तीन या अधिक संख्याओं का सिर हिलाना और सिर हिलाना। लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करना, एलसीएम ज्ञात करने की विधियाँ, उदाहरण संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य कैसे ज्ञात करें

आइए लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने के तीन तरीकों पर गौर करें।

गुणनखंडन द्वारा ज्ञात करना

पहली विधि दी गई संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करके लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करना है।

मान लीजिए कि हमें संख्याओं का एलसीएम ज्ञात करना है: 99, 30 और 28। ऐसा करने के लिए, आइए इनमें से प्रत्येक संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करें:

वांछित संख्या को 99, 30 और 28 से विभाजित करने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि इसमें इन भाजक के सभी अभाज्य गुणनखंड शामिल हों। ऐसा करने के लिए, हमें इन संख्याओं के सभी अभाज्य गुणनखंडों को अधिकतम संभव घात तक ले जाना होगा और उन्हें एक साथ गुणा करना होगा:

2 2 3 2 5 7 11 = 13,860

इस प्रकार, एलसीएम (99, 30, 28) = 13,860। 13,860 से कम कोई अन्य संख्या 99, 30, या 28 से विभाज्य नहीं है।

दी गई संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने के लिए, आप उन्हें उनके अभाज्य गुणनखंडों में गुणनखंडित करें, फिर प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड को उसके सबसे बड़े घातांक के साथ लें, और उन गुणनखंडों को एक साथ गुणा करें।

चूँकि अपेक्षाकृत अभाज्य संख्याओं में उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड नहीं होते हैं, इसलिए उनका लघुत्तम समापवर्तक इन संख्याओं के गुणनफल के बराबर होता है। उदाहरण के लिए, तीन संख्याएँ: 20, 49 और 33 अपेक्षाकृत अभाज्य हैं। इसीलिए

एलसीएम (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32,340।

विभिन्न अभाज्य संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करते समय भी ऐसा ही किया जाना चाहिए। उदाहरण के लिए, एलसीएम (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231।

चयन द्वारा ढूँढना

दूसरी विधि चयन द्वारा लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करना है।

उदाहरण 1. जब दी गई संख्याओं में से सबसे बड़ी संख्या को किसी अन्य संख्या से विभाजित किया जाता है, तो इन संख्याओं का एलसीएम उनमें से सबसे बड़ी संख्या के बराबर होता है। उदाहरण के लिए, चार संख्याएँ दी गई हैं: 60, 30, 10 और 6। उनमें से प्रत्येक 60 से विभाज्य है, इसलिए:

एलसीएम(60, 30, 10, 6) = 60

अन्य मामलों में, लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने के लिए, निम्नलिखित प्रक्रिया का उपयोग किया जाता है:

1. दी गई संख्याओं में से सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए।
2. इसके बाद, हम उन संख्याओं को ढूंढते हैं जो सबसे बड़ी संख्या के गुणज हैं, इसे बढ़ते क्रम में प्राकृतिक संख्याओं से गुणा करके और जांचते हैं कि परिणामी उत्पाद शेष दी गई संख्याओं से विभाज्य है या नहीं।

उदाहरण 2. तीन संख्याएँ 24, 3 और 18 दी गई हैं। हम उनमें से सबसे बड़ी संख्या निर्धारित करते हैं - यह संख्या 24 है। इसके बाद, हम वे संख्याएँ पाते हैं जो 24 के गुणज हैं, यह जाँचते हुए कि क्या उनमें से प्रत्येक 18 और 3 से विभाज्य है:

24 · 1 = 24 - 3 से विभाज्य, लेकिन 18 से विभाज्य नहीं।

24 · 2 = 48 - 3 से विभाज्य, लेकिन 18 से विभाज्य नहीं।

24 · 3 = 72 - 3 और 18 से विभाज्य।

इस प्रकार, एलसीएम (24, 3, 18) = 72.

क्रमिक रूप से एलसीएम ज्ञात करके ज्ञात करना

तीसरी विधि क्रमिक रूप से एलसीएम ज्ञात करके लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करना है।

दो दी गई संख्याओं का एलसीएम इन संख्याओं के गुणनफल को उनके सबसे बड़े सामान्य भाजक से विभाजित करने के बराबर होता है।

उदाहरण 1. दो दी गई संख्याओं का एलसीएम ज्ञात करें: 12 और 8। उनका सबसे बड़ा सामान्य भाजक निर्धारित करें: जीसीडी (12, 8) = 4। इन संख्याओं को गुणा करें:

हम उत्पाद को उनकी जीसीडी द्वारा विभाजित करते हैं:

इस प्रकार, एलसीएम (12, 8) = 24।

तीन या अधिक संख्याओं का LCM ज्ञात करने के लिए, निम्नलिखित प्रक्रिया का उपयोग करें:

1. सबसे पहले, इनमें से किन्हीं दो संख्याओं का LCM ज्ञात करें।
2. फिर, पाए गए लघुत्तम समापवर्त्य का LCM और तीसरी दी गई संख्या।
3. फिर, परिणामी लघुत्तम समापवर्त्य और चौथी संख्या का एलसीएम, आदि।
4. इस प्रकार, LCM की खोज तब तक जारी रहती है जब तक संख्याएँ मौजूद हैं।

उदाहरण 2. आइए दी गई तीन संख्याओं का एलसीएम ज्ञात करें: 12, 8 और 9. हमने पिछले उदाहरण में संख्या 12 और 8 का एलसीएम पहले ही पा लिया है (यह संख्या 24 है)। संख्या 24 और दी गई तीसरी संख्या - 9 का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करना बाकी है। उनका सबसे बड़ा समापवर्तक ज्ञात कीजिए: जीसीडी (24, 9) = 3। एलसीएम को संख्या 9 से गुणा करें:

हम उत्पाद को उनकी जीसीडी द्वारा विभाजित करते हैं:

इस प्रकार, एलसीएम (12, 8, 9) = 72.

