सटीक फाइबोनैचि संख्या. ईश्वर संख्या, फाइबोनैचि संख्या, स्वर्णिम अनुपात

बच्चों के लिए ज्वरनाशक दवाएं बाल रोग विशेषज्ञ द्वारा निर्धारित की जाती हैं। लेकिन बुखार के साथ आपातकालीन स्थितियाँ होती हैं जब बच्चे को तुरंत दवा देने की आवश्यकता होती है। तब माता-पिता जिम्मेदारी लेते हैं और ज्वरनाशक दवाओं का उपयोग करते हैं। शिशुओं को क्या देने की अनुमति है? आप बड़े बच्चों में तापमान कैसे कम कर सकते हैं? कौन सी दवाएँ सबसे सुरक्षित हैं?

फाइबोनैचि अनुक्रम को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

इसके कुछ प्रथम सदस्य:

कहानी

इन नंबरों को 1202 में लियोनार्डो फिबोनाची (जिन्हें लियोनार्डो पिसानो के नाम से भी जाना जाता है) द्वारा पेश किया गया था। हालाँकि, यह 19वीं सदी के गणितज्ञ लुकास का धन्यवाद था कि "फाइबोनैचि संख्या" नाम आमतौर पर इस्तेमाल किया जाने लगा।

हालाँकि, भारतीय गणितज्ञों ने इस क्रम की संख्याओं का उल्लेख पहले भी किया था: गोपाल 1135 तक, हेमचंद्र - 1150 में।

प्रकृति में फाइबोनैचि संख्याएँ

फाइबोनैचि ने स्वयं निम्नलिखित समस्या के संबंध में इन संख्याओं का उल्लेख किया है: "एक आदमी ने खरगोशों के एक जोड़े को एक दीवार से चारों ओर से घिरे एक बाड़े में रखा। यह जोड़ा एक वर्ष में कितने जोड़े खरगोश पैदा कर सकता है, यदि यह ज्ञात हो कि प्रत्येक दूसरे महीने से शुरू करके, क्या प्रत्येक जोड़ा एक जोड़ा खरगोश पैदा करता है?" इस समस्या का समाधान अब उनके सम्मान में नामित अनुक्रम की संख्याएँ होंगी। हालाँकि, फाइबोनैचि द्वारा वर्णित स्थिति वास्तविक प्रकृति से अधिक मन का खेल है।

भारतीय गणितज्ञ गोपाल और हेमचंद्र ने कविता में लंबे और छोटे अक्षरों के विकल्प या संगीत में मजबूत और कमजोर ताल के परिणामस्वरूप लयबद्ध पैटर्न की संख्या के संबंध में इस अनुक्रम की संख्याओं का उल्लेख किया। कुल शेयरों वाले ऐसे आहरणों की संख्या बराबर है।

प्रकृति में पाई जाने वाली संख्याओं (हेक्सागोनल स्नोफ्लेक्स पर) पर केपलर के 1611 के काम में फाइबोनैचि संख्याएँ भी दिखाई देती हैं।

पौधे का एक दिलचस्प उदाहरण यारो है, जिसके तनों (और इसलिए फूलों) की संख्या हमेशा फाइबोनैचि संख्या होती है। इसका कारण सरल है: शुरू में एक ही तना होने के बाद, वह तना फिर दो भागों में विभाजित हो जाता है, फिर एक और शाखा मुख्य तने से अलग हो जाती है, फिर पहले दो तने फिर से शाखा लगाते हैं, फिर अंतिम दो तने को छोड़कर सभी शाखाएँ, और इसी तरह पर। इस प्रकार, प्रत्येक तना, अपनी उपस्थिति के बाद, एक शाखा को "छोड़ देता है", और फिर शाखा के प्रत्येक स्तर पर विभाजित होना शुरू हो जाता है, जिसके परिणामस्वरूप फाइबोनैचि संख्याएँ प्राप्त होती हैं।

सामान्यतया, कई फूलों (उदाहरण के लिए, लिली) के लिए, पंखुड़ियों की संख्या एक या एक अन्य फाइबोनैचि संख्या होती है।

"फाइलोटैक्सिस" की घटना को वनस्पति विज्ञान में भी जाना जाता है। एक उदाहरण सूरजमुखी के बीजों की व्यवस्था है: यदि आप ऊपर से उनकी व्यवस्था को देखते हैं, तो आप एक साथ सर्पिल की दो श्रृंखला देख सकते हैं (जैसे कि एक दूसरे पर आरोपित): कुछ दक्षिणावर्त मुड़े हुए हैं, अन्य वामावर्त। यह पता चलता है कि इन सर्पिलों की संख्या लगभग दो क्रमिक फाइबोनैचि संख्याओं के समान है: 34 और 55 या 89 और 144। इसी तरह के तथ्य कुछ अन्य फूलों के साथ-साथ पाइन शंकु, ब्रोकोली, अनानास, आदि के लिए भी सच हैं।

कई पौधों के लिए (कुछ स्रोतों के अनुसार, उनमें से 90% के लिए) यह दिलचस्प तथ्य सच है। आइए किसी पत्ते पर विचार करें, और हम उससे तब तक नीचे उतरेंगे जब तक कि हम ठीक उसी तरह से तने पर स्थित एक पत्ते तक नहीं पहुंच जाते (यानी, बिल्कुल उसी दिशा में निर्देशित)। रास्ते में, हम उन सभी पत्तियों को गिनेंगे जो हमारे सामने आईं (अर्थात्, प्रारंभिक पत्ती और अंतिम पत्ती के बीच की ऊंचाई में स्थित), लेकिन अलग-अलग स्थित हैं। उन्हें क्रमांकित करके, हम धीरे-धीरे तने के चारों ओर चक्कर लगाएंगे (क्योंकि पत्तियाँ तने पर एक सर्पिल में स्थित होती हैं)। इस पर निर्भर करते हुए कि आप दक्षिणावर्त घुमाते हैं या वामावर्त, आपको अलग-अलग संख्या में घुमाव मिलेंगे। लेकिन यह पता चला है कि हमने जितने घुमाव दक्षिणावर्त बनाए, जितने घुमाव हमने वामावर्त बनाए, और जितनी पत्तियों का हमने सामना किया, वे लगातार 3 फाइबोनैचि संख्याएँ बनाती हैं।

