей, соединенных с целью поддерживать друг друга на пути добродетели, и таким представлялось ему масонство.

Приехав в Петербург, Пьер никого не известил о своем приезде, никуда не выезжал, и стал целые дни проводить за чтением Фомы Кемпийского, книги, которая неизвестно кем была доставлена ему. Одно и всё одно понимал Пьер, читая эту книгу; он понимал неизведанное еще им наслаждение верить в возможность достижения совершенства и в возможность братской и деятельной любви между людьми, открытую ему Осипом Алексеевичем. Через неделю после его приезда молодой польский граф Вилларский, которого Пьер поверхностно знал по петербургскому свету, вошел вечером в его комнату с тем официальным и торжественным видом, с которым входил к нему секундант Долохова и, затворив за собой дверь и убедившись, что в комнате никого кроме Пьера не было, обратился к нему:
– Я приехал к вам с поручением и предложением, граф, – сказал он ему, не садясь. – Особа, очень высоко поставленная в нашем братстве, ходатайствовала о том, чтобы вы были приняты в братство ранее срока, и предложила мне быть вашим поручителем. Я за священный долг почитаю исполнение воли этого лица. Желаете ли вы вступить за моим поручительством в братство свободных каменьщиков?
Холодный и строгий тон человека, которого Пьер видел почти всегда на балах с любезною улыбкою, в обществе самых блестящих женщин, поразил Пьера.
– Да, я желаю, – сказал Пьер.
Вилларский наклонил голову. – Еще один вопрос, граф, сказал он, на который я вас не как будущего масона, но как честного человека (galant homme) прошу со всею искренностью отвечать мне: отреклись ли вы от своих прежних убеждений, верите ли вы в Бога?
Пьер задумался. – Да… да, я верю в Бога, – сказал он.
– В таком случае… – начал Вилларский, но Пьер перебил его. – Да, я верю в Бога, – сказал он еще раз.
– В таком случае мы можем ехать, – сказал Вилларский. – Карета моя к вашим услугам.
Всю дорогу Вилларский молчал. На вопросы Пьера, что ему нужно делать и как отвечать, Вилларский сказал только, что братья, более его достойные, испытают его, и что Пьеру больше ничего не нужно, как говорить правду.
Въехав в ворота большого дома, где было помещение ложи, и пройдя по темной лестнице, они вошли в освещенную, небольшую прихожую, где без помощи прислуги, сняли шубы. Из передней они прошли в другую комнату. Какой то человек в странном одеянии показался у двери. Вилларский, выйдя к нему навстречу, что то тихо сказал ему по французски и подошел к небольшому шкафу, в котором Пьер заметил невиданные им одеяния. Взяв из шкафа платок, Вилларский наложил его на глаза Пьеру и завязал узлом сзади, больно захватив в узел его волоса. Потом он пригнул его к себе, поцеловал и, взяв за руку, повел куда то. Пьеру было больно от притянутых узлом волос, он морщился от боли и улыбался от стыда чего то. Огромная фигура его с опущенными руками, с сморщенной и улыбающейся физиономией, неверными робкими шагами подвигалась за Вилларским.
Проведя его шагов десять, Вилларский остановился.
– Что бы ни случилось с вами, – сказал он, – вы должны с мужеством переносить всё, ежели вы твердо решились вступить в наше братство. (Пьер утвердительно отвечал наклонением головы.) Когда вы услышите стук в двери, вы развяжете себе глаза, – прибавил Вилларский; – желаю вам мужества и успеха. И, пожав руку Пьеру, Вилларский вышел.
Оставшись один, Пьер продолжал всё так же улыбаться. Раза два он пожимал плечами, подносил руку к платку, как бы желая снять его, и опять опускал ее. Пять минут, которые он пробыл с связанными глазами, показались ему часом. Руки его отекли, ноги подкашивались; ему казалось, что он устал. Он испытывал самые сложные и разнообразные чувства. Ему было и страшно того, что с ним случится, и еще более страшно того, как бы ему не выказать страха. Ему было любопытно узнать, что будет с ним, что откроется ему; но более всего ему было радостно, что наступила минута, когда он наконец вступит на тот путь обновления и деятельно добродетельной жизни, о котором он мечтал со времени своей встречи с Осипом Алексеевичем. В дверь послышались сильные удары. Пьер снял повязку и оглянулся вокруг себя. В комнате было черно – темно: только в одном месте горела лампада, в чем то белом. Пьер подошел ближе и увидал, что лампада стояла на черном столе, на котором лежала одна раскрытая книга. Книга была Евангелие; то белое, в чем горела лампада, был человечий череп с своими дырами и зубами. Прочтя первые слова Евангелия: «Вначале бе слово и слово бе к Богу», Пьер обошел стол и увидал большой, наполненный чем то и открытый ящик. Это был гроб с костями. Его нисколько не удивило то, что он увидал. Надеясь вступить в совершенно новую жизнь, совершенно отличную от прежней, он ожидал всего необыкновенного, еще более необыкновенного чем то, что он видел. Череп, гроб, Евангелие – ему казалось, что он ожидал всего этого, ожидал еще большего. Стараясь вызвать в себе чувство умиленья, он смотрел вокруг себя. – «Бог, смерть, любовь, братство людей», – говорил он себе, связывая с этими словами смутные, но радостные представления чего то. Дверь отворилась, и кто то вошел.
При слабом свете, к которому однако уже успел Пьер приглядеться, вошел невысокий человек. Видимо с света войдя в темноту, человек этот остановился; потом осторожными шагами он подвинулся к столу и положил на него небольшие, закрытые кожаными перчатками, руки.
Невысокий человек этот был одет в белый, кожаный фартук, прикрывавший его грудь и часть ног, на шее было надето что то вроде ожерелья, и из за ожерелья выступал высокий, белый жабо, окаймлявший его продолговатое лицо, освещенное снизу.
– Для чего вы пришли сюда? – спросил вошедший, по шороху, сделанному Пьером, обращаясь в его сторону. – Для чего вы, неверующий в истины света и не видящий света, для чего вы пришли сюда, чего хотите вы от нас? Премудрости, добродетели, просвещения?
В ту минуту как дверь отворилась и вошел неизвестный человек, Пьер испытал чувство страха и благоговения, подобное тому, которое он в детстве испытывал на исповеди: он почувствовал себя с глазу на глаз с совершенно чужим по условиям жизни и с близким, по братству людей, человеком. Пьер с захватывающим дыханье биением сердца подвинулся к ритору (так назывался в масонстве брат, приготовляющий ищущего к вступлению в братство). Пьер, подойдя ближе, узнал в риторе знакомого человека, Смольянинова, но ему оскорбительно было думать, что вошедший был знакомый человек: вошедший был только брат и добродетельный наставник. Пьер долго не мог выговорить слова, так что ритор должен был повторить свой вопрос.

