माध्य मान, भिन्नता एवं वितरण के स्वरूप का निर्धारण। वर्णनात्मक आँकड़े

ज्यादातर मामलों में, डेटा किसी केंद्रीय बिंदु के आसपास केंद्रित होता है। इस प्रकार, किसी भी डेटा सेट का वर्णन करने के लिए, औसत मान इंगित करना पर्याप्त है। क्रमिक रूप से तीन संख्यात्मक विशेषताओं पर विचार करें जिनका उपयोग वितरण के औसत मूल्य का अनुमान लगाने के लिए किया जाता है: अंकगणितीय माध्य, माध्यिका और मोड।

औसत

अंकगणितीय माध्य (अक्सर इसे केवल माध्य के रूप में संदर्भित किया जाता है) किसी वितरण के माध्य का सबसे सामान्य अनुमान है। यह सभी देखे गए संख्यात्मक मानों के योग को उनकी संख्या से विभाजित करने का परिणाम है। संख्याओं के नमूने के लिए एक्स 1, एक्स 2, ..., एक्सएन, नमूना माध्य (प्रतीक द्वारा दर्शाया गया है ) बराबर है = (एक्स 1 + एक्स 2 + ... + एक्सएन) / एन, या

नमूना माध्य कहां है, एन- नमूने का आकार, एक्समैं- नमूने का i-वाँ तत्व।

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15 अत्यधिक जोखिम वाले म्यूचुअल फंडों के पांच साल के औसत वार्षिक रिटर्न के अंकगणितीय औसत की गणना करने पर विचार करें (चित्र 1)।

चावल। 1. 15 अत्यधिक जोखिम वाले म्यूचुअल फंड पर औसत वार्षिक रिटर्न

नमूना माध्य की गणना इस प्रकार की जाती है:

यह एक अच्छा रिटर्न है, विशेष रूप से उसी समय अवधि में बैंक या क्रेडिट यूनियन जमाकर्ताओं को प्राप्त 3-4% रिटर्न की तुलना में। यदि आप रिटर्न मूल्यों को क्रमबद्ध करते हैं, तो यह देखना आसान है कि आठ फंडों का रिटर्न औसत से अधिक है, और सात का औसत से नीचे है। अंकगणित माध्य एक संतुलन बिंदु के रूप में कार्य करता है, ताकि कम आय वाले फंड उच्च आय वाले फंड को संतुलित कर सकें। नमूने के सभी तत्व औसत की गणना में शामिल होते हैं। वितरण माध्य के किसी भी अन्य आकलनकर्ता के पास यह गुण नहीं है।

अंकगणित माध्य की गणना कब करें.चूँकि अंकगणितीय माध्य नमूने के सभी तत्वों पर निर्भर करता है, चरम मूल्यों की उपस्थिति परिणाम को महत्वपूर्ण रूप से प्रभावित करती है। ऐसी स्थितियों में, अंकगणितीय माध्य संख्यात्मक डेटा के अर्थ को विकृत कर सकता है। इसलिए, चरम मूल्यों वाले डेटा सेट का वर्णन करते समय, माध्यिका या अंकगणितीय माध्य और माध्यिका को इंगित करना आवश्यक है। उदाहरण के लिए, यदि आरएस इमर्जिंग ग्रोथ फंड के रिटर्न को नमूने से हटा दिया जाता है, तो 14 फंडों के रिटर्न का नमूना औसत लगभग 1% घटकर 5.19% हो जाता है।

मंझला

माध्यिका संख्याओं की क्रमबद्ध सारणी का मध्य मान है। यदि सरणी में दोहराई जाने वाली संख्याएँ नहीं हैं, तो उसके आधे तत्व माध्यिका से कम और आधे अधिक होंगे। यदि नमूने में अत्यधिक मान हैं, तो माध्य का अनुमान लगाने के लिए अंकगणितीय माध्य के बजाय माध्यिका का उपयोग करना बेहतर है। किसी नमूने के माध्यिका की गणना करने के लिए, पहले इसे क्रमबद्ध करना होगा।

यह सूत्र अस्पष्ट है. इसका परिणाम इस बात पर निर्भर करता है कि संख्या सम है या विषम. एन:

• यदि नमूने में विषम संख्या में आइटम हैं, तो माध्यिका है (एन+1)/2-वां तत्व.
• यदि नमूने में समान संख्या में तत्व हैं, तो माध्यिका नमूने के दो मध्य तत्वों के बीच स्थित है और इन दो तत्वों पर गणना किए गए अंकगणितीय माध्य के बराबर है।

15 अत्यधिक जोखिम वाले म्यूचुअल फंडों के नमूने के लिए औसत की गणना करने के लिए, हमें पहले कच्चे डेटा को क्रमबद्ध करना होगा (चित्र 2)। तब माध्यिका नमूने के मध्य तत्व की संख्या के विपरीत होगी; हमारे उदाहरण संख्या 8 में। एक्सेल में एक विशेष फ़ंक्शन =MEDIAN() है जो अव्यवस्थित सरणियों के साथ भी काम करता है।

चावल। 2. माध्य 15 निधि

इस प्रकार, माध्यिका 6.5 है। इसका मतलब यह है कि बहुत अधिक जोखिम वाले आधे फंड 6.5 से अधिक नहीं हैं, जबकि अन्य आधे ऐसा करते हैं। ध्यान दें कि 6.5 का माध्यिका 6.08 के माध्यिका से थोड़ा बड़ा है।

यदि हम नमूने से आरएस इमर्जिंग ग्रोथ फंड की लाभप्रदता को हटा दें, तो शेष 14 फंडों का माध्य घटकर 6.2% हो जाएगा, यानी अंकगणितीय माध्य जितना महत्वपूर्ण नहीं (चित्र 3)।

चावल। 3. माध्यिका 14 निधि

पहनावा

यह शब्द पहली बार 1894 में पियर्सन द्वारा पेश किया गया था। फैशन वह संख्या है जो नमूने में सबसे अधिक बार आती है (सबसे फैशनेबल)। फैशन अच्छी तरह से वर्णन करता है, उदाहरण के लिए, ट्रैफ़िक रोकने के लिए ट्रैफ़िक सिग्नल पर ड्राइवरों की विशिष्ट प्रतिक्रिया। फैशन के उपयोग का एक उत्कृष्ट उदाहरण जूते के उत्पादित बैच के आकार या वॉलपेपर के रंग का चुनाव है। यदि किसी वितरण में कई मोड हैं, तो इसे मल्टीमॉडल या मल्टीमॉडल (दो या अधिक "चोटियाँ" हैं) कहा जाता है। मल्टीमॉडल वितरण अध्ययन के तहत चर की प्रकृति के बारे में महत्वपूर्ण जानकारी प्रदान करता है। उदाहरण के लिए, समाजशास्त्रीय सर्वेक्षणों में, यदि कोई चर किसी चीज़ के प्रति प्राथमिकता या दृष्टिकोण का प्रतिनिधित्व करता है, तो मल्टीमोडैलिटी का मतलब यह हो सकता है कि कई अलग-अलग राय हैं। मल्टीमॉडैलिटी भी एक संकेतक है कि नमूना सजातीय नहीं है और अवलोकन दो या दो से अधिक "ओवरलैप" वितरणों द्वारा उत्पन्न हो सकते हैं। अंकगणितीय माध्य के विपरीत, आउटलेयर मोड को प्रभावित नहीं करते हैं। लगातार वितरित यादृच्छिक चर के लिए, जैसे कि म्यूचुअल फंड का औसत वार्षिक रिटर्न, मोड कभी-कभी बिल्कुल मौजूद नहीं होता है (या इसका कोई मतलब नहीं होता है)। चूँकि ये संकेतक विभिन्न प्रकार के मान ले सकते हैं, इसलिए दोहराए जाने वाले मान अत्यंत दुर्लभ हैं।

चतुर्थक

चतुर्थक ऐसे उपाय हैं जिनका उपयोग बड़े संख्यात्मक नमूनों के गुणों का वर्णन करते समय डेटा के वितरण का मूल्यांकन करने के लिए सबसे अधिक किया जाता है। जबकि माध्यिका क्रमबद्ध सरणी को आधे में विभाजित करती है (सरणी तत्वों का 50% मध्यिका से कम है और 50% अधिक है), चतुर्थक क्रमित डेटासेट को चार भागों में तोड़ता है। Q 1, माध्यिका और Q 3 मान क्रमशः 25वें, 50वें और 75वें प्रतिशतक हैं। प्रथम चतुर्थक Q 1 एक संख्या है जो नमूने को दो भागों में विभाजित करती है: 25% तत्व पहले चतुर्थक से कम हैं, और 75% तत्व अधिक हैं।

तीसरा चतुर्थक Q 3 एक संख्या है जो नमूने को भी दो भागों में विभाजित करती है: 75% तत्व तीसरे चतुर्थक से कम हैं, और 25% तत्व तीसरे चतुर्थक से अधिक हैं।

2007 से पहले एक्सेल के संस्करणों में चतुर्थक की गणना करने के लिए, फ़ंक्शन =QUARTILE(सरणी, भाग) का उपयोग किया गया था। Excel 2010 से प्रारंभ करके, दो फ़ंक्शन लागू होते हैं:

• =QUARTILE.ON(सरणी, भाग)
• =चतुर्थक.EXC(सरणी, भाग)

ये दोनों फ़ंक्शन थोड़ा भिन्न मान देते हैं (चित्र 4)। उदाहरण के लिए, 15 अत्यधिक जोखिम वाले म्यूचुअल फंडों के औसत वार्षिक रिटर्न पर डेटा वाले नमूने के लिए चतुर्थक की गणना करते समय, क्रमशः QUARTILE.INC और QUARTILE.EXC के लिए Q 1 = 1.8 या -0.7। वैसे, पहले इस्तेमाल किया गया QUARTILE फ़ंक्शन आधुनिक QUARTILE.ON फ़ंक्शन से मेल खाता है। उपरोक्त सूत्रों का उपयोग करके एक्सेल में चतुर्थक की गणना करने के लिए, डेटा सरणी को अव्यवस्थित छोड़ा जा सकता है।

चावल। 4. एक्सेल में चतुर्थक की गणना करें

चलिए फिर से जोर देते हैं. एक्सेल अविभाज्य के लिए चतुर्थक की गणना कर सकता है असतत श्रृंखला, जिसमें एक यादृच्छिक चर के मान शामिल हैं। आवृत्ति-आधारित वितरण के लिए चतुर्थक की गणना नीचे अनुभाग में दी गई है।

जियोमेट्रिक माध्य

अंकगणित माध्य के विपरीत, ज्यामितीय माध्य मापता है कि समय के साथ एक चर कितना बदल गया है। ज्यामितीय माध्य मूल है एनउत्पाद से वें डिग्री एनमान (एक्सेल में, फ़ंक्शन = CUGEOM का उपयोग किया जाता है):

जी= (एक्स 1 * एक्स 2 * ... * एक्स एन) 1/एन

एक समान पैरामीटर - रिटर्न की दर का ज्यामितीय माध्य - सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

जी = [(1 + आर 1) * (1 + आर 2) * ... * (1 + आर एन)] 1 / एन - 1,

कहाँ आर मैं- प्रतिफल दर मैं- समय की अवधि.

उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि प्रारंभिक निवेश $100,000 है। पहले वर्ष के अंत तक, यह गिरकर $50,000 हो जाता है, और दूसरे वर्ष के अंत तक, यह मूल $100,000 पर वापस आ जाता है। इस निवेश पर रिटर्न की दर दो से अधिक है- वर्ष की अवधि 0 के बराबर है, क्योंकि धनराशि की प्रारंभिक और अंतिम राशि एक दूसरे के बराबर है। हालाँकि, रिटर्न की वार्षिक दरों का अंकगणितीय माध्य = (-0.5 + 1) / 2 = 0.25 या 25% है, क्योंकि पहले वर्ष में रिटर्न की दर आर 1 = (50,000 - 100,000) / 100,000 = -0.5, और दूसरे में आर 2 = (100,000 - 50,000) / 50,000 = 1. वहीं, दो वर्षों के लिए रिटर्न की दर का ज्यामितीय माध्य है: जी = [(1-0.5) * (1 + 1 )] 1 /2 – 1 = ½ – 1 = 1 – 1 = 0. इस प्रकार, ज्यामितीय माध्य अंकगणित माध्य की तुलना में द्विवार्षिक निवेश की मात्रा में परिवर्तन (अधिक सटीक रूप से, परिवर्तन की अनुपस्थिति) को अधिक सटीक रूप से दर्शाता है।

रोचक तथ्य।सबसे पहले, ज्यामितीय माध्य हमेशा समान संख्याओं के अंकगणितीय माध्य से कम होगा। उस स्थिति को छोड़कर जब सभी ली गई संख्याएँ एक दूसरे के बराबर हों। दूसरे, समकोण त्रिभुज के गुणों पर विचार करने से कोई यह समझ सकता है कि माध्य को ज्यामितीय क्यों कहा जाता है। एक समकोण त्रिभुज की ऊंचाई, कर्ण से नीचे, कर्ण पर पैरों के प्रक्षेपण के बीच औसत आनुपातिक है, और प्रत्येक पैर कर्ण और कर्ण पर उसके प्रक्षेपण के बीच औसत आनुपातिक है (चित्र 5)। यह दो (लंबाई) खंडों के ज्यामितीय माध्य के निर्माण का एक ज्यामितीय तरीका देता है: आपको इन दो खंडों के योग पर एक व्यास के रूप में एक वृत्त बनाने की आवश्यकता है, फिर ऊंचाई, उनके कनेक्शन के बिंदु से चौराहे तक बहाल की जाती है। वृत्त, आवश्यक मान देगा:

चावल। 5. ज्यामितीय माध्य की ज्यामितीय प्रकृति (विकिपीडिया से चित्र)

संख्यात्मक डेटा का दूसरा महत्वपूर्ण गुण उनका है उतार-चढ़ावडेटा के फैलाव की डिग्री की विशेषता। दो अलग-अलग नमूने माध्य मान और भिन्नता दोनों में भिन्न हो सकते हैं। हालांकि, जैसा चित्र में दिखाया गया है। 6 और 7, दो नमूनों में समान भिन्नता हो सकती है लेकिन अलग-अलग साधन हो सकते हैं, या एक ही माध्य और पूरी तरह से अलग भिन्नता हो सकती है। चित्र में बहुभुज बी से संबंधित डेटा। 7 उस डेटा की तुलना में बहुत कम परिवर्तन करता है जिससे बहुभुज A बनाया गया था।

चावल। 6. समान प्रसार और भिन्न माध्य मान वाले दो सममित घंटी के आकार के वितरण

चावल। 7. समान माध्य मान और भिन्न बिखराव वाले दो सममित घंटी के आकार के वितरण

डेटा भिन्नता के पाँच अनुमान हैं:

• अवधि,
• अन्तःचतुर्थक श्रेणी,
• फैलाव,
• मानक विचलन,
• भिन्नता का गुणांक.

दायरा

रेंज नमूने के सबसे बड़े और सबसे छोटे तत्वों के बीच का अंतर है:

स्वाइप = एक्समैक्स एक्समिन

15 अत्यधिक जोखिम वाले म्यूचुअल फंडों के औसत वार्षिक रिटर्न पर डेटा वाले नमूने की सीमा की गणना एक क्रमबद्ध सरणी का उपयोग करके की जा सकती है (चित्र 4 देखें): रेंज = 18.5 - (-6.1) = 24.6। इसका मतलब यह है कि बहुत अधिक जोखिम वाले फंडों के लिए उच्चतम और निम्नतम औसत वार्षिक रिटर्न के बीच का अंतर 24.6% है।

सीमा डेटा के समग्र प्रसार को मापती है। यद्यपि नमूना सीमा डेटा के कुल प्रसार का एक बहुत ही सरल अनुमान है, इसकी कमजोरी यह है कि यह इस बात पर ध्यान नहीं देता है कि न्यूनतम और अधिकतम तत्वों के बीच डेटा कैसे वितरित किया जाता है। यह प्रभाव चित्र में अच्छी तरह से देखा गया है। 8 जो समान श्रेणी वाले नमूनों को दर्शाता है। बी स्केल से पता चलता है कि यदि नमूने में कम से कम एक चरम मूल्य है, तो नमूना सीमा डेटा के बिखराव का एक बहुत ही गलत अनुमान है।

चावल। 8. समान श्रेणी वाले तीन नमूनों की तुलना; त्रिकोण संतुलन के समर्थन का प्रतीक है, और इसका स्थान नमूने के औसत मूल्य से मेल खाता है

अन्तःचतुर्थक श्रेणी

अंतरचतुर्थक, या माध्य, सीमा नमूने के तीसरे और पहले चतुर्थक के बीच का अंतर है:

इंटरक्वेर्टाइल रेंज \u003d क्यू 3 - क्यू 1

यह मान 50% तत्वों के प्रसार का अनुमान लगाना संभव बनाता है और चरम तत्वों के प्रभाव को ध्यान में नहीं रखता है। 15 बहुत अधिक जोखिम वाले म्यूचुअल फंडों के औसत वार्षिक रिटर्न पर डेटा वाले नमूने के लिए इंटरक्वेर्टाइल रेंज की गणना चित्र में डेटा का उपयोग करके की जा सकती है। 4 (उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन QUARTILE.EXC के लिए): इंटरक्वेर्टाइल रेंज = 9.8 - (-0.7) = 10.5। 9.8 और -0.7 के बीच के अंतराल को अक्सर मध्य भाग के रूप में जाना जाता है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि क्यू 1 और क्यू 3 मान, और इसलिए इंटरक्वेर्टाइल रेंज, आउटलेर्स की उपस्थिति पर निर्भर नहीं करते हैं, क्योंकि उनकी गणना किसी भी मूल्य को ध्यान में नहीं रखती है जो क्यू 1 से कम या क्यू 3 से अधिक होगा। . कुल मात्रात्मक विशेषताएँ, जैसे कि माध्यिका, पहली और तीसरी चतुर्थक, और अंतःचतुर्थक सीमा, जो आउटलेर्स से प्रभावित नहीं होती हैं, को मजबूत संकेतक कहा जाता है।

जबकि रेंज और इंटरक्वेर्टाइल रेंज क्रमशः नमूने के कुल और माध्य बिखराव का अनुमान प्रदान करते हैं, इनमें से कोई भी अनुमान इस बात पर ध्यान नहीं देता है कि डेटा कैसे वितरित किया जाता है। विचरण और मानक विचलनइस कमी से मुक्त. ये संकेतक आपको माध्य के आसपास डेटा के उतार-चढ़ाव की डिग्री का आकलन करने की अनुमति देते हैं। नमूना विचरणप्रत्येक नमूना तत्व और नमूना माध्य के बीच वर्ग अंतर से गणना की गई अंकगणितीय माध्य का एक अनुमान है। X 1 , X 2 , ...

सामान्य तौर पर, नमूना विचरण नमूना तत्वों और नमूना माध्य के बीच वर्ग अंतर का योग है, जिसे नमूना आकार शून्य से एक के बराबर मान से विभाजित किया जाता है:

कहाँ - अंकगणित औसत, एन- नमूने का आकार, एक्स मैं - मैं-वें नमूना तत्व एक्स. एक्सेल में संस्करण 2007 से पहले, फ़ंक्शन =VAR() का उपयोग नमूना भिन्नता की गणना के लिए किया जाता था, संस्करण 2010 के बाद से, फ़ंक्शन =VAR.V() का उपयोग किया जाता है।

डेटा बिखराव का सबसे व्यावहारिक और व्यापक रूप से स्वीकृत अनुमान है मानक विचलन. यह सूचक प्रतीक एस द्वारा दर्शाया गया है और नमूना विचरण के वर्गमूल के बराबर है:

संस्करण 2007 से पहले एक्सेल में, मानक विचलन की गणना के लिए =STDEV() फ़ंक्शन का उपयोग किया जाता था, संस्करण 2010 से =STDEV.B() फ़ंक्शन का उपयोग किया जाता है। इन फ़ंक्शंस की गणना करने के लिए, डेटा सरणी को अव्यवस्थित किया जा सकता है।

न तो नमूना विचरण और न ही नमूना मानक विचलन नकारात्मक हो सकता है। एकमात्र स्थिति जिसमें संकेतक एस 2 और एस शून्य हो सकते हैं यदि नमूने के सभी तत्व समान हों। इस पूरी तरह से असंभव मामले में, सीमा और अंतरचतुर्थक सीमा भी शून्य है।

संख्यात्मक डेटा स्वाभाविक रूप से अस्थिर है। कोई भी चर कई अलग-अलग मान ले सकता है। उदाहरण के लिए, अलग-अलग म्यूचुअल फंड में रिटर्न और हानि की दरें अलग-अलग होती हैं। संख्यात्मक डेटा की परिवर्तनशीलता के कारण, न केवल माध्य के अनुमानों का अध्ययन करना बहुत महत्वपूर्ण है, जो प्रकृति में योगात्मक हैं, बल्कि विचरण का अनुमान भी है, जो डेटा के बिखराव की विशेषता है।

विचरण और मानक विचलन हमें माध्य के आसपास डेटा के प्रसार का अनुमान लगाने की अनुमति देते हैं, दूसरे शब्दों में, यह निर्धारित करने के लिए कि नमूने के कितने तत्व माध्य से कम हैं, और कितने अधिक हैं। फैलाव में कुछ मूल्यवान गणितीय गुण हैं। हालाँकि, इसका मूल्य माप की एक इकाई का वर्ग है - एक वर्ग प्रतिशत, एक वर्ग डॉलर, एक वर्ग इंच, आदि। इसलिए, विचरण का एक प्राकृतिक अनुमान मानक विचलन है, जो माप की सामान्य इकाइयों - आय का प्रतिशत, डॉलर या इंच में व्यक्त किया जाता है।

मानक विचलन आपको औसत मूल्य के आसपास नमूना तत्वों के उतार-चढ़ाव की मात्रा का अनुमान लगाने की अनुमति देता है। लगभग सभी स्थितियों में, अधिकांश देखे गए मान माध्य से प्लस या माइनस एक मानक विचलन के भीतर होते हैं। इसलिए, नमूना तत्वों के अंकगणितीय माध्य और मानक नमूना विचलन को जानकर, उस अंतराल को निर्धारित करना संभव है जिससे डेटा का बड़ा हिस्सा संबंधित है।

15 अत्यधिक जोखिम वाले म्यूचुअल फंडों पर रिटर्न का मानक विचलन 6.6 है (चित्र 9)। इसका मतलब यह है कि अधिकांश फंडों की लाभप्रदता औसत मूल्य से 6.6% से अधिक भिन्न नहीं होती है (अर्थात, इसमें से सीमा में उतार-चढ़ाव होता है) - एस= 6.2 – 6.6 = –0.4 से +एस= 12.8). वास्तव में, इस अंतराल में फंड का 53.3% (15 में से 8) का पांच साल का औसत वार्षिक रिटर्न शामिल है।

चावल। 9. मानक विचलन

ध्यान दें कि वर्ग अंतरों को जोड़ने की प्रक्रिया में, वे आइटम जो माध्य से अधिक दूर हैं, उन आइटमों की तुलना में अधिक वजन प्राप्त करते हैं जो करीब हैं। यह गुण मुख्य कारण है कि किसी वितरण के माध्य का अनुमान लगाने के लिए अंकगणितीय माध्य का सबसे अधिक उपयोग किया जाता है।

भिन्नता का गुणांक

पिछले बिखराव अनुमानों के विपरीत, भिन्नता का गुणांक एक सापेक्ष अनुमान है। इसे हमेशा प्रतिशत के रूप में मापा जाता है, मूल डेटा इकाइयों में नहीं। भिन्नता का गुणांक, प्रतीक सीवी द्वारा दर्शाया गया, माध्य के आसपास डेटा के बिखराव को मापता है। भिन्नता का गुणांक मानक विचलन को अंकगणितीय माध्य से विभाजित करने और 100% से गुणा करने के बराबर है:

कहाँ एस- मानक नमूना विचलन, - नमूना माध्य।

भिन्नता का गुणांक आपको दो नमूनों की तुलना करने की अनुमति देता है, जिनके तत्व माप की विभिन्न इकाइयों में व्यक्त किए जाते हैं। उदाहरण के लिए, एक मेल डिलीवरी सेवा का प्रबंधक ट्रकों के बेड़े को उन्नत करने का इरादा रखता है। पैकेज लोड करते समय, विचार करने के लिए दो प्रकार के प्रतिबंध हैं: प्रत्येक पैकेज का वजन (पाउंड में) और मात्रा (घन फीट में)। मान लें कि 200 बैग के नमूने में, औसत वजन 26.0 पाउंड है, वजन का मानक विचलन 3.9 पाउंड है, औसत पैकेज मात्रा 8.8 घन ​​फीट है, और मात्रा का मानक विचलन 2.2 घन फीट है। पैकेजों के वजन और मात्रा के प्रसार की तुलना कैसे करें?

