पाइथागोरस प्रमेय का प्रमाण

आकृतियों के समान क्षेत्रफल की अवधारणा के प्रयोग पर आधारित प्रमाण।

साथ ही, हम उन साक्ष्यों पर भी विचार कर सकते हैं जिनमें किसी दिए गए समकोण त्रिभुज के कर्ण पर बना वर्ग पैरों पर बने वर्गों के समान आकृतियों से "बना" है। हम ऐसे प्रमाणों पर भी विचार कर सकते हैं जिनमें अंकों की शर्तों के क्रमपरिवर्तन का उपयोग किया जाता है और कई नए विचारों को ध्यान में रखा जाता है।

अंजीर पर. 2 दो समान वर्ग दर्शाता है। प्रत्येक वर्ग की भुजाओं की लंबाई a + b है। प्रत्येक वर्ग को वर्गों और समकोण त्रिभुजों से युक्त भागों में विभाजित किया गया है। यह स्पष्ट है कि यदि हम a, b पादों वाले समकोण त्रिभुज के चतुर्भुज क्षेत्रफल को वर्ग क्षेत्रफल से घटा दें, तो क्षेत्रफल बराबर रह जाता है, अर्थात c 2 = a 2 + b 2। हालाँकि, प्राचीन हिंदू, जिनका यह तर्क है, आमतौर पर इसे लिखते नहीं थे, लेकिन

चित्र के साथ केवल एक शब्द लिखा था: "देखो!" यह बहुत संभव है कि पाइथागोरस ने भी यही प्रमाण प्रस्तुत किया हो।

योगात्मक साक्ष्य.

ये प्रमाण पैरों पर बने वर्गों को आकृतियों में विघटित करने पर आधारित हैं, जिससे कर्ण पर बने वर्ग को जोड़ना संभव होता है।

आइंस्टाइन का प्रमाण (चित्र 3) कर्ण पर बने वर्ग के 8 त्रिभुजों में विघटित होने पर आधारित है।

यहाँ: ABC समकोण C वाला एक समकोण त्रिभुज है; COMMN; सीके^एमएन; पीओ||एमएन; ईएफ||एमएन.

पैरों और कर्ण पर बने वर्गों को विभाजित करने पर प्राप्त त्रिभुजों की जोड़ीवार समानता को स्वयं सिद्ध करें।

अंजीर पर. 4 यूक्लिड की "बिगिनिंग्स" पर मध्ययुगीन बगदाद टिप्पणीकार अल-नैरिजिया के विभाजन का उपयोग करते हुए पाइथागोरस प्रमेय का प्रमाण दिखाता है। इस विभाजन में कर्ण पर बना वर्ग 3 त्रिभुजों और 2 चतुर्भुजों में विभाजित होता है। यहाँ: ABC समकोण C वाला एक समकोण त्रिभुज है; डे=बीएफ.

इस विभाजन का उपयोग करके प्रमेय को सिद्ध करें।

· अल-नैरिजिया के प्रमाण के आधार पर, वर्गों का जोड़ीवार समान आकृतियों में एक और अपघटन किया गया (चित्र 5, यहां एबीसी समकोण C के साथ एक समकोण त्रिभुज है)।

वर्गों को समान भागों में विघटित करने की विधि का एक और प्रमाण, जिसे "ब्लेड वाला पहिया" कहा जाता है, अंजीर में दिखाया गया है। 6. यहाँ: ABC समकोण C वाला एक समकोण त्रिभुज है; ओ - एक बड़े पैर पर बने वर्ग का केंद्र; बिंदु O से गुजरने वाली धराशायी रेखाएँ कर्ण के लंबवत या समानांतर होती हैं।

· वर्गों का यह अपघटन इस मायने में दिलचस्प है कि इसके जोड़ीवार समान चतुर्भुजों को समानांतर अनुवाद द्वारा एक दूसरे पर मैप किया जा सकता है। पाइथागोरस प्रमेय के कई अन्य प्रमाण वर्गों को आकृतियों में विघटित करके प्रस्तुत किए जा सकते हैं।

निर्माण विधि द्वारा प्रमाण.

इस विधि का सार यह है कि पैरों पर बने वर्ग तथा कर्ण पर बने वर्ग पर समान आकृतियाँ इस प्रकार जोड़ी जाती हैं कि समान आकार की आकृतियाँ प्राप्त हों।

· अंजीर में. 7 सामान्य पायथागॉरियन आकृति दिखाता है - एक समकोण त्रिभुज ABC जिसके किनारों पर वर्ग बने हैं। इस आकृति के साथ त्रिभुज 1 और 2 जुड़े हुए हैं, जो मूल समकोण त्रिभुज के बराबर हैं।

पाइथागोरस प्रमेय की वैधता हेक्सागोन्स AEDFPB और ACBNMQ के समान आकार से होती है। यहां CОEP, रेखा EP षट्भुज AEDFPB को दो समान क्षेत्रफल वाले चतुर्भुजों में विभाजित करती है, रेखा CM षट्भुज ACBNMQ को दो समान क्षेत्रफल वाले चतुर्भुजों में विभाजित करती है; केंद्र A के चारों ओर समतल का 90° घूर्णन चतुर्भुज AEPB को चतुर्भुज ACMQ में मानचित्रित करता है।

· अंजीर में. 8 पायथागॉरियन आकृति एक आयत में पूरी होती है, जिसकी भुजाएँ पैरों पर बने वर्गों की संगत भुजाओं के समानांतर होती हैं। आइए इस आयत को त्रिभुज और आयत में तोड़ें। सबसे पहले, हम परिणामी आयत से सभी बहुभुज 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 घटाते हैं, कर्ण पर एक वर्ग बनाते हैं। फिर, उसी आयत से, हम आयत 5, 6, 7 और छायांकित आयतों को घटाते हैं, हमें पैरों पर बने वर्ग मिलते हैं।

अब आइए सिद्ध करें कि पहले मामले में घटाए गए आंकड़े दूसरे मामले में घटाए गए आंकड़ों के आकार के बराबर हैं।

· चावल। 9 नासिर-एड-दीन (1594) द्वारा दिए गए प्रमाण को दर्शाता है। यहाँ: पीसीएल - सीधी रेखा;

केएलओए = एसीपीएफ = एसीईडी = ए 2;

एलजीबीओ = सीबीएमपी = सीबीएनक्यू = बी 2 ;

एकेजीबी = एकेएलओ + एलजीबीओ = सी2;

इसलिए सी 2 = ए 2 + बी 2।

चावल। 11 हॉफमैन द्वारा प्रस्तावित एक और अधिक मूल प्रमाण को दर्शाता है।

यहाँ: समकोण C वाला त्रिभुज ABC; खंड बीएफ सीबी के लंबवत और उसके बराबर है, खंड बीई एबी के लंबवत और उसके बराबर है, खंड एडी एसी के लंबवत और उसके बराबर है; बिंदु F, C, D एक सीधी रेखा से संबंधित हैं; चतुर्भुज ADFB और ACBE बराबर हैं क्योंकि ABF=ECB; त्रिभुज ADF और ACE बराबर हैं; दोनों समान चतुर्भुजों में से उभयनिष्ठ त्रिभुज ABC घटाएँ, हमें प्राप्त होता है

प्रमाण की बीजगणितीय विधि.

· चावल। 12 महान भारतीय गणितज्ञ भास्करी (प्रसिद्ध लेखिका लीलावती, 12वीं शताब्दी) के प्रमाण को दर्शाता है। चित्र के साथ केवल एक शब्द था: देखो! बीजगणितीय विधि द्वारा पाइथागोरस प्रमेय के प्रमाणों में समानता का उपयोग करने वाला प्रमाण प्रथम स्थान (शायद सबसे पुराना) रखता है।

आइए पाइथागोरस से संबंधित ऐसे ही एक प्रमाण को आधुनिक प्रस्तुति में प्रस्तुत करें।

अंजीर पर. 13 एबीसी - आयताकार, सी - समकोण, सीएम^एबी, बी1 - कर्ण पर पैर बी का प्रक्षेपण, ए1 - कर्ण पर पैर ए का प्रक्षेपण, एच - कर्ण पर खींचे गए त्रिकोण की ऊंचाई।

इस तथ्य से यह पता चलता है कि डीएबीसी डीएसीएम के समान है

बी 2 = सीबी 1; (1)

इस तथ्य से कि डीएबीसी डीबीसीएम के समान है, यह निम्नानुसार है

ए 2 = सीए 1 . (2)

समानताएं (1) और (2) पद दर पद जोड़ने पर, हमें a 2 + b 2 = cb 1 + ca 1 = c(b 1 + a 1) = c 2 प्राप्त होता है।

यदि पाइथागोरस ने वास्तव में ऐसा प्रमाण प्रस्तुत किया था, तो वह कई महत्वपूर्ण ज्यामितीय प्रमेयों से भी परिचित था, जिनका श्रेय गणित के आधुनिक इतिहासकार आमतौर पर यूक्लिड को देते हैं।

मोल्मन का प्रमाण (चित्र 14)।

इस समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल जहाँ एक ओर है, वहीं दूसरी ओर बराबर है, जहाँ p त्रिभुज का अर्धपरिमाप है, r इसमें अंकित वृत्त की त्रिज्या है। हमारे पास है:

जहाँ से यह इस प्रकार है कि c2=a2+b2।

गारफील्ड का प्रमाण.