Николай Бугаев родился в Тбилисской губернии в семье военного врача кавказских войск. В 1847 году был отправлен отцом в Москву для обучения в гимназии; учился в Первой московской гимназии (по другим данным - во Второй московской гимназии), уже с четвёртого класса он ничего не получал из дома и жил исключительно на то, что зарабатывал уроками; школу он окончил с золотой медалью.

В 1855 году он поступил на Физико-математический факультет Московского университета. Среди преподавателей Бугаева были профессора Николай Ефимович Зернов (1804-1862), Николай Дмитриевич Брашман (1796-1866), Август Юльевич Давидов (1823-1885). Известно, что после лекций Бугаев занимался самообразованием, читая дома труды по философии и политэкономии.

В 1859 году, после окончания университетского курса, Бугаеву было предложено остаться при Университете для подготовки к профессуре, но он отказался, решив избрать военную карьеру. Поступив на службу унтер-офицером в гренадерский сапёрный батальон с прикомандированием к лейб-гвардии сапёрному батальону, одновременно он был принят экстерном в Николаевское инженерное училище в Санкт-Петербурге. В 1860 году Бугаев после сдачи экзамена был произведён в военные инженер-прапорщики и оставлен при Николаевской инженерной академии для продолжения обучения. Среди тех, чьи лекции слушал Бугаев, можно выделить математика Михаила Васильевича Остроградского (1801-1861/1862). Обучение в академии закончилось после того, как был отчислен один из инженер-прапорщиков - и многие его товарищи, среди которых был и Бугаев, подали в знак протеста прошения о своём отчислении. Прошения были удовлетворены, Бугаев был откомандирован в сапёрный батальон. Вскоре он оставил военную службу, в 1861 году вернулся в Москву и стал готовиться к защите диссертации.

В 1863 году Бугаев защитил магистерскую диссертацию на тему «Сходимость бесконечных рядов по их внешнему виду», после чего получил заграничную командировку на два с половиной года для подготовки к профессорскому званию. Среди тех, чьи лекции он слушал в Германии и Франции, можно отметить Жозефа Бертрана (1822-1900), Карла Вейерштрасса (1815-1897), Жана Дюгамеля (1797-1872), Эрнста Куммера (1810-1893), Габриеля Ламе (1795-1870), Жозефа Лиувилля (1809-1882), Жозефа Серре (1819-1885), Мишеля Шаля (1793-1880). Бугаев выделял среди них Эрнста Куммера, у него Николай Васильевич слушал лекции по аналитической механике, теории чисел, теории поверхностей и теории гипергеометрических рядов.

В 1865 году Бугаев вернулся в Москву и был избран доцентом по кафедре чистой математики. К этому же периоду относится и его активное участие в работе организованного во время его отъезда Московского математического общества.

В 1866 году Бугаев защитил докторскую диссертацию о рядах, связанных с основанием натуральных логарифмов e («Числовые тождества, находящиеся в связи со свойствами символа Е») и в 1867 году стал профессором Московского университета. Он стал читать теорию чисел, а позже исчисление конечных разностей, вариационное исчисление, теорию эллиптических функций, теорию функций комплексного переменного.

В 1879 году Бугаев был избран членом-корреспондентом Императорской Санкт-Петербургской академии наук.

В 1886 году Бугаев стал вице-президентом Московского математического общества, а с 1891 года и до конца жизни - президентом Общества.

В 1887 году был избран деканом физико-математического факультета университета, занимал эту должность до 1891 года, а затем в с 1893 года по 1894 год.

Научная деятельность в области математики

Исследования в основном в области анализа и теории чисел. Доказал гипотезы, сформулированные Лиувиллем. Наиболее важные работы Бугаева по теории чисел были основаны на аналогии между некоторыми операциями в теории чисел и операциями дифференцирования и интегрирования в анализе. Построил систематическую теорию разрывных функций.

Работы Бугаева привели к созданию в 1911 году, спустя 8 лет после его смерти, его учеником Дмитрием Фёдоровичем Егоровым (1869-1931), московской школы теории функций вещественных переменных.

Московское математическое общество

В 1863-1865 гг. Бугаев был в Европе. В это время в Москве, в сентябре 1864 года, возникло Московское математическое общество - сначала как научный кружок преподавателей математики (большей частью из Московского университета), объединившихся вокруг профессора Николая Дмитриевича Брашмана. Вернувшись в Москву, Бугаев активно включился в научную работу Общества. Изначальной целью общества было знакомство друг друга посредством оригинальных рефератов с новыми работами в различных областях математики и смежных наук - как собственными, так и других учёных; но уже в январе 1866 года, когда была подана просьба об официальном утверждении Общества, в его уставе была записана существенно более амбициозная цель: «Московское математическое Общество учреждается с целью содействовать развитию математических наук в России». Официально Общество было утверждено в январе 1867 года.

Бугаев до самой своей кончины был деятельным сотрудником Общества, входил в состав его бюро, исполнял обязанности секретаря. С 1886 года, после смерти Давидова, президентом Московского математического общества был избран Василий Яковлевич Цингер (1836-1907), а вице-президентом - Бугаев. В 1891 году, после того, как Цингер попросился в отставку по состоянию здоровья, президентом Общества был избран Бугаев; Николай Васильевич занимал этот пост до конца своих дней.