आइए लघुत्तम समापवर्त्य के बारे में बातचीत जारी रखें, जिसे हमने "एलसीएम - लघुत्तम समापवर्त्य, परिभाषा, उदाहरण" खंड में शुरू किया था। इस विषय में, हम तीन या अधिक संख्याओं का एलसीएम ज्ञात करने के तरीकों पर गौर करेंगे, और हम इस प्रश्न पर भी गौर करेंगे कि किसी ऋणात्मक संख्या का एलसीएम कैसे खोजा जाए।

Yandex.RTB R-A-339285-1

जीसीडी के माध्यम से न्यूनतम सामान्य गुणक (एलसीएम) की गणना

हम पहले ही लघुत्तम समापवर्त्य और सबसे बड़े समापवर्तक के बीच संबंध स्थापित कर चुके हैं। आइए अब सीखें कि जीसीडी के माध्यम से एलसीएम कैसे निर्धारित करें। सबसे पहले, आइए जानें कि सकारात्मक संख्याओं के लिए यह कैसे करें।

परिभाषा 1

आप सूत्र एलसीएम (ए, बी) = ए · बी: जीसीडी (ए, बी) का उपयोग करके सबसे बड़े सामान्य भाजक के माध्यम से सबसे छोटा सामान्य गुणक पा सकते हैं।

उदाहरण 1

आपको संख्या 126 और 70 का एलसीएम ज्ञात करना होगा।

समाधान

आइए a = 126, b = 70 लें। आइए सबसे बड़े सामान्य भाजक एलसीएम (ए, बी) = ए · बी: जीसीडी (ए, बी) के माध्यम से सबसे छोटे सामान्य गुणक की गणना के लिए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें।

संख्या 70 और 126 की जीसीडी ढूँढता है। इसके लिए हमें यूक्लिडियन एल्गोरिदम की आवश्यकता है: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, इसलिए जीसीडी (126 , 70) = 14 .

आइए एलसीएम की गणना करें: एलसीडी (126, 70) = 126 70: जीसीडी (126, 70) = 126 70: 14 = 630।

उत्तर:एलसीएम(126, 70) = 630.

उदाहरण 2

संख्या 68 और 34 ज्ञात कीजिए।

समाधान

इस मामले में जीसीडी ढूंढना मुश्किल नहीं है, क्योंकि 68, 34 से विभाज्य है। आइए सूत्र का उपयोग करके लघुत्तम समापवर्त्य की गणना करें: एलसीएम (68, 34) = 68 34: जीसीडी (68, 34) = 68 34: 34 = 68।

उत्तर:एलसीएम(68, 34) = 68.

इस उदाहरण में, हमने धनात्मक पूर्णांक a और b का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने के लिए नियम का उपयोग किया: यदि पहली संख्या दूसरी से विभाज्य है, तो उन संख्याओं का LCM पहली संख्या के बराबर होगा।

संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करके एलसीएम ज्ञात करना

आइए अब एलसीएम ज्ञात करने की विधि देखें, जो संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करने पर आधारित है।

परिभाषा 2

लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने के लिए हमें कई सरल कदम उठाने होंगे:

• हम उन संख्याओं के सभी अभाज्य गुणनखंडों का गुणनफल बनाते हैं जिनके लिए हमें एलसीएम खोजने की आवश्यकता होती है;
• हम उनके परिणामी उत्पादों से सभी प्रमुख कारकों को बाहर कर देते हैं;
• सामान्य अभाज्य गुणनखंडों को हटाने के बाद प्राप्त उत्पाद दी गई संख्याओं के एलसीएम के बराबर होगा।

लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने की यह विधि समानता एलसीएम (ए, बी) = ए · बी: जीसीडी (ए, बी) पर आधारित है। यदि आप सूत्र को देखें, तो यह स्पष्ट हो जाएगा: संख्याओं a और b का गुणनफल उन सभी कारकों के गुणनफल के बराबर है जो इन दो संख्याओं के अपघटन में भाग लेते हैं। इस मामले में, दो संख्याओं की जीसीडी उन सभी अभाज्य कारकों के उत्पाद के बराबर है जो इन दो संख्याओं के गुणनखंडों में एक साथ मौजूद हैं।

उदाहरण 3

हमारे पास दो संख्याएँ 75 और 210 हैं। हम उन्हें इस प्रकार कारक बना सकते हैं: 75 = 3 5 5और 210 = 2 3 5 7. यदि आप दो मूल संख्याओं के सभी गुणनखंडों का गुणनफल बनाते हैं, तो आपको मिलता है: 2 3 3 5 5 5 7.