चूँकि वजन और आयतन की माप की इकाइयाँ एक दूसरे से भिन्न होती हैं, इसलिए प्रबंधक को इन मूल्यों के सापेक्ष प्रसार की तुलना करनी चाहिए। वजन भिन्नता गुणांक सीवी डब्ल्यू = 3.9 / 26.0 * 100% = 15% है, और मात्रा भिन्नता गुणांक सीवी वी = 2.2 / 8.8 * 100% = 25% है। इस प्रकार, पैकेट की मात्रा का सापेक्ष बिखराव उनके वजन के सापेक्ष बिखराव से बहुत बड़ा है।

वितरण प्रपत्र

नमूने का तीसरा महत्वपूर्ण गुण उसके वितरण का रूप है। यह वितरण सममित अथवा असममित हो सकता है। किसी वितरण के आकार का वर्णन करने के लिए उसके माध्य और माध्यिका की गणना करना आवश्यक है। यदि ये दोनों माप समान हैं, तो चर को सममित रूप से वितरित कहा जाता है। यदि किसी चर का माध्य मान माध्यिका से अधिक है, तो उसके वितरण में सकारात्मक विषमता होती है (चित्र 10)। यदि माध्य माध्य से अधिक है, तो चर का वितरण नकारात्मक रूप से विषम हो जाता है। सकारात्मक विषमता तब होती है जब माध्य असामान्य रूप से उच्च मूल्यों तक बढ़ जाता है। नकारात्मक विषमता तब होती है जब माध्य असामान्य रूप से छोटे मूल्यों तक घट जाता है। एक चर को सममित रूप से वितरित किया जाता है यदि यह किसी भी दिशा में कोई चरम मान नहीं लेता है, जैसे कि चर के बड़े और छोटे मान एक दूसरे को रद्द कर देते हैं।

चावल। 10. तीन प्रकार के वितरण

ए पैमाने पर दर्शाए गए डेटा में नकारात्मक विषमता है। यह आंकड़ा असामान्य रूप से छोटे मूल्यों के कारण एक लंबी पूंछ और बाएं तिरछा दिखाता है। ये अत्यंत छोटे मान माध्य मान को बाईं ओर स्थानांतरित कर देते हैं, और यह माध्यिका से कम हो जाता है। स्केल बी पर दिखाया गया डेटा सममित रूप से वितरित किया गया है। वितरण के बाएँ और दाएँ भाग उनकी दर्पण छवियाँ हैं। बड़े और छोटे मान एक दूसरे को संतुलित करते हैं, और माध्य और माध्यिका बराबर होते हैं। स्केल बी पर दिखाए गए डेटा में सकारात्मक विषमता है। यह आंकड़ा एक लंबी पूंछ और दाईं ओर तिरछा दिखाता है, जो असामान्य रूप से उच्च मूल्यों की उपस्थिति के कारण होता है। ये बहुत बड़े मान माध्य को दाईं ओर स्थानांतरित कर देते हैं, और यह माध्यिका से बड़ा हो जाता है।

एक्सेल में, ऐड-इन का उपयोग करके वर्णनात्मक आँकड़े प्राप्त किए जा सकते हैं विश्लेषण पैकेज. मेनू के माध्यम से जाओ डेटा → डेटा विश्लेषण, खुलने वाली विंडो में, लाइन का चयन करें वर्णनात्मक आँकड़ेऔर क्लिक करें ठीक है. खिड़की में वर्णनात्मक आँकड़ेइंगित करना सुनिश्चित करें इनपुट अंतराल(चित्र 11)। यदि आप मूल डेटा के समान शीट पर वर्णनात्मक आँकड़े देखना चाहते हैं, तो रेडियो बटन का चयन करें आउटपुट अंतरालऔर उस सेल को निर्दिष्ट करें जहां आप प्रदर्शित आँकड़ों के ऊपरी बाएँ कोने को रखना चाहते हैं (हमारे उदाहरण में, $C$1)। यदि आप किसी नई शीट या नई कार्यपुस्तिका में डेटा आउटपुट करना चाहते हैं, तो बस उपयुक्त रेडियो बटन का चयन करें। के आगे वाले बॉक्स को चेक करें अंतिम आँकड़े. वैकल्पिक रूप से, आप भी चुन सकते हैं कठिनाई स्तर,के-वें सबसे छोटा औरके-वां सबसे बड़ा.

यदि जमा पर डेटाक्षेत्र में विश्लेषणआपको आइकन दिखाई नहीं दे रहा है डेटा विश्लेषण, आपको सबसे पहले ऐड-ऑन इंस्टॉल करना होगा विश्लेषण पैकेज(उदाहरण के लिए देखें)।

चावल। 11. ऐड-ऑन का उपयोग करके गणना किए गए जोखिम के उच्च स्तर वाले फंडों के पांच साल के औसत वार्षिक रिटर्न के वर्णनात्मक आंकड़े डेटा विश्लेषणएक्सेल प्रोग्राम

एक्सेल ऊपर चर्चा किए गए कई आँकड़ों की गणना करता है: माध्य, माध्य, मोड, मानक विचलन, विचरण, सीमा ( मध्यान्तर), न्यूनतम, अधिकतम, और नमूना आकार ( जाँच करना). इसके अलावा, एक्सेल हमारे लिए कुछ नए आँकड़ों की गणना करता है: मानक त्रुटि, कर्टोसिस और तिरछापन। मानक त्रुटिनमूना आकार के वर्गमूल से विभाजित मानक विचलन के बराबर होता है। विषमतावितरण की समरूपता से विचलन को दर्शाता है और यह एक फ़ंक्शन है जो नमूने के तत्वों और औसत मूल्य के बीच अंतर के घन पर निर्भर करता है। कर्टोसिस, वितरण के अंतिम भाग बनाम माध्य के आसपास डेटा की सापेक्ष सांद्रता का एक माप है, और यह नमूने और चौथी घात तक उठाए गए माध्य के बीच के अंतर पर निर्भर करता है।

सामान्य जनसंख्या के लिए वर्णनात्मक आँकड़ों की गणना

ऊपर चर्चा की गई वितरण का माध्य, बिखराव और आकार नमूना-आधारित विशेषताएं हैं। हालाँकि, यदि डेटासेट में संपूर्ण जनसंख्या का संख्यात्मक माप शामिल है, तो इसके मापदंडों की गणना की जा सकती है। इन मापदंडों में जनसंख्या का माध्य, विचरण और मानक विचलन शामिल हैं।

अपेक्षित मूल्यसामान्य जनसंख्या के सभी मूल्यों के योग को सामान्य जनसंख्या की मात्रा से विभाजित करने के बराबर है:

कहाँ µ - अपेक्षित मूल्य, एक्समैं- मैं-वें चर अवलोकन एक्स, एन- सामान्य जनसंख्या की मात्रा. एक्सेल में, गणितीय अपेक्षा की गणना करने के लिए, अंकगणितीय माध्य के लिए समान फ़ंक्शन का उपयोग किया जाता है: =AVERAGE()।

जनसंख्या विचरणसामान्य जनसंख्या और मैट के तत्वों के बीच वर्ग अंतर के योग के बराबर। जनसंख्या के आकार से विभाजित अपेक्षा:

कहाँ σ2सामान्य जनसंख्या का विचरण है। संस्करण 2007 से पहले एक्सेल जनसंख्या भिन्नता की गणना करने के लिए =VAR() फ़ंक्शन का उपयोग करता है, जो संस्करण 2010 =VAR.G() से शुरू होता है।

जनसंख्या मानक विचलनजनसंख्या विचरण के वर्गमूल के बराबर है:

संस्करण 2007 से पहले एक्सेल जनसंख्या मानक विचलन की गणना करने के लिए =STDEV() का उपयोग करता है, जो संस्करण 2010 =STDEV.Y() से शुरू होता है। ध्यान दें कि जनसंख्या विचरण और मानक विचलन के सूत्र नमूना विचरण और मानक विचलन के सूत्रों से भिन्न हैं। नमूना आँकड़ों की गणना करते समय एस 2और एसभिन्न का हर है एन - 1, और मापदंडों की गणना करते समय σ2और σ - सामान्य जनसंख्या की मात्रा एन.

अंगूठे का नियम

अधिकांश स्थितियों में, अवलोकनों का एक बड़ा हिस्सा माध्यिका के आसपास केंद्रित होता है, जिससे एक समूह बनता है। सकारात्मक विषमता वाले डेटा सेट में, यह क्लस्टर गणितीय अपेक्षा के बाईं ओर (यानी, नीचे) स्थित है, और नकारात्मक विषमता वाले सेट में, यह क्लस्टर गणितीय अपेक्षा के दाईं ओर (यानी, ऊपर) स्थित है। सममित डेटा में एक ही माध्य और माध्यिका होती है, और अवलोकन माध्य के चारों ओर एकत्रित होते हैं, जिससे एक घंटी के आकार का वितरण बनता है। यदि वितरण में स्पष्ट विषमता नहीं है, और डेटा गुरुत्वाकर्षण के एक निश्चित केंद्र के आसपास केंद्रित है, तो परिवर्तनशीलता का अनुमान लगाने के लिए अंगूठे के नियम का उपयोग किया जा सकता है, जो कहता है: यदि डेटा में घंटी के आकार का वितरण है, तो लगभग 68% अवलोकन गणितीय अपेक्षा से एक मानक विचलन से कम हैं, लगभग 95% अवलोकन अपेक्षित मूल्य के दो मानक विचलन के भीतर हैं, और 99.7% अवलोकन अपेक्षित मूल्य के तीन मानक विचलन के भीतर हैं।

इस प्रकार, मानक विचलन, जो गणितीय अपेक्षा के आसपास औसत उतार-चढ़ाव का अनुमान है, यह समझने में मदद करता है कि अवलोकन कैसे वितरित किए जाते हैं और आउटलेर्स की पहचान की जाती है। यह अंगूठे के नियम का पालन करता है कि घंटी के आकार के वितरण के लिए, बीस में से केवल एक मान गणितीय अपेक्षा से दो से अधिक मानक विचलन से भिन्न होता है। इसलिए, अंतराल के बाहर मान µ ± 2σ, को आउटलेयर माना जा सकता है। इसके अलावा, 1000 में से केवल तीन अवलोकन गणितीय अपेक्षा से तीन से अधिक मानक विचलन से भिन्न होते हैं। इस प्रकार, अंतराल के बाहर मान µ ± 3σलगभग हमेशा आउटलेयर होते हैं। उन वितरणों के लिए जो अत्यधिक तिरछे हैं या घंटी के आकार के नहीं हैं, बायनेम-चेबीशेव नियम लागू किया जा सकता है।

सौ साल से भी पहले, गणितज्ञ बिएनामे और चेबीशेव ने स्वतंत्र रूप से मानक विचलन की एक उपयोगी संपत्ति की खोज की थी। उन्होंने पाया कि किसी भी डेटा सेट के लिए, वितरण के आकार की परवाह किए बिना, दूरी पर मौजूद अवलोकनों का प्रतिशत अधिक नहीं होना चाहिए कगणितीय अपेक्षा से मानक विचलन, कम नहीं (1 – 1/ 2)*100%.

उदाहरण के लिए, यदि क= 2, बिएनेम-चेबीशेव नियम कहता है कि कम से कम (1 - (1/2) 2) x 100% = 75% अवलोकन अंतराल में होने चाहिए µ ± 2σ. यह नियम किसी के लिए भी सत्य है कएक से अधिक. बायनेम-चेबीशेव नियम बहुत सामान्य प्रकृति का है और किसी भी प्रकार के वितरण के लिए मान्य है। यह प्रेक्षणों की न्यूनतम संख्या को इंगित करता है, जिससे गणितीय अपेक्षा की दूरी किसी दिए गए मान से अधिक नहीं होती है। हालाँकि, यदि वितरण घंटी के आकार का है, तो अंगूठे का नियम माध्य के आसपास डेटा की एकाग्रता का अधिक सटीक अनुमान लगाता है।

आवृत्ति-आधारित वितरण के लिए वर्णनात्मक आँकड़ों की गणना करना

यदि मूल डेटा उपलब्ध नहीं है, तो आवृत्ति वितरण सूचना का एकमात्र स्रोत बन जाता है। ऐसी स्थितियों में, आप वितरण के मात्रात्मक संकेतकों के अनुमानित मूल्यों की गणना कर सकते हैं, जैसे अंकगणितीय माध्य, मानक विचलन, चतुर्थक।

यदि नमूना डेटा को आवृत्ति वितरण के रूप में प्रस्तुत किया जाता है, तो अंकगणितीय माध्य के अनुमानित मूल्य की गणना की जा सकती है, यह मानते हुए कि प्रत्येक वर्ग के सभी मान वर्ग के मध्य बिंदु पर केंद्रित हैं:

कहाँ - नमूना माध्य, एन- अवलोकनों की संख्या, या नमूना आकार, साथ- आवृत्ति वितरण में वर्गों की संख्या, एमजे- मध्य बिंदु जे-वीं कक्षा, एफजे- के अनुरूप आवृत्ति जे-वीं कक्षा.