Для публикации докладов, прочитанных на заседаниях, был организован журнал «Математический сборник», его первый номер вышел в 1866 году; большинство работ Бугаева были напечатаны именно в нём.

Бугаев принимал активное участие и в работе других научных обществ - Общества распространения технических знаний, Общества естествознания, Психологического общества, Общества натуралистов.

Научная деятельность в области философии

Позже Бугаева привлекали идеи позитивизма, но в конце концов отошёл от них.

На заседании Московского Математического Общества в марте 1904 года, посвящённому памяти Бугаеву, профессор философии Лев Михайлович Лопатин (1855-1920) в своей речи говорил, что Николай Бугаев «по внутреннему складу своего ума, по заветным стремлениям своего духа… был столько же философ, как и математик». В центре философского мировоззрения Бугаева лежит (по Лопатину) творчески переработанное понятие немецкого математика и философа Готфрида Лейбница (1646-1716) - монада. Согласно Лейбницу, мир состоит из монад - психически деятельных субстанций, находящихся между собой в отношении предустановленной гармонии. Бугаев под монадой понимает «самостоятельный и самодеятельный индивидуум… живой элемент…» - живой, поскольку обладает психическим содержанием, суть которого - бытие монады для себя самой. Монада для Бугаева - тот единичный элемент, который является базовым для изучения, поскольку монада есть «целое, неделимое, единое, неизменное и себе равное начало при всех возможных отношениях к другим монадам и к себе самой», то есть «то, что в целом ряде изменений остаётся неизменным». Бугаев в своих работах исследует свойства монад, предлагает некоторые методики анализа монад, указывает на некоторые законы, свойственные монадам.

При советской власти Московская философско-математическая школа в связи с так называемым «Делом Промпартии» (1930) и разгромом научной статистики (первая «волна» - после демографической катастрофы, вызванной голодом 1932-1933 годов, вторая «волна» - после «неправильной» переписи 1937 года) была объявлена реакционной. Вот что, к примеру, было написано в выпущенной в 1931 году брошюре «На борьбу за диалектическую математику»: «Эта школа Цингера, Бугаева, Некрасова поставила математику на службу реакционнейшего „научно-философского миросозерцания“, а именно: анализ с его непрерывными функциями как средство борьбы против революционных теорий; аритмологию, утверждающую торжество индивидуальности и кабалистики; теорию вероятностей как теорию беспричинных явлений и особенностей; а всё в целом в блестящем соответствии с принципами черносотенной философии Лопатина - православием, самодержавием и народностью». В опубликованной в 1938 году статье «Советская математика за 20 лет» говорилось об «отрицательном значении для развития науки реакционных философских и политических тенденций в московской математике (Бугаев, П. Некрасов и др.)». В последующие годы об идеях Московской философско-математической школы в советской литературе практически не упоминалось.

Научные работы

Названия работ Бугаева даны в соответствии со списком, размещённым в журнале «Математический сборник» за 1905 год. Некоторые из этих работ в статье из Энциклопедического словаря Брокгауза и Ефрона, посвящённой Бугаеву, имеют несколько иные названия.

Работы по математике:

Руководство к арифметике. Арифметика целых чисел.
Руководство к арифметике. Арифметика дробных чисел.
Задачник к арифметике целых чисел.
Задачник к арифметике дробных чисел.
Начальная алгебра.
Вопросы к алгебре.
Начальная геометрия. Планиметрия.
Начальная геометрия. Стереометрия.
Сергей Алексеевич Усов. // Отчёт Московского университета. - 1887.
Доказательство теоремы Коши. // Вестник математических наук.
Доказательство теоремы Вильсона. // Вестник математических наук.
Замечания на одну статью высшей алгебры Серре. // Вестник математических наук.
Рациональные функции, выражающие два корня кубического уравнения по третьему. // Вестник математических наук.
Графический способ проведения касательной к кривой на плоскости. // Вестник математических наук.
Решение уравнений 4 степени. // Вестник математических наук.
Интегрирование рациональных дробей без помощи разложения. // Вестник математических наук.
Замечание к теории равных корней. // Вестник математических наук.
По поводу правила сходимости Поппера. // Математический Сборник. - т. 2.
Сходимость бесконечных рядов по их внешнему виду.
Числовые тожества, находящияся в связи с свойствами символа E. // Математический Сборник. - т. 1.
Учение о числовых производных. // Математический Сборник. - тт. 5, 6.
Некоторые приложения теории эллиптических функций к теории функций прерывных. // Математический Сборник. - тт. 11, 12.
Общие основания исчисления E?x с одним независимым переменным. // Математический Сборник. - тт. 12, 13.
Введение в теорию чисел. // Учёные записки Московского университета.
Интегрируемые формы дифференциальных уравнений. // Математический Сборник. - т. 4.
Некоторые частные теоремы для числовых функций. // Математический Сборник. - т. 3.
Дифференциальные уравнения 1-го порядка. // Математический Сборник. - т. 3.
Общая теорема теории чисел с одной произвольной функцией. // Математический Сборник. - т. 2.
Теорема Эйлера о многогранниках. Свойства плоской геометрической сети. // Математический Сборник. - т. 2.
Некоторые вопросы числовой алгебры. // Математический Сборник. - т. 7.
Числовые уравнения второй степени. // Математический Сборник. - т. 8.
К теории делимости чисел. // Математический Сборник. - т. 8.
К теории функциональных уравнений. // Математический Сборник. - т. 8.
Решение одного шахматного вопроса с помощью числовых функций. // Математический Сборник. - т. 9.
Некоторые свойства вычетов и числовых сумм. // Математический Сборник. - т. 10.
Решение сравнений второй степени при модуле простом. // Математический Сборник. - т. 10.
Рациональные функции, находящиеся в связи с теорией приближенного извлечения квадратных корней. // Математический Сборник. - т. 10.
Один общий закон теории разбиения чисел. // Математический Сборник. - т. 12.
Свойства одного числового интеграла по делителям и его различные применения. Логарифмические числовые функции. // Математический Сборник. - т. 13.
Общие приёмы вычисления числовых интегралов по делителям. Естественная классификация целых чисел и прерывных функций. // Математический Сборник. - т. 14.
Общие преобразования числовых интегралов по делителям. // Математический Сборник. - т. 14.
К теории сходимости рядов. // Математический Сборник. - т. 14.
Геометрия произвольных величин. // Математический Сборник. - т. 14.
Различные применения начала наибольших и наименьших показателей к теории алгебраических функций. // Математический Сборник. - т. 14.
Одна общая теорема алгебраических кривых высшего порядка. // Математический Сборник. - т. 15.
Об уравнениях пятой степени, разрешаемых в радикалах (в соавторстве с Л. К. Лахтиным). // Математический Сборник. - т. 15.
Прерывная геометрия. // Математический Сборник. - т. 15.
Начало наибольших и наименьших показателей в теории дифференциальных уравнений. Целые частные интегралы. // Математический Сборник. - т. 16.
Дробные частные интегралы дифференциальных уравнений.
Выражение эллиптических интегралов в конечном виде.
Общие условия интегрируемости в конечном виде эллиптического диифференциала.
Алгебраические частные интегралы дифференциальных уравнений.
Определённые числовые интегралы по делителям.
Определённые числовые интегралы по делителям смешанного характера.
Способ последовательных приближений. Его приложение к численному решению алгебраических уравнений высших степеней.
Способ последовательных приближений. Его приложение к разложению функций в непрерывные ряды.
Способ последовательных приближений. Его приложение к выводу теорем Тейлора и Лагранжа в преобразованной форме.
Способ последовательных приближений. Его приложение к интегрированию дифференциальных уравнений.
Способ последовательных приближений. Вспомогательные и дополнительные способы приближенного исчисления.
Моногенность интегралов дифференциальных уравнений.
Приближенное вычисление определённых интегралов.
Об одной теореме теории чисел.
Приложение исчисления E(?x) к определению целого частного двух полиномов.
Геометрические приёмы приближенной квадратуры и кубатуры.
Различные способы исследования определённых числовых интегралов по делителям.
Связь числовых интегралов по делителям с числовыми интегралами по натуральным числам.
Связь числовых интегралов по натуральным числам с определёнными числовыми интегралами смешанного характера.
Обобщённая форма ряда Лагранжа.
О ряде подобном ряду Лагранжа.
Разложение функций в числовой ряд по функциям?(n).
Различные вопросы исчисления E(x).
Некоторые общие соотношения в теории многократных интегралов.