यदि हम संख्या 3 और 5 दोनों के लिए सामान्य कारकों को हटा दें, तो हमें निम्नलिखित रूप का उत्पाद मिलता है: 2 3 5 5 7 = 1050. यह उत्पाद संख्या 75 और 210 के लिए हमारा एलसीएम होगा।

उदाहरण 4

संख्याओं का LCM ज्ञात करें 441 और 700 , दोनों संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करना।

समाधान

आइए शर्त में दी गई संख्याओं के सभी अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करें:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

हमें संख्याओं की दो शृंखलाएँ मिलती हैं: 441 = 3 3 7 7 और 700 = 2 2 5 5 7।

इन संख्याओं के अपघटन में भाग लेने वाले सभी कारकों का उत्पाद इस प्रकार होगा: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. आइए सामान्य कारक खोजें। यह संख्या 7 है. आइए इसे कुल उत्पाद से बाहर करें: 2 2 3 3 5 5 7 7. पता चला कि एन.ओ.सी (441, 700) = 2 2 3 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

उत्तर:एलओसी(441,700) = 44,100।

आइए हम संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करके एलसीएम ज्ञात करने की विधि का एक और सूत्रीकरण दें।

परिभाषा 3

पहले, हमने दोनों संख्याओं में समान कारकों की कुल संख्या को बाहर कर दिया था। अब हम इसे अलग तरीके से करेंगे:

• आइए दोनों संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में गुणनखंडित करें:
• पहली संख्या के अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल में दूसरी संख्या के लुप्त गुणनखंडों को जोड़ें;
• हम उत्पाद प्राप्त करते हैं, जो दो संख्याओं का वांछित एलसीएम होगा।

उदाहरण 5

आइए संख्या 75 और 210 पर वापस लौटें, जिसके लिए हम पहले ही पिछले उदाहरणों में से एक में एलसीएम की तलाश कर चुके हैं। आइए उन्हें सरल कारकों में विभाजित करें: 75 = 3 5 5और 210 = 2 3 5 7. कारक 3, 5 और के उत्पाद के लिए 5 संख्या 75 लुप्त गुणनखंडों को जोड़ती है 2 और 7 संख्या 210. हम पाते हैं: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 .यह संख्या 75 और 210 का LCM है।

उदाहरण 6

संख्या 84 और 648 के एलसीएम की गणना करना आवश्यक है।

समाधान

आइए स्थिति से संख्याओं को सरल गुणनखंडों में विभाजित करें: 84 = 2 2 3 7और 648 = 2 2 2 3 3 3 3. आइए गुणनखंड 2, 2, 3 और को गुणनफल में जोड़ें 7 संख्या 84 लुप्त गुणनखंड 2, 3, 3 और
3 संख्या 648. हमें उत्पाद मिलता है 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536.यह 84 और 648 का सबसे छोटा सामान्य गुणज है।

उत्तर:एलसीएम(84,648) = 4,536.

तीन या अधिक संख्याओं का LCM ज्ञात करना

भले ही हम कितनी भी संख्याओं के साथ काम कर रहे हों, हमारे कार्यों का एल्गोरिदम हमेशा समान रहेगा: हम क्रमिक रूप से दो संख्याओं का एलसीएम पाएंगे। इस मामले के लिए एक प्रमेय है.

प्रमेय 1

आइए मान लें कि हमारे पास पूर्णांक हैं ए 1 , ए 2 , … , ए के. अनापत्ति प्रमाण पत्र एम केये संख्याएँ क्रमिक रूप से m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3), ..., m k = LCM (m k - 1, a k) की गणना करके पाई जाती हैं।

अब आइए देखें कि विशिष्ट समस्याओं को हल करने के लिए प्रमेय को कैसे लागू किया जा सकता है।

उदाहरण 7

आपको चार संख्याओं 140, 9, 54 और के लघुत्तम समापवर्त्य की गणना करने की आवश्यकता है 250 .

समाधान

आइए हम संकेतन का परिचय दें: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250।

आइए एम 2 = एलसीएम (ए 1, ए 2) = एलसीएम (140, 9) की गणना करके शुरुआत करें। आइए संख्या 140 और 9 की जीसीडी की गणना करने के लिए यूक्लिडियन एल्गोरिदम लागू करें: 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4। हमें मिलता है: जीसीडी (140, 9) = 1, जीसीडी (140, 9) = 140 9: जीसीडी (140, 9) = 140 9: 1 = 1,260। इसलिए, एम 2 = 1,260.

आइए अब उसी एल्गोरिदम का उपयोग करके गणना करें एम 3 = एलसीएम (एम 2, ए 3) = एलसीएम (1 260, 54)। गणना के दौरान हमें m 3 = 3 780 प्राप्त होता है।

हमें बस m 4 = LCM (m 3, a 4) = LCM (3 780, 250) की गणना करनी है। हम उसी एल्गोरिदम का पालन करते हैं। हमें m 4 = 94 500 प्राप्त होता है।

उदाहरण स्थिति से चार संख्याओं का एलसीएम 94500 है।

उत्तर:एनओसी (140, 9, 54, 250) = 94,500।

जैसा कि आप देख सकते हैं, गणनाएँ सरल हैं, लेकिन काफी श्रम-गहन हैं। समय बचाने के लिए आप दूसरा रास्ता अपना सकते हैं।

परिभाषा 4

हम आपको क्रियाओं का निम्नलिखित एल्गोरिदम प्रदान करते हैं:

• हम सभी संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करते हैं;
• पहली संख्या के गुणनखंडों के गुणनफल में हम दूसरी संख्या के गुणनखंड से लुप्त गुणनखंड जोड़ते हैं;
• पिछले चरण में प्राप्त उत्पाद में हम तीसरी संख्या आदि के लुप्त गुणनखंड जोड़ते हैं;
• परिणामी उत्पाद शर्त से सभी संख्याओं का सबसे छोटा सामान्य गुणक होगा।

उदाहरण 8

आपको पांच संख्याओं 84, 6, 48, 7, 143 का एलसीएम ज्ञात करना होगा।

समाधान

आइए सभी पांच संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करें: 84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 3, 7, 143 = 11 13। अभाज्य संख्याएँ, जो संख्या 7 है, को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित नहीं किया जा सकता है। ऐसी संख्याएँ अभाज्य गुणनखंडों में उनके अपघटन के साथ मेल खाती हैं।

आइए अब संख्या 84 के अभाज्य गुणनखंड 2, 2, 3 और 7 का गुणनफल लें और उनमें दूसरी संख्या के लुप्त गुणनखंडों को जोड़ें। हमने संख्या 6 को 2 और 3 में विघटित कर दिया। ये गुणनखंड पहले संख्या के गुणनफल में पहले से ही मौजूद हैं। इसलिए, हम उन्हें छोड़ देते हैं.

