यदि हम परिभाषा का पालन करें, तो किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न फ़ंक्शन के वृद्धि अनुपात की सीमा है Δ यतर्क की वृद्धि के लिए Δ एक्स:

सब कुछ साफ नजर आ रहा है. लेकिन इस सूत्र द्वारा गणना करने का प्रयास करें, मान लीजिए, फ़ंक्शन का व्युत्पन्न एफ(एक्स) = एक्स 2 + (2एक्स+3) · इ एक्सपाप एक्स. यदि आप सब कुछ परिभाषा के अनुसार करते हैं, तो गणना के कुछ पृष्ठों के बाद आप बस सो जाएंगे। इसलिए, सरल और अधिक प्रभावी तरीके हैं।

आरंभ करने के लिए, हम ध्यान दें कि तथाकथित प्राथमिक कार्यों को विभिन्न प्रकार के कार्यों से अलग किया जा सकता है। ये अपेक्षाकृत सरल अभिव्यक्तियाँ हैं, जिनके व्युत्पन्नों की गणना लंबे समय से की गई है और तालिका में दर्ज किया गया है। ऐसे फ़ंक्शन को उनके डेरिवेटिव के साथ याद रखना काफी आसान है।

प्राथमिक कार्यों के व्युत्पन्न

प्राथमिक कार्य नीचे सूचीबद्ध सब कुछ हैं। इन कार्यों के व्युत्पन्नों को हृदय से जानना चाहिए। इसके अलावा, उन्हें याद रखना मुश्किल नहीं है - इसलिए वे प्राथमिक हैं।

तो, प्राथमिक कार्यों के व्युत्पन्न:

नाम	समारोह	यौगिक
स्थिर	एफ(एक्स) = सी, सी ∈ आर	0 (हाँ, हाँ, शून्य!)
तर्कसंगत प्रतिपादक के साथ डिग्री	एफ(एक्स) = एक्स एन	एन · एक्स एन − 1
साइनस	एफ(एक्स) = पाप एक्स	ओल एक्स
कोज्या	एफ(एक्स) = क्योंकि एक्स	− पाप एक्स(शून्य से साइन)
स्पर्शरेखा	एफ(एक्स) = टीजी एक्स	1/cos 2 एक्स
कोटैंजेंट	एफ(एक्स) = सीटीजी एक्स	− 1/sin2 एक्स
प्राकृतिक	एफ(एक्स) = लॉग एक्स	1/एक्स
मनमाना लघुगणक	एफ(एक्स) = लॉग ए एक्स	1/(एक्सएल.एन ए)
घातांक प्रकार्य	एफ(एक्स) = इ एक्स	इ एक्स(कुछ भी नहीं बदला)

यदि किसी प्राथमिक फ़ंक्शन को एक मनमाना स्थिरांक से गुणा किया जाता है, तो नए फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणना भी आसानी से की जाती है:

(सी · एफ)’ = सी · एफ ’.

सामान्य तौर पर, स्थिरांक को व्युत्पन्न के चिह्न से बाहर निकाला जा सकता है। उदाहरण के लिए:

(2एक्स 3)' = 2 ( एक्स 3)' = 2 3 एक्स 2 = 6एक्स 2 .

जाहिर है, प्राथमिक कार्यों को एक-दूसरे से जोड़ा जा सकता है, गुणा किया जा सकता है, विभाजित किया जा सकता है और भी बहुत कुछ किया जा सकता है। इस प्रकार नए फ़ंक्शन दिखाई देंगे, जो अब बहुत प्राथमिक नहीं होंगे, बल्कि कुछ नियमों के अनुसार भिन्न भी होंगे। इन नियमों पर नीचे चर्चा की गई है।

योग और अंतर का व्युत्पन्न

चलो कार्य करें एफ(एक्स) और जी(एक्स), जिसके व्युत्पन्न हमें ज्ञात हैं। उदाहरण के लिए, आप ऊपर चर्चा किए गए प्राथमिक कार्यों को ले सकते हैं। फिर आप इन कार्यों के योग और अंतर का व्युत्पन्न पा सकते हैं:

1. (एफ + जी)’ = एफ ’ + जी ’
2. (एफ − जी)’ = एफ ’ − जी ’

तो, दो कार्यों के योग (अंतर) का व्युत्पन्न, व्युत्पन्नों के योग (अंतर) के बराबर है। और भी शर्तें हो सकती हैं. उदाहरण के लिए, ( एफ + जी + एच)’ = एफ ’ + जी ’ + एच ’.

कड़ाई से कहें तो, बीजगणित में "घटाव" की कोई अवधारणा नहीं है। "नकारात्मक तत्व" की एक अवधारणा है। इसलिए, अंतर एफ − जीयोग के रूप में पुनः लिखा जा सकता है एफ+ (−1) जी, और तब केवल एक सूत्र बचता है - योग का व्युत्पन्न।

एफ(एक्स) = एक्स 2 + सिनक्स; जी(एक्स) = एक्स 4 + 2एक्स 2 − 3.