आवृत्ति वितरण से मानक विचलन की गणना करने के लिए, यह भी माना जाता है कि प्रत्येक वर्ग के भीतर सभी मान वर्ग के मध्य बिंदु पर केंद्रित हैं।

यह समझने के लिए कि श्रृंखला के चतुर्थक को आवृत्तियों के आधार पर कैसे निर्धारित किया जाता है, आइए औसत प्रति व्यक्ति नकद आय (छवि 12) द्वारा रूसी आबादी के वितरण पर 2013 के आंकड़ों के आधार पर निचली चतुर्थक की गणना पर विचार करें।

चावल। 12. प्रति माह औसतन प्रति व्यक्ति मौद्रिक आय के साथ रूस की जनसंख्या का हिस्सा, रूबल

अंतराल भिन्नता श्रृंखला के पहले चतुर्थक की गणना करने के लिए, आप सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:

जहां Q1 पहले चतुर्थक का मान है, xQ1 पहले चतुर्थक वाले अंतराल की निचली सीमा है (अंतराल संचित आवृत्ति द्वारा निर्धारित किया जाता है, पहला 25% से अधिक); i अंतराल का मान है; Σf संपूर्ण नमूने की आवृत्तियों का योग है; संभवतः सदैव 100% के बराबर; SQ1-1 निम्न चतुर्थक वाले अंतराल से पहले के अंतराल की संचयी आवृत्ति है; fQ1 निम्न चतुर्थक वाले अंतराल की आवृत्ति है। तीसरे चतुर्थक का सूत्र इस मायने में भिन्न है कि सभी स्थानों पर, आपको Q1 के बजाय Q3 का उपयोग करना होगा, और ¼ के स्थान पर ¾ का उपयोग करना होगा।

हमारे उदाहरण (चित्र 12) में, निचला चतुर्थक 7000.1 - 10,000 की सीमा में है, जिसकी संचयी आवृत्ति 26.4% है। इस अंतराल की निचली सीमा 7000 रूबल है, अंतराल का मूल्य 3000 रूबल है, निचले चतुर्थक वाले अंतराल से पहले के अंतराल की संचित आवृत्ति 13.4% है, निचले चतुर्थक वाले अंतराल की आवृत्ति 13.0% है। इस प्रकार: Q1 = 7000 + 3000 * (¼ * 100 - 13.4) / 13 = 9677 रूबल।

वर्णनात्मक आँकड़ों से जुड़ी कठिनाइयाँ

इस नोट में, हमने देखा कि विभिन्न आँकड़ों का उपयोग करके डेटासेट का वर्णन कैसे किया जाए जो इसके माध्य, बिखराव और वितरण का अनुमान लगाता है। अगला कदम डेटा का विश्लेषण और व्याख्या करना है। अब तक, हमने डेटा के वस्तुनिष्ठ गुणों का अध्ययन किया है, और अब हम उनकी व्यक्तिपरक व्याख्या की ओर मुड़ते हैं। शोधकर्ता के लिए दो गलतियाँ प्रतीक्षा में हैं: विश्लेषण का गलत तरीके से चुना गया विषय और परिणामों की गलत व्याख्या।

15 अत्यधिक जोखिम वाले म्यूचुअल फंडों के प्रदर्शन का विश्लेषण काफी निष्पक्ष है। उन्होंने पूरी तरह से वस्तुनिष्ठ निष्कर्ष निकाला: सभी म्यूचुअल फंडों में अलग-अलग रिटर्न होते हैं, फंड रिटर्न का प्रसार -6.1 से 18.5 तक होता है, और औसत रिटर्न 6.08 होता है। डेटा विश्लेषण की निष्पक्षता वितरण के कुल मात्रात्मक संकेतकों के सही विकल्प द्वारा सुनिश्चित की जाती है। डेटा के माध्य और बिखराव का अनुमान लगाने के लिए कई तरीकों पर विचार किया गया और उनके फायदे और नुकसान का संकेत दिया गया। वस्तुनिष्ठ और निष्पक्ष विश्लेषण प्रदान करने वाले सही आँकड़े कैसे चुनें? यदि डेटा वितरण थोड़ा विषम है, तो क्या अंकगणितीय माध्य के स्थान पर माध्यिका को चुना जाना चाहिए? कौन सा संकेतक डेटा के प्रसार को अधिक सटीक रूप से दर्शाता है: मानक विचलन या सीमा? क्या वितरण की सकारात्मक विषमता का संकेत दिया जाना चाहिए?

दूसरी ओर, डेटा व्याख्या एक व्यक्तिपरक प्रक्रिया है। अलग-अलग लोग एक ही परिणाम की व्याख्या करते हुए अलग-अलग निष्कर्ष पर पहुंचते हैं। सबका अपना-अपना दृष्टिकोण है। कोई बहुत अधिक जोखिम वाले 15 फंडों के कुल औसत वार्षिक रिटर्न को अच्छा मानता है और प्राप्त आय से काफी संतुष्ट है। अन्य लोग सोच सकते हैं कि इन फंडों का रिटर्न बहुत कम है। इस प्रकार, व्यक्तिपरकता की भरपाई ईमानदारी, तटस्थता और निष्कर्षों की स्पष्टता से की जानी चाहिए।

नैतिक मुद्दों

डेटा विश्लेषण नैतिक मुद्दों से अटूट रूप से जुड़ा हुआ है। व्यक्ति को समाचार पत्रों, रेडियो, टेलीविजन और इंटरनेट द्वारा प्रसारित जानकारी की आलोचना करनी चाहिए। समय के साथ, आप न केवल परिणामों के बारे में, बल्कि शोध के लक्ष्यों, विषय और निष्पक्षता के बारे में भी संदेह करना सीखेंगे। प्रसिद्ध ब्रिटिश राजनीतिज्ञ बेंजामिन डिज़रायली ने इसे सबसे अच्छा कहा था: "झूठ तीन प्रकार के होते हैं: झूठ, शापित झूठ और आँकड़े।"

जैसा कि नोट में बताया गया है, रिपोर्ट में प्रस्तुत किए जाने वाले परिणामों को चुनते समय नैतिक मुद्दे उठते हैं। सकारात्मक और नकारात्मक दोनों परिणाम प्रकाशित किये जाने चाहिए। इसके अलावा, कोई रिपोर्ट या लिखित रिपोर्ट बनाते समय परिणाम ईमानदारी, निष्पक्षता और निष्पक्षता से प्रस्तुत किए जाने चाहिए। खराब और बेईमान प्रस्तुतियों के बीच अंतर करें। ऐसा करने के लिए, यह निर्धारित करना आवश्यक है कि वक्ता के इरादे क्या थे। कभी-कभी वक्ता अज्ञानतावश महत्वपूर्ण जानकारी छोड़ देता है, और कभी-कभी जानबूझकर (उदाहरण के लिए, यदि वह वांछित परिणाम प्राप्त करने के लिए स्पष्ट रूप से तिरछे डेटा के माध्य का अनुमान लगाने के लिए अंकगणितीय माध्य का उपयोग करता है)। जो परिणाम शोधकर्ता के दृष्टिकोण से मेल नहीं खाते, उन्हें दबाना भी बेईमानी है।

लेविन एट अल पुस्तक से सामग्री। प्रबंधकों के लिए सांख्यिकी का उपयोग किया जाता है। - एम.: विलियम्स, 2004. - पी. 178-209

एक्सेल के पुराने संस्करणों के साथ संरेखित करने के लिए क्वार्टाइल फ़ंक्शन को बरकरार रखा गया है

अंकगणित माध्य - एक सांख्यिकीय संकेतक जो किसी दिए गए डेटा सरणी का औसत मूल्य दिखाता है। इस तरह के एक संकेतक की गणना एक अंश के रूप में की जाती है, जिसका अंश सभी सरणी मानों का योग है, और हर उनकी संख्या है। अंकगणितीय माध्य एक महत्वपूर्ण गुणांक है जिसका उपयोग घरेलू गणना में किया जाता है।

गुणांक का अर्थ

अंकगणितीय माध्य डेटा की तुलना करने और स्वीकार्य मूल्य की गणना करने के लिए एक प्राथमिक संकेतक है। उदाहरण के लिए, किसी विशेष निर्माता की बीयर की एक कैन विभिन्न दुकानों में बेची जाती है। लेकिन एक दुकान में इसकी कीमत 67 रूबल है, दूसरे में - 70 रूबल, तीसरे में - 65 रूबल और आखिरी में - 62 रूबल। कीमतों की एक बड़ी श्रृंखला है, इसलिए खरीदार को एक कैन की औसत लागत में दिलचस्पी होगी, ताकि उत्पाद खरीदते समय वह अपनी लागतों की तुलना कर सके। औसतन, शहर में बीयर की एक कैन की कीमत है:

औसत मूल्य = (67 + 70 + 65 + 62) / 4 = 66 रूबल।

औसत कीमत जानने के बाद, यह निर्धारित करना आसान है कि कहां सामान खरीदना लाभदायक है और कहां आपको अधिक भुगतान करना होगा।

अंकगणितीय माध्य का उपयोग लगातार उन मामलों में सांख्यिकीय गणना में किया जाता है जहां एक सजातीय डेटा सेट का विश्लेषण किया जाता है। उपरोक्त उदाहरण में, यह उसी ब्रांड की बीयर की एक कैन की कीमत है। हालाँकि, हम विभिन्न निर्माताओं से बीयर की कीमत या बीयर और नींबू पानी की कीमतों की तुलना नहीं कर सकते, क्योंकि इस मामले में मूल्यों का प्रसार अधिक होगा, औसत कीमत धुंधली और अविश्वसनीय होगी, और गणना का अर्थ ही "अस्पताल में औसत तापमान" कैरिकेचर को विकृत कर दिया जाएगा। विषम डेटा सरणियों की गणना करने के लिए, अंकगणितीय भारित औसत का उपयोग किया जाता है, जब प्रत्येक मान को अपना स्वयं का भार कारक प्राप्त होता है।

अंकगणित माध्य की गणना

गणना का सूत्र अत्यंत सरल है:

पी = (ए1 + ए2 +…एएन)/एन,

जहाँ a मात्रा का मान है, n मानों की कुल संख्या है।

इस सूचक का उपयोग किस लिए किया जा सकता है? इसका सबसे पहला और स्पष्ट प्रयोग सांख्यिकी में होता है। लगभग हर सांख्यिकीय अध्ययन अंकगणितीय माध्य का उपयोग करता है। यह रूस में शादी की औसत उम्र, किसी छात्र के लिए किसी विषय में औसत अंक या प्रति दिन किराने के सामान पर औसत खर्च हो सकता है। जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, वज़न को ध्यान में रखे बिना, औसत की गणना अजीब या बेतुके मान दे सकती है।

उदाहरण के लिए, रूसी संघ के राष्ट्रपति ने एक बयान दिया कि, आंकड़ों के अनुसार, एक रूसी का औसत वेतन 27,000 रूबल है। रूस में अधिकांश लोगों के लिए वेतन का यह स्तर बेतुका लगता था। यह आश्चर्य की बात नहीं है अगर गणना में एक ओर कुलीन वर्गों, औद्योगिक उद्यमों के प्रमुखों, बड़े बैंकरों की आय और दूसरी ओर शिक्षकों, सफाईकर्मियों और विक्रेताओं के वेतन को ध्यान में रखा जाए। यहां तक ​​​​कि एक विशेषता में औसत वेतन, उदाहरण के लिए, एक एकाउंटेंट, में मॉस्को, कोस्त्रोमा और येकातेरिनबर्ग में गंभीर अंतर होगा।

विषमांगी डेटा के लिए औसत की गणना कैसे करें

पेरोल स्थितियों में, प्रत्येक मूल्य के महत्व पर विचार करना महत्वपूर्ण है। इसका मतलब यह है कि कुलीन वर्गों और बैंकरों के वेतन को, उदाहरण के लिए, 0.00001 का भार दिया जाएगा, और सेल्सपर्सन का वेतन 0.12 होगा। ये ऊपरी स्तर की संख्याएँ हैं, लेकिन ये मोटे तौर पर रूसी समाज में कुलीन वर्गों और सेल्समैनों की व्यापकता को दर्शाती हैं।

इस प्रकार, एक विषम डेटा सरणी में औसत के औसत या औसत मूल्य की गणना करने के लिए, अंकगणितीय भारित औसत का उपयोग करना आवश्यक है। अन्यथा, आपको रूस में 27,000 रूबल के स्तर पर औसत वेतन प्राप्त होगा। यदि आप गणित में अपना औसत अंक या किसी चयनित हॉकी खिलाड़ी द्वारा बनाए गए गोलों की औसत संख्या जानना चाहते हैं, तो अंकगणित माध्य कैलकुलेटर आपके लिए उपयुक्त होगा।