Работы по философии и педагогике:

О свободе воли. // Труды психологического общества. - 1869.
Основные начала эволюционной монадологии.
Математика как орудие научное и педагогическое. // Математический Сборник. - т. 3.

Известные ученики Егоров Д. Ф. ,
Лахтин Л. К. ,
Некрасов П. А. ,
Сонин Н. Я. ,
Покровский П. М.

Николай Васильевич Бугаев (1837-1903) - российский математик и философ . Член-корреспондент Императорской Санкт-Петербургской академии наук (); заслуженный профессор математики Императорского Московского университета , председатель Московского математического общества ( -), наиболее яркий представитель Московской философско-математической школы . Отец поэта Андрея Белого .

Энциклопедичный YouTube

1 / 3

✪ Г. В. Лейбниц. О глубинном происхождении вещей (аудиокнига)

✪ Леонид Подымов - Как отличить науку от лженауки?

✪ 2017.12.22 Константин Роот - Бег: от мифов до data science

Субтитры

Готфрид Вильгельм Лейбниц. О ГЛУБИННОМ ПРОИСХОЖДЕНИИ ВЕЩЕЙ (De rerum originatione radicali). Примечание. Сочинение помещено в издании Герхардта в 7 томе. Датировано самим автором 23.11.1697 г. и при его жизни опубликовано не было. Содержит идеи, развитые в более поздней «Теодицее». Перевод взят из издания В. П. Преображенского (и принадлежит ему же). Конец примечания. О ГЛУБИННОМ ПРОИСХОЖДЕНИИ ВЕЩЕЙ Кроме мира или собрания (aggregatum) конечных вещей есть некое Единое Существо, правящее ими (Unum Dominans) не только так, как моя душа во мне, или, точнее, мое "я" в моем теле, но и в гораздо более высоком смысле. Это Единое Существо, владыка универсума, не только управляет миром, но и создает его и устрояет; оно выше мира и, так сказать, сверхмира и в силу именно этого составляет последнюю причину вещей. Ибо нельзя найти достаточного основания существования ни в какой-либо отдельной вещи, ни в собрании их, или совокупности (series). Предположим, что существует одна вечная книга основных начал геометрии и что другие представляли бы последовательный ряд списков с нее; очевидно, что хотя любую данную книгу можно было бы возвести к предшествующей, которая служила для нее образцом, однако, сколько бы мы книг ни брали, восходя от последующих к предыдущим, мы никогда не дойдем до полного и совершенного объяснения данной книги, ибо у нас всегда будет оставаться вопрос, почему существовали от века такие книги, т. е. почему именно эти книги и именно так написанные. Но что справедливо в отношении книг, то верно и в отношении различных состояний мира; несмотря на известные законы превращений, каждое следующее состояние есть в некотором роде только копия с предыдущего, и, к какому бы предшествующему состоянию мы ни восходили, мы никогда не найдем в нем совершенного объяснения, т. е. основания, почему существует известный мир и почему именно этот мир, а не иной. Можно предполагать сколь угодно вечное существование мира; но так как мы предполагаем в нем только последовательный ряд состояний и ни в одном из них не заключается достаточного его основания, да и какое угодно количество миров нисколько не поможет объяснить его, то очевидно, что основания мира надо искать вне мира. Ибо понятно, что и вечные вещи, если они и не имеют причины, имеют все-таки некоторое основание: в неизменных вещах это сама необходимость или сущность их; в ряде же изменяющихся вещей, предполагая, что они вечно сменяют друг друга, это основание будет заключаться (как мы увидим далее) в преобладании склонностей, где основания не принуждают абсолютной, или метафизической, необходимостью (что предполагало бы обратное), но склоняют. Отсюда, очевидно, следует, что, даже предполагая вечность мира, нельзя избегнуть последнего сверхмирового основания вещей, т. е. Бога. Таким образом, основания мира заключаются в чем-то внемировом, отличном от связи состояний или ряда вещей, совокупность которых образует мир. Поэтому от необходимости физической, или гипотетической, которая определяет последующее состояние мира в зависимости от предшествующего, следует перейти к тому, что имело бы абсолютную, или метафизическую, необходимость, которая не допускала бы дальнейшего объяснения. В самом деле, действительный мир необходим лишь физически, или гипотетически, а не абсолютно, или метафизически. Действительно, раз он есть то, что он есть, то и вещи должны быть такими, как они существуют. Но как последняя причина должна заключаться в чем-нибудь обладающем метафизической необходимостью и как основание существования может проистекать только из чего-то существующего, то должно существовать Единое Существо, обладающее метафизической необходимостью, или такое, сущность которого есть существование; и, следовательно, существует нечто отличное от множественности существ, или мира, который, как мы признали и доказали, не заключает в себе метафизической необходимости. Но чтобы показать несколько яснее, каким образом из вечных, или существенных, и метафизических истин проистекают истины временные, случайные, или физические, мы должны признать, что уже в силу того, что существует нечто, а не ничто, в вещах возможных, т. е. в самой возможности или сущности, есть требование (exigentia) существования, как бы некоторое притязание на существование; одним словом, сущность сама по себе стремится к существованию. Из чего следует, что все возможные, т. е. выражающие сущность или возможную реальность, вещи с одинаковым правом стремятся к существованию, смотря по количеству их реальной сущности или по степени совершенства, которое они заключают в себе, ибо совершенство есть не что иное, как количество сущности. Отсюда вполне очевидно, что среди бесконечных сочетаний возможных вещей и возможных рядов существует одно, в котором приведено к бытию наибольшее количество сущности или возможности. И действительно, в вещах всегда существует некоторое определяющее начало, основывающееся на принципе наибольшего и наименьшего, или на том, чтобы наибольший результат получался при наименьших затратах. В данном случае место, время – одним словом, воспринимающая способность или вместимость мира – могут быть рассматриваемы как материал, наиболее пригодный для постройки мира, тогда как разнообразие форм соответствует удобству здания, количеству и изяществу жилищ. Здесь есть известное сходство с некоторыми играми, в которых требуется занять все места доски по определенным законам. При недостатке ловкости окажутся неудобные места и придется оставить гораздо больше пустых мест, чем было бы можно или желательно; а между тем есть очень простой способ занять наибольшее возможное пространство на этой доске. Итак, подобно тому как если нам надо построить треугольник, не определенный