समारोह एफ(एक्स) दो प्राथमिक कार्यों का योग है, इसलिए:

एफ ’(एक्स) = (एक्स 2+ पाप एक्स)’ = (एक्स 2)' + (पाप) एक्स)’ = 2एक्स+cosx;

हम फ़ंक्शन के लिए समान तर्क देते हैं जी(एक्स). केवल पहले से ही तीन पद हैं (बीजगणित के दृष्टिकोण से):

जी ’(एक्स) = (एक्स 4 + 2एक्स 2 − 3)’ = (एक्स 4 + 2एक्स 2 + (−3))’ = (एक्स 4)’ + (2एक्स 2)’ + (−3)’ = 4एक्स 3 + 4एक्स + 0 = 4एक्स · ( एक्स 2 + 1).

उत्तर:
एफ ’(एक्स) = 2एक्स+cosx;
जी ’(एक्स) = 4एक्स · ( एक्स 2 + 1).

किसी उत्पाद का व्युत्पन्न

गणित एक तार्किक विज्ञान है, इसलिए बहुत से लोग मानते हैं कि यदि योग का व्युत्पन्न, व्युत्पन्नों के योग के बराबर है, तो उत्पाद का व्युत्पन्न होता है हड़ताल"\u003e डेरिवेटिव के उत्पाद के बराबर। लेकिन आपके लिए अंजीर! उत्पाद के व्युत्पन्न की गणना पूरी तरह से अलग सूत्र का उपयोग करके की जाती है। अर्थात्:

(एफ · जी) ’ = एफ ’ · जी + एफ · जी ’

सूत्र सरल है, लेकिन अक्सर भुला दिया जाता है। और न केवल स्कूली बच्चे, बल्कि छात्र भी। परिणाम गलत तरीके से हल की गई समस्याएं हैं।

काम। कार्यों के व्युत्पन्न खोजें: एफ(एक्स) = एक्स 3 कोक्स; जी(एक्स) = (एक्स 2 + 7एक्स− 7)· इ एक्स .

समारोह एफ(एक्स) दो प्राथमिक कार्यों का उत्पाद है, इसलिए सब कुछ सरल है:

एफ ’(एक्स) = (एक्स 3 कोस एक्स)’ = (एक्स 3)' क्योंकि एक्स + एक्स 3 (को एक्स)’ = 3एक्स 2 कोस एक्स + एक्स 3 (−पाप) एक्स) = एक्स 2 (3cos एक्स − एक्सपाप एक्स)

समारोह जी(एक्स) पहला गुणक थोड़ा अधिक जटिल है, लेकिन सामान्य योजना इससे नहीं बदलती है। जाहिर है, फ़ंक्शन का पहला गुणक जी(एक्स) एक बहुपद है, और इसका व्युत्पन्न योग का व्युत्पन्न है। हमारे पास है:

जी ’(एक्स) = ((एक्स 2 + 7एक्स− 7)· इ एक्स)’ = (एक्स 2 + 7एक्स− 7)' · इ एक्स + (एक्स 2 + 7एक्स− 7) ( इ एक्स)’ = (2एक्स+7) · इ एक्स + (एक्स 2 + 7एक्स− 7)· इ एक्स = इ एक्स(2 एक्स + 7 + एक्स 2 + 7एक्स −7) = (एक्स 2 + 9एक्स) · इ एक्स = एक्स(एक्स+9) · इ एक्स .

उत्तर:
एफ ’(एक्स) = एक्स 2 (3cos एक्स − एक्सपाप एक्स);
जी ’(एक्स) = एक्स(एक्स+9) · इ एक्स .

ध्यान दें कि अंतिम चरण में, व्युत्पन्न को गुणनखंडित किया जाता है। औपचारिक रूप से, यह आवश्यक नहीं है, लेकिन अधिकांश डेरिवेटिव की गणना स्वयं नहीं की जाती है, बल्कि फ़ंक्शन का पता लगाने के लिए की जाती है। इसका मतलब यह है कि आगे चलकर व्युत्पन्न को शून्य के बराबर किया जाएगा, उसके चिह्नों का पता लगाया जाएगा, इत्यादि। ऐसे मामले के लिए, अभिव्यक्ति को कारकों में विघटित करना बेहतर है।

यदि दो कार्य हैं एफ(एक्स) और जी(एक्स), और जी(एक्स) ≠ 0 हमारे लिए रुचि के सेट पर, हम एक नया फ़ंक्शन परिभाषित कर सकते हैं एच(एक्स) = एफ(एक्स)/जी(एक्स). ऐसे फ़ंक्शन के लिए, आप व्युत्पन्न भी पा सकते हैं:

कमज़ोर नहीं, है ना? माइनस कहां से आया? क्यों जी 2? और इस तरह! यह सबसे जटिल फ़ार्मुलों में से एक है - आप इसे बोतल के बिना नहीं समझ सकते। इसलिए, विशिष्ट उदाहरणों के साथ इसका अध्ययन करना बेहतर है।

काम। कार्यों के व्युत्पन्न खोजें:

प्रत्येक अंश के अंश और हर में प्राथमिक कार्य होते हैं, इसलिए हमें भागफल के व्युत्पन्न के लिए केवल सूत्र की आवश्यकता होती है:

परंपरा के अनुसार, हम अंश को गुणनखंडों में विभाजित करते हैं - इससे उत्तर बहुत सरल हो जाएगा:

एक जटिल फ़ंक्शन आवश्यक रूप से आधा किलोमीटर लंबा एक सूत्र नहीं है। उदाहरण के लिए, यह फ़ंक्शन लेने के लिए पर्याप्त है एफ(एक्स) = पाप एक्सऔर वेरिएबल को बदलें एक्स, कहो, पर एक्स 2+एल.एन एक्स. यह पता चला है एफ(एक्स) = पाप ( एक्स 2+एल.एन एक्स) एक जटिल कार्य है. उसका एक व्युत्पन्न भी है, लेकिन ऊपर चर्चा किए गए नियमों के अनुसार इसे ढूंढना संभव नहीं होगा।

हो कैसे? ऐसे मामलों में, एक चर के प्रतिस्थापन और एक जटिल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के लिए सूत्र मदद करते हैं:

एफ ’(एक्स) = एफ ’(टी) · टी', अगर एक्सद्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है टी(एक्स).

एक नियम के रूप में, इस सूत्र की समझ के साथ स्थिति भागफल के व्युत्पन्न से भी अधिक दुखद है। इसलिए, प्रत्येक चरण के विस्तृत विवरण के साथ, विशिष्ट उदाहरणों के साथ इसे समझाना भी बेहतर है।

काम। कार्यों के व्युत्पन्न खोजें: एफ(एक्स) = इ 2एक्स + 3 ; जी(एक्स) = पाप ( एक्स 2+एल.एन एक्स)

ध्यान दें कि यदि फ़ंक्शन में एफ(एक्स) अभिव्यक्ति 2 के स्थान पर एक्स+3 आसान होगा एक्स, तो हमें एक प्राथमिक कार्य मिलता है एफ(एक्स) = इ एक्स. इसलिए, हम एक प्रतिस्थापन करते हैं: मान लीजिए 2 एक्स + 3 = टी, एफ(एक्स) = एफ(टी) = इ टी. हम सूत्र द्वारा एक जटिल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की तलाश कर रहे हैं:

एफ ’(एक्स) = एफ ’(टी) · टी ’ = (इ टी)’ · टी ’ = इ टी · टी ’

और अब - ध्यान! उलटा प्रतिस्थापन करना: टी = 2एक्स+3. हमें मिलता है:

एफ ’(एक्स) = इ टी · टी ’ = इ 2एक्स+3(2 एक्स + 3)’ = इ 2एक्स+ 3 2 = 2 इ 2एक्स + 3

अब आइए फ़ंक्शन पर नजर डालें जी(एक्स). जाहिर तौर पर इसे बदलने की जरूरत है। एक्स 2+एल.एन एक्स = टी. हमारे पास है:

जी ’(एक्स) = जी ’(टी) · टी'= (पाप टी)’ · टी' = क्योंकि टी · टी ’

उलटा प्रतिस्थापन: टी = एक्स 2+एल.एन एक्स. तब:

जी ’(एक्स) = क्योंकि( एक्स 2+एल.एन एक्स) · ( एक्स 2+एल.एन एक्स)' = क्योंकि ( एक्स 2+एल.एन एक्स) · (2 एक्स + 1/एक्स).

बस इतना ही! जैसा कि अंतिम अभिव्यक्ति से देखा जा सकता है, पूरी समस्या को योग के व्युत्पन्न की गणना करने के लिए कम कर दिया गया है।

उत्तर:
एफ ’(एक्स) = 2 इ 2एक्स + 3 ;
जी ’(एक्स) = (2एक्स + 1/एक्स) क्योंकि( एक्स 2+एल.एन एक्स).

मैं अक्सर अपने पाठों में "व्युत्पन्न" शब्द के स्थान पर "स्ट्रोक" शब्द का उपयोग करता हूँ। उदाहरण के लिए, योग का स्ट्रोक स्ट्रोक के योग के बराबर होता है। क्या यह अधिक स्पष्ट है? अच्छा, यह तो अच्छी बात है।

इस प्रकार, ऊपर चर्चा किए गए नियमों के अनुसार व्युत्पन्न की गणना इन्हीं स्ट्रोक से छुटकारा पाने के लिए आती है। अंतिम उदाहरण के रूप में, आइए एक तर्कसंगत घातांक के साथ व्युत्पन्न शक्ति पर वापस लौटें:

(एक्स एन)’ = एन · एक्स एन − 1

इस भूमिका के बारे में बहुत कम लोग जानते हैं एनयह एक भिन्नात्मक संख्या भी हो सकती है। उदाहरण के लिए, जड़ है एक्स 0.5 . लेकिन क्या होगा अगर जड़ के नीचे कुछ पेचीदा बात हो? फिर से, एक जटिल कार्य सामने आएगा - वे ऐसे निर्माणों को परीक्षणों और परीक्षाओं में देना पसंद करते हैं।

काम। किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:

सबसे पहले, आइए मूल को एक तर्कसंगत घातांक के साथ घात के रूप में फिर से लिखें:

एफ(एक्स) = (एक्स 2 + 8एक्स − 7) 0,5 .