हमारा कार्यक्रम अंकगणित माध्य की गणना के लिए एक सरल और सुविधाजनक कैलकुलेटर है। गणना करने के लिए आपको केवल पैरामीटर मान दर्ज करने की आवश्यकता है।

आइए कुछ उदाहरण देखें

औसत ग्रेड गणना

कई शिक्षक किसी विषय में वार्षिक ग्रेड निर्धारित करने के लिए अंकगणितीय माध्य पद्धति का उपयोग करते हैं। आइए कल्पना करें कि एक बच्चे को गणित में निम्नलिखित तिमाही ग्रेड मिलते हैं: 3, 3, 5, 4। शिक्षक उसे कौन सा वार्षिक ग्रेड देगा? आइए एक कैलकुलेटर का उपयोग करें और अंकगणितीय माध्य की गणना करें। सबसे पहले, उचित संख्या में फ़ील्ड का चयन करें और दिखाई देने वाली कोशिकाओं में ग्रेड मान दर्ज करें:

(3 + 3 + 5 + 4) / 4 = 3,75

शिक्षक मूल्य को छात्र के पक्ष में पूर्णांकित करेगा, और छात्र को वर्ष के लिए ठोस चार प्राप्त होंगे।

खाई गई मिठाइयों का हिसाब

आइए अंकगणितीय माध्य की कुछ बेतुकीता को स्पष्ट करें। कल्पना कीजिए कि माशा और वोवा के पास 10 मिठाइयाँ थीं। माशा ने 8 मिठाइयाँ खाईं, और वोवा ने केवल 2। प्रत्येक बच्चे ने औसतन कितनी मिठाइयाँ खाईं? कैलकुलेटर का उपयोग करके, यह गणना करना आसान है कि बच्चों ने औसतन 5 मिठाइयाँ खाईं, जो पूरी तरह से झूठ और सामान्य ज्ञान है। यह उदाहरण दर्शाता है कि सार्थक डेटासेट के लिए अंकगणितीय माध्य महत्वपूर्ण है।

निष्कर्ष

अंकगणितीय माध्य की गणना का उपयोग कई वैज्ञानिक क्षेत्रों में व्यापक रूप से किया जाता है। यह सूचक न केवल सांख्यिकीय गणनाओं में, बल्कि भौतिकी, यांत्रिकी, अर्थशास्त्र, चिकित्सा या वित्त में भी लोकप्रिय है। अंकगणित माध्य समस्याओं को हल करने के लिए सहायक के रूप में हमारे कैलकुलेटर का उपयोग करें।

औसत वेतन... औसत जीवन प्रत्याशा... लगभग हर दिन हम इन वाक्यांशों को सुनते हैं जिनका उपयोग एक ही संख्या के साथ भीड़ का वर्णन करने के लिए किया जाता है। लेकिन अजीब तरह से, "औसत मूल्य" एक कपटी अवधारणा है, जो अक्सर गणितीय आंकड़ों में अनुभवहीन एक सामान्य व्यक्ति को गुमराह करती है।

समस्या क्या है?

औसत मान का अर्थ अक्सर अंकगणितीय माध्य होता है, जो एकल तथ्यों या घटनाओं के प्रभाव में बहुत भिन्न होता है। और आपको इस बात का वास्तविक अंदाज़ा नहीं होगा कि जो मूल्य आप सीख रहे हैं वे वास्तव में कैसे वितरित हैं।

आइए औसत वेतन का एक उत्कृष्ट उदाहरण लें।

एक अमूर्त कंपनी में दस कर्मचारी हैं। उनमें से नौ को लगभग 50,000 रूबल का वेतन मिलता है, और एक को 1,500,000 रूबल (एक अजीब संयोग से, वह इस कंपनी के सामान्य निदेशक भी हैं)।

इस मामले में औसत मूल्य 195,150 रूबल होगा, जो, आप देखते हैं, गलत है।

औसत की गणना करने के तरीके क्या हैं?

पहला तरीका पहले से बताए गए की गणना करना है अंकगणित औसत, जो उनकी संख्या से विभाजित सभी मानों का योग है।

• एक्स - अंकगणितीय माध्य;
• एक्स एन - विशिष्ट मूल्य;
• n - मानों की संख्या.

• नमूने में मूल्यों के सामान्य वितरण के साथ अच्छी तरह से काम करता है;
• गणना करना आसान;
• सहज ज्ञान युक्त।

• मूल्यों के वितरण का वास्तविक विचार नहीं देता;
• एक अस्थिर मात्रा जिसे आसानी से बाहर फेंक दिया जाता है (जैसा कि सीईओ के मामले में)।

दूसरा तरीका है गणना करना पहनावा, जो सबसे अधिक बार आने वाला मूल्य है।

• एम 0 - मोड;
• X 0 अंतराल की निचली सीमा है जिसमें मोड शामिल है;
• n अंतराल का मान है;
• एफ एम - आवृत्ति (किसी श्रृंखला में कोई विशेष मान कितनी बार आता है);
• f m-1 - मोडल से पहले के अंतराल की आवृत्ति;
• f m+1 मोडल के बाद अंतराल की आवृत्ति है।

• जनता की राय जानने के लिए बढ़िया;
• गैर-संख्यात्मक डेटा (सीज़न के रंग, बेस्टसेलर, रेटिंग) के लिए अच्छा है;
• समझने में आसान।

• फैशन का अस्तित्व ही नहीं हो सकता (कोई दोहराव नहीं);
• इसके कई मोड (मल्टी-मोडल डिस्ट्रीब्यूशन) हो सकते हैं।

तीसरा तरीका है गणना करना माध्यिकाओं, यानी वह मान जो ऑर्डर किए गए नमूने को दो हिस्सों में विभाजित करता है और उनके बीच स्थित होता है। और यदि ऐसा कोई मान नहीं है, तो नमूने के आधे हिस्सों की सीमाओं के बीच अंकगणितीय माध्य को माध्यिका के रूप में लिया जाता है।

• एम ई माध्यिका है;
• X 0 अंतराल की निचली सीमा है जिसमें माध्यिका होती है;
• h अंतराल का मान है;
• f i - आवृत्ति (किसी श्रृंखला में कोई विशेष मान कितनी बार आता है);
• एस एम-1 - माध्यिका से पहले के अंतरालों की आवृत्तियों का योग;
• f m माध्यिका अंतराल (इसकी आवृत्ति) में मानों की संख्या है।

• सबसे यथार्थवादी और प्रतिनिधि अनुमान प्रदान करता है;
• उत्सर्जन प्रतिरोधी.

• गणना करना अधिक कठिन है, क्योंकि गणना से पहले नमूना का आदेश दिया जाना चाहिए।

हमने औसत मान ज्ञात करने की मूल विधियों पर विचार किया है, जिन्हें कहा जाता है केंद्रीय प्रवृत्ति के उपाय(वास्तव में और भी हैं, लेकिन ये सबसे लोकप्रिय हैं)।

अब आइए अपने उदाहरण पर वापस जाएं और विशेष एक्सेल फ़ंक्शंस का उपयोग करके औसत के सभी तीन प्रकारों की गणना करें:

• AVERAGE(number1;[number2];…) — अंकगणितीय माध्य निर्धारित करने का कार्य;
• FASHION.ONE(number1,[number2],...) - फैशन फ़ंक्शन (एक्सेल के पुराने संस्करणों में FASHION(number1,[number2],...) का उपयोग किया जाता है);
• MEDIAN(number1;[number2];...) माध्यिका ज्ञात करने का एक कार्य है।

और यहां वे मूल्य हैं जो हमें मिले:

इस मामले में, मोड और माध्यिका कंपनी में औसत वेतन को बेहतर ढंग से दर्शाते हैं।

लेकिन क्या करें जब नमूने में उदाहरण की तरह 10 मान नहीं, बल्कि लाखों हों? एक्सेल में, इसकी गणना नहीं की जा सकती, लेकिन डेटाबेस में जहां आपका डेटा संग्रहीत है, कोई समस्या नहीं है।

SQL में अंकगणितीय माध्य की गणना करें

यहां सब कुछ काफी सरल है, क्योंकि SQL एक विशेष समग्र फ़ंक्शन AVG प्रदान करता है।

और इसका उपयोग करने के लिए, निम्नलिखित क्वेरी लिखना पर्याप्त है:

SQL में मोड की गणना करना

SQL में मोड खोजने के लिए कोई अलग फ़ंक्शन नहीं है, लेकिन आप इसे आसानी से और जल्दी से स्वयं लिख सकते हैं। ऐसा करने के लिए, हमें यह पता लगाना होगा कि कौन सा वेतन सबसे अधिक बार दोहराया जाता है और सबसे लोकप्रिय को चुनना होगा।

आइए एक प्रश्न लिखें:

/* यदि सेट मल्टीमॉडल है, तो TIES को TOP() में जोड़ा जाना चाहिए, जिसका अर्थ है कि सेट में कई मोड हैं */ कर्मचारियों से "वेतन मोड" के रूप में TIES वेतन के साथ TOP(1) का चयन करें, वेतन के अनुसार समूह बनाएं, गिनती के अनुसार आदेश दें(*) DESC

SQL में माध्यिका की गणना करें

फैशन की तरह, SQL में माध्यिका की गणना के लिए कोई अंतर्निहित फ़ंक्शन नहीं है, लेकिन इसमें प्रतिशतक PERCENTILE_CONT की गणना के लिए एक सामान्य फ़ंक्शन है।

यह सब इस तरह दिखता है:

/* इस मामले में, 0.5 प्रतिशत माध्यिका होगी */ कर्मचारियों से "औसत वेतन" के रूप में समूह (वेतन के अनुसार क्रम) के भीतर शीर्ष(1) PERCENTILE_CONT(0.5) का चयन करें

Microsoft और Google BigQuery की सहायता से PERCENTILE_CONT फ़ंक्शन के कार्य के बारे में अधिक पढ़ना बेहतर है।

वैसे भी किस तरीके का उपयोग करें?

उपरोक्त से यह निष्कर्ष निकलता है कि माध्य औसत मान की गणना करने का सबसे अच्छा तरीका है।

लेकिन हमेशा ऐसा नहीं होता. यदि आप माध्य के साथ काम कर रहे हैं, तो मल्टीमॉडल वितरण से सावधान रहें:

ग्राफ़ दो चोटियों के साथ एक द्विमोडल वितरण दिखाता है। ऐसी स्थिति उत्पन्न हो सकती है, उदाहरण के लिए, चुनाव में मतदान करते समय।

इस मामले में, अंकगणितीय माध्य और माध्यिका बीच में कहीं मान हैं और वे वास्तव में क्या हो रहा है इसके बारे में कुछ नहीं कहेंगे और यह तुरंत पहचानना बेहतर है कि आप दो मोड की रिपोर्ट करके एक द्विमोडल वितरण के साथ काम कर रहे हैं।

इससे भी बेहतर, नमूने को दो समूहों में विभाजित करें और प्रत्येक के लिए सांख्यिकीय डेटा एकत्र करें।

निष्कर्ष:

माध्य ज्ञात करने की विधि चुनते समय, आउटलेर्स की उपस्थिति के साथ-साथ नमूने में मूल्यों के सामान्य वितरण को भी ध्यान में रखना आवश्यक है।

केंद्रीय प्रवृत्ति के माप का अंतिम विकल्प हमेशा विश्लेषक का होता है।

मान लीजिए कि आपको विभिन्न कर्मचारियों द्वारा कार्यों को पूरा करने के लिए दिनों की औसत संख्या ज्ञात करने की आवश्यकता है। साथ ही, आप 10-वर्ष की अवधि में किसी दिए गए दिन के औसत तापमान की गणना करना चाहते हैं। संख्याओं के समूह के औसत मूल्य की गणना कई तरीकों से की जा सकती है।

औसत फ़ंक्शन माध्य की गणना करता है, जो सांख्यिकीय वितरण में संख्याओं के समूह का केंद्र है। माध्य ज्ञात करने के तीन सबसे सामान्य तरीके हैं:

औसत मूल्ययह अंकगणितीय औसत है, जिसकी गणना संख्याओं के समूह को जोड़कर और उन्हें इन संख्याओं की संख्या से विभाजित करके की जाती है। उदाहरण के लिए, संख्याओं 2, 3, 3, 5, 7, और 10 का औसत 5 है, जो कि उनके योग, जो कि 30 है, को उनकी संख्या, जो कि 6 है, से विभाजित करने का परिणाम है।

मंझलासंख्याओं के समूह की मध्य संख्या। आधी संख्याओं में माध्यिका से अधिक मान होते हैं, और आधी संख्याओं में माध्यिका से कम मान होते हैं। उदाहरण के लिए, संख्या 2, 3, 3, 5, 7, और 10 का माध्य 4 है।

पहनावासंख्याओं के समूह में सबसे अधिक बार आने वाली संख्या। उदाहरण के लिए, संख्या 2, 3, 3, 5, 7 और 10 का बहुलक 3 होगा।

संख्याओं के समूह के सममित वितरण के साथ, केंद्रीय प्रवृत्ति के सभी तीन मान मेल खाएंगे। संख्याओं के समूह के विचलित वितरण में, वे भिन्न हो सकते हैं।

निकटवर्ती पंक्तियों या स्तंभों में औसत मान की गणना करें

नीचे दिए गए चरणों का पालन करें.