никакими другими характеристиками, то отсюда последует, что он должен быть равносторонним; и если нужно пройти от одной точки к другой, причем направление линии не определено, то выбирается самый легкий и кратчайший путь; точно так же, раз допущено, что сущее имеет преимущество перед несущим, т. е. что есть основание, почему существует что-нибудь, а не ничто, и что от возможности следует перейти к действительности, то уже отсюда, даже при отсутствии всякого другого определения, будет вытекать, что количество существования должно быть наивозможно большим при данной вместимости пространства и времени (или при данном возможном порядке существования), точь-в-точь как квадраты должны быть так расположены на данной площади, чтобы она вместила наибольшее их количество. Отсюда становится удивительно понятным, каким образом при первоначальном образовании вещей может применяться своего рода Божественная математика, или метафизический механизм, и каким образом имеет место принцип наибольшего количества существований. Это бывает так же, как между всеми углами в геометрии определенный угол есть прямой и жидкости, помещенные в различных средах, принимают форму наиболее емкую или сферическую; или, еще лучше (как в обыкновенной механике), когда несколько тяжелых тел борются между собой, движение, происходящее отсюда, содержит в результате наибольшее падение. Ибо, подобно тому как все возможные вещи с одинаковым правом стремятся к существованию соразмерно со степенью их реальности, так и все тяжелые тела одинаково стремятся к падению соразмерно их тяжести, и, как, с одной стороны, происходит движение, которое содержит наибольшую силу падения, так, с другой – является мир, в котором осуществлена наибольшая часть возможных вещей. Отсюда видно, как физическая необходимость вытекает из метафизической; ибо, хотя мир нельзя назвать необходимым метафизически в том смысле, что противоположное ему содержало бы противоречие или логическую нелепость, он тем не менее необходим физически или таким образом определен, что противоположное ему заключает в себе несовершенство или нравственный абсурд. И как возможность есть начало (principium) сущности, так совершенство (или степень сущности), состоящее в совместной возможности наибольшего числа вещей, есть начало существования. Отсюда ясно, каким образом Творец мира свободен, хотя он все делает по определяющим его основаниям: он действует по началу мудрости или совершенства. В самом деле, безразличие происходит от неведения, и, чем кто мудрее, тем более он определяется более высокой степенью совершенства. Но, скажут мне, как бы ни казалось остроумным это сравнение некоторого определяющего метафизического механизма с механизмом тяжелых тел, оно грешит, однако, тем, что тяжелые тела производят реальное действие, тогда как возможности и сущности, предшествующие существованию или находящиеся вне его, представляют не что иное, как выдумки, или фикции, в которых нельзя искать основания существования. Я отвечу, что ни эти существа, ни эти вечные истины, предмет которых они составляют, не фикции, но существуют в некоторой области идей, если можно так выразиться, т. е. в самом Боге, источнике всякой сущности и существования всех вещей. И существование действительного ряда вещей само по себе достаточно показывает, что мое утверждение вовсе не произвольно. Так как ведь этот ряд заключает в самом себе основание своего существования (как мы это показали выше) и так как это основание нужно искать в метафизических необходимостях, или вечных истинах, и так как, наконец, то, что существует, может происходить только от того, что существовало (как мы уже заметили), то отсюда следует, что вечные истины имеют свое существование в некотором субъекте, абсолютно и метафизически необходимом, т. е. в Боге, посредством которого они и реализуются, в ином случае (выражаясь варварски, но наглядно) они оставались бы только воображаемыми. И действительно, мы замечаем, что в мире все совершается не только по геометрическим законам, но также и по метафизическим законам вечных истин, т. е. не только по необходимостям материи, но и по необходимости формы. И это справедливо не только в общем виде в отношении рассмотренного нами начала, по которому существование мира предпочтительнее его несуществования и существование в таком виде предпочтительнее иного существования, – начала, которое может заключаться только в стремлении (tendentia) из возможного к существованию, но, даже переходя к частностям и подробностям, мы увидим, что метафизические законы причины, силы, действия применяются во всей природе в удивительном порядке (ratione) и превалируют над чисто геометрическими законами материи, как я это открыл при объяснении законов движения; это так меня изумило, что я, как я указал еще раньше в другом месте, принужден был отказаться от того закона геометрического сложения силы, который я защищал в моей юности, когда я был более материалистичным. Итак, мы нашли последнее основание как сущностей, так и существования в Едином Существе, которое необходимо должно быть более великим и высшим, чем сам мир, и прежде его, так как из него черпают свою реальность не только те существования, которые заключает в себе этот мир, но даже все возможное (possibilia). И это начало вещей можно искать только в одном источнике ввиду той связи, которую все вещи имеют друг с другом. Очевидно, что из этого источника непрерывно проистекают все существующие вещи, что они есть и были его произведениями, поскольку понятно, почему именно такое состояние мира, а не иное, вчерашнее, а не сегодняшнее проистекало от самого мира. С такой же очевидностью можно понять, каким образом Бог действует физически и свободно, каким образом в нем заключается действующая и конечная причина вещей и каким образом он обнаруживает не только величие и могущество в построении мирового механизма, но также и свою благость и мудрость в общем плане творения. А чтобы не думали, будто мы смешиваем здесь совершенство нравственное, или благость, с совершенством метафизическим, или величием, и чтобы не отвергали первого, допуская последнее, надо знать, что из сказанного нами следует, что мир совершенен не только физически или, пожалуй, метафизически (ибо ряд произведенных вещей заключает в себе наивозможно большее количество реальности), но и в нравственном отношении, в том смысле, что для самих духов нравственное совершенство есть совершенство физическое. Таким образом, мир представляет не только удивительнейшую машину, но – поскольку он состоит из духов – и наилучшее государство, где обеспечены все возможное блаженство и всякая возможная