चित्र 15 में, तीन समकोण त्रिभुज एक समलंब बनाते हैं। इसलिए, इस आकृति का क्षेत्रफल एक आयताकार समलंब के क्षेत्रफल के सूत्र द्वारा, या तीन त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के योग के रूप में पाया जा सकता है। पहले मामले में, यह क्षेत्र है

क्षण में

इन भावों को बराबर करने पर, हमें पाइथागोरस प्रमेय प्राप्त होता है।

पाइथागोरस प्रमेय के कई प्रमाण हैं, जो वर्णित प्रत्येक विधि द्वारा और विभिन्न विधियों के संयोजन का उपयोग करके किए गए हैं। विभिन्न प्रमाणों के उदाहरणों की समीक्षा पूरी करते हुए, हम यूक्लिड के "तत्वों" (चित्र 16 - 23) में आठ तरीकों को दर्शाते हुए और अधिक चित्र देंगे। इन चित्रों में, पाइथागोरस आकृति को एक ठोस रेखा के साथ दिखाया गया है, और अतिरिक्त निर्माणों को एक बिंदीदार रेखा के साथ दिखाया गया है।

जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, 2000 से अधिक साल पहले, प्राचीन मिस्रवासियों ने समकोण बनाने के लिए 3, 4, 5 भुजाओं वाले त्रिभुज के गुणों का व्यावहारिक रूप से उपयोग किया था, यानी, वास्तव में, उन्होंने पाइथागोरस प्रमेय के विपरीत प्रमेय का उपयोग किया था। आइए हम इस प्रमेय का प्रमाण दें, जो त्रिभुजों की समानता के परीक्षण पर आधारित है (अर्थात, जिसे स्कूल में बहुत पहले ही पेश किया जा सकता है)। तो, मान लीजिए कि त्रिभुज ABC (चित्र 24) की भुजाएँ संबंध से संबंधित हैं

सी 2 = ए 2 + बी 2। (3)

आइए हम सिद्ध करें कि यह त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है।

आइए दो पैरों पर एक समकोण त्रिभुज A1B1C1 बनाएं, जिसकी लंबाई इस त्रिभुज के पैरों की लंबाई a और b के बराबर है (चित्र 25)।

माना निर्मित त्रिभुज के कर्ण की लंबाई c1 के बराबर है। चूँकि निर्मित त्रिभुज आयताकार है, तो पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार हमारे पास है: c 1 2 = a 2 + b 2। (4)

संबंध (3) और (4) की तुलना करने पर, हमें वह प्राप्त होता है

सी 1 2 = सी 2, या सी 1 = सी।

इस प्रकार, दिए गए और बनाए गए त्रिभुज समान हैं, क्योंकि उनकी तीन संगत भुजाएँ समान हैं। कोण C1 समकोण है, इसलिए इस त्रिभुज का कोण C भी समकोण है।

अपघटन द्वारा प्रमाण

पाइथागोरस प्रमेय के कई प्रमाण हैं, जिसमें पैरों और कर्ण पर बने वर्गों को इस प्रकार काटा जाता है कि कर्ण पर बने वर्ग का प्रत्येक भाग पैरों पर बने वर्गों में से एक के एक भाग से मेल खाता है। इन सभी मामलों में, प्रमाण को समझने के लिए चित्र पर एक नज़र ही पर्याप्त है; यहां तर्क एक शब्द तक सीमित हो सकता है: "देखो!", जैसा कि प्राचीन हिंदू गणितज्ञों के लेखन में किया गया था। हालाँकि, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि वास्तव में प्रमाण को तब तक पूर्ण नहीं माना जा सकता जब तक कि हम एक-दूसरे के अनुरूप सभी भागों की समानता साबित नहीं कर लेते। ऐसा करना लगभग हमेशा काफी आसान होता है, लेकिन (विशेषकर बड़ी संख्या में हिस्सों के साथ) इसके लिए काफी मेहनत करनी पड़ती है।

एप्सटीन का प्रमाण

आइए एपस्टीन के प्रमाण से शुरू करें (चित्र 1); इसका लाभ यह है कि यहाँ केवल त्रिभुज ही विस्तार के घटक के रूप में दिखाई देते हैं। चित्र को समझने के लिए, ध्यान दें कि रेखा CD, रेखा EF पर लंबवत खींची गई है।

त्रिभुजों में विघटन को चित्र की तुलना में अधिक दृश्यमान बनाया जा सकता है।

नील्सन का प्रमाण.

चित्र में, नील्सन के सुझाव पर सहायक लाइनें बदल दी गई हैं।

बेचर का प्रमाण.

यह आंकड़ा एक बहुत ही उदाहरणात्मक बोथर विस्तार दर्शाता है।

पेरिगल का प्रमाण.

पाठ्यपुस्तकों में अक्सर चित्र में दर्शाया गया अपघटन होता है (तथाकथित "ब्लेड वाला पहिया"; यह प्रमाण पेरिगल द्वारा पाया गया था)। बड़े पैर पर बने वर्ग के केंद्र O से होकर, हम कर्ण के समानांतर और लंबवत सीधी रेखाएँ खींचते हैं। चित्र के हिस्सों का पत्राचार चित्र से स्पष्ट रूप से दिखाई देता है।

गुथिल का प्रमाण.

चित्र में दिखाया गया अपघटन गुथिल के कारण है; यह अलग-अलग हिस्सों की एक दृश्य व्यवस्था की विशेषता है, जो आपको तुरंत यह देखने की अनुमति देता है कि समद्विबाहु समकोण त्रिभुज के मामले में क्या सरलीकरण होगा।

9वीं शताब्दी ई.पू. का प्रमाण

पहले केवल ऐसे प्रमाण प्रस्तुत किये जाते थे जिनमें एक ओर कर्ण पर बना वर्ग और दूसरी ओर पैरों पर बना वर्ग समान भागों से बने होते थे। ऐसे प्रमाणों को जोड़ प्रमाण ("योगात्मक प्रमाण") या, अधिक सामान्यतः, अपघटन प्रमाण कहा जाता है। अब तक, हम त्रिभुज की संगत भुजाओं पर, अर्थात त्रिभुज के बाहर बने वर्गों की सामान्य व्यवस्था से आगे बढ़े हैं। हालाँकि, कई मामलों में, वर्गों की एक अलग व्यवस्था अधिक लाभप्रद होती है।

चित्र में, पैरों पर बने वर्गों को एक दूसरे के बगल में चरणों में रखा गया है। यह आंकड़ा, जो 9वीं शताब्दी ई.पू. के बाद के साक्ष्यों में मिलता है, ई., हिंदुओं ने "दुल्हन की कुर्सी" कहा। कर्ण के बराबर भुजा वाला एक वर्ग बनाने की विधि चित्र से स्पष्ट है। पैरों पर बने दो वर्गों और कर्ण पर बने वर्ग का उभयनिष्ठ भाग एक अनियमित छायांकित पंचभुज 5 है। इसमें त्रिभुज 1 और 2 को जोड़ने पर, हमें पैरों पर बने दोनों वर्ग मिलते हैं; यदि हम त्रिभुज 1 और 2 को उनके बराबर त्रिभुज 3 और 4 से प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें कर्ण पर एक वर्ग निर्मित होता है। नीचे दिए गए आंकड़े पहले आंकड़े में दी गई व्यवस्था के करीब दो अलग-अलग व्यवस्थाएं दिखाते हैं।

पूरक विधि द्वारा प्रमाण

पहले सबूत.

जोड़ विधि से प्रमाण के साथ-साथ घटाव विधि से प्रमाण, जिसे जोड़ विधि से प्रमाण भी कहा जाता है, के उदाहरण दिये जा सकते हैं। ऐसे प्रमाणों का सामान्य विचार इस प्रकार है।

दो समान क्षेत्रफलों में से समान भाग घटाए जाने चाहिए ताकि एक स्थिति में पैरों पर दो वर्ग बने हों और दूसरे में कर्ण पर एक वर्ग बना हो। आख़िरकार, यदि समानता में

बी-ए = सी और बी 1-ए 1 = सी 1

भाग ए, भाग ए 1 के बराबर है, और भाग बी, बी 1 के बराबर है, तो भाग सी और सी 1 भी बराबर हैं।

आइए इस विधि को एक उदाहरण से समझाते हैं। अंजीर पर. त्रिभुज 2 और 3, मूल त्रिभुज 1 के बराबर, ऊपर और नीचे एक साधारण पायथागॉरियन आकृति से जुड़े हुए हैं, जो मूल त्रिभुज 1 के बराबर है। रेखा डीजी आवश्यक रूप से सी से होकर गुजरेगी। अब हम ध्यान दें (हम इसे बाद में साबित करेंगे) कि षट्भुज डीएबीजीएफई और सीएजेकेएचबी बराबर हैं। यदि हम उनमें से पहले त्रिभुज 1 और 2 को घटा दें, तो पैरों पर बना वर्ग शेष रह जाएगा, और यदि हम दूसरे षट्भुज में से बराबर त्रिभुज 1 और 3 को घटा दें, तो कर्ण पर बना एक वर्ग शेष रह जाएगा। इसका तात्पर्य यह है कि कर्ण पर बना वर्ग पैरों पर बने वर्गों के योग के बराबर है।

यह सिद्ध करना बाकी है कि हमारे षट्कोण बराबर हैं। ध्यान दें कि रेखा डीजी ऊपरी षट्भुज को समान भागों में विभाजित करती है; सीधी रेखा सीके और निचले षट्भुज के बारे में भी यही कहा जा सकता है। चतुर्भुज DABG, जो षट्भुज DABGFE का आधा है, को बिंदु A के चारों ओर 90 के कोण से दक्षिणावर्त घुमाएँ; तब यह चतुर्भुज CAJK के साथ संपाती होगा, जो षट्भुज CAJKHB का आधा है। इसलिए, षट्भुज DABGFE और CAJKHB बराबर हैं।