एक सतत पंक्ति या स्तंभ से परे औसत मूल्य की गणना करें

इस कार्य को पूरा करने के लिए फ़ंक्शन का उपयोग करें औसत. नीचे दी गई तालिका को एक खाली शीट पर कॉपी करें।

भारित औसत की गणना

इस कार्य को पूरा करने के लिए फ़ंक्शंस का उपयोग करें सारांशऔर जोड़. WWIS उदाहरण तीन खरीद के लिए प्रति यूनिट भुगतान की गई औसत कीमतों की गणना करता है, जहां प्रत्येक एक अलग इकाई पर एक अलग आइटम के लिए है।

नीचे दी गई तालिका को एक खाली शीट पर कॉपी करें।

गणित में, संख्याओं का अंकगणितीय माध्य (या केवल औसत) किसी दिए गए सेट की सभी संख्याओं के योग को उनकी संख्या से विभाजित करने पर प्राप्त होता है। यह औसत मूल्य की सबसे सामान्यीकृत और व्यापक अवधारणा है। जैसा कि आप पहले ही समझ चुके हैं, औसत मान ज्ञात करने के लिए, आपको दी गई सभी संख्याओं का योग करना होगा और परिणाम को पदों की संख्या से विभाजित करना होगा।

अंकगणितीय माध्य क्या है?

आइए एक उदाहरण देखें.

उदाहरण 1. संख्याएँ दी गई हैं: 6, 7, 11. आपको उनका औसत मान ज्ञात करना होगा।

समाधान।

सबसे पहले, आइए सभी दी गई संख्याओं का योग ज्ञात करें।

अब हम परिणामी योग को पदों की संख्या से विभाजित करते हैं। चूँकि हमारे पास क्रमशः तीन पद हैं, हम तीन से विभाजित करेंगे।

इसलिए, संख्या 6, 7 और 11 का औसत 8 है। 8 क्यों? हां, क्योंकि 6, 7 और 11 का योग तीन आठ के बराबर होगा। यह चित्रण में स्पष्ट रूप से देखा जा सकता है।

औसत मान कुछ हद तक संख्याओं की श्रृंखला के "संरेखण" की याद दिलाता है। जैसा कि आप देख सकते हैं, पेंसिलों के ढेर एक स्तर के हो गए हैं।

प्राप्त ज्ञान को समेकित करने के लिए एक और उदाहरण पर विचार करें।

उदाहरण 2संख्याएँ दी गई हैं: 3, 7, 5, 13, 20, 23, 39, 23, 40, 23, 14, 12, 56, 23, 29। आपको उनका अंकगणितीय माध्य ज्ञात करना होगा।

समाधान।

हम योग ज्ञात करते हैं।

3 + 7 + 5 + 13 + 20 + 23 + 39 + 23 + 40 + 23 + 14 + 12 + 56 + 23 + 29 = 330

पदों की संख्या से विभाजित करें (इस मामले में, 15)।

इसलिए, संख्याओं की इस श्रृंखला का औसत मान 22 है।

अब ऋणात्मक संख्याओं पर विचार करें। आइए याद रखें कि उन्हें कैसे संक्षेप में प्रस्तुत किया जाए। उदाहरण के लिए, आपके पास दो संख्याएँ 1 और -4 हैं। आइए उनका योग ज्ञात करें।

1 + (-4) = 1 – 4 = -3

यह जानकर एक और उदाहरण पर विचार करें।

उदाहरण 3संख्याओं की श्रृंखला का औसत मान ज्ञात करें: 3, -7, 5, 13, -2।

समाधान।

संख्याओं का योग ज्ञात करना.

3 + (-7) + 5 + 13 + (-2) = 12

चूँकि इसमें 5 पद हैं, हम परिणामी योग को 5 से विभाजित करते हैं।

इसलिए, संख्या 3, -7, 5, 13, -2 का अंकगणितीय माध्य 2.4 है।

तकनीकी प्रगति के हमारे समय में, औसत मूल्य ज्ञात करने के लिए कंप्यूटर प्रोग्राम का उपयोग करना अधिक सुविधाजनक है। माइक्रोसॉफ्ट ऑफिस एक्सेल उनमें से एक है। एक्सेल में औसत ढूँढना त्वरित और आसान है। इसके अलावा, यह प्रोग्राम माइक्रोसॉफ्ट ऑफिस के सॉफ्टवेयर पैकेज में शामिल है। इस प्रोग्राम का उपयोग करके अंकगणितीय माध्य कैसे ज्ञात करें, इस पर एक संक्षिप्त निर्देश पर विचार करें।

संख्याओं की श्रृंखला के औसत मूल्य की गणना करने के लिए, आपको औसत फ़ंक्शन का उपयोग करना होगा। इस फ़ंक्शन का सिंटैक्स है:
=औसत(तर्क1, तर्क2, ... तर्क255)
जहां तर्क 1, तर्क 2, ... तर्क 255 या तो संख्याएं हैं या सेल संदर्भ हैं (कोशिकाओं का अर्थ है श्रेणियां और सरणियाँ)।

इसे स्पष्ट करने के लिए, आइए प्राप्त ज्ञान का परीक्षण करें।

1. सेल C1 - C6 में संख्याएँ 11, 12, 13, 14, 15, 16 दर्ज करें।
2. इस पर क्लिक करके सेल C7 का चयन करें। इस सेल में, हम औसत मान प्रदर्शित करेंगे।
3. "सूत्र" टैब पर क्लिक करें.
4. ड्रॉप डाउन सूची खोलने के लिए अधिक फ़ंक्शन > सांख्यिकीय चुनें।
5. औसत चुनें. उसके बाद एक डायलॉग बॉक्स खुलना चाहिए.
6. डायलॉग बॉक्स में रेंज सेट करने के लिए सेल C1-C6 को चुनें और खींचें।
7. "ओके" बटन से अपने कार्यों की पुष्टि करें।
8. यदि आपने सब कुछ सही ढंग से किया है, तो सेल C7 में आपके पास उत्तर होना चाहिए - 13.7। जब आप सेल C7 पर क्लिक करते हैं, तो फ़ंक्शन (=औसत(C1:C6)) फॉर्मूला बार में प्रदर्शित होगा।

इस फ़ंक्शन का उपयोग लेखांकन, चालान, या जब आपको संख्याओं की बहुत लंबी श्रृंखला का औसत खोजने की आवश्यकता हो, के लिए करना बहुत उपयोगी है। इसलिए, इसका उपयोग अक्सर कार्यालयों और बड़ी कंपनियों में किया जाता है। यह आपको रिकॉर्ड व्यवस्थित रखने की अनुमति देता है और किसी चीज़ की तुरंत गणना करना संभव बनाता है (उदाहरण के लिए, प्रति माह औसत आय)। आप किसी फ़ंक्शन का माध्य ज्ञात करने के लिए एक्सेल का भी उपयोग कर सकते हैं।

औसत

इस शब्द के अन्य अर्थ भी हैं, औसत अर्थ देखें।

औसत(गणित और सांख्यिकी में) संख्याओं का समूह - सभी संख्याओं का योग उनकी संख्या से विभाजित किया जाता है। यह केंद्रीय प्रवृत्ति के सबसे सामान्य मापों में से एक है।

इसे पाइथागोरस द्वारा (ज्यामितीय माध्य और हार्मोनिक माध्य के साथ) प्रस्तावित किया गया था।

अंकगणित माध्य के विशेष मामले माध्य (सामान्य जनसंख्या का) और नमूना माध्य (नमूने का) हैं।

परिचय

डेटा के सेट को निरूपित करें एक्स = (एक्स 1 , एक्स 2 , …, एक्स एन), तो नमूना माध्य आमतौर पर चर (x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) के ऊपर एक क्षैतिज पट्टी द्वारा दर्शाया जाता है, जिसका उच्चारण " एक्सएक पानी का छींटा के साथ").

ग्रीक अक्षर μ का उपयोग संपूर्ण जनसंख्या के अंकगणितीय माध्य को दर्शाने के लिए किया जाता है। एक यादृच्छिक चर के लिए जिसके लिए एक माध्य मान परिभाषित किया गया है, μ है संभाव्यता माध्यया किसी यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा। यदि सेट एक्सकिसी भी नमूने के लिए प्रायिकता माध्य μ के साथ यादृच्छिक संख्याओं का एक संग्रह है एक्स मैंइस संग्रह से μ = E( एक्स मैं) इस नमूने की अपेक्षा है।

व्यवहार में, μ और x ¯ ​​(\displaystyle (\bar (x))) के बीच अंतर यह है कि μ एक विशिष्ट चर है क्योंकि आप संपूर्ण जनसंख्या के बजाय नमूना देख सकते हैं। इसलिए, यदि नमूना को यादृच्छिक रूप से दर्शाया गया है (संभावना सिद्धांत के संदर्भ में), तो x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) (लेकिन μ नहीं) को नमूने पर संभाव्यता वितरण वाले एक यादृच्छिक चर के रूप में माना जा सकता है ( माध्य का संभाव्यता वितरण)।

इन दोनों मात्राओं की गणना एक ही तरीके से की जाती है:

एक्स ¯ = 1 एन ∑ आई = 1 एन एक्स आई = 1 एन (एक्स 1 + ⋯ + एक्स एन) . (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_ (1)+\cdots +x_(n)).)

अगर एक्सएक यादृच्छिक चर है, फिर गणितीय अपेक्षा एक्समात्रा के बार-बार माप में मूल्यों का अंकगणितीय माध्य माना जा सकता है एक्स. यह बड़ी संख्या के नियम की अभिव्यक्ति है। इसलिए, नमूना माध्य का उपयोग अज्ञात गणितीय अपेक्षा का अनुमान लगाने के लिए किया जाता है।

प्रारंभिक बीजगणित में यह सिद्ध होता है कि माध्य एन+ 1 संख्या औसत से ऊपर एनसंख्याएँ यदि और केवल यदि नई संख्या पुराने औसत से अधिक है, तो कम यदि और केवल यदि नई संख्या औसत से कम है, और यदि और केवल यदि नई संख्या औसत के बराबर है तो नहीं बदलती। अधिक एन, नए और पुराने औसत के बीच अंतर उतना ही कम होगा।

ध्यान दें कि कई अन्य "साधन" उपलब्ध हैं, जिनमें पावर-लॉ माध्य, कोलमोगोरोव माध्य, हार्मोनिक माध्य, अंकगणित-ज्यामितीय माध्य और विभिन्न भारित माध्य (उदाहरण के लिए, अंकगणित-भारित माध्य, ज्यामितीय-भारित माध्य, हार्मोनिक-भारित माध्य) शामिल हैं। .

उदाहरण

• तीन संख्याओं के लिए, आपको उन्हें जोड़ना होगा और 3 से विभाजित करना होगा:

एक्स 1 + एक्स 2 + एक्स 3 3। (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3))(3)).)

• चार संख्याओं के लिए, आपको उन्हें जोड़ना होगा और 4 से विभाजित करना होगा:

एक्स 1 + एक्स 2 + एक्स 3 + एक्स 4 4। (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3)+x_(4))(4)).)

या आसान 5+5=10, 10:2. क्योंकि हमने 2 संख्याएं जोड़ीं, यानी हम जितनी संख्याएं जोड़ते हैं, उतनी संख्या से भाग देते हैं.