радость, составляющая их физическое совершенство. Но, скажут мне, в этом мире происходит обратное: добрые люди часто бывают очень несчастны, и, не говоря уже о животных, невинные люди обременены несчастьями и умирают среди мучений; наконец, мир, особенно если обратить внимание на жизнь рода человеческого, походит скорее на беспорядочный хаос, чем на стройное произведение высшей мудрости. Я признаю, так может показаться с первого взгляда, но если глубже вглядеться в вещи, то окажется априори по причинам, указанным нами, что следует полагать противоположное, т. е. что все вещи, а следовательно, и духи достигают наиболее высокой степени возможного совершенства. И действительно, не следует выносить приговора, не рассмотрев всего закона, как говорят юристы. Мы знаем только очень малую часть вечности, простирающейся в бесконечность; это очень мало – знать какие-нибудь тысячи лет, предание о которых сохранила нам история. И однако, обладая столь малым опытом, мы осмеливаемся судить о бесконечном и вечном, подобно людям, рожденным и воспитанным в темнице, или, лучше сказать, в сарматских подземных соляных копях, которые считают, что нет в мире другого света, кроме лампы, слабого света которой едва достаточно, чтобы указывать им путь. Посмотрим на прекрасную картину и закроем ее так, чтобы видна была самая небольшая ее часть; рассматривая ее насколько возможно близко и внимательно, мы увидим только какую-то смесь красок, набросанных без разбора и без всякого искусства. Но если, сняв завесу, мы посмотрим на картину с надлежащего пункта зрения, мы увидим, что то, что казалось кое-как набросанным на полотно, исполнено творцом этого произведения с великим искусством. Что справедливо о зрении в живописи, то справедливо о слухе в музыке. Талантливые композиторы часто примешивают диссонансы к аккордам, чтобы возбудить и, так сказать, раздражить слушателя, который после некоторого болезненного напряжения с тем большим удовольствием чувствует, как все приходит в порядок. Подобным же образом нам бывает приятно, когда мы подвергаемся небольшим опасностям или испытываем незначительные бедствия, потому ли, что нам доставляет удовольствие сознание нашей силы или нашей удачи, или по чувству самолюбия; точно так же мы находим удовольствие в таких страшных зрелищах, как пляска на канате или сальто-мортале; забавляясь, мы почти выпускаем детей из рук, делая вид, будто собираемся далеко бросить их от себя, подобно обезьяне, которая взяла Христиерна, короля датского, когда он был еще ребенком и лежал в пеленках, унесла его на самую вершину крыши и, перепугав всех, отнесла его, как будто шутя, целым и невредимым в колыбель. По тому же самому принципу неразумно есть постоянно сладкие блюда; надо примешивать к ним острые, кислые и даже горькие приправы, возбуждающие вкус. Кто не пробовал горьких вещей, тот не заслужил сладких и даже не оценит их. Самый закон наслаждения состоит в том, чтобы удовольствие не было однообразно, ибо в последнем случае оно рождает отвращение, не радуя нас, а оставляя равнодушными. Когда мы говорим, что одна часть может быть расстроена без нарушения общей гармонии, то этого не следует понимать в том смысле, будто отдельные части не принимаются во внимание и будто достаточно, чтобы мир в его целом был совершенен в самом себе, хотя бы род человеческий был несчастен и в универсуме не было никакой заботы о справедливости и никакого попечения о нашей судьбе, – так думают некоторые, судящие не вполне здраво о совокупности вещей. Ибо, подобно тому как в хорошо устроенном государстве, насколько возможно, осуществляется забота об отдельных лицах, так и универсум не может быть совершенным, если при сохранении общей гармонии в нем не соблюдаются частные интересы. И в этом отношении нельзя было установить лучшего правила, как закон, утверждающий, чтобы каждый участвовал в совершенстве универсума и своим собственным счастьем, соразмерным его добродетели и воодушевляющему его доброму стремлению к общему благу, т. е. исполнению заповедей милосердия и любви к Богу – того, что только и составляет, по мнению наиболее мудрых богословов, силу и могущество христианской религии. И не должно казаться удивительным, что духам отведено столь большое место в универсуме. Ведь они отражают наиболее верный образ вышнего Творца; между ними и им существует не только, как во всем остальном, отношение машины к мастеру, но и отношение гражданина к государю; они должны существовать, пока существует универсум; они некоторым образом выражают и сосредоточивают в себе все, так что о духах можно сказать, что они суть части, содержащие целое (totales partes). Что касается несчастий, которые постигают хороших людей, то можно сказать с уверенностью, что в конечном счете посредством их достигается еще большее благо; и это справедливо не только в теологическом, но и в физическом смысле. Брошенное в землю зерно страдает, прежде чем произвести плод. И можно утверждать, что бедствия, тягостные временно, в конечном счете благодетельны, поскольку они суть кратчайшие пути к совершенству. Так, в физике жидкости, которые бродят более медленно, не так скоро очищаются, как те, которые при более сильном брожении выбрасывают с большей силой известные части и потому скорее приходят в надлежащий вид. Об этом можно сказать, что для того, чтобы прыгнуть дальше, надо отступить назад. Итак, все это положение следует рассматривать не только как приятное и утешительное, но и как вполне истинное. И вообще ничего нет в универсуме истиннее счастья, ничего блаженнее и приятнее истины. К довершению красоты и общего совершенства божественных творений надо признать, что во всей вселенной (Universi) совершается известный непрерывный и свободный прогресс, который все больше продвигает культуру (cultum). Так, цивилизация (cultura) с каждым днем охватывает все большую и большую часть нашей земли. И хотя верно, что некоторые ее части дичают или же разрушаются и подавляются, но это надо принимать так, как мы только что интерпретировали несчастья, т. е. так. что эти разрушения и падения способствуют достижению более высокой цели, вроде того как мы извлекаем известную пользу из самой потери. Что же касается возможного возражения, что в этом случае мир давно стал бы раем, то ответить на него легко. Хотя многие существа достигли уже совершенства, но из того, что непрерывное делимо до бесконечности, следует, что в бесконечной глубине вещей всегда остаются части как бы уснувшие, которые должны пробудиться, развиться, улучшиться и, так сказать, подняться на более высокую ступень совершенства и культуры. Нет, следовательно, какого-либо предела для прогресса.