दूसरा प्रमाण घटाव द्वारा है।

आइए घटाव विधि द्वारा एक और प्रमाण से परिचित हों। हम पाइथागोरस प्रमेय के परिचित चित्र को एक आयताकार फ्रेम में बंद करते हैं, जिसकी भुजाओं की दिशाएँ त्रिभुज के पैरों की दिशाओं से मेल खाती हैं। आइए आकृति के कुछ खंडों को जारी रखें जैसा कि चित्र में दिखाया गया है, जबकि आयत कई त्रिकोणों, आयतों और वर्गों में टूट जाता है। सबसे पहले, आइए आयत से कुछ भाग हटा दें ताकि केवल कर्ण पर बना एक वर्ग शेष रह जाए। ये भाग इस प्रकार हैं:

1. त्रिकोण 1, 2, 3, 4;

2. आयत 5;

3. आयत 6 और वर्ग 8;

4. आयत 7 और वर्ग 9;

फिर हम आयत के हिस्सों को हटा देते हैं ताकि केवल कटों पर बने वर्ग ही बचे रहें। ये भाग होंगे:

1. आयत 6 और 7;

2. आयत 5;

3. आयत 1 (छायांकित);

4. आयत 2 (छायांकित);

हमें केवल यह दिखाना है कि घटाए गए भाग बराबर हैं। आंकड़ों की व्यवस्था के कारण इसे देखना आसान है। चित्र से स्पष्ट है कि:

1. आयत 5 स्वयं के आकार के बराबर है;

2. चार त्रिभुज 1,2,3,4 क्षेत्रफल में दो आयत 6 और 7 के बराबर हैं;

3. आयत 6 और वर्ग 8, एक साथ लेने पर, आयत 1 (छायांकित) के आकार के बराबर हैं;

4. वर्ग 9 के साथ आयत 7 का क्षेत्रफल आयत 2 (छायांकित) के बराबर है;

सबूत पूरा है.

अन्य साक्ष्य

यूक्लिड का प्रमाण

यह प्रमाण यूक्लिड ने अपने एलिमेंट्स में दिया था। प्रोक्लस (बीज़ैन्टियम) के अनुसार इसका आविष्कार यूक्लिड ने स्वयं किया था। यूक्लिड का प्रमाण बिगिनिंग्स की पहली पुस्तक के प्रस्ताव 47 में दिया गया है।

समकोण त्रिभुज ABC के कर्ण और पादों पर संगत वर्गों का निर्माण किया जाता है और यह सिद्ध किया जाता है कि आयत BJLD वर्ग ABFH के बराबर है, और आयत ICEL वर्ग ACCS के बराबर है। तब पैरों पर बने वर्गों का योग कर्ण पर बने वर्गों के बराबर होगा।

दरअसल, त्रिभुज ABD और BFC दो भुजाओं और उनके बीच के कोण में बराबर हैं:

एफबी=एबी, बीसी=बीडी

पीएफबीसी = डी + आरएबीसी = आरएबीडी

एसएबीडी = 1/2 एस बीजेएलडी,

चूँकि त्रिभुज ABD और आयत BJLD में एक उभयनिष्ठ आधार BD और एक उभयनिष्ठ ऊँचाई LD है। उसी प्रकार

(बीएफ-सामान्य आधार, एबी-सामान्य ऊंचाई)। इसलिए, यह दिया गया है

इसी प्रकार, त्रिभुज BCK और ACE की समानता का उपयोग करके, हम इसे सिद्ध करते हैं

SABFH+SACKG= SBJLD+SJCEL= SBCED,

क्यू.ई.डी.

हॉकिन्स प्रमाण.

आइए हम एक और प्रमाण दें, जो प्रकृति में कम्प्यूटेशनल है, लेकिन पिछले सभी से काफी अलग है। इसे 1909 में अंग्रेज हॉकिन्स द्वारा प्रकाशित किया गया था; यह कहना कठिन है कि इसके पहले इसकी जानकारी थी या नहीं।

समकोण C वाले समकोण त्रिभुज ABC को 90° घुमाएँ ताकि यह स्थिति A"CB" ले ले। हम कर्ण ए "बी" को बिंदु ए "से आगे बिंदु डी पर रेखा एबी के साथ चौराहे तक जारी रखते हैं। खंड बी" डी त्रिकोण बी "एबी की ऊंचाई होगी। अब छायांकित चतुर्भुज ए" एबी "बी" पर विचार करें। इसे दो समद्विबाहु त्रिकोण सीएए "और सीबीबी" (या दो त्रिकोण ए "बी" ए और ए "बी" बी) में विघटित किया जा सकता है।

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चारों ओर और चारों ओर

पाइथागोरस प्रमेय का इतिहास सदियों और सहस्राब्दियों पुराना है। इस लेख में हम ऐतिहासिक विषयों पर विस्तार से ध्यान नहीं देंगे। साज़िश के लिए, मान लीजिए कि, जाहिरा तौर पर, इस प्रमेय को प्राचीन मिस्र के पुजारी भी जानते थे, जो ईसा पूर्व 2000 साल से अधिक समय तक जीवित रहे थे। जो लोग उत्सुक हैं, उनके लिए यहां विकिपीडिया लेख का लिंक दिया गया है।

सबसे पहले, पूर्णता के लिए, मैं यहां पाइथागोरस प्रमेय का प्रमाण देना चाहूंगा, जो मेरी राय में, सबसे सुरुचिपूर्ण और स्पष्ट है। ऊपर दिया गया चित्र दो समान वर्ग दिखाता है: बाएँ और दाएँ। चित्र से यह देखा जा सकता है कि छायांकित आकृतियों का क्षेत्रफल बायीं और दायीं ओर बराबर है, क्योंकि प्रत्येक बड़े वर्ग में 4 समान समकोण त्रिभुज छायांकित हैं। और इसका मतलब यह है कि बाएँ और दाएँ पर खाली (सफ़ेद) क्षेत्र भी बराबर हैं। ध्यान दें कि पहले मामले में, बिना छायांकित आकृति का क्षेत्रफल है, और दूसरे मामले में, बिना छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल है। इस प्रकार, । प्रमेय सिद्ध!

इन नंबरों पर कॉल कैसे करें? आप इन्हें त्रिभुज नहीं कह सकते, क्योंकि चार संख्याएँ किसी भी प्रकार से त्रिभुज नहीं बना सकतीं। और यहां! नीले रंग से बोल्ट की तरह

चूँकि ऐसी चौगुनी संख्याएँ हैं, तो इन संख्याओं में प्रतिबिंबित समान गुणों वाली एक ज्यामितीय वस्तु होनी चाहिए!

अब यह केवल इस संपत्ति के लिए कुछ ज्यामितीय वस्तु चुनने के लिए रह गया है, और सब कुछ ठीक हो जाएगा! बेशक, यह धारणा पूरी तरह से काल्पनिक थी, और इसकी कोई पुष्टि नहीं थी। लेकिन अगर ऐसा है तो क्या होगा!

वस्तुओं की खोज शुरू हो गई है. तारे, बहुभुज, नियमित, अनियमित, समकोण, इत्यादि इत्यादि। फिर, कुछ भी फिट नहीं बैठता। क्या करें? और उसी क्षण शर्लक को उसकी दूसरी लीड मिल जाती है।

हमें बड़े पैमाने पर काम करने की जरूरत है! चूँकि त्रिक समतल पर एक त्रिभुज से मेल खाता है, तो चतुर्भुज किसी त्रि-आयामी चीज़ से मेल खाता है!

ओह तेरी! फिर, बहुत सारे विकल्प! और तीन आयामों में बहुत अधिक, सभी प्रकार के ज्यामितीय निकाय हैं। उन सभी को क्रमबद्ध करने का प्रयास करें! लेकिन यह सब उतना बुरा नहीं है. एक समकोण और अन्य सुराग भी हैं! हमारे पास क्या है? मिस्र की संख्याओं के चौगुने (उन्हें मिस्र ही रहने दें, आपको उन्हें किसी तरह से कॉल करना होगा), एक समकोण (या कोण) और कुछ त्रि-आयामी वस्तु। कटौती काम कर गई! और... मेरा मानना ​​है कि तेज-तर्रार पाठक पहले ही समझ चुके हैं कि हम पिरामिडों के बारे में बात कर रहे हैं, जिसमें एक शीर्ष पर तीनों कोण समकोण हैं। आप उन्हें कॉल भी कर सकते हैं आयताकार पिरामिडसमकोण त्रिभुज के समान।

नया प्रमेय

तो, हमारे पास वह सब कुछ है जो हमें चाहिए। आयताकार (!) पिरामिड, पार्श्व बाजू-पैरऔर सेकेंट चेहरा-कर्ण. अब एक और चित्र बनाने का समय आ गया है।

चित्र आयताकार निर्देशांक के मूल में एक शीर्ष के साथ एक पिरामिड दिखाता है (पिरामिड, जैसा कि था, इसके किनारे पर स्थित है)। पिरामिड का निर्माण मूल बिंदु से निर्देशांक अक्षों के अनुदिश अंकित तीन परस्पर लंबवत सदिशों द्वारा होता है। अर्थात्, पिरामिड का प्रत्येक पार्श्व फलक एक समकोण त्रिभुज है जिसके मूल में समकोण है। सदिशों के सिरे काटने वाले तल को परिभाषित करते हैं और पिरामिड का आधार फलक बनाते हैं।

प्रमेय

मान लीजिए कि तीन परस्पर लंबवत सदिशों द्वारा निर्मित एक आयताकार पिरामिड है, जिसमें भुजाओं-पैरों का क्षेत्रफल - है, और कर्ण का क्षेत्रफल - है। तब

वैकल्पिक सूत्रीकरण: एक चतुष्फलकीय पिरामिड के लिए, जिसमें एक शीर्ष पर सभी समतल कोण समकोण होते हैं, पार्श्व फलकों के क्षेत्रफलों के वर्गों का योग आधार के क्षेत्रफल के वर्ग के बराबर होता है।

निःसंदेह, यदि सामान्य पाइथागोरस प्रमेय त्रिभुजों की भुजाओं की लंबाई के लिए तैयार किया जाता है, तो हमारा प्रमेय पिरामिड की भुजाओं के क्षेत्रफलों के लिए तैयार किया जाता है। यदि आप कुछ सदिश बीजगणित जानते हैं तो इस प्रमेय को तीन आयामों में सिद्ध करना बहुत आसान है।

सबूत

हम क्षेत्रों को सदिशों की लंबाई के रूप में व्यक्त करते हैं।

कहाँ ।

हम क्षेत्रफल को सदिशों पर बने समांतर चतुर्भुज के आधे क्षेत्रफल के रूप में निरूपित करते हैं

जैसा कि आप जानते हैं, दो सदिशों का क्रॉस उत्पाद एक सदिश होता है जिसकी लंबाई संख्यात्मक रूप से इन सदिशों पर बने समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर होती है।
इसीलिए

इस प्रकार,

Q.E.D!