हम लुप्त गुणकों को जोड़ना जारी रखते हैं। आइए संख्या 48 पर चलते हैं, जिसके अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल से हम 2 और 2 लेते हैं। फिर हम चौथी संख्या से 7 का अभाज्य गुणनखंड और पाँचवीं के 11 और 13 का गुणनखंड जोड़ते हैं। हमें मिलता है: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48,048। यह मूल पांच संख्याओं में से सबसे छोटा सामान्य गुणज है।

उत्तर:एलसीएम (84, 6, 48, 7, 143) = 48,048।

ऋणात्मक संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करना

नकारात्मक संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने के लिए, इन संख्याओं को पहले विपरीत चिह्न वाली संख्याओं से प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए, और फिर उपरोक्त एल्गोरिदम का उपयोग करके गणना की जानी चाहिए।

उदाहरण 9

एलसीएम (54, − 34) = एलसीएम (54, 34) और एलसीएम (− 622, − 46, − 54, − 888) = एलसीएम (622, 46, 54, 888)।

यदि हम इसे स्वीकार करते हैं तो ऐसे कार्यों की अनुमति है एऔर − ए– विपरीत संख्याएँ,
फिर किसी संख्या के गुणजों का समुच्चय एकिसी संख्या के गुणजों के समुच्चय से मेल खाता है − ए.

उदाहरण 10

ऋणात्मक संख्याओं का LCM ज्ञात करना आवश्यक है − 145 और − 45 .

समाधान

आइए संख्याओं को बदलें − 145 और − 45 उनके विपरीत संख्याओं के लिए 145 और 45 . अब, एल्गोरिदम का उपयोग करके, हम एलसीएम (145, 45) = 145 · 45: जीसीडी (145, 45) = 145 · 45: 5 = 1,305 की गणना करते हैं, पहले यूक्लिडियन एल्गोरिदम का उपयोग करके जीसीडी निर्धारित करते हैं।

हम पाते हैं कि संख्याओं का LCM - 145 है और − 45 के बराबर होती है 1 305 .

उत्तर:एलसीएम (- 145, - 45) = 1,305।

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नीचे प्रस्तुत सामग्री एलसीएम नामक लेख के सिद्धांत की तार्किक निरंतरता है - लघुत्तम समापवर्तक, परिभाषा, उदाहरण, एलसीएम और जीसीडी के बीच संबंध। यहां हम बात करेंगे लघुत्तम समापवर्तक (LCM) ज्ञात करना, और हम उदाहरणों को हल करने पर विशेष ध्यान देंगे। सबसे पहले, हम दिखाएंगे कि इन संख्याओं के जीसीडी का उपयोग करके दो संख्याओं के एलसीएम की गणना कैसे की जाती है। इसके बाद, हम संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करके लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने पर विचार करेंगे। इसके बाद हम तीन या अधिक संख्याओं का एलसीएम निकालने पर ध्यान देंगे और ऋणात्मक संख्याओं का एलसीएम निकालने पर भी ध्यान देंगे।

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जीसीडी के माध्यम से न्यूनतम सामान्य गुणक (एलसीएम) की गणना

लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने का एक तरीका एलसीएम और जीसीडी के बीच संबंध पर आधारित है। एलसीएम और जीसीडी के बीच मौजूदा कनेक्शन एक ज्ञात सबसे बड़े सामान्य भाजक के माध्यम से दो सकारात्मक पूर्णांकों के लघुत्तम समापवर्त्य की गणना करने की अनुमति देता है। तत्संबंधी सूत्र है एलसीएम(ए, बी)=ए बी:जीसीडी(ए, बी) . आइए दिए गए सूत्र का उपयोग करके एलसीएम खोजने के उदाहरण देखें।

उदाहरण।

दो संख्याओं 126 और 70 का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए।

समाधान।

इस उदाहरण में a=126 , b=70 . आइए हम सूत्र द्वारा व्यक्त एलसीएम और जीसीडी के बीच संबंध का उपयोग करें एलसीएम(ए, बी)=ए बी:जीसीडी(ए, बी). यानी सबसे पहले हमें संख्या 70 और 126 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक ढूंढना होगा, जिसके बाद हम लिखित सूत्र का उपयोग करके इन संख्याओं के एलसीएम की गणना कर सकते हैं।

आइए यूक्लिडियन एल्गोरिदम का उपयोग करके जीसीडी(126, 70) खोजें: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, इसलिए, जीसीडी(126, 70)=14।

अब हम आवश्यक लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात करते हैं: जीसीडी(126, 70)=126·70:जीसीडी(126, 70)= 126·70:14=630.

उत्तर:

एलसीएम(126, 70)=630।

उदाहरण।

LCM(68, 34) किसके बराबर है?

समाधान।

क्योंकि 68, 34 से विभाज्य है, तो GCD(68, 34)=34. अब हम लघुत्तम समापवर्त्य की गणना करते हैं: जीसीडी(68, 34)=68·34:जीसीडी(68, 34)= 68·34:34=68.