निरंतर यादृच्छिक चर

निरंतर वितरित मान f (x) (\displaystyle f(x)) के लिए अंतराल पर अंकगणितीय माध्य [ a ; b ] (\displaystyle ) को एक निश्चित अभिन्न अंग के माध्यम से परिभाषित किया गया है:

एफ (एक्स) ¯ [ ए ; b ] = 1 b − a ∫ a b f (x) d x (\displaystyle (\overline (f(x)))_()=(\frac (1)(b-a))\int _(a)^(b) एफ(एक्स)डीएक्स)

औसत का उपयोग करने की कुछ समस्याएँ

मजबूती का अभाव

मुख्य लेख: आंकड़ों में मजबूती

यद्यपि अंकगणितीय माध्य को अक्सर साधन या केंद्रीय रुझान के रूप में उपयोग किया जाता है, यह अवधारणा मजबूत आंकड़ों पर लागू नहीं होती है, जिसका अर्थ है कि अंकगणितीय माध्य "बड़े विचलन" से काफी प्रभावित होता है। यह उल्लेखनीय है कि बड़े तिरछापन वाले वितरणों के लिए, अंकगणितीय माध्य "औसत" की अवधारणा के अनुरूप नहीं हो सकता है, और मजबूत आंकड़ों (उदाहरण के लिए, माध्यिका) से माध्य के मान केंद्रीय प्रवृत्ति का बेहतर वर्णन कर सकते हैं।

क्लासिक उदाहरण औसत आय की गणना है. अंकगणितीय माध्य को माध्यिका के रूप में गलत समझा जा सकता है, जिससे यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि वास्तव में जितने लोग हैं, उससे कहीं अधिक आय वाले लोग हैं। "औसत" आय की व्याख्या इस प्रकार की जाती है कि अधिकांश लोगों की आय इस संख्या के करीब होती है। यह "औसत" (अंकगणितीय माध्य के अर्थ में) आय अधिकांश लोगों की आय से अधिक है, क्योंकि औसत से बड़े विचलन के साथ उच्च आय अंकगणितीय माध्य को दृढ़ता से विषम बना देती है (इसके विपरीत, औसत आय "प्रतिरोध" करती है) ऐसा तिरछा)। हालाँकि, यह "औसत" आय औसत आय के करीब लोगों की संख्या के बारे में कुछ नहीं कहती है (और मॉडल आय के करीब लोगों की संख्या के बारे में कुछ नहीं कहती है)। हालाँकि, यदि "औसत" और "बहुमत" की अवधारणाओं को हल्के में लिया जाए, तो कोई गलत निष्कर्ष निकाल सकता है कि अधिकांश लोगों की आय वास्तव में उनकी तुलना में अधिक है। उदाहरण के लिए, मदीना, वाशिंगटन में "औसत" शुद्ध आय पर एक रिपोर्ट, जिसकी गणना निवासियों की सभी वार्षिक शुद्ध आय के अंकगणितीय औसत के रूप में की जाती है, बिल गेट्स के कारण आश्चर्यजनक रूप से उच्च संख्या देगी। नमूने (1, 2, 2, 2, 3, 9) पर विचार करें। अंकगणितीय माध्य 3.17 है, लेकिन छह में से पांच मान इस माध्य से नीचे हैं।

चक्रवृद्धि ब्याज

मुख्य लेख: लागत पर लाभ

यदि संख्याएँ गुणा, लेकिन नहीं तह करना, आपको ज्यामितीय माध्य का उपयोग करने की आवश्यकता है, अंकगणितीय माध्य का नहीं। अक्सर, यह घटना वित्त में निवेश पर रिटर्न की गणना करते समय होती है।

उदाहरण के लिए, यदि स्टॉक पहले वर्ष में 10% गिर गया और दूसरे वर्ष में 30% बढ़ गया, तो इन दो वर्षों में "औसत" वृद्धि की गणना अंकगणितीय माध्य (−10% + 30%) / 2 के रूप में करना गलत है। = 10%; इस मामले में सही औसत चक्रवृद्धि वार्षिक वृद्धि दर द्वारा दिया गया है, जिससे वार्षिक वृद्धि केवल 8.16653826392% ≈ 8.2% है।

इसका कारण यह है कि प्रतिशत का हर बार एक नया प्रारंभिक बिंदु होता है: 30% 30% है पहले वर्ष की शुरुआत में कीमत से कम संख्या से:यदि स्टॉक $30 से शुरू हुआ और 10% गिर गया, तो दूसरे वर्ष की शुरुआत में इसका मूल्य $27 है। यदि स्टॉक 30% ऊपर है, तो दूसरे वर्ष के अंत में इसका मूल्य $35.1 है। इस वृद्धि का अंकगणितीय औसत 10% है, लेकिन चूंकि स्टॉक 2 वर्षों में केवल $5.1 बढ़ा है, 8.2% की औसत वृद्धि $35.1 का अंतिम परिणाम देती है:

[$30 (1 - 0.1) (1 + 0.3) = $30 (1 + 0.082) (1 + 0.082) = $35.1]। यदि हम 10% के अंकगणितीय माध्य का उसी तरह उपयोग करते हैं, तो हमें वास्तविक मूल्य नहीं मिलेगा: [$30 (1 + 0.1) (1 + 0.1) = $36.3]।

वर्ष 2 के अंत में चक्रवृद्धि ब्याज: 90% * 130% = 117%, यानी कुल 17% की वृद्धि, और औसत वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज 117% ≈ 108.2% है (\displaystyle (\sqrt (117\%)) \लगभग 108.2\%) , यानी 8.2% की औसत वार्षिक वृद्धि।

दिशा-निर्देश

मुख्य लेख: गंतव्य आँकड़े

कुछ चर के अंकगणितीय माध्य की गणना करते समय जो चक्रीय रूप से बदलता है (उदाहरण के लिए, चरण या कोण), विशेष ध्यान रखा जाना चाहिए। उदाहरण के लिए, 1° और 359° का औसत 1 ∘ + 359 ∘ 2 = (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+359^(\circ ))(2))=) 180° होगा। यह संख्या दो कारणों से ग़लत है.

• सबसे पहले, कोणीय माप केवल 0° से 360° (या रेडियन में मापे जाने पर 0 से 2π तक) की सीमा के लिए परिभाषित किए जाते हैं। इस प्रकार, संख्याओं की समान जोड़ी को (1° और −1°) या (1° और 719°) के रूप में लिखा जा सकता है। प्रत्येक जोड़ी का औसत अलग होगा: 1 ∘ + (− 1 ∘) 2 = 0 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+(-1^(\circ )))(2))= 0 ^(\circ )) , 1 ∘ + 719 ∘ 2 = 360 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+719^(\circ ))(2))=360^(\circ )) .
• दूसरा, इस मामले में, 0° (360° के बराबर) का मान ज्यामितीय रूप से सर्वोत्तम माध्य होगा, क्योंकि संख्याएँ किसी भी अन्य मान की तुलना में 0° से कम विचलन करती हैं (मान 0° में सबसे छोटा विचरण होता है)। तुलना करना:
  • संख्या 1° 0° से केवल 1° विचलित होती है;
  • संख्या 1° 180° के परिकलित औसत से 179° विचलित हो जाती है।

उपरोक्त सूत्र के अनुसार गणना किए गए चक्रीय चर का औसत मान, वास्तविक औसत के सापेक्ष कृत्रिम रूप से संख्यात्मक सीमा के मध्य में स्थानांतरित किया जाएगा। इस वजह से, औसत की गणना अलग तरीके से की जाती है, अर्थात्, सबसे छोटे भिन्नता (केंद्र बिंदु) वाली संख्या को औसत के रूप में चुना जाता है। इसके अलावा, घटाने के बजाय, मॉड्यूलो दूरी (यानी, परिधि दूरी) का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, 1° और 359° के बीच मॉड्यूलर दूरी 2° है, न कि 358° (359° और 360°==0° के बीच एक वृत्त पर - एक डिग्री, 0° और 1° के बीच - 1° भी, कुल मिलाकर) - 2°).

भारित औसत - यह क्या है और इसकी गणना कैसे करें?

गणित के अध्ययन की प्रक्रिया में, छात्र अंकगणितीय माध्य की अवधारणा से परिचित होते हैं। भविष्य में, सांख्यिकी और कुछ अन्य विज्ञानों में, छात्रों को अन्य औसतों की गणना का भी सामना करना पड़ेगा। वे क्या हो सकते हैं और वे एक दूसरे से कैसे भिन्न हैं?

औसत: अर्थ और अंतर

हमेशा सटीक संकेतक स्थिति की समझ नहीं देते। इस या उस स्थिति का आकलन करने के लिए, कभी-कभी बड़ी संख्या में आंकड़ों का विश्लेषण करना आवश्यक होता है। और फिर औसत बचाव के लिए आते हैं। वे आपको सामान्य रूप से स्थिति का आकलन करने की अनुमति देते हैं।

स्कूल के दिनों से, कई वयस्क अंकगणितीय माध्य के अस्तित्व को याद करते हैं। इसकी गणना करना बहुत आसान है - n पदों के अनुक्रम का योग n से विभाज्य है। अर्थात्, यदि आपको मान 27, 22, 34 और 37 के अनुक्रम में अंकगणितीय माध्य की गणना करने की आवश्यकता है, तो आपको 4 मानों के बाद से अभिव्यक्ति (27 + 22 + 34 + 37) / 4 को हल करने की आवश्यकता है। गणना में उपयोग किया जाता है। इस स्थिति में, वांछित मान 30 के बराबर होगा।

अक्सर, स्कूल पाठ्यक्रम के भाग के रूप में, ज्यामितीय माध्य का भी अध्ययन किया जाता है। इस मान की गणना n पदों के गुणनफल से nवीं डिग्री का मूल निकालने पर आधारित है। यदि हम समान संख्याएँ लें: 27, 22, 34 और 37, तो गणना का परिणाम 29.4 होगा।

सामान्य शिक्षा विद्यालय में हार्मोनिक माध्य आमतौर पर अध्ययन का विषय नहीं होता है। हालाँकि, इसका उपयोग अक्सर किया जाता है। यह मान अंकगणित माध्य का व्युत्क्रम है और इसकी गणना n के भागफल के रूप में की जाती है - मानों की संख्या और योग 1/a 1 +1/a 2 +...+1/a n । यदि हम फिर से गणना के लिए संख्याओं की वही श्रृंखला लें, तो हार्मोनिक 29.6 होगा।

भारित औसत: विशेषताएं

हालाँकि, उपरोक्त सभी मान हर जगह उपयोग नहीं किए जा सकते हैं। उदाहरण के लिए, आंकड़ों में, कुछ औसत मूल्यों की गणना करते समय, गणना में प्रयुक्त प्रत्येक संख्या का "वजन" एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। परिणाम अधिक स्पष्ट और सही हैं क्योंकि वे अधिक जानकारी को ध्यान में रखते हैं। मूल्यों के इस समूह को सामूहिक रूप से "भारित औसत" कहा जाता है। वे स्कूल में उत्तीर्ण नहीं होते हैं, इसलिए उन पर अधिक विस्तार से ध्यान देना उचित है।

सबसे पहले, यह समझाने लायक है कि किसी विशेष मूल्य के "वजन" का क्या मतलब है। इसे समझाने का सबसे आसान तरीका एक विशिष्ट उदाहरण है। अस्पताल में प्रत्येक मरीज के शरीर का तापमान दिन में दो बार मापा जाता है। अस्पताल के विभिन्न विभागों में 100 मरीजों में से 44 का सामान्य तापमान - 36.6 डिग्री होगा। अन्य 30 का बढ़ा हुआ मान होगा - 37.2, 14 - 38, 7 - 38.5, 3 - 39, और शेष दो - 40। और यदि हम अंकगणितीय माध्य लेते हैं, तो अस्पताल के लिए सामान्य तौर पर यह मान 38 डिग्री से अधिक होगा ! लेकिन लगभग आधे मरीज़ों का तापमान बिल्कुल सामान्य होता है। और यहां भारित औसत का उपयोग करना अधिक सही होगा, और प्रत्येक मान का "वजन" लोगों की संख्या होगी। इस स्थिति में, गणना का परिणाम 37.25 डिग्री होगा। अंतर स्पष्ट है.