बेशक, एक ऐसे व्यक्ति के रूप में जो पेशेवर रूप से अनुसंधान में लगा हुआ है, यह मेरे जीवन में पहले ही हो चुका है, और एक से अधिक बार। लेकिन यह पल सबसे उज्ज्वल और सबसे यादगार था। मैंने खोजकर्ता की भावनाओं, भावनाओं, अनुभवों की पूरी श्रृंखला का अनुभव किया। एक विचार के जन्म से, एक विचार के क्रिस्टलीकरण से, सबूत खोजने से - पूरी गलतफहमी और यहां तक ​​कि अस्वीकृति तक कि मेरे विचार मेरे दोस्तों, परिचितों और, जैसा कि मुझे तब लगा, पूरी दुनिया से मिले। यह अनोखा था! यह ऐसा था मानो मैं खुद को गैलीलियो, कोपरनिकस, न्यूटन, श्रोडिंगर, बोह्र, आइंस्टीन और कई अन्य खोजकर्ताओं के स्थान पर महसूस कर रहा था।

अंतभाषण

जीवन में, सब कुछ बहुत सरल और अधिक नीरस हो गया। मुझे देर हो गई... लेकिन कितनी! बस कुछ 18 साल की! भयानक लंबी यातना के तहत और पहली बार नहीं, Google ने मुझे स्वीकार किया कि यह प्रमेय 1996 में प्रकाशित हुआ था!

टेक्सास टेक यूनिवर्सिटी प्रेस द्वारा प्रकाशित लेख। लेखक, पेशेवर गणितज्ञ, ने शब्दावली पेश की (जो, वैसे, काफी हद तक मेरे साथ मेल खाती है) और एक सामान्यीकृत प्रमेय भी साबित किया जो एक से अधिक किसी भी आयाम के स्थान के लिए मान्य है। 3 से अधिक आयामों में क्या होता है? सब कुछ बहुत सरल है: चेहरों और क्षेत्रों के बजाय, हाइपरसर्फेस और बहुआयामी वॉल्यूम होंगे। और कथन, निश्चित रूप से, वही रहेगा: पार्श्व फलकों के आयतन के वर्गों का योग आधार के आयतन के वर्ग के बराबर है, - बस फलकों की संख्या अधिक होगी, और उनमें से प्रत्येक का आयतन उत्पन्न करने वाले वैक्टर के आधे उत्पाद के बराबर हो जाएगा। इसकी कल्पना करना लगभग असंभव है! कोई केवल, जैसा कि दार्शनिक कहते हैं, सोच सकता है!

आश्चर्य की बात है, जब मुझे पता चला कि ऐसा प्रमेय पहले से ही ज्ञात था, तो मैं बिल्कुल भी परेशान नहीं हुआ। कहीं न कहीं मेरी आत्मा की गहराई में, मुझे संदेह था कि यह बहुत संभव है कि मैं पहला नहीं था, और मैं समझ गया था कि मुझे इसके लिए हमेशा तैयार रहना होगा। लेकिन जो भावनात्मक अनुभव मुझे प्राप्त हुआ, उसने मेरे अंदर शोधकर्ता की चिंगारी को प्रज्वलित कर दिया, जो, मुझे यकीन है, अब कभी नहीं मिटेगी!

पी.एस.

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डी गुआ का प्रमेय

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1783 में, यह प्रमेय फ्रांसीसी गणितज्ञ जे.-पी द्वारा पेरिस एकेडमी ऑफ साइंसेज में प्रस्तुत किया गया था। डी गोइस, लेकिन इसकी जानकारी पहले रेने डेसकार्टेस को थी और उनसे पहले जोहान्स फुलगेबर को, जिन्होंने संभवतः पहली बार इसकी खोज 1622 में की थी। अधिक सामान्य रूप में, प्रमेय को 1774 में पेरिस एकेडमी ऑफ साइंसेज की रिपोर्ट में चार्ल्स टिनसोट (फादर) द्वारा तैयार किया गया था।

तो मैं 18 साल देर से नहीं, बल्कि कम से कम कुछ सदियों पीछे हूँ!

सूत्रों का कहना है

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एक बात में, आप सौ प्रतिशत आश्वस्त हो सकते हैं कि जब पूछा जाएगा कि कर्ण का वर्ग क्या है, तो कोई भी वयस्क साहसपूर्वक उत्तर देगा: "पैरों के वर्गों का योग।" यह प्रमेय हर शिक्षित व्यक्ति के दिमाग में मजबूती से बैठा हुआ है, लेकिन किसी से इसे साबित करने के लिए कहना ही काफी है, और फिर मुश्किलें खड़ी हो सकती हैं। इसलिए, आइए पाइथागोरस प्रमेय को सिद्ध करने के विभिन्न तरीकों को याद करें और उन पर विचार करें।

जीवनी का संक्षिप्त अवलोकन

पाइथागोरस प्रमेय लगभग सभी से परिचित है, लेकिन किसी कारण से इसे बनाने वाले व्यक्ति की जीवनी इतनी लोकप्रिय नहीं है। हम इसे ठीक कर देंगे. इसलिए, पाइथागोरस प्रमेय को सिद्ध करने के विभिन्न तरीकों का अध्ययन करने से पहले, आपको उनके व्यक्तित्व से संक्षेप में परिचित होने की आवश्यकता है।

पाइथागोरस - एक दार्शनिक, गणितज्ञ, विचारक, मूल रूप से आज इस महान व्यक्ति की स्मृति में विकसित हुई किंवदंतियों से उनकी जीवनी को अलग करना बहुत मुश्किल है। लेकिन जैसा कि उनके अनुयायियों के लेखन से पता चलता है, समोस के पाइथागोरस का जन्म समोस द्वीप पर हुआ था। उनके पिता एक साधारण पत्थर काटने वाले व्यक्ति थे, लेकिन उनकी माँ एक कुलीन परिवार से थीं।

किंवदंती के अनुसार, पाइथागोरस के जन्म की भविष्यवाणी पाइथिया नाम की एक महिला ने की थी, जिसके सम्मान में लड़के का नाम रखा गया था। उनकी भविष्यवाणी के अनुसार, एक जन्म लेने वाला लड़का मानव जाति के लिए कई लाभ और भलाई लाएगा। वास्तव में उसने यही किया।

एक प्रमेय का जन्म

अपनी युवावस्था में, पाइथागोरस मिस्र के प्रसिद्ध संतों से मिलने के लिए मिस्र चले गए। उनसे मिलने के बाद, उन्हें अध्ययन के लिए भर्ती कराया गया, जहाँ उन्होंने मिस्र के दर्शन, गणित और चिकित्सा की सभी महान उपलब्धियों को सीखा।

संभवतः, यह मिस्र में ही था कि पाइथागोरस पिरामिडों की महिमा और सुंदरता से प्रेरित हुआ और उसने अपना महान सिद्धांत बनाया। इससे पाठकों को झटका लग सकता है, लेकिन आधुनिक इतिहासकारों का मानना ​​है कि पाइथागोरस ने अपने सिद्धांत को सिद्ध नहीं किया। लेकिन उन्होंने अपना ज्ञान केवल अपने अनुयायियों को दिया, जिन्होंने बाद में सभी आवश्यक गणितीय गणनाएँ पूरी कीं।

जो भी हो, आज इस प्रमेय को सिद्ध करने की एक नहीं, बल्कि कई तकनीकें एक साथ ज्ञात हैं। आज हम केवल अनुमान लगा सकते हैं कि प्राचीन यूनानियों ने वास्तव में अपनी गणना कैसे की थी, इसलिए यहां हम पाइथागोरस प्रमेय को सिद्ध करने के विभिन्न तरीकों पर विचार करेंगे।

पाइथागोरस प्रमेय

इससे पहले कि आप कोई भी गणना शुरू करें, आपको यह पता लगाना होगा कि किस सिद्धांत को सिद्ध करना है। पाइथागोरस प्रमेय इस प्रकार है: "एक त्रिभुज में जिसमें एक कोण 90° है, पैरों के वर्गों का योग कर्ण के वर्ग के बराबर होता है।"

पाइथागोरस प्रमेय को सिद्ध करने के कुल 15 अलग-अलग तरीके हैं। यह काफी बड़ी संख्या है, तो आइए उनमें से सबसे लोकप्रिय पर ध्यान दें।

विधि एक

आइए पहले परिभाषित करें कि हमारे पास क्या है। यह डेटा पाइथागोरस प्रमेय को साबित करने के अन्य तरीकों पर भी लागू होगा, इसलिए आपको तुरंत सभी उपलब्ध नोटेशन याद रखना चाहिए।