उत्तर:

एलसीएम(68, 34)=68।

ध्यान दें कि पिछला उदाहरण सकारात्मक पूर्णांक ए और बी के लिए एलसीएम खोजने के लिए निम्नलिखित नियम में फिट बैठता है: यदि संख्या ए, बी से विभाज्य है, तो इन संख्याओं का सबसे छोटा सामान्य गुणक ए है।

संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करके एलसीएम ज्ञात करना

लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने का दूसरा तरीका संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करने पर आधारित है। यदि आप दी गई संख्याओं के सभी अभाज्य गुणनखंडों से एक उत्पाद बनाते हैं, और फिर इस उत्पाद से दी गई संख्याओं के अपघटन में मौजूद सभी सामान्य अभाज्य कारकों को बाहर कर देते हैं, तो परिणामी उत्पाद दी गई संख्याओं के सबसे छोटे सामान्य गुणक के बराबर होगा। .

एलसीएम ज्ञात करने का बताया गया नियम समानता से अनुसरण करता है एलसीएम(ए, बी)=ए बी:जीसीडी(ए, बी). दरअसल, संख्या ए और बी का उत्पाद संख्या ए और बी के विस्तार में शामिल सभी कारकों के उत्पाद के बराबर है। बदले में, जीसीडी(ए, बी) संख्या ए और बी के विस्तार में एक साथ मौजूद सभी अभाज्य कारकों के उत्पाद के बराबर है (जैसा कि अभाज्य कारकों में संख्याओं के विस्तार का उपयोग करके जीसीडी खोजने के अनुभाग में वर्णित है)।

चलिए एक उदाहरण देते हैं. आइए जानते हैं 75=3·5·5 और 210=2·3·5·7. आइए इन विस्तारों के सभी कारकों से उत्पाद बनाएं: 2·3·3·5·5·5·7। अब इस उत्पाद से हम संख्या 75 के विस्तार और संख्या 210 के विस्तार (ये कारक 3 और 5 हैं) दोनों में मौजूद सभी कारकों को बाहर कर देते हैं, तो उत्पाद 2·3·5·5·7 का रूप ले लेगा। . इस उत्पाद का मूल्य 75 और 210 के लघुत्तम समापवर्तक के बराबर है, अर्थात एनओसी(75, 210)= 2·3·5·5·7=1,050.

उदाहरण।

संख्याओं 441 और 700 को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करें और इन संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात करें।

समाधान।

आइए संख्याओं 441 और 700 को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करें:

हमें 441=3·3·7·7 और 700=2·2·5·5·7 मिलते हैं।

आइए अब इन संख्याओं के विस्तार में शामिल सभी कारकों से एक उत्पाद बनाएं: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. आइए इस उत्पाद से उन सभी कारकों को हटा दें जो दोनों विस्तारों में एक साथ मौजूद हैं (ऐसा केवल एक ही कारक है - यह संख्या 7 है): 2·2·3·3·5·5·7·7. इस प्रकार, एलसीएम(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.

उत्तर:

एनओसी(441,700)=44 100।

अभाज्य गुणनखंडों में संख्याओं के गुणनखंडन का उपयोग करके एलसीएम खोजने का नियम थोड़ा अलग तरीके से तैयार किया जा सकता है। यदि संख्या b के विस्तार से लुप्त गुणनखंडों को संख्या a के विस्तार से प्राप्त गुणनखंडों में जोड़ दिया जाए, तो परिणामी उत्पाद का मान संख्याओं a और b के लघुत्तम समापवर्त्य के बराबर होगा।.

उदाहरण के लिए, आइए समान संख्याएँ 75 और 210 लें, अभाज्य गुणनखंडों में उनका अपघटन इस प्रकार है: 75=3·5·5 और 210=2·3·5·7। संख्या 75 के विस्तार से गुणनखंड 3, 5 और 5 में हम संख्या 210 के विस्तार से लुप्त गुणनखंड 2 और 7 जोड़ते हैं, हमें गुणनफल 2·3·5·5·7 प्राप्त होता है, जिसका मान है एलसीएम(75,210) के बराबर।

उदाहरण।

84 और 648 का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए।

समाधान।

हम सबसे पहले संख्या 84 और 648 का अभाज्य गुणनखंडों में वियोजन प्राप्त करते हैं। वे 84=2·2·3·7 और 648=2·2·2·3·3·3·3 जैसे दिखते हैं। संख्या 84 के विस्तार से गुणनखंड 2, 2, 3 और 7 में हम संख्या 648 के विस्तार से लुप्त गुणनखंड 2, 3, 3 और 3 जोड़ते हैं, हमें गुणनफल 2 2 2 3 3 3 3 7 प्राप्त होता है। जो 4 536 के बराबर है। इस प्रकार, 84 और 648 का वांछित लघुत्तम समापवर्तक 4,536 है।

उत्तर:

एलसीएम(84,648)=4,536।

तीन या अधिक संख्याओं का LCM ज्ञात करना

दो संख्याओं का एलसीएम क्रमिक रूप से ज्ञात करके तीन या अधिक संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात किया जा सकता है। आइए संबंधित प्रमेय को याद करें, जो तीन या अधिक संख्याओं का एलसीएम खोजने का तरीका देता है।

प्रमेय.

मान लीजिए कि धनात्मक पूर्णांक संख्याएँ a 1 , a 2 , …, a k दी गई हैं, तो इन संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक m k क्रमिक रूप से m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2 , a) की गणना करके ज्ञात किया जाता है। 3) , … , एम के = एलसीएम(एम के−1 , ए के) .

आइए चार संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने के उदाहरण का उपयोग करके इस प्रमेय के अनुप्रयोग पर विचार करें।

उदाहरण।

चार संख्याओं 140, 9, 54 और 250 का LCM ज्ञात कीजिए।

समाधान।

इस उदाहरण में, ए 1 =140, ए 2 =9, ए 3 =54, ए 4 =250।

पहले हम ढूंढते हैं एम 2 = एलओसी(ए 1, ए 2) = एलओसी(140, 9). ऐसा करने के लिए, यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म का उपयोग करके, हम GCD(140, 9) निर्धारित करते हैं, हमारे पास 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, इसलिए, GCD(140, 9)=1 , कहाँ से जीसीडी(140, 9)=140 9:जीसीडी(140, 9)= 140·9:1=1,260. अर्थात्, म 2 =1 260.