Биография

Николай Бугаев родился в Тбилисской губернии в семье военного врача кавказских войск. В 1847 году был отправлен отцом в Москву для обучения в гимназии; учился в Первой московской гимназии (по другим данным - во Второй московской гимназии ), уже с четвёртого класса он ничего не получал из дома и жил исключительно на то, что зарабатывал уроками. Окончил он с золотой медалью в 1855 году 1-ю Московскую гимназию .

Дважды Н. В. Бугаев был деканом физико-математического факультета университета: в 1887-1891 и в 1893-1897 годах .

Московское математическое общество

В 1863-1865 гг. Бугаев был в Европе. В это время в Москве, в сентябре 1864 года , возникло Московское математическое общество - сначала как научный кружок преподавателей математики (большей частью из Московского университета), объединившихся вокруг профессора Николая Дмитриевича Брашмана . Вернувшись в Москву, Бугаев активно включился в научную работу Общества. Изначальной целью общества было ознакомление друг друга посредством оригинальных рефератов с новыми работами в различных областях математики и смежных наук - как собственными, так и других учёных; но уже в январе 1866 года , когда была подана просьба об официальном утверждении Общества, в его уставе была записана существенно более амбициозная цель: «Московское математическое Общество учреждается с целью содействовать развитию математических наук в России». Официально Общество было утверждено в январе 1867 года .

Научная деятельность в области философии

Позже Бугаева привлекали идеи позитивизма , но в конце концов отошёл от них .

На заседании Московского Математического Общества в марте 1904 года , посвящённом памяти Бугаева, профессор философии Лев Михайлович Лопатин (1855-1920) в своей речи говорил, что Николай Бугаев «по внутреннему складу своего ума, по заветным стремлениям своего духа… был столько же философ, как и математик». В центре философского мировоззрения Бугаева лежит (по Лопатину) творчески переработанное понятие немецкого математика и философа Готфрида Лейбница (1646-1716) - монада . Согласно Лейбницу, мир состоит из монад - психически деятельных субстанций, находящихся между собой в отношении предустановленной гармонии. Бугаев под монадой понимает «самостоятельный и самодеятельный индивидуум… живой элемент…» - живой, поскольку обладает психическим содержанием, суть которого - бытие монады для себя самой. Монада для Бугаева - тот единичный элемент, который является базовым для изучения, поскольку монада есть «целое, неделимое, единое, неизменное и себе равное начало при всех возможных отношениях к другим монадам и к себе самой», то есть «то, что в целом ряде изменений остаётся неизменным». Бугаев в своих работах исследует свойства монад, предлагает некоторые методики анализа монад, указывает на некоторые законы, свойственные монадам .

Кто мы, какое положение занимали и занимаем мы в мире, в каком контакте находимся мы с окружающею средою, какими физическими и духовными функциями, средствами и методами можем мы располагать для наших задач, целей и дел в будущем, - эти вопросы требуют для своего решения прежде всего точных азбучных принципов, обоснованию которых многие из основателей Московского Математического Общества и в их числе Николай Васильевич посвятили труд целой своей жизни. Этим принципам, представляющим собою азбуку мудрецов, они дали глубокое, мудрое, благочестивое, покорное делу Творца, научное, практическое и философское разъяснение.
Да будет же вечно памятным весь союз основателей Московского Математического Общества, и да будет незабвенным имя Николая Васильевича Бугаева.