मान लीजिए कि एक समकोण त्रिभुज दिया गया है, जिसके पैर a, b और कर्ण c के बराबर है। प्रमाण की पहली विधि इस तथ्य पर आधारित है कि एक समकोण त्रिभुज से एक वर्ग निकाला जाना चाहिए।

ऐसा करने के लिए, आपको पैर की लंबाई a के बराबर एक खंड बनाना होगा, और इसके विपरीत। तो आपको वर्ग की दो बराबर भुजाएँ मिलनी चाहिए। यह केवल दो समानांतर रेखाएँ खींचने के लिए बनी हुई है, और वर्ग तैयार है।

परिणामी आकृति के अंदर, आपको मूल त्रिभुज के कर्ण के बराबर भुजा वाला एक और वर्ग बनाना होगा। ऐसा करने के लिए, शीर्षों ac और sv से, आपको c के बराबर दो समानांतर खंड खींचने होंगे। इस प्रकार, हमें वर्ग की तीन भुजाएँ मिलती हैं, जिनमें से एक मूल समकोण त्रिभुज का कर्ण है। जो कुछ बचा है वह चौथा खंड बनाना है।

परिणामी आकृति के आधार पर, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि बाहरी वर्ग का क्षेत्रफल (a + b) 2 है। यदि आप आकृति के अंदर देखते हैं, तो आप देख सकते हैं कि आंतरिक वर्ग के अलावा, इसमें चार समकोण त्रिभुज हैं। प्रत्येक का क्षेत्रफल 0.5 av है।

इसलिए, क्षेत्रफल है: 4 * 0.5av + s 2 = 2av + s 2

अत: (ए + सी) 2 = 2एवी + सी 2

और, इसलिए, 2 \u003d a 2 + in 2 के साथ

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

विधि दो: समरूप त्रिभुज

पाइथागोरस प्रमेय के प्रमाण के लिए यह सूत्र समान त्रिभुजों के बारे में ज्यामिति अनुभाग के एक कथन के आधार पर तैयार किया गया था। इसमें कहा गया है कि एक समकोण त्रिभुज का पाद उसके कर्ण और 90° के कोण के शीर्ष से निकलने वाले कर्ण खंड का औसत आनुपातिक है।

प्रारंभिक डेटा वही रहता है, तो चलिए तुरंत प्रमाण के साथ शुरू करते हैं। आइए भुजा AB पर लंबवत एक खंड CD बनाएं। उपरोक्त कथन के आधार पर, त्रिभुजों के पैर बराबर हैं:

AC=√AB*AD, SW=√AB*DV.

पाइथागोरस प्रमेय को कैसे सिद्ध किया जाए, इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए, दोनों असमानताओं का वर्ग करके प्रमाण दिया जाना चाहिए।

एसी 2 = एबी * हेल और एसवी 2 = एबी * डीवी

अब हमें परिणामी असमानताओं को जोड़ने की जरूरत है।

एसी 2 + एसवी 2 = एबी * (एडी * डीवी), जहां एडी + डीवी = एबी

यह पता चला है कि:

एसी 2 + सीबी 2 = एबी * एबी

और इसलिए:

एसी 2 + सीबी 2 = एबी 2

पाइथागोरस प्रमेय के प्रमाण और इसे हल करने के विभिन्न तरीकों के लिए इस समस्या के लिए एक बहुमुखी दृष्टिकोण की आवश्यकता होती है। हालाँकि, यह विकल्प सबसे सरल में से एक है।

एक अन्य गणना विधि

पाइथागोरस प्रमेय को सिद्ध करने के विभिन्न तरीकों का वर्णन तब तक कुछ नहीं कह सकता, जब तक आप स्वयं अभ्यास करना शुरू नहीं करते। कई विधियों में न केवल गणितीय गणनाएँ शामिल होती हैं, बल्कि मूल त्रिभुज से नई आकृतियों का निर्माण भी शामिल होता है।

इस मामले में, विमान के पैर से एक और समकोण त्रिभुज वीएसडी को पूरा करना आवश्यक है। इस प्रकार, अब एक उभयनिष्ठ पैर BC वाले दो त्रिभुज हैं।

यह जानते हुए कि समान आकृतियों के क्षेत्रफलों का उनके समान रैखिक आयामों के वर्गों के समान अनुपात होता है, तो:

एस एवीएस * एस 2 - एस एवीडी * इन 2 = एस एवीडी * ए 2 - एस वीडी * ए 2

एस एवीएस * (2 से 2 तक) = ए 2 * (एस एवीडी -एस वीवीडी)

2 से 2 = ए 2 तक

सी 2 = ए 2 + इन 2

चूँकि यह विकल्प ग्रेड 8 के लिए पाइथागोरस प्रमेय को सिद्ध करने के विभिन्न तरीकों से शायद ही उपयुक्त हो, आप निम्नलिखित तकनीक का उपयोग कर सकते हैं।

पाइथागोरस प्रमेय को सिद्ध करने का सबसे आसान तरीका। समीक्षा

इतिहासकारों का मानना ​​है कि इस पद्धति का प्रयोग सबसे पहले प्राचीन ग्रीस में किसी प्रमेय को सिद्ध करने के लिए किया गया था। यह सबसे सरल है, क्योंकि इसमें बिल्कुल किसी गणना की आवश्यकता नहीं होती है। यदि आप सही ढंग से चित्र बनाते हैं, तो कथन का प्रमाण कि a 2 + b 2 \u003d c 2 स्पष्ट रूप से दिखाई देगा।

इस विधि की शर्तें पिछली विधि से थोड़ी भिन्न होंगी। प्रमेय को सिद्ध करने के लिए, मान लीजिए कि समकोण त्रिभुज ABC समद्विबाहु है।

हम कर्ण AC को वर्ग की भुजा के रूप में लेते हैं और उसकी तीन भुजाएँ खींचते हैं। इसके अलावा, परिणामी वर्ग में दो विकर्ण रेखाएँ खींचना आवश्यक है। ताकि इसके अंदर आपको चार समद्विबाहु त्रिभुज मिलें।

पैरों एबी और सीबी के लिए, आपको एक वर्ग भी खींचना होगा और उनमें से प्रत्येक में एक विकर्ण रेखा खींचनी होगी। हम पहली रेखा शीर्ष A से खींचते हैं, दूसरी - C से।

अब आपको परिणामी तस्वीर को ध्यान से देखने की जरूरत है। चूँकि कर्ण AC पर मूल त्रिभुज के बराबर चार त्रिभुज हैं, और पैरों पर दो त्रिभुज हैं, यह इस प्रमेय की सत्यता को इंगित करता है।

वैसे, पाइथागोरस प्रमेय को साबित करने की इस पद्धति के लिए धन्यवाद, प्रसिद्ध वाक्यांश का जन्म हुआ: "पायथागॉरियन पैंट सभी दिशाओं में समान हैं।"

जे. गारफ़ील्ड द्वारा प्रमाण

जेम्स गारफ़ील्ड संयुक्त राज्य अमेरिका के 20वें राष्ट्रपति हैं। संयुक्त राज्य अमेरिका के शासक के रूप में इतिहास पर अपनी छाप छोड़ने के अलावा, वह एक प्रतिभाशाली स्व-शिक्षित भी थे।

अपने करियर की शुरुआत में, वह एक लोक विद्यालय में एक साधारण शिक्षक थे, लेकिन जल्द ही उच्च शिक्षण संस्थानों में से एक के निदेशक बन गए। आत्म-विकास की इच्छा ने उन्हें पाइथागोरस प्रमेय के प्रमाण का एक नया सिद्धांत पेश करने की अनुमति दी। प्रमेय और इसके समाधान का एक उदाहरण इस प्रकार है।

सबसे पहले आपको कागज के एक टुकड़े पर दो समकोण त्रिभुज बनाने होंगे ताकि उनमें से एक का पैर दूसरे की निरंतरता हो। अंत में एक समलम्ब चतुर्भुज बनाने के लिए इन त्रिभुजों के शीर्षों को जोड़ने की आवश्यकता होती है।

जैसा कि आप जानते हैं, एक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके आधारों और ऊँचाई के आधे योग के गुणनफल के बराबर होता है।

एस=ए+बी/2 * (ए+बी)

यदि हम परिणामी समलंब को तीन त्रिभुजों से बनी एक आकृति के रूप में मानें, तो इसका क्षेत्रफल इस प्रकार पाया जा सकता है:

एस \u003d एवी / 2 * 2 + एस 2/2

अब हमें दो मूल अभिव्यक्तियों को बराबर करने की आवश्यकता है

2av / 2 + s / 2 \u003d (a + c) 2 / 2

सी 2 = ए 2 + इन 2

पाइथागोरस प्रमेय और इसे सिद्ध करने के तरीके के बारे में पाठ्यपुस्तक के एक से अधिक खंड लिखे जा सकते हैं। लेकिन क्या इसका कोई मतलब है जब इस ज्ञान को व्यवहार में नहीं लाया जा सकता?