अब हम पाते हैं एम 3 = एलओसी (एम 2, ए 3) = एलओसी (1 260, 54). आइए इसकी गणना जीसीडी(1 260, 54) के माध्यम से करें, जिसे हम यूक्लिडियन एल्गोरिदम का उपयोग करके भी निर्धारित करते हैं: 1 260=54·23+18, 54=18·3। फिर gcd(1,260, 54)=18, जिससे gcd(1,260, 54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. अर्थात्, म 3 =3 780.

जो कुछ बचा है उसे ढूंढना है एम 4 = एलओसी(एम 3, ए 4) = एलओसी(3 780, 250). ऐसा करने के लिए, हम यूक्लिडियन एल्गोरिदम का उपयोग करके जीसीडी(3,780, 250) पाते हैं: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3। इसलिए, GCM(3,780, 250)=10, जहां से GCM(3,780, 250)= 3 780 250: जीसीडी(3 780, 250)= 3,780·250:10=94,500. अर्थात्, मी 4 =94,500।

अतः मूल चार संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक 94,500 है।

उत्तर:

एलसीएम(140, 9, 54, 250)=94,500.

कई मामलों में, दी गई संख्याओं के अभाज्य गुणनखंडों का उपयोग करके तीन या अधिक संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करना सुविधाजनक होता है। ऐसे में आपको निम्नलिखित नियम का पालन करना चाहिए। कई संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य गुणनफल के बराबर होता है, जिसकी रचना इस प्रकार होती है: दूसरी संख्या के विस्तार से लुप्त गुणनखंडों को पहली संख्या के विस्तार से सभी कारकों में जोड़ा जाता है, के विस्तार से लुप्त गुणनखंडों को जोड़ा जाता है तीसरी संख्या को परिणामी कारकों में जोड़ा जाता है, इत्यादि।

आइए अभाज्य गुणनखंडन का उपयोग करके लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने का एक उदाहरण देखें।

उदाहरण।

पाँच संख्याओं 84, 6, 48, 7, 143 में से लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात कीजिए।

समाधान।

सबसे पहले, हम इन संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करते हैं: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 एक अभाज्य संख्या है, यह संपाती है अभाज्य गुणनखंडों में इसके अपघटन के साथ) और 143=11·13।

इन संख्याओं का एलसीएम ज्ञात करने के लिए, पहली संख्या 84 (वे 2, 2, 3 और 7 हैं) के गुणनखंडों में, आपको दूसरी संख्या 6 के विस्तार से लुप्त गुणनखंडों को जोड़ना होगा। संख्या 6 के अपघटन में लुप्त कारक शामिल नहीं हैं, क्योंकि पहली संख्या 84 के अपघटन में 2 और 3 दोनों पहले से ही मौजूद हैं। इसके बाद, गुणनखंड 2, 2, 3 और 7 में हम तीसरी संख्या 48 के विस्तार से लुप्त गुणनखंड 2 और 2 जोड़ते हैं, हमें गुणनखंड 2, 2, 2, 2, 3 और 7 का एक सेट मिलता है। अगले चरण में इस सेट में गुणक जोड़ने की आवश्यकता नहीं होगी, क्योंकि इसमें 7 पहले से ही समाहित है। अंत में, गुणनखंड 2, 2, 2, 2, 3 और 7 में हम संख्या 143 के विस्तार से लुप्त गुणनखंड 11 और 13 जोड़ते हैं। हमें गुणनफल 2·2·2·2·3·7·11·13 प्राप्त होता है, जो 48,048 के बराबर है।

एलसीएम - लघुत्तम समापवर्त्य। एक संख्या जो दी गई सभी संख्याओं को बिना किसी शेषफल के विभाजित कर देगी।

उदाहरण के लिए, यदि दी गई संख्याएँ 2, 3, 5 हैं, तो LCM=2*3*5=30

और यदि दी गई संख्याएँ 2,4,8 हैं, तो LCM =8

जीसीडी क्या है?

जीसीडी सबसे बड़ा सामान्य भाजक है। एक संख्या जिसका उपयोग बिना कोई शेष छोड़े प्रत्येक दी गई संख्या को विभाजित करने के लिए किया जा सकता है।

यह तर्कसंगत है कि यदि दी गई संख्याएँ अभाज्य हैं, तो gcd एक के बराबर है।

और यदि दी गई संख्याएँ 2, 4, 8 हैं, तो GCD 2 के बराबर है।

हम इसका सामान्य शब्दों में वर्णन नहीं करेंगे, बल्कि केवल एक उदाहरण के साथ समाधान दिखाएंगे।

दो संख्याएँ 126 और 44 दी गई हैं। जीसीडी ज्ञात कीजिए।

फिर अगर हमें फॉर्म के दो नंबर दिए जाते हैं

फिर जीसीडी की गणना इस प्रकार की जाती है

जहां न्यूनतम संख्या पीएन की सभी शक्तियों का न्यूनतम मूल्य है

और एनओसी के रूप में

जहां अधिकतम संख्या पीएन की सभी शक्तियों का अधिकतम मूल्य है

उपरोक्त सूत्रों को देखकर, आप आसानी से साबित कर सकते हैं कि दो या दो से अधिक संख्याओं की जीसीडी एक के बराबर होगी, जब दिए गए मानों की कम से कम एक जोड़ी के बीच अपेक्षाकृत अभाज्य संख्याएँ हों।

इसलिए, इस प्रश्न का उत्तर देना आसान है कि 3, 25412, 3251, 7841, 25654, 7 जैसी संख्याओं की gcd किसके बराबर है, बिना कुछ गणना किए।

संख्याएँ 3 और 7 सहअभाज्य हैं, और इसलिए gcd = 1

आइए एक उदाहरण देखें.