अब हम एक प्रतिस्थापन करते हैं: चलो एक्स 2 + 8एक्स − 7 = टी. हम सूत्र द्वारा व्युत्पन्न पाते हैं:

एफ ’(एक्स) = एफ ’(टी) · टी ’ = (टी 0.5)' टी' = 0.5 टी-0.5 टी ’.

हम उलटा प्रतिस्थापन करते हैं: टी = एक्स 2 + 8एक्स− 7. हमारे पास है:

एफ ’(एक्स) = 0.5 ( एक्स 2 + 8एक्स− 7) −0.5 ( एक्स 2 + 8एक्स− 7)' = 0.5 (2 एक्स+8)( एक्स 2 + 8एक्स − 7) −0,5 .

अंत में, जड़ों की ओर वापस जाएँ:

दिनांक: 11/20/2014

व्युत्पन्न क्या है?

व्युत्पन्न तालिका.

व्युत्पन्न उच्च गणित की मुख्य अवधारणाओं में से एक है। इस पाठ में हम इस अवधारणा का परिचय देंगे। आइए सख्त गणितीय सूत्रों और प्रमाणों के बिना परिचित हों।

यह परिचय आपको इसकी अनुमति देगा:

व्युत्पन्न के साथ सरल कार्यों का सार समझें;

इन अत्यंत सरल कार्यों को सफलतापूर्वक हल करें;

अधिक गंभीर व्युत्पन्न पाठों की तैयारी करें।

सबसे पहले, एक सुखद आश्चर्य.

व्युत्पन्न की सख्त परिभाषा सीमा के सिद्धांत पर आधारित है, और बात काफी जटिल है। यह परेशान करने वाला है. लेकिन व्युत्पन्न के व्यावहारिक अनुप्रयोग के लिए, एक नियम के रूप में, इतने व्यापक और गहन ज्ञान की आवश्यकता नहीं होती है!

स्कूल और विश्वविद्यालय में अधिकांश कार्यों को सफलतापूर्वक पूरा करने के लिए, यह जानना ही पर्याप्त है बस कुछ शर्तें- कार्य को समझने के लिए, और बस कुछ नियम- इसे हल करने के लिए. और बस। यह मुझे आनंद देता है।

क्या हम एक दूसरे को जानेंगे?)

शर्तें और पदनाम.

प्रारंभिक गणित में कई गणितीय संक्रियाएँ होती हैं। जोड़, घटाव, गुणा, घातांक, लघुगणक, आदि। यदि इन संक्रियाओं में एक और संक्रिया जोड़ दी जाए तो प्रारंभिक गणित उच्चतर हो जाता है। इस नए ऑपरेशन को कहा जाता है भेदभावइस ऑपरेशन की परिभाषा और अर्थ पर अलग-अलग पाठों में चर्चा की जाएगी।

यहां यह समझना महत्वपूर्ण है कि विभेदन किसी फ़ंक्शन पर केवल एक गणितीय संक्रिया है। हम कोई भी कार्य लेते हैं और कुछ नियमों के अनुसार उसे रूपांतरित करते हैं। परिणाम एक नया कार्य है. इस नए फ़ंक्शन को कहा जाता है: व्युत्पन्न.

भेदभाव- किसी फ़ंक्शन पर कार्रवाई।

यौगिकइस क्रिया का परिणाम है.

जैसे, उदाहरण के लिए, जोड़जोड़ का परिणाम है. या निजीविभाजन का परिणाम है.

शर्तों को जानकर, आप कम से कम कार्यों को समझ सकते हैं।) शब्दावली इस प्रकार है: किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें; व्युत्पन्न ले लो; फ़ंक्शन को अलग करें; व्युत्पन्न की गणना करेंऔर इसी तरह। यह सब है वही।बेशक, अधिक जटिल कार्य हैं, जहां व्युत्पन्न (विभेदीकरण) खोजना कार्य को हल करने के चरणों में से एक होगा।

व्युत्पन्न को फ़ंक्शन के ऊपर दाईं ओर एक डैश द्वारा दर्शाया गया है। इस कदर: य"या च"(x)या अनुसूचित जनजाति)और इसी तरह।

पढ़ना y स्ट्रोक, ef स्ट्रोक से x, es स्ट्रोक से te,ठीक है आप समझ गए...)

एक अभाज्य किसी विशेष फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को भी निरूपित कर सकता है, उदाहरण के लिए: (2x+3)", (एक्स 3 )" , (सिनक्स)"वगैरह। अक्सर अवकलज को विभेदकों का उपयोग करके निरूपित किया जाता है, लेकिन हम इस पाठ में ऐसे अंकन पर विचार नहीं करेंगे।

मान लीजिए कि हमने कार्यों को समझना सीख लिया है। उन्हें हल करने का तरीका सीखने के लिए कुछ भी नहीं बचा है।) मैं आपको फिर से याद दिला दूं: व्युत्पन्न खोजना है कुछ नियमों के अनुसार किसी फ़ंक्शन का परिवर्तन।ये नियम आश्चर्यजनक रूप से कम हैं।

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजने के लिए, आपको केवल तीन चीज़ें जानने की आवश्यकता है। तीन स्तंभ जिन पर सभी भेदभाव टिके हुए हैं। यहाँ तीन व्हेल हैं:

1. डेरिवेटिव की तालिका (विभेदीकरण सूत्र)।

3. एक जटिल फलन का व्युत्पन्न।

आइए क्रम से शुरू करें। इस पाठ में, हम डेरिवेटिव की तालिका पर विचार करेंगे।

व्युत्पन्न तालिका.