पाइथागोरस प्रमेय का व्यावहारिक अनुप्रयोग

दुर्भाग्य से, आधुनिक स्कूल पाठ्यक्रम केवल ज्यामितीय समस्याओं में इस प्रमेय के उपयोग का प्रावधान करता है। स्नातक जल्द ही स्कूल छोड़ देंगे, बिना यह जाने कि वे अपने ज्ञान और कौशल को व्यवहार में कैसे लागू कर सकते हैं।

वास्तव में, हर कोई अपने दैनिक जीवन में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग कर सकता है। और न केवल व्यावसायिक गतिविधियों में, बल्कि सामान्य घरेलू कामों में भी। आइए कई मामलों पर विचार करें जब पाइथागोरस प्रमेय और इसके प्रमाण के तरीके अत्यंत आवश्यक हो सकते हैं।

प्रमेय और खगोल विज्ञान का संबंध

ऐसा प्रतीत होता है कि तारों और त्रिकोणों को कागज पर कैसे जोड़ा जा सकता है। दरअसल, खगोल विज्ञान एक वैज्ञानिक क्षेत्र है जिसमें पाइथागोरस प्रमेय का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

उदाहरण के लिए, अंतरिक्ष में प्रकाश किरण की गति पर विचार करें। हम जानते हैं कि प्रकाश दोनों दिशाओं में समान गति से यात्रा करता है। हम उस प्रक्षेप पथ को AB कहते हैं जिसके अनुदिश प्रकाश किरण चलती है एल. और प्रकाश को बिंदु A से बिंदु B तक पहुंचने में जितना समय लगता है, उसका आधा समय, आइए कॉल करें टी. और किरण की गति - सी. यह पता चला है कि: सी*टी=एल

यदि आप इसी किरण को किसी अन्य विमान से देखते हैं, उदाहरण के लिए, एक अंतरिक्ष यान से जो गति v से चलता है, तो पिंडों के इस तरह के अवलोकन से उनकी गति बदल जाएगी। इस स्थिति में, स्थिर तत्व भी विपरीत दिशा में v गति से चलेंगे।

मान लीजिए कि कॉमिक लाइनर दाईं ओर जा रहा है। फिर बिंदु A और B, जिनके बीच किरण दौड़ती है, बाईं ओर चली जाएगी। इसके अलावा, जब किरण बिंदु ए से बिंदु बी तक चलती है, तो बिंदु ए को स्थानांतरित होने का समय मिलता है और, तदनुसार, प्रकाश पहले से ही एक नए बिंदु सी पर पहुंच जाएगा। बिंदु ए द्वारा स्थानांतरित की गई आधी दूरी का पता लगाने के लिए, आपको लाइनर की गति को किरण के यात्रा समय के आधे से गुणा करना होगा (टी ")।

और यह पता लगाने के लिए कि इस दौरान प्रकाश की किरण कितनी दूर तक यात्रा कर सकती है, आपको नए बीच के आधे पथ को नामित करने और निम्नलिखित अभिव्यक्ति प्राप्त करने की आवश्यकता है:

यदि हम कल्पना करें कि प्रकाश के बिंदु C और B, साथ ही अंतरिक्ष रेखा, एक समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं, तो बिंदु A से रेखा तक का खंड इसे दो समकोण त्रिभुजों में विभाजित करेगा। इसलिए, पाइथागोरस प्रमेय के लिए धन्यवाद, आप वह दूरी पा सकते हैं जो प्रकाश की किरण तय कर सकती है।

बेशक, यह उदाहरण सबसे सफल नहीं है, क्योंकि केवल कुछ ही लोग इतने भाग्यशाली हो सकते हैं जो इसे व्यवहार में आज़मा सकें। इसलिए, हम इस प्रमेय के अधिक सांसारिक अनुप्रयोगों पर विचार करते हैं।

मोबाइल सिग्नल ट्रांसमिशन रेंज

स्मार्टफोन के अस्तित्व के बिना आधुनिक जीवन की कल्पना भी नहीं की जा सकती। लेकिन यदि वे मोबाइल संचार के माध्यम से ग्राहकों को नहीं जोड़ सके तो उनका कितना उपयोग होगा?!

मोबाइल संचार की गुणवत्ता सीधे उस ऊंचाई पर निर्भर करती है जिस पर मोबाइल ऑपरेटर का एंटीना स्थित है। यह गणना करने के लिए कि मोबाइल टावर से कितनी दूरी पर कोई फ़ोन सिग्नल प्राप्त कर सकता है, आप पाइथागोरस प्रमेय लागू कर सकते हैं।

मान लीजिए कि आपको एक स्थिर टावर की अनुमानित ऊंचाई ज्ञात करने की आवश्यकता है ताकि यह 200 किलोमीटर के दायरे में सिग्नल प्रसारित कर सके।

एबी (टावर ऊंचाई) = एक्स;

बीसी (सिग्नल ट्रांसमिशन की त्रिज्या) = 200 किमी;

ओएस (ग्लोब की त्रिज्या) = 6380 किमी;

OB=OA+ABOB=r+x

पाइथागोरस प्रमेय को लागू करने पर हमें पता चलता है कि टावर की न्यूनतम ऊंचाई 2.3 किलोमीटर होनी चाहिए।

रोजमर्रा की जिंदगी में पाइथागोरस प्रमेय

अजीब तरह से, पाइथागोरस प्रमेय रोजमर्रा के मामलों में भी उपयोगी हो सकता है, जैसे कि एक कोठरी की ऊंचाई निर्धारित करना, उदाहरण के लिए। पहली नज़र में, ऐसी जटिल गणनाओं का उपयोग करने की कोई आवश्यकता नहीं है, क्योंकि आप केवल टेप माप से माप ले सकते हैं। लेकिन कई लोग आश्चर्यचकित हैं कि असेंबली प्रक्रिया के दौरान कुछ समस्याएं क्यों उत्पन्न होती हैं यदि सभी माप सटीकता से अधिक लिए गए थे।

तथ्य यह है कि अलमारी को क्षैतिज स्थिति में इकट्ठा किया जाता है और उसके बाद ही दीवार के खिलाफ उठाया और स्थापित किया जाता है। इसलिए, संरचना को उठाने की प्रक्रिया में कैबिनेट की साइडवॉल को कमरे की ऊंचाई और विकर्ण दोनों के साथ स्वतंत्र रूप से गुजरना चाहिए।

मान लीजिए कि 800 मिमी की गहराई वाली एक अलमारी है। फर्श से छत तक की दूरी - 2600 मिमी। एक अनुभवी फर्नीचर निर्माता कहेगा कि कैबिनेट की ऊंचाई कमरे की ऊंचाई से 126 मिमी कम होनी चाहिए। लेकिन आख़िर 126 मिमी ही क्यों? आइए एक उदाहरण देखें.

कैबिनेट के आदर्श आयामों के साथ, आइए पाइथागोरस प्रमेय के संचालन की जाँच करें:

एसी = √एबी 2 + √बीसी 2

एसी = √ 2474 2 +800 2 = 2600 मिमी - सब कुछ अभिसरण होता है।

मान लीजिए कि कैबिनेट की ऊंचाई 2474 मिमी नहीं, बल्कि 2505 मिमी है। तब:

एसी = √2505 2 + √800 2 = 2629 मिमी।

इसलिए, यह कैबिनेट इस कमरे में स्थापना के लिए उपयुक्त नहीं है। चूंकि इसे ऊर्ध्वाधर स्थिति में उठाने पर इसके शरीर को नुकसान हो सकता है।

शायद, विभिन्न वैज्ञानिकों द्वारा पाइथागोरस प्रमेय को सिद्ध करने के विभिन्न तरीकों पर विचार करने के बाद, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि यह सत्य से कहीं अधिक है। अब आप प्राप्त जानकारी का उपयोग अपने दैनिक जीवन में कर सकते हैं और पूरी तरह आश्वस्त हो सकते हैं कि सभी गणनाएँ न केवल उपयोगी होंगी, बल्कि सही भी होंगी।

पाइथागोरस प्रमेय- यूक्लिडियन ज्यामिति के मौलिक प्रमेयों में से एक, संबंध स्थापित करना

एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं के बीच.

ऐसा माना जाता है कि इसे यूनानी गणितज्ञ पाइथागोरस ने सिद्ध किया था, जिनके नाम पर इसका नाम रखा गया है।

पाइथागोरस प्रमेय का ज्यामितीय सूत्रीकरण।

प्रमेय मूल रूप से इस प्रकार तैयार किया गया था:

एक समकोण त्रिभुज में कर्ण पर बने वर्ग का क्षेत्रफल वर्गों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर होता है,

कैथेटर पर निर्मित.

पाइथागोरस प्रमेय का बीजगणितीय सूत्रीकरण।

एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण की लंबाई का वर्ग पैरों की लंबाई के वर्गों के योग के बराबर होता है।

अर्थात्, त्रिभुज के कर्ण की लंबाई को निरूपित करना सी, और पैरों की लंबाई के माध्यम से एऔर बी:

दोनों सूत्रीकरण पाइथागोरस प्रमेयसमतुल्य हैं, लेकिन दूसरा सूत्रीकरण अधिक प्राथमिक है, ऐसा नहीं है

क्षेत्रफल की अवधारणा की आवश्यकता है। अर्थात् दूसरे कथन को क्षेत्र के बारे में कुछ भी जाने बिना सत्यापित किया जा सकता है

एक समकोण त्रिभुज की केवल भुजाओं की लंबाई मापकर।

व्युत्क्रम पाइथागोरस प्रमेय.

यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर हो, तो

त्रिभुज आयताकार है.

या, दूसरे शब्दों में:

धनात्मक संख्याओं के किसी त्रिक के लिए ए, बीऔर सी, ऐसा है कि

पैरों के साथ एक समकोण त्रिभुज है एऔर बीऔर कर्ण सी.

समद्विबाहु त्रिभुज के लिए पाइथागोरस प्रमेय।

एक समबाहु त्रिभुज के लिए पाइथागोरस प्रमेय।

पाइथागोरस प्रमेय के प्रमाण.