तीन नंबर 24654, 25473 और 954 दिए गए हैं

प्रत्येक संख्या निम्नलिखित कारकों में विघटित होती है

या, यदि हम इसे वैकल्पिक रूप में लिखते हैं

यानी इन तीन नंबरों की gcd तीन के बराबर है

खैर, हम एलसीएम की गणना इसी तरह से कर सकते हैं, और यह बराबर है

हमारा बॉट आपको किसी भी पूर्णांक, दो, तीन या दस के जीसीडी और एलसीएम की गणना करने में मदद करेगा।

एलसीएम की गणना कैसे करें यह समझने के लिए, आपको पहले "एकाधिक" शब्द का अर्थ निर्धारित करना होगा।

A का गुणज एक प्राकृतिक संख्या है जो बिना किसी शेषफल के A से विभाज्य है, इस प्रकार, जो संख्याएँ 5 के गुणज हैं उन्हें 15, 20, 25, इत्यादि माना जा सकता है।

किसी विशेष संख्या के भाजक सीमित संख्या में हो सकते हैं, लेकिन गुणजों की संख्या अनंत होती है।

प्राकृतिक संख्याओं का सामान्य गुणज वह संख्या होती है जो बिना कोई शेष छोड़े उनसे विभाज्य होती है।

संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक कैसे ज्ञात करें

संख्याओं (दो, तीन या अधिक) का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या है जो इन सभी संख्याओं से विभाज्य होती है।

एलओसी खोजने के लिए आप कई तरीकों का इस्तेमाल कर सकते हैं।

छोटी संख्याओं के लिए, इन संख्याओं के सभी गुणजों को एक पंक्ति में तब तक लिखना सुविधाजनक होता है जब तक कि आपको उनमें कुछ सामान्य न मिल जाए। गुणकों को बड़े अक्षर K से दर्शाया जाता है।

उदाहरण के लिए, 4 के गुणजों को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

के (4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

के (6) = (12, 18, 24, ...)

इस प्रकार, आप देख सकते हैं कि संख्या 4 और 6 का सबसे छोटा सामान्य गुणक संख्या 24 है। यह अंकन इस प्रकार किया जाता है:

एलसीएम(4, 6) = 24

अब दोनों संख्याओं के लिए उभयनिष्ठ गुणनखंड लिखिए। हमारे संस्करण में यह दो और पाँच है। हालाँकि, अन्य मामलों में यह संख्या एक, दो या तीन अंक या इससे भी अधिक हो सकती है। आगे आपको डिग्रियों के साथ काम करना होगा। प्रत्येक कारक के लिए सबसे छोटी शक्ति चुनें। उदाहरण में यह दूसरी घात के लिए दो और पहली के लिए पाँच है।

अंत में, आपको बस परिणामी संख्याओं को गुणा करना होगा। हमारे मामले में, सब कुछ बेहद सरल है: दो वर्गों को पांच से गुणा करने पर 20 के बराबर होता है। इस प्रकार, संख्या 20 को 60 और 80 के लिए सबसे बड़ा सामान्य भाजक कहा जा सकता है।

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टिप्पणी

याद रखें कि अभाज्य गुणनखंड वह संख्या है जिसमें केवल 2 भाजक होते हैं: एक और स्वयं संख्या।

मददगार सलाह

इस विधि के अतिरिक्त, आप यूक्लिडियन एल्गोरिथम का भी उपयोग कर सकते हैं। इसका पूरा विवरण, ज्यामितीय रूप में प्रस्तुत, यूक्लिड की पुस्तक "एलिमेंट्स" में पाया जा सकता है।

सम्बंधित लेख

प्राकृतिक भिन्नों का जोड़ और घटाव तभी संभव है जब उनका हर समान हो। गणनाओं को एक ही हर में लाते समय उन्हें जटिल न बनाने के लिए, हरों का सबसे छोटा सामान्य भाजक ढूंढें और गणना करें।

आपको चाहिये होगा

• - संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करने की क्षमता;
• - भिन्नों के साथ संचालन करने की क्षमता।

निर्देश

भिन्नों का योग लिखिए। फिर, उनका लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए। ऐसा करने के लिए, क्रियाओं का निम्नलिखित क्रम निष्पादित करें: 1. अभाज्य संख्याओं में प्रत्येक हर की कल्पना करें (एक अभाज्य संख्या, एक संख्या जो केवल 1 से विभाज्य है और स्वयं बिना किसी शेषफल के, उदाहरण के लिए 2, 3, 5, 7, आदि).2. लिखे गए सभी सरल लोगों को उनकी डिग्री दर्शाते हुए समूहित करें। 3. इन संख्याओं में दिखाई देने वाले प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की सबसे बड़ी घात चुनें। 4. लिखित शक्तियों को गुणा करें.