संसार में अनंत प्रकार के कार्य हैं। इस सेट में ऐसे फ़ंक्शन हैं जो व्यावहारिक अनुप्रयोग के लिए सबसे महत्वपूर्ण हैं। ये कार्य प्रकृति के सभी नियमों में समाहित हैं। इन कार्यों से, ईंटों की तरह, आप अन्य सभी का निर्माण कर सकते हैं। कार्यों के इस वर्ग को कहा जाता है प्राथमिक कार्य.स्कूल में इन कार्यों का अध्ययन किया जाता है - रैखिक, द्विघात, अतिपरवलय, आदि।

कार्यों का विभेदन "शुरुआत से", अर्थात्। व्युत्पन्न की परिभाषा और सीमा के सिद्धांत के आधार पर - काफी समय लेने वाली चीज़। और गणितज्ञ भी लोग हैं, हाँ, हाँ!) इसलिए उन्होंने अपने (और हमारे) जीवन को सरल बना दिया। उन्होंने हमसे पहले प्राथमिक कार्यों के व्युत्पन्न की गणना की। परिणाम डेरिवेटिव की एक तालिका है, जहां सब कुछ तैयार है।)

यहाँ यह है, सबसे लोकप्रिय कार्यों के लिए यह प्लेट। बायां - प्राथमिक कार्य, दायां - इसका व्युत्पन्न।

	समारोह य	फ़ंक्शन y का व्युत्पन्न य"
1	सी (स्थिर)	सी" = 0
2	एक्स	एक्स" = 1
3	x n (n कोई संख्या है)	(x n)" = nx n-1
	एक्स 2 (एन = 2)	(x 2)" = 2x
4	पाप एक्स	(sinx)"=cosx
	क्योंकि x	(क्योंकि x)" = - पाप x
	टीजी एक्स
	सीटीजी एक्स
5	आर्कसिन एक्स
	आर्ककोस एक्स
	आर्कटग एक्स
	आर्कसीटीजी एक्स
4	एएक्स
	इएक्स
5	लकड़ी का लट्ठा एएक्स
	एलएन एक्स ( ए = ई)

मैं डेरिवेटिव की इस तालिका में कार्यों के तीसरे समूह पर ध्यान देने की सलाह देता हूं। पावर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न सबसे आम सूत्रों में से एक है, यदि सबसे आम नहीं है! क्या संकेत स्पष्ट है?) हां, डेरिवेटिव की तालिका को दिल से जानना वांछनीय है। वैसे, यह उतना मुश्किल नहीं है जितना लगता है। अधिक उदाहरणों को हल करने का प्रयास करें, तालिका स्वयं याद हो जाएगी!)

जैसा कि आप समझते हैं, व्युत्पन्न का सारणीबद्ध मान ज्ञात करना सबसे कठिन कार्य नहीं है। इसलिए, अक्सर ऐसे कार्यों में अतिरिक्त चिप्स होते हैं। या तो कार्य के निरूपण में, या मूल फ़ंक्शन में, जो तालिका में प्रतीत नहीं होता है...

आइए कुछ उदाहरण देखें:

1. फलन y = x का अवकलज ज्ञात कीजिए 3

तालिका में ऐसा कोई फ़ंक्शन नहीं है. लेकिन पावर फ़ंक्शन (तीसरे समूह) का एक सामान्य व्युत्पन्न है। हमारे मामले में, n=3. इसलिए हम n के स्थान पर त्रिक को प्रतिस्थापित करते हैं और परिणाम को ध्यानपूर्वक लिखते हैं:

(एक्स 3) " = 3 एक्स 3-1 = 3x 2

इसके लिए यही सब कुछ है।

उत्तर: y" = 3x 2

2. बिंदु x = 0 पर फलन y = synx के अवकलज का मान ज्ञात कीजिए।

इस कार्य का अर्थ है कि आपको पहले साइन का व्युत्पन्न खोजना होगा, और फिर मान को प्रतिस्थापित करना होगा एक्स = 0इसी व्युत्पन्न के लिए. यह उसी क्रम में है!अन्यथा, ऐसा होता है कि वे तुरंत मूल फ़ंक्शन में शून्य डाल देते हैं ... हमें मूल फ़ंक्शन का मान नहीं, बल्कि मान खोजने के लिए कहा जाता है इसका व्युत्पन्न.व्युत्पन्न, मैं आपको याद दिला दूं, पहले से ही एक नया फ़ंक्शन है।

प्लेट पर हम साइन और संबंधित व्युत्पन्न पाते हैं:

y" = (sinx)" = cosx

व्युत्पन्न में शून्य रखें:

y"(0) = cos 0 = 1

यही उत्तर होगा.