फिलहाल, इस प्रमेय के 367 प्रमाण वैज्ञानिक साहित्य में दर्ज किए गए हैं। संभवतः प्रमेय

पाइथागोरस एकमात्र प्रमेय है जिसके प्रमाणों की इतनी प्रभावशाली संख्या है। इतनी विविधता

ज्यामिति के लिए प्रमेय के मूलभूत महत्व द्वारा ही समझाया जा सकता है।

बेशक, वैचारिक रूप से, उन सभी को कम संख्या में वर्गों में विभाजित किया जा सकता है। उनमें से सबसे प्रसिद्ध:

सबूत क्षेत्र विधि, सिद्धऔर विदेशी साक्ष्य(उदाहरण के लिए,

का उपयोग करके विभेदक समीकरण).

1. समरूप त्रिभुजों के संदर्भ में पाइथागोरस प्रमेय का प्रमाण।

बीजीय सूत्रीकरण का निम्नलिखित प्रमाण निर्मित प्रमाणों में सबसे सरल है

सीधे स्वयंसिद्धों से। विशेष रूप से, यह किसी आकृति के क्षेत्रफल की अवधारणा का उपयोग नहीं करता है।

होने देना एबीसीएक समकोण त्रिभुज है सी. आइए इससे एक ऊंचाई बनाएं सीऔर निरूपित करें

इसकी नींव के माध्यम से एच.

त्रिकोण आकएक त्रिकोण के समान अबदो कोनों पर सी. इसी तरह, त्रिकोण सीबीएचसमान एबीसी.

संकेतन का परिचय देकर:

हम पाते हैं:

,

जो मेल खाता है -

मोड़कर ए 2 और बी 2, हमें मिलता है:

अथवा, जिसे सिद्ध करना था।

2. क्षेत्र विधि द्वारा पाइथागोरस प्रमेय का प्रमाण।

निम्नलिखित प्रमाण, अपनी स्पष्ट सरलता के बावजूद, बिल्कुल भी इतने सरल नहीं हैं। उन सभी को

क्षेत्र के गुणों का उपयोग करें, जिसका प्रमाण पाइथागोरस प्रमेय के प्रमाण से अधिक जटिल है।

• समसंपूरकता के माध्यम से प्रमाण.

चार समान आयताकार व्यवस्थित करें

त्रिकोण जैसा कि चित्र में दिखाया गया है

दायी ओर।

भुजाओं वाला चतुर्भुज सी- वर्ग,

चूँकि दो न्यून कोणों का योग 90° होता है, और

विकसित कोण 180° है।

संपूर्ण आकृति का क्षेत्रफल, एक ओर, है

भुजा वाले एक वर्ग का क्षेत्रफल ( ए+बी), और दूसरी ओर, चार त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का योग और

क्यू.ई.डी.

3. इनफिनिटसिमल विधि द्वारा पाइथागोरस प्रमेय का प्रमाण।

​

चित्र में दिखाए गए चित्र को ध्यान में रखते हुए, और

पक्ष बदलते हुए देखनाए, हम कर सकते हैं

अनंत के लिए निम्नलिखित संबंध लिखिए

छोटा पार्श्व वृद्धिसाथऔर ए(समानता का उपयोग करते हुए

त्रिभुज):

चरों को अलग करने की विधि का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं:

दोनों पैरों की वृद्धि के मामले में कर्ण बदलने के लिए एक अधिक सामान्य अभिव्यक्ति:

इस समीकरण को एकीकृत करने और प्रारंभिक शर्तों का उपयोग करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

इस प्रकार, हम वांछित उत्तर पर पहुँचते हैं:

जैसा कि यह देखना आसान है, अंतिम सूत्र में द्विघात निर्भरता रैखिक के कारण प्रकट होती है

त्रिभुज की भुजाओं और वृद्धि के बीच आनुपातिकता, जबकि योग स्वतंत्र से संबंधित है

विभिन्न पैरों की वृद्धि से योगदान.

एक सरल प्रमाण प्राप्त किया जा सकता है यदि हम मान लें कि पैरों में से किसी एक में वृद्धि का अनुभव नहीं होता है

(इस मामले में, पैर बी). फिर एकीकरण स्थिरांक के लिए हमें मिलता है:

पाइथागोरस प्रमेय के बारे में और इसे कैसे सिद्ध करें

जी. ग्लेसर,
रूसी शिक्षा अकादमी, मास्को के शिक्षाविद

पाइथागोरस प्रमेय के बारे में और इसे कैसे सिद्ध करें

लेख "मास्टर ऑफ़ ट्रांसलेशन" कंपनी के सहयोग से प्रकाशित किया गया था। क्या आप उच्च-गुणवत्ता और तेज़ अनुवाद चाहते हैं? नोटरीकृत अनुवाद एजेंसी "अनुवाद के मास्टर" से संपर्क करें। सेवाओं की गुणवत्ता की गारंटी ब्यूरो के नियमित ग्राहकों द्वारा दी जाती है, जिनमें कई प्रतिष्ठित रूसी कंपनियां भी शामिल हैं। कंपनी की आधिकारिक वेबसाइट www.masterperevoda.ru पर जाएं और उसके द्वारा प्रदान की जाने वाली सेवाओं के बारे में अधिक जानें।

एक समकोण त्रिभुज के कर्ण पर बने वर्ग का क्षेत्रफल उसके पैरों पर बने वर्गों के क्षेत्रफल के योग के बराबर होता है...

यह पुरातनता के सबसे प्रसिद्ध ज्यामितीय प्रमेयों में से एक है, जिसे पाइथागोरस प्रमेय कहा जाता है। यह अभी भी लगभग हर उस व्यक्ति को ज्ञात है जिसने कभी प्लैनिमेट्री का अध्ययन किया है। मुझे ऐसा लगता है कि यदि हम अलौकिक सभ्यताओं को पृथ्वी पर बुद्धिमान जीवन के अस्तित्व के बारे में बताना चाहते हैं, तो हमें पाइथोगोरियन आकृति की एक छवि अंतरिक्ष में भेजनी चाहिए। मुझे लगता है कि अगर सोचने वाले प्राणी इस जानकारी को स्वीकार कर सकते हैं, तो वे जटिल सिग्नल डिकोडिंग के बिना समझ जाएंगे कि पृथ्वी पर एक काफी विकसित सभ्यता है।

समोस के प्रसिद्ध यूनानी दार्शनिक और गणितज्ञ पाइथागोरस, जिनके नाम पर इस प्रमेय का नाम रखा गया है, लगभग 2.5 हजार साल पहले रहते थे। पाइथागोरस के बारे में जो जीवनी संबंधी जानकारी हमारे पास आई है वह खंडित और विश्वसनीय से बहुत दूर है। उनके नाम के साथ कई किंवदंतियाँ जुड़ी हुई हैं। यह प्रामाणिक रूप से ज्ञात है कि पाइथागोरस ने पूर्व के देशों में बहुत यात्रा की, मिस्र और बेबीलोन का दौरा किया। दक्षिणी इटली के यूनानी उपनिवेशों में से एक में, उन्होंने प्रसिद्ध "पायथागॉरियन स्कूल" की स्थापना की, जिसने प्राचीन ग्रीस के वैज्ञानिक और राजनीतिक जीवन में महत्वपूर्ण भूमिका निभाई। यह पाइथागोरस ही हैं जिन्हें प्रसिद्ध ज्यामितीय प्रमेय को सिद्ध करने का श्रेय दिया जाता है। प्रसिद्ध गणितज्ञों (प्रोक्लस, प्लूटार्क, आदि) द्वारा फैलाई गई किंवदंतियों के आधार पर, लंबे समय तक यह माना जाता था कि यह प्रमेय पाइथागोरस से पहले ज्ञात नहीं था, इसलिए नाम - पाइथागोरस प्रमेय।

हालाँकि, इसमें कोई संदेह नहीं है कि यह प्रमेय पाइथागोरस से कई साल पहले ज्ञात था। तो, पाइथागोरस से 1500 साल पहले, प्राचीन मिस्रवासी जानते थे कि 3, 4 और 5 भुजाओं वाला एक त्रिभुज आयताकार होता है, और भूमि भूखंडों और भवन संरचनाओं की योजना बनाते समय समकोण बनाने के लिए इस संपत्ति (यानी, पाइथागोरस के व्युत्क्रम प्रमेय) का उपयोग करते थे। और आज भी, ग्रामीण बिल्डर और बढ़ई, झोपड़ी की नींव रखते हुए, उसका विवरण बनाते हुए, समकोण प्राप्त करने के लिए इस त्रिकोण को बनाते हैं। यही काम हजारों साल पहले मिस्र, बेबीलोन, चीन और शायद मैक्सिको में भव्य मंदिरों के निर्माण में किया गया था। सबसे पुराना चीनी गणितीय और खगोलीय कार्य जो हमारे पास आया है, झोउ-बी, जो पाइथागोरस से लगभग 600 साल पहले लिखा गया था, समकोण त्रिभुज से संबंधित अन्य वाक्यों के अलावा, पाइथागोरस प्रमेय भी शामिल है। यह प्रमेय पहले भी हिंदुओं को ज्ञात था। इस प्रकार, पाइथागोरस ने समकोण त्रिभुज की इस संपत्ति की खोज नहीं की; वह संभवतः इसे सामान्यीकृत करने और सिद्ध करने वाले पहले व्यक्ति थे, जिससे इसे अभ्यास के क्षेत्र से विज्ञान के क्षेत्र में स्थानांतरित किया गया। हम नहीं जानते कि उसने यह कैसे किया। गणित के कुछ इतिहासकार मानते हैं कि, फिर भी, पाइथागोरस का प्रमाण मौलिक नहीं था, बल्कि केवल एक पुष्टिकरण था, कई विशेष प्रकार के त्रिकोणों पर इस संपत्ति का सत्यापन, एक समद्विबाहु समकोण त्रिकोण से शुरू होता है, जिसके लिए यह स्पष्ट रूप से चित्र से अनुसरण करता है। 1.