उदाहरण के लिए, 15, 24 और 36 हर वाली भिन्नों के लिए उभयनिष्ठ हर एक संख्या होगी जिसकी गणना इस प्रकार की जा सकती है: 15 = 3 5; 24=2^3 3;36=2^3 3^2। इन संख्याओं के सभी अभाज्य विभाजकों की सबसे बड़ी घातें लिखें: 2^3 3^2 5=360।

सामान्य हर को प्रत्येक और जोड़े जाने वाले भिन्नों के हर से विभाजित करें। उनके अंशों को परिणामी संख्या से गुणा करें। भिन्न की उभयनिष्ठ रेखा के नीचे, लघुत्तम समापवर्त्य लिखें, जो कि सबसे कम समापवर्त्य भी है। अंश-गणक में, प्रत्येक अंश-गणक को भिन्न के हर से विभाजित लघुत्तम समापवर्तक के भागफल से गुणा करने पर प्राप्त होने वाली संख्याओं को जोड़ें। सभी अंशों का योग और सबसे कम सामान्य हर से विभाजित करने पर वांछित संख्या प्राप्त होगी।

उदाहरण के लिए, 4/15, 7/24 और 11/36 के लिए ऐसा करें। सबसे कम सामान्य विभाजक खोजें, जो 360 है। फिर 360/15=24, 360/24=15, 360/36=10 से विभाजित करें। संख्या 4 को, जो पहले भिन्न का अंश है, 24 (4 24=96), संख्या 7 को 15 (7 15=105), संख्या 11 को 10 (11 10=110) से गुणा करें। फिर इन संख्याओं को जोड़ें (96+105+110=301)। हमें परिणाम 4/15+7/24+11/36=301/360 मिलता है।

स्रोत:

• सबसे छोटी संख्या कैसे ज्ञात करें

पूर्णांक विभिन्न प्रकार की गणितीय संख्याएँ हैं जिनका रोजमर्रा के जीवन में कई अनुप्रयोग होते हैं। गैर-नकारात्मक पूर्णांकों का उपयोग किसी भी वस्तु की संख्या, नकारात्मक संख्याओं - मौसम पूर्वानुमान आदि के संदेशों में इंगित करते समय किया जाता है। जीसीडी और एलसीएम विभाजन संचालन से जुड़े पूर्णांकों की प्राकृतिक विशेषताएं हैं।

निर्देश

यूक्लिडियन एल्गोरिथम या बाइनरी विधि का उपयोग करके जीसीडी की गणना करना आसान है। संख्या a और b की gcd निर्धारित करने के लिए यूक्लिड एल्गोरिथ्म के अनुसार, जिनमें से एक शून्य नहीं है, संख्याओं का एक क्रम है r_1 > r_2 > r_3 > ... > r_n, जिसमें r_1 विभाजित करने के शेषफल के बराबर है पहले नंबर से दूसरे नंबर तक. और अनुक्रम के अन्य सदस्य पिछले सदस्य को पिछले सदस्य से विभाजित करने पर प्राप्त शेष के बराबर होते हैं, और अंतिम तत्व को बिना किसी शेष के अंतिम तत्व से विभाजित किया जाता है।

गणितीय रूप से, अनुक्रम को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:
a = b*k_0 + r_1
बी = r_1*k_1 + r_2
r_1 = r_2*k_2 + r_3
…
r_(n - 1) = r_n*k_n,
जहाँ k_i एक पूर्णांक गुणनखंड है।
जीसीडी (ए, बी) = आर_एन।

उदाहरण।
जीसीडी (36, 120) खोजें। यूक्लिडियन एल्गोरिथम के अनुसार, 120 में से एक ऐसी संख्या घटाएं जो 36 का गुणज हो, इस स्थिति में यह 120 - 36*3 = 12 है। अब 120 में से एक ऐसी संख्या घटाएं जो 12 का गुणज है, आपको 120 - 12* प्राप्त होता है 10 = 0. इसलिए, जीसीडी (36, 120) = 12.

जीसीडी खोजने के लिए बाइनरी एल्गोरिदम शिफ्ट सिद्धांत पर आधारित है। इस विधि के अनुसार, दो संख्याओं की GCD में निम्नलिखित गुण होते हैं:
जीसीडी (ए, बी) = 2*जीसीडी (ए/2, बी/2) सम ए और बी के लिए
सम ए और विषम बी के लिए जीसीडी (ए, बी) = जीसीडी (ए/2, बी) (जीसीडी (ए, बी) = जीसीडी (ए, बी/2) के लिए विपरीत सच है)
विषम a > b के लिए GCD (a, b) = GCD ((a - b)/2, b)
GCD (a, b) = GCD ((b - a)/2, a) विषम b > a के लिए
इस प्रकार, जीसीडी (36, 120) = 2*जीसीडी (18, 60) = 4*जीसीडी (9, 30) = 4* जीसीडी (9, 15) = 4*जीसीडी ((15 - 9)/2=3, 9) = 4*3 = 12.

दो पूर्णांकों का लघुत्तम समापवर्तक (LCM) सबसे छोटा पूर्णांक होता है जो बिना कोई शेष छोड़े दोनों मूल संख्याओं से विभाज्य होता है।
एलसीएम की गणना जीसीडी का उपयोग करके की जा सकती है: एलसीएम (ए, बी) = |ए*बी|/जीसीडी (ए, बी)।

एलसीएम की गणना करने का दूसरा तरीका संख्याओं का अभाज्य गुणनखंडों में विहित गुणनखंडन है:
a = r_1^k_1*…*r_n^k_n
बी = r_1^m_1*…*r_n^m_n,
जहां r_i अभाज्य संख्याएं हैं, और k_i और m_i पूर्णांक ≥ 0 हैं।
एलसीएम को उन्हीं अभाज्य गुणनखंडों के रूप में दर्शाया जाता है, जहां अधिकतम दो संख्याओं को घात के रूप में लिया जाता है।

उदाहरण।
एलसीएम खोजें (16, 20):
16 = 2^4*3^0*5^0
20 = 2^2*3^0*5^1
एलसीएम (16, 20) = 2^4*3^0*5^1 = 16*5 = 80।