3. फ़ंक्शन को अलग करें:

क्या प्रेरित करता है?) डेरिवेटिव की तालिका में ऐसा फ़ंक्शन करीब भी नहीं है।

मैं आपको याद दिला दूं कि किसी फ़ंक्शन को अलग करने का मतलब केवल इस फ़ंक्शन का व्युत्पन्न ढूंढना है। यदि आप प्राथमिक त्रिकोणमिति को भूल जाते हैं, तो हमारे फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजना काफी परेशानी भरा है। तालिका मदद नहीं करती...

लेकिन अगर हम देखें तो हमारा कार्य है दोहरे कोण की कोज्या, तो सब कुछ तुरंत बेहतर हो जाता है!

हां हां! याद रखें कि मूल फ़ंक्शन का परिवर्तन भेदभाव से पहलेबिल्कुल स्वीकार्य! और ऐसा होने से जीवन बहुत आसान हो जाता है। दोहरे कोण की कोज्या के सूत्र के अनुसार:

वे। हमारा पेचीदा कार्य और कुछ नहीं है y = कॉक्स. और यह एक टेबल फ़ंक्शन है. हमें तुरंत मिलता है:

उत्तर: y" = - पाप x.

उन्नत स्नातकों और छात्रों के लिए उदाहरण:

4. किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:

निस्संदेह, डेरिवेटिव तालिका में ऐसा कोई फ़ंक्शन नहीं है। लेकिन अगर आपको प्रारंभिक गणित, शक्तियों के साथ क्रियाएं याद हैं... तो इस फ़ंक्शन को सरल बनाना काफी संभव है। इस कदर:

और x से दसवें की घात पहले से ही एक सारणीबद्ध फलन है! तीसरा समूह, n=1/10. सीधे सूत्र के अनुसार लिखें:

बस इतना ही। यही उत्तर होगा.

मुझे आशा है कि भेदभाव की पहली व्हेल - डेरिवेटिव की तालिका - के साथ सब कुछ स्पष्ट है। शेष दो व्हेलों से निपटना बाकी है। अगले पाठ में हम विभेदन के नियम सीखेंगे।

ज्यामिति, यांत्रिकी, भौतिकी और ज्ञान की अन्य शाखाओं की विभिन्न समस्याओं को हल करते समय, किसी दिए गए फ़ंक्शन से समान विश्लेषणात्मक प्रक्रिया का उपयोग करना आवश्यक हो गया y=f(x)एक नया फ़ंक्शन कॉल करें व्युत्पन्न कार्य(या केवल इस फ़ंक्शन का व्युत्पन्न (f(x))और प्रतीकात्मक हैं

वह प्रक्रिया जिसके द्वारा कोई दिया गया कार्य एफ(एक्स)एक नया फ़ंक्शन प्राप्त करें च"(x), बुलाया भेदभावऔर इसमें निम्नलिखित तीन चरण शामिल हैं: 1) हम तर्क देते हैं एक्सवेतन वृद्धि  एक्सऔर फ़ंक्शन की संगत वृद्धि निर्धारित करें  y = f(x+ एक्स)-एफ(एक्स); 2) संबंध बनाना

3)गिनती एक्सस्थायी, और  एक्स0, हम पाते हैं
, जिसे द्वारा दर्शाया जाता है च"(x), मानो इस बात पर ज़ोर दे रहा हो कि परिणामी फ़ंक्शन केवल मान पर निर्भर करता है एक्स, जिस पर हम सीमा तक पहुँच जाते हैं। परिभाषा: व्युत्पन्न y "=f" (x) दिया गया फलन y=f(x) दिया गया एक्सफ़ंक्शन की वृद्धि और तर्क की वृद्धि के अनुपात की सीमा को कहा जाता है, बशर्ते कि तर्क की वृद्धि शून्य हो जाती है, यदि, निश्चित रूप से, यह सीमा मौजूद है, यानी। परिमित. इस प्रकार,
, या

ध्यान दें कि यदि कुछ मूल्य के लिए एक्स, उदाहरण के लिए जब एक्स=ए, रिश्ता
पर  एक्स0 एक सीमित सीमा की ओर प्रवृत्त नहीं होता है, तो इस मामले में हम कहते हैं कि फ़ंक्शन एफ(एक्स)पर एक्स=ए(या बिंदु पर एक्स=ए) का कोई व्युत्पन्न नहीं है या किसी बिंदु पर अवकलनीय नहीं है एक्स=ए.

2. व्युत्पत्ति का ज्यामितीय अर्थ.

फ़ंक्शन y \u003d f (x) के ग्राफ़ पर विचार करें, जो बिंदु x 0 के आसपास भिन्न है

एफ(एक्स)

आइए फ़ंक्शन के ग्राफ़ के बिंदु - बिंदु A (x 0, f (x 0)) से होकर गुजरने वाली एक मनमाना सीधी रेखा पर विचार करें और ग्राफ़ को किसी बिंदु B (x; f (x)) पर प्रतिच्छेद करें। ऐसी सीधी रेखा (AB) को छेदक रेखा कहा जाता है। ∆ABC से: ​​AC = ∆x; BC = ∆y; tgβ=∆y/∆x .