प्राचीन काल से, गणितज्ञों को पाइथागोरस प्रमेय के अधिक से अधिक प्रमाण मिले हैं, इसके प्रमाणों के लिए अधिक से अधिक विचार मिले हैं। ऐसे डेढ़ सौ से अधिक प्रमाण - कम या ज्यादा कठोर, कम या ज्यादा दृश्य - ज्ञात हैं, लेकिन उनकी संख्या बढ़ाने की इच्छा बरकरार रखी गई है। मुझे लगता है कि पाइथागोरस प्रमेय के प्रमाणों की स्वतंत्र "खोज" आधुनिक स्कूली बच्चों के लिए उपयोगी होगी।

आइए सबूतों के कुछ उदाहरणों पर विचार करें जो ऐसी खोजों की दिशा सुझा सकते हैं।

आकृतियों के समान क्षेत्रफल की अवधारणा के प्रयोग पर आधारित प्रमाण।

साथ ही, हम उन साक्ष्यों पर भी विचार कर सकते हैं जिनमें किसी दिए गए समकोण त्रिभुज के कर्ण पर बना वर्ग पैरों पर बने वर्गों के समान आकृतियों से "बना" है। हम ऐसे प्रमाणों पर भी विचार कर सकते हैं जिनमें अंकों की शर्तों के क्रमपरिवर्तन का उपयोग किया जाता है और कई नए विचारों को ध्यान में रखा जाता है।

• अंजीर पर. 2 दो समान वर्ग दर्शाता है। प्रत्येक वर्ग की भुजाओं की लंबाई a + b है। प्रत्येक वर्ग को वर्गों और समकोण त्रिभुजों से युक्त भागों में विभाजित किया गया है। यह स्पष्ट है कि यदि हम a, b पादों वाले समकोण त्रिभुज के चतुर्भुज क्षेत्रफल को वर्ग क्षेत्रफल से घटा दें, तो क्षेत्रफल बराबर रह जाता है, अर्थात c 2 = a 2 + b 2। हालाँकि, प्राचीन हिंदू, जिनका यह तर्क है, आमतौर पर इसे लिखते नहीं थे, लेकिन चित्र के साथ केवल एक शब्द लिखते थे: "देखो!" यह बहुत संभव है कि पाइथागोरस ने भी यही प्रमाण प्रस्तुत किया हो।

योगात्मक साक्ष्य.

ये प्रमाण पैरों पर बने वर्गों को आकृतियों में विघटित करने पर आधारित हैं, जिससे कर्ण पर बने वर्ग को जोड़ना संभव होता है।

यहाँ: ABC समकोण C वाला एक समकोण त्रिभुज है; सीएमएन के बारे में; सीके^एमएन; पीओ||एमएन; ईएफ||एमएन.

पैरों और कर्ण पर बने वर्गों को विभाजित करने पर प्राप्त त्रिभुजों की जोड़ीवार समानता को स्वयं सिद्ध करें।

• अंजीर पर. 4 यूक्लिड की "बिगिनिंग्स" पर मध्ययुगीन बगदाद टिप्पणीकार अल-नैरिजिया के विभाजन का उपयोग करते हुए पाइथागोरस प्रमेय का प्रमाण दिखाता है। इस विभाजन में कर्ण पर बना वर्ग 3 त्रिभुजों और 2 चतुर्भुजों में विभाजित होता है। यहाँ: ABC समकोण C वाला एक समकोण त्रिभुज है; डे=बीएफ.

इस विभाजन का उपयोग करके प्रमेय को सिद्ध करें।

• अल-नैरिजिया के प्रमाण के आधार पर, वर्गों का जोड़ीवार समान आकृतियों में एक और अपघटन भी किया गया (चित्र 5, यहां एबीसी समकोण C के साथ एक समकोण त्रिभुज है)।

• वर्गों को समान भागों में विघटित करने की विधि का एक और प्रमाण, जिसे "ब्लेड वाला पहिया" कहा जाता है, अंजीर में दिखाया गया है। 6. यहाँ: ABC समकोण C वाला एक समकोण त्रिभुज है; ओ - एक बड़े पैर पर बने वर्ग का केंद्र; बिंदु O से गुजरने वाली धराशायी रेखाएँ कर्ण के लंबवत या समानांतर होती हैं।

• वर्गों का यह अपघटन इस मायने में दिलचस्प है कि इसके जोड़ीवार समान चतुर्भुजों को समानांतर अनुवाद द्वारा एक दूसरे पर मैप किया जा सकता है। पाइथागोरस प्रमेय के कई अन्य प्रमाण वर्गों को आकृतियों में विघटित करके प्रस्तुत किए जा सकते हैं।

विस्तार विधि द्वारा प्रमाण.

इस विधि का सार यह है कि पैरों पर बने वर्ग तथा कर्ण पर बने वर्ग पर समान आकृतियाँ इस प्रकार जोड़ी जाती हैं कि समान आकार की आकृतियाँ प्राप्त हों।

पाइथागोरस प्रमेय की वैधता हेक्सागोन्स AEDFPB और ACBNMQ के समान आकार से होती है। यहाँ सीके बारे में EP, रेखा EP षट्भुज AEDFPB को दो समान क्षेत्रफल वाले चतुर्भुजों में विभाजित करती है, रेखा CM षट्भुज ACBNMQ को दो समान क्षेत्रफल वाले चतुर्भुजों में विभाजित करती है; केंद्र A के चारों ओर समतल का 90° घूर्णन चतुर्भुज AEPB को चतुर्भुज ACMQ में मानचित्रित करता है।

अब आइए सिद्ध करें कि पहले मामले में घटाए गए आंकड़े दूसरे मामले में घटाए गए आंकड़ों के आकार के बराबर हैं।

केएलओए = एसीपीएफ = एसीईडी = ए 2;

एलजीबीओ = सीबीएमपी = सीबीएनक्यू = बी 2 ;

एकेजीबी = एकेएलओ + एलजीबीओ = सी 2;

इसलिए सी 2 = ए 2 + बी 2।

ओसीएलपी=एसीएलएफ=एसीईडी=बी2;

सीबीएमएल = सीबीएनक्यू = ए 2;

ओबीएमपी = एबीएमएफ = सी 2 ;

ओबीएमपी = ओसीएलपी + सीबीएमएल;

यहाँ से

सी 2 = ए 2 + बी 2।

• चावल। 11 हॉफमैन द्वारा प्रस्तावित एक और अधिक मूल प्रमाण को दर्शाता है।
  यहाँ: समकोण C वाला त्रिभुज ABC; खंड बीएफ सीबी के लंबवत और उसके बराबर है, खंड बीई एबी के लंबवत और उसके बराबर है, खंड एडी एसी के लंबवत और उसके बराबर है; बिंदु F, C, D एक सीधी रेखा से संबंधित हैं; चतुर्भुज ADFB और ACBE बराबर हैं क्योंकि ABF=ECB; त्रिभुज ADF और ACE बराबर हैं; दोनों समान चतुर्भुजों में से उभयनिष्ठ त्रिभुज ABC घटाएँ, हमें प्राप्त होता है

प्रमाण की बीजगणितीय विधि.

अंजीर पर. 13 एबीसी - आयताकार, सी - समकोण, सीएम^ एबी, बी 1 कर्ण पर पैर बी का प्रक्षेपण है, ए 1 कर्ण पर पैर ए का प्रक्षेपण है, एच कर्ण पर खींचे गए त्रिकोण की ऊंचाई है।

इस तथ्य से कि डी एबीसी डी एसीएम के समान है, यह निम्नानुसार है

बी 2 = सीबी 1; (1)

इस तथ्य से कि डी एबीसी डी बीसीएम के समान है, यह निम्नानुसार है

ए 2 = सीए 1 . (2)

समानताएं (1) और (2) पद दर पद जोड़ने पर, हमें a 2 + b 2 = cb 1 + ca 1 = c(b 1 + a 1) = c 2 प्राप्त होता है।

यदि पाइथागोरस ने वास्तव में ऐसा प्रमाण प्रस्तुत किया था, तो वह कई महत्वपूर्ण ज्यामितीय प्रमेयों से भी परिचित था, जिनका श्रेय गणित के आधुनिक इतिहासकार आमतौर पर यूक्लिड को देते हैं।

जहाँ से यह इस प्रकार है कि सी 2 =ए 2 +बी 2।

क्षण में

इन भावों को बराबर करने पर, हमें पाइथागोरस प्रमेय प्राप्त होता है।

• पाइथागोरस प्रमेय के कई प्रमाण हैं, जो वर्णित प्रत्येक विधि द्वारा और विभिन्न विधियों के संयोजन का उपयोग करके किए गए हैं। विभिन्न प्रमाणों के उदाहरणों की समीक्षा पूरी करते हुए, हम यूक्लिड के "तत्वों" (चित्र 16 - 23) में आठ तरीकों को दर्शाते हुए और अधिक चित्र देंगे। इन चित्रों में, पाइथागोरस आकृति को एक ठोस रेखा के साथ दिखाया गया है, और अतिरिक्त निर्माणों को एक बिंदीदार रेखा के साथ दिखाया गया है।

1. वैन डेर वेर्डन बी.एल. जागृति विज्ञान. प्राचीन मिस्र, बेबीलोन और ग्रीस का गणित। एम., 1959.
2. ग्लेज़र जी.आई. स्कूल में गणित का इतिहास. एम., 1982.
3. एलेन्स्की श्री पाइथागोरस के नक्शेकदम पर। एम., 1961.
4. लित्ज़मैन वी. पाइथागोरस प्रमेय। एम., 1960.
5. स्कोपेट्स जेड.ए. ज्यामितीय लघुचित्र. एम., 1990.