हालाँकि, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि ऐसे पौधे भी हैं जिनके लिए उपरोक्त गणना पूरी तरह से अलग अनुक्रमों से संख्याएँ देगी, इसलिए यह नहीं कहा जा सकता है कि फ़ाइलोटैक्सिस की घटना एक कानून है - बल्कि यह एक दिलचस्प प्रवृत्ति है।

गुण

फाइबोनैचि संख्याओं में कई दिलचस्प गणितीय गुण होते हैं।

यहां उनमें से कुछ दिए गए हैं:

फाइबोनैचि संख्या प्रणाली

ज़ेकेंडॉर्फ का प्रमेयबताता है कि किसी भी प्राकृतिक संख्या को फाइबोनैचि संख्याओं के योग के रूप में विशिष्ट रूप से दर्शाया जा सकता है:

जहां , , , (अर्थात, प्रविष्टि में दो आसन्न फाइबोनैचि संख्याओं का उपयोग नहीं किया जा सकता है)।

इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि किसी भी संख्या को विशिष्ट रूप से लिखा जा सकता है फाइबोनैचि संख्या प्रणाली, उदाहरण के लिए:

इसके अलावा, किसी भी संख्या में एक पंक्ति में दो नहीं हो सकते।

फाइबोनैचि संख्या प्रणाली में किसी संख्या में एक जोड़ने का नियम प्राप्त करना मुश्किल नहीं है: यदि सबसे छोटा अंक 0 है, तो हम इसे 1 से बदल देते हैं, और यदि यह 1 के बराबर है (यानी अंत में 01 है) , फिर 01 को 10 से बदल दिया जाता है। फिर हम रिकॉर्ड को "सही" करते हैं, क्रमिक रूप से 011 को हर जगह 100 से सही करते हैं। परिणामस्वरूप, रैखिक समय में एक नई संख्या का रिकॉर्ड प्राप्त होगा।

किसी संख्या को फाइबोनैचि संख्या प्रणाली में परिवर्तित करना एक सरल "लालची" एल्गोरिदम द्वारा किया जाता है: हम बस फाइबोनैचि संख्याओं को बड़े से छोटे तक क्रमबद्ध करते हैं और, यदि कुछ है, तो इसे संख्या के अंकन में शामिल किया जाता है, और हम इससे घटाते हैं। और खोज जारी रखें.

nवीं फाइबोनैचि संख्या के लिए सूत्र

मूलांक के माध्यम से सूत्र

एक अद्भुत सूत्र है जिसका नाम फ्रांसीसी गणितज्ञ बिनेट के नाम पर रखा गया है, हालाँकि यह उनसे पहले मोइवरे को ज्ञात था:

इस सूत्र को प्रेरण द्वारा सिद्ध करना आसान है, लेकिन इसे फ़ंक्शन उत्पन्न करने की अवधारणा का उपयोग करके या कार्यात्मक समीकरण को हल करके प्राप्त किया जा सकता है।

आप तुरंत देख सकते हैं कि दूसरा पद हमेशा मापांक में 1 से कम होता है, और इसके अलावा, यह बहुत तेज़ी से (घातीय रूप से) घटता है। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि पहले पद का मान "लगभग" मान देता है। इसे सख्त रूप में लिखा जा सकता है:

जहां वर्गाकार कोष्ठक निकटतम पूर्णांक तक पूर्णांकन दर्शाते हैं।

हालाँकि, ये सूत्र गणना में व्यावहारिक उपयोग के लिए बहुत उपयुक्त नहीं हैं, क्योंकि भिन्नात्मक संख्याओं के साथ काम करते समय उन्हें बहुत अधिक सटीकता की आवश्यकता होती है।

फाइबोनैचि संख्याओं के लिए मैट्रिक्स सूत्र

निम्नलिखित मैट्रिक्स समानता को सिद्ध करना कठिन नहीं है:

लेकिन फिर, निरूपित करना

हम पाते हैं:

इस प्रकार, वें फाइबोनैचि संख्या को खोजने के लिए, आपको मैट्रिक्स को घात तक बढ़ाने की आवश्यकता है।

याद रखें कि मैट्रिक्स को वें पावर तक बढ़ाना (देखें) में किया जा सकता है।

क्या आपने कभी सुना है कि गणित को "सभी विज्ञानों की रानी" कहा जाता है? क्या आप इस कथन से सहमत हैं? जब तक गणित आपके लिए पाठ्यपुस्तक में उबाऊ समस्याओं का एक सेट बना रहेगा, तब तक यह संभावना नहीं है कि आप इस विज्ञान की सुंदरता, बहुमुखी प्रतिभा और यहां तक कि हास्य का अनुभव करेंगे।

लेकिन गणित में ऐसे विषय हैं जो हमारे लिए सामान्य चीजों और घटनाओं के बारे में दिलचस्प अवलोकन करने में मदद करते हैं। और यहां तक कि हमारे ब्रह्मांड की रचना के रहस्य के पर्दे को भेदने का भी प्रयास करें। दुनिया में ऐसे दिलचस्प पैटर्न हैं जिनका वर्णन गणित का उपयोग करके किया जा सकता है।