चूंकि एसी || बैल, तो ALO = BAC = β (समानांतर में संगत के रूप में)। लेकिन ALO ऑक्स अक्ष की धनात्मक दिशा में छेदक AB के झुकाव का कोण है। अतः, tgβ = k सीधी रेखा AB का ढलान है।

अब हम ∆x घटाएंगे, यानी। ∆x→ 0. इस स्थिति में, बिंदु B ग्राफ़ के अनुसार बिंदु A तक पहुंचेगा, और छेदक AB घूमेगा। ∆x → 0 पर छेदक AB की सीमित स्थिति सीधी रेखा (a) होगी, जिसे बिंदु A पर फ़ंक्शन y \u003d f (x) के ग्राफ की स्पर्श रेखा कहा जाता है।

यदि हम समानता tgβ =∆y/∆x में ∆х → 0 के रूप में सीमा तक जाते हैं, तो हमें मिलता है
या tg \u003d f "(x 0), चूँकि
-ऑक्स अक्ष की सकारात्मक दिशा के स्पर्शरेखा के झुकाव का कोण
, एक व्युत्पन्न की परिभाषा के अनुसार। लेकिन tg = k स्पर्शरेखा का ढलान है, जिसका अर्थ है कि k = tg = f "(x 0)।

तो, व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ इस प्रकार है:

किसी बिंदु x पर किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न 0 भुज x के साथ बिंदु पर खींचे गए फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा के ढलान के बराबर 0 .

3. व्युत्पत्ति का भौतिक अर्थ.

एक सीधी रेखा में एक बिंदु की गति पर विचार करें। मान लीजिए किसी भी समय बिंदु का निर्देशांक x(t) दिया गया है। यह ज्ञात है (भौतिकी के पाठ्यक्रम से) कि किसी समयावधि में औसत गति इस अवधि के दौरान तय की गई दूरी के अनुपात के बराबर होती है, अर्थात।

वाव = ∆x/∆t. आइए अंतिम समानता की सीमा को ∆t → 0 के रूप में पार करें।

लिम वाव (t) = (t 0) - समय t 0, ∆t → 0 पर तात्कालिक गति।

और lim = ∆x/∆t = x "(t 0) (व्युत्पन्न की परिभाषा के अनुसार)।

तो, (t) = x"(t).

व्युत्पन्न का भौतिक अर्थ इस प्रकार है: फ़ंक्शन का व्युत्पन्नय = एफ(एक्स) बिंदु परएक्स 0 फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर हैएफ(x) बिंदु परएक्स 0

व्युत्पन्न का उपयोग भौतिकी में समय से निर्देशांक के ज्ञात फ़ंक्शन से गति, समय से गति के ज्ञात फ़ंक्शन से त्वरण का पता लगाने के लिए किया जाता है।

 (t) \u003d x "(t) - गति,

ए(एफ) = "(टी) - त्वरण, या

यदि वृत्त के अनुदिश किसी भौतिक बिंदु की गति का नियम ज्ञात हो, तो घूर्णी गति के दौरान कोणीय वेग और कोणीय त्वरण ज्ञात करना संभव है:

φ = φ(t) - समय के साथ कोण में परिवर्तन,

ω \u003d φ "(टी) - कोणीय वेग,

ε = φ"(t) - कोणीय त्वरण, या ε = φ"(t).

यदि एक अमानवीय छड़ के द्रव्यमान का वितरण नियम ज्ञात है, तो अमानवीय छड़ का रैखिक घनत्व पाया जा सकता है:

एम = एम (एक्स) - द्रव्यमान,

x  , एल - रॉड की लंबाई,

पी \u003d एम "(एक्स) - रैखिक घनत्व।

व्युत्पन्न की सहायता से लोच और हार्मोनिक कंपन के सिद्धांत की समस्याओं का समाधान किया जाता है। हाँ, हुक के नियम के अनुसार

एफ = -केएक्स, एक्स - चर समन्वय, के - वसंत की लोच का गुणांक। ω 2 \u003d k / m रखने पर, हमें स्प्रिंग पेंडुलम x "(t) + ω 2 x (t) \u003d 0 का अंतर समीकरण प्राप्त होता है,

जहां ω = √k/√m दोलन आवृत्ति (l/c) है, k स्प्रिंग दर (H/m) है।

फॉर्म y "+ ω 2 y \u003d 0 के समीकरण को हार्मोनिक दोलनों (यांत्रिक, विद्युत, विद्युत चुम्बकीय) का समीकरण कहा जाता है। ऐसे समीकरणों का समाधान फ़ंक्शन है

y = Asin(ωt + φ 0) या y = Acos(ωt + φ 0), जहां

ए - दोलन आयाम, ω - चक्रीय आवृत्ति,

φ 0 - प्रारंभिक चरण।

व्युत्पन्न गणनाडिफरेंशियल कैलकुलस में सबसे महत्वपूर्ण ऑपरेशनों में से एक है। सरल कार्यों के व्युत्पन्न खोजने के लिए नीचे एक तालिका है। अधिक जटिल विभेदीकरण नियमों के लिए, अन्य पाठ देखें:

• घातांकीय और लघुगणकीय फलनों के व्युत्पन्नों की तालिका

दिए गए सूत्रों को संदर्भ मान के रूप में उपयोग करें। वे विभेदक समीकरणों और समस्याओं को हल करने में मदद करेंगे। चित्र में, सरल कार्यों के व्युत्पन्न की तालिका में, उपयोग के लिए समझने योग्य रूप में व्युत्पन्न खोजने के मुख्य मामलों की एक "चीट शीट" है, इसके आगे प्रत्येक मामले के लिए स्पष्टीकरण हैं।

सरल कार्यों के व्युत्पन्न

1. किसी संख्या का व्युत्पन्नशून्य
с´ = 0
उदाहरण:
5' = 0

स्पष्टीकरण:
व्युत्पन्न उस दर को दर्शाता है जिस पर तर्क बदलने पर फ़ंक्शन का मान बदलता है। चूँकि संख्या किसी भी परिस्थिति में किसी भी तरह से नहीं बदलती है, इसलिए इसके परिवर्तन की दर हमेशा शून्य होती है।

2. एक चर का व्युत्पन्नएक के बराबर
एक्स' = 1

स्पष्टीकरण:
तर्क (x) में प्रत्येक वृद्धि के साथ, फ़ंक्शन का मान (गणना परिणाम) उसी राशि से बढ़ता है। इस प्रकार, फ़ंक्शन y = x के मान में परिवर्तन की दर तर्क के मान में परिवर्तन की दर के बिल्कुल बराबर है।

3. एक चर और एक गुणनखंड का व्युत्पन्न इस गुणनखंड के बराबर होता है
сx´ = с
उदाहरण:
(3x)´ = 3
(2x)´ = 2
स्पष्टीकरण:
इस मामले में, हर बार फ़ंक्शन तर्क ( एक्स) इसका मान (y) बढ़ता है साथएक बार। इस प्रकार, तर्क के परिवर्तन की दर के संबंध में फ़ंक्शन के मूल्य में परिवर्तन की दर बिल्कुल मूल्य के बराबर है साथ.

यह कहां से इसका अनुसरण करता है
(सीएक्स + बी)" = सी
अर्थात्, रैखिक फलन y=kx+b का अंतर सीधी रेखा (k) के ढलान के बराबर है।

4. एक चर का मॉड्यूलो व्युत्पन्नइस चर के भागफल के मापांक के बराबर है
|x|"= एक्स / |एक्स| बशर्ते कि x ≠ 0
स्पष्टीकरण:
चूंकि चर का व्युत्पन्न (सूत्र 2 देखें) एक के बराबर है, मापांक का व्युत्पन्न केवल इसमें भिन्न होता है कि मूल बिंदु को पार करने पर फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर का मान विपरीत में बदल जाता है (ग्राफ खींचने का प्रयास करें) फ़ंक्शन y = |x| का और स्वयं देखें। यह बिल्कुल मान है और अभिव्यक्ति x / |x| लौटाता है जब x< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - एक. अर्थात्, चर x के नकारात्मक मानों के साथ, तर्क में परिवर्तन में प्रत्येक वृद्धि के साथ, फ़ंक्शन का मान बिल्कुल उसी मान से घट जाता है, और सकारात्मक मानों के साथ, इसके विपरीत, यह बढ़ता है, लेकिन ठीक से वही मूल्य.

5. एक चर की शक्ति व्युत्पन्नइस शक्ति की संख्या और शक्ति में चर के उत्पाद के बराबर है, एक से कम
(x c)"= cx c-1, बशर्ते कि x c और cx c-1 परिभाषित हों और c ≠ 0
उदाहरण:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
फार्मूला याद करने के लिए:
चर "नीचे" के घातांक को गुणक के रूप में लें, और फिर घातांक को एक से कम करें। उदाहरण के लिए, x के लिए 2 - दो x से आगे था, और फिर कम हुई शक्ति (2-1 = 1) ने हमें केवल 2x दिया। x 3 के लिए भी यही हुआ - हम तीन को "कम" करते हैं, इसे एक से कम करते हैं और एक घन के बजाय हमारे पास एक वर्ग होता है, यानी 3x 2। थोड़ा "अवैज्ञानिक", लेकिन याद रखना बहुत आसान है।

6.अंश व्युत्पन्न 1/x
(1/x)" = - 1/x 2
उदाहरण:
चूँकि एक अंश को नकारात्मक घात तक बढ़ाने के रूप में दर्शाया जा सकता है
(1/x)" = (x -1)" , तो आप व्युत्पन्न तालिका के नियम 5 से सूत्र लागू कर सकते हैं
(x -1)" = -1x -2 = - 1 / x 2

7. अंश व्युत्पन्न मनमानी डिग्री के एक चर के साथहर में
(1/x सी)"= - सी/एक्स सी+1
उदाहरण:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3

8. जड़ व्युत्पन्न(वर्गमूल के अंतर्गत चर का व्युत्पन्न)
(√x)" = 1 / (2√x)या 1/2 x -1/2
उदाहरण:
(√x)" = (x 1/2)" ताकि आप नियम 5 से सूत्र लागू कर सकें
(x 1/2)" = 1/2 x -1/2 = 1 / (2√x)

9. एक मनमानी डिग्री की जड़ के तहत एक चर का व्युत्पन्न
(एन √ एक्स)" = 1 / (एन एन √ एक्स एन-1)