Научные работы

Работы по математике :

Руководство к арифметике. Арифметика целых чисел.
Руководство к арифметике. Арифметика дробных чисел.
Задачник к арифметике целых чисел.
Задачник к арифметике дробных чисел.
Начальная алгебра.
Вопросы к алгебре.
Начальная геометрия. Планиметрия.
Начальная геометрия. Стереометрия.
Сергей Алексеевич Усов. // Отчёт Московского университета. - 1887.
Доказательство теоремы Коши. // Вестник математических наук.
Доказательство теоремы Вильсона. // Вестник математических наук.
Замечания на одну статью высшей алгебры Серре. // Вестник математических наук.
Рациональные функции, выражающие два корня кубического уравнения по третьему. // Вестник математических наук.
Графический способ проведения касательной к кривой на плоскости. // Вестник математических наук.
Решение уравнений 4 степени. // Вестник математических наук.
Интегрирование рациональных дробей без помощи разложения. // Вестник математических наук.
Замечание к теории равных корней. // Вестник математических наук.
По поводу правила сходимости Поппера. // Математический Сборник. - т. 2.
Сходимость бесконечных рядов по их внешнему виду.
Числовые тождества, находящиеся в связи с свойствами символа E . // Математический Сборник. - т. 1.
Учение о числовых производных. // Математический Сборник. - тт. 5, 6.
Некоторые приложения теории эллиптических функций к теории функций прерывных. // Математический Сборник. - тт. 11, 12.
Общие основания исчисления Eφx с одним независимым переменным. // Математический Сборник. - тт. 12, 13.
Введение в теорию чисел. // Учёные записки Московского университета.
Интегрируемые формы дифференциальных уравнений. // Математический Сборник. - т. 4.
Некоторые частные теоремы для числовых функций. // Математический Сборник. - т. 3.
Дифференциальные уравнения 1-го порядка. // Математический Сборник. - т. 3.
Общая теорема теории чисел с одной произвольной функцией. // Математический Сборник. - т. 2.
Теорема Эйлера о многогранниках. Свойства плоской геометрической сети. // Математический Сборник. - т. 2.
Некоторые вопросы числовой алгебры. // Математический Сборник. - т. 7.
Числовые уравнения второй степени. // Математический Сборник. - т. 8.
К теории делимости чисел. // Математический Сборник. - т. 8.
К теории функциональных уравнений. // Математический Сборник. - т. 8.
Решение одного шахматного вопроса с помощью числовых функций. // Математический Сборник. - т. 9.
Некоторые свойства вычетов и числовых сумм. // Математический Сборник. - т. 10.
Решение сравнений второй степени при модуле простом. // Математический Сборник. - т. 10.
Рациональные функции, находящиеся в связи с теорией приближенного извлечения квадратных корней. // Математический Сборник. - т. 10.
Один общий закон теории разбиения чисел. // Математический Сборник. - т. 12.
Свойства одного числового интеграла по делителям и его различные применения. Логарифмические числовые функции. // Математический Сборник. - т. 13.
Общие приёмы вычисления числовых интегралов по делителям. Естественная классификация целых чисел и прерывных функций. // Математический Сборник. - т. 14.
Общие преобразования числовых интегралов по делителям. // Математический Сборник. - т. 14.
К теории сходимости рядов. // Математический Сборник. - т. 14.
Геометрия произвольных величин. // Математический Сборник. - т. 14.
Различные применения начала наибольших и наименьших показателей к теории алгебраических функций. // Математический Сборник. - т. 14.
Одна общая теорема алгебраических кривых высшего порядка. // Математический Сборник. - т. 15.
Об уравнениях пятой степени, разрешаемых в радикалах (в соавторстве с Л. К. Лахтиным ). // Математический Сборник. - т. 15.
Прерывная геометрия. // Математический Сборник. - т. 15.
Начало наибольших и наименьших показателей в теории дифференциальных уравнений. Целые частные интегралы. // Математический Сборник. - т. 16.
Дробные частные интегралы дифференциальных уравнений.
Выражение эллиптических интегралов в конечном виде.
Общие условия интегрируемости в конечном виде эллиптического дифференциала.
Алгебраические частные интегралы дифференциальных уравнений.
Определённые числовые интегралы по делителям.
Определённые числовые интегралы по делителям смешанного характера.
Способ последовательных приближений. Его приложение к численному решению алгебраических уравнений высших степеней.
Способ последовательных приближений. Его приложение к разложению функций в непрерывные ряды.
Способ последовательных приближений. Его приложение к выводу теорем Тейлора и Лагранжа в преобразованной форме.
Способ последовательных приближений. Его приложение к интегрированию дифференциальных уравнений.
Способ последовательных приближений. Вспомогательные и дополнительные способы приближенного исчисления.
Моногенность интегралов дифференциальных уравнений.
Приближенное вычисление определённых интегралов.
Об одной теореме теории чисел.
Приложение исчисления E(φx) к определению целого частного двух полиномов.
Геометрические приёмы приближенной квадратуры и кубатуры.
Различные способы исследования определённых числовых интегралов по делителям.
Связь числовых интегралов по делителям с числовыми интегралами по натуральным числам.
Связь числовых интегралов по натуральным числам с определёнными числовыми интегралами смешанного характера.
Обобщённая форма ряда Лагранжа.
О ряде подобном ряду Лагранжа.
Разложение функций в числовой ряд по функциям ψ(n) .
Различные вопросы исчисления E(x) .
Некоторые общие соотношения в теории многократных интегралов.

Работы по философии и педагогике :

О свободе воли. // Труды психологического общества. - 1869.
Основные начала эволюционной монадологии.
Математика как орудие научное и педагогическое. // Математический Сборник. - т. 3.