भारित औसत गणना के मामले में, "वजन" को शिपमेंट की संख्या, किसी दिए गए दिन काम करने वाले लोगों की संख्या, सामान्य तौर पर कुछ भी, जो मापा जा सकता है और अंतिम परिणाम को प्रभावित कर सकता है, के रूप में लिया जा सकता है।

किस्मों

भारित औसत लेख की शुरुआत में चर्चा किए गए अंकगणितीय औसत से मेल खाता है। हालाँकि, पहला मान, जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, गणना में प्रयुक्त प्रत्येक संख्या के वजन को भी ध्यान में रखता है। इसके अलावा, भारित ज्यामितीय और हार्मोनिक मान भी हैं।

संख्याओं की श्रृंखला में उपयोग की जाने वाली एक और दिलचस्प विविधता है। यह एक भारित चलती औसत है। इसके आधार पर ही रुझानों की गणना की जाती है. स्वयं के मूल्यों और उनके वजन के अलावा, आवधिकता का भी वहां उपयोग किया जाता है। और किसी समय पर औसत मूल्य की गणना करते समय, पिछली समय अवधि के मूल्यों को भी ध्यान में रखा जाता है।

इन सभी मूल्यों की गणना करना उतना कठिन नहीं है, लेकिन व्यवहार में आमतौर पर सामान्य भारित औसत का ही उपयोग किया जाता है।

गणना के तरीके

कम्प्यूटरीकरण के युग में, भारित औसत की मैन्युअल रूप से गणना करने की कोई आवश्यकता नहीं है। हालाँकि, गणना सूत्र जानना उपयोगी होगा ताकि आप जांच कर सकें और यदि आवश्यक हो, तो प्राप्त परिणामों को सही कर सकें।

किसी विशिष्ट उदाहरण पर गणना पर विचार करना सबसे आसान होगा।

किसी विशेष वेतन प्राप्त करने वाले श्रमिकों की संख्या को ध्यान में रखते हुए, यह पता लगाना आवश्यक है कि इस उद्यम में औसत वेतन क्या है।

तो, भारित औसत की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

x = (a 1 *w 1 +a 2 *w 2 +...+a n *w n)/(w 1 +w 2 +...+w n)

उदाहरण के लिए, गणना होगी:

x = (32*20+33*35+34*14+40*6)/(20+35+14+6) = (640+1155+476+240)/75 = 33.48

जाहिर है, भारित औसत की मैन्युअल गणना करने में कोई विशेष कठिनाई नहीं है। सूत्रों के साथ सबसे लोकप्रिय अनुप्रयोगों में से एक में इस मान की गणना करने का सूत्र - एक्सेल - SUMPRODUCT (संख्याओं की श्रृंखला; वजन की श्रृंखला) / SUM (वजन की श्रृंखला) फ़ंक्शन जैसा दिखता है।

एक्सेल में औसत मूल्य कैसे ज्ञात करें?

एक्सेल में अंकगणितीय माध्य कैसे खोजें?

व्लादिमीर09854

पाई के रूप में आसान। एक्सेल में औसत मान ज्ञात करने के लिए, आपको केवल 3 सेल की आवश्यकता है। पहले में हम एक नंबर लिखते हैं, दूसरे में - दूसरा। और तीसरे सेल में, हम एक सूत्र स्कोर करेंगे जो हमें पहले और दूसरे सेल से इन दो संख्याओं के बीच औसत मूल्य देगा। यदि सेल नंबर 1 को A1 कहा जाता है, सेल नंबर 2 को B1 कहा जाता है, तो सूत्र वाले सेल में आपको इस तरह लिखना होगा:

यह सूत्र दो संख्याओं के अंकगणितीय माध्य की गणना करता है।

अपनी गणनाओं की सुंदरता के लिए, हम कोशिकाओं को एक प्लेट के रूप में रेखाओं से उजागर कर सकते हैं।

औसत मूल्य निर्धारित करने के लिए एक्सेल में स्वयं एक फ़ंक्शन भी है, लेकिन मैं पुराने जमाने की विधि का उपयोग करता हूं और मुझे जो फॉर्मूला चाहिए उसे दर्ज करता हूं। इस प्रकार, मुझे यकीन है कि एक्सेल बिल्कुल मेरी आवश्यकता के अनुसार गणना करेगा, और अपने स्वयं के किसी प्रकार की गोलाई के साथ नहीं आएगा।

एम3सेर्गेई

यदि डेटा पहले से ही कोशिकाओं में दर्ज किया गया है तो यह बहुत आसान है। यदि आप किसी संख्या में रुचि रखते हैं, तो बस वांछित सीमा/श्रेणियाँ चुनें, और इन संख्याओं के योग का मान, उनका अंकगणितीय माध्य और उनकी संख्या नीचे दाईं ओर स्थिति पट्टी में दिखाई देगी।

आप एक खाली सेल का चयन कर सकते हैं, त्रिकोण (ड्रॉप-डाउन सूची) "ऑटोसम" पर क्लिक करें और वहां "औसत" चुनें, जिसके बाद आप गणना के लिए प्रस्तावित सीमा से सहमत होंगे, या अपना खुद का चयन करेंगे।

अंत में, आप सीधे सूत्रों का उपयोग कर सकते हैं - सूत्र पट्टी और सेल पते के बगल में "फ़ंक्शन सम्मिलित करें" पर क्लिक करें। AVERAGE फ़ंक्शन "सांख्यिकीय" श्रेणी में है, और संख्याओं और सेल संदर्भों आदि दोनों को तर्क के रूप में लेता है। वहां आप अधिक जटिल विकल्प भी चुन सकते हैं, उदाहरण के लिए, AVERAGEIF - स्थिति के अनुसार औसत की गणना।

एक्सेल में औसत खोजेंकाफी सरल कार्य है. यहां आपको यह समझने की आवश्यकता है कि क्या आप इस औसत मान का उपयोग कुछ सूत्रों में करना चाहते हैं या नहीं।

यदि आपको केवल मूल्य प्राप्त करने की आवश्यकता है, तो यह संख्याओं की आवश्यक सीमा का चयन करने के लिए पर्याप्त है, जिसके बाद एक्सेल स्वचालित रूप से औसत मूल्य की गणना करेगा - यह स्टेटस बार, शीर्षक "औसत" में प्रदर्शित किया जाएगा।

उस स्थिति में जब आप परिणाम को सूत्रों में उपयोग करना चाहते हैं, तो आप यह कर सकते हैं:

1) SUM फ़ंक्शन का उपयोग करके कोशिकाओं का योग करें और इसे संख्याओं की संख्या से विभाजित करें।

2) एक अधिक सही विकल्प AVERAGE नामक एक विशेष फ़ंक्शन का उपयोग करना है। इस फ़ंक्शन के तर्क क्रमिक रूप से दी गई संख्याएं या संख्याओं की एक श्रृंखला हो सकते हैं।

व्लादिमीर तिखोनोव

गणना में शामिल होने वाले मानों पर गोला लगाएं, "सूत्र" टैब पर क्लिक करें, वहां आपको बाईं ओर "ऑटोसम" और उसके बगल में नीचे की ओर इशारा करते हुए एक त्रिकोण दिखाई देगा। इस त्रिकोण पर क्लिक करें और "औसत" चुनें। वोइला, हो गया) कॉलम के नीचे आपको औसत मूल्य दिखाई देगा :)

एकातेरिना मुतालापोवा

आइए शुरुआत से और क्रम से शुरू करें। औसत का मतलब क्या है?

माध्य मान वह मान है जो अंकगणितीय माध्य है, अर्थात। संख्याओं के एक समूह को जोड़कर और फिर संख्याओं के कुल योग को उनकी संख्या से विभाजित करके गणना की जाती है। उदाहरण के लिए, संख्या 2, 3, 6, 7, 2 के लिए यह 4 होगा (संख्या 20 का योग उनकी संख्या 5 से विभाजित होता है)

एक्सेल स्प्रेडशीट में, मेरे लिए व्यक्तिगत रूप से, सूत्र = औसत का उपयोग करना सबसे आसान तरीका था। औसत मूल्य की गणना करने के लिए, आपको तालिका में डेटा दर्ज करना होगा, डेटा कॉलम के नीचे फ़ंक्शन =AVERAGE() लिखना होगा, और कोष्ठक में डेटा वाले कॉलम को हाइलाइट करते हुए, कोशिकाओं में संख्याओं की सीमा को इंगित करना होगा। उसके बाद, ENTER दबाएँ, या बस किसी भी सेल पर बायाँ-क्लिक करें। परिणाम कॉलम के नीचे सेल में प्रदर्शित होगा। पहली नज़र में तो यह वर्णन समझ से परे है, लेकिन वास्तव में यह कुछ ही मिनटों की बात है।

एडवेंचरर 2000

एक्सेल प्रोग्राम बहुआयामी है, इसलिए ऐसे कई विकल्प हैं जो आपको औसत खोजने की अनुमति देंगे:

पहला विकल्प। आप बस सभी कोशिकाओं का योग करें और उनकी संख्या से विभाजित करें;

दूसरा विकल्प। एक विशेष कमांड का उपयोग करें, आवश्यक सेल में सूत्र "=AVERAGE (और यहां कोशिकाओं की सीमा निर्दिष्ट करें)" लिखें;

तीसरा विकल्प. यदि आप आवश्यक श्रेणी का चयन करते हैं, तो ध्यान दें कि नीचे दिए गए पृष्ठ पर, इन कक्षों में औसत मान भी प्रदर्शित होता है।

इस प्रकार, औसत मूल्य ज्ञात करने के बहुत सारे तरीके हैं, आपको बस अपने लिए सबसे अच्छा तरीका चुनना होगा और उसका लगातार उपयोग करना होगा।

एक्सेल में, औसत फ़ंक्शन का उपयोग करके, आप सरल अंकगणितीय माध्य की गणना कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, आपको कई मान दर्ज करने होंगे। बराबर दबाएँ और सांख्यिकीय श्रेणी में चयन करें, जिनमें से औसत फ़ंक्शन का चयन करें

इसके अलावा, सांख्यिकीय सूत्रों का उपयोग करके, आप अंकगणितीय भारित औसत की गणना कर सकते हैं, जिसे अधिक सटीक माना जाता है। इसकी गणना करने के लिए, हमें संकेतक और आवृत्ति के मूल्यों की आवश्यकता है।

एक्सेल में औसत कैसे पता करें?

स्थिति यह है. निम्नलिखित तालिका है:

लाल रंग में छायांकित कॉलम में विषयों के ग्रेड के संख्यात्मक मान होते हैं। "औसत" कॉलम में, आपको उनके औसत मूल्य की गणना करने की आवश्यकता है।
समस्या यह है: कुल मिलाकर 60-70 वस्तुएं हैं और उनमें से कुछ दूसरी शीट पर हैं।
मैंने एक अन्य दस्तावेज़ में देखा, औसत की गणना पहले ही की जा चुकी है, और सेल में एक सूत्र जैसा है
= "शीट का नाम"!|ई12
लेकिन यह कुछ प्रोग्रामर द्वारा किया गया था जिसे निकाल दिया गया।
कृपया मुझे बताएं कि इसे कौन समझता है।

हेक्टर

फ़ंक्शंस की पंक्ति में, आप प्रस्तावित फ़ंक्शंस में से "औसत" डालें और उदाहरण के लिए, इवानोव के लिए जहां उनकी गणना करने की आवश्यकता है (बी6: एन6) चुनें। मैं पड़ोसी शीटों के बारे में निश्चित रूप से नहीं जानता, लेकिन निश्चित रूप से यह मानक विंडोज़ सहायता में निहित है

मुझे बताएं कि वर्ड में औसत मूल्य की गणना कैसे करें

कृपया मुझे बताएं कि वर्ड में औसत मूल्य की गणना कैसे करें। अर्थात्, रेटिंग का औसत मूल्य, न कि रेटिंग प्राप्त करने वाले लोगों की संख्या।

यूलिया पावलोवा

Word मैक्रोज़ के साथ बहुत कुछ कर सकता है. ALT+F11 दबाएँ और एक मैक्रो प्रोग्राम लिखें..
इसके अलावा, इंसर्ट-ऑब्जेक्ट... आपको वर्ड दस्तावेज़ के अंदर एक तालिका के साथ एक शीट बनाने के लिए अन्य प्रोग्राम, यहां तक ​​कि एक्सेल का उपयोग करने की अनुमति देगा।
लेकिन इस मामले में, आपको तालिका कॉलम में अपनी संख्याएं लिखनी होंगी, और औसत को उसी कॉलम के निचले सेल में डालना होगा, है ना?
ऐसा करने के लिए, निचले सेल में एक फ़ील्ड डालें।
सम्मिलित करें-फ़ील्ड...-सूत्र
फ़ील्ड सामग्री
[=औसत(ऊपर)]
उपरोक्त कोशिकाओं के योग का औसत लौटाता है।
यदि फ़ील्ड का चयन किया जाता है और दायां माउस बटन दबाया जाता है, तो संख्याएं बदल जाने पर इसे अपडेट किया जा सकता है,
कोड या फ़ील्ड मान देखें, कोड को सीधे फ़ील्ड में बदलें।
यदि कुछ गलत होता है, तो सेल में संपूर्ण फ़ील्ड हटा दें और इसे पुनः बनाएं।
AVERAGE का अर्थ है औसत, ऊपर - के बारे में, यानी ऊपर कोशिकाओं की एक पंक्ति।
मैं खुद यह सब नहीं जानता था, लेकिन थोड़ा सोचने पर, मैंने इसे आसानी से हेल्प में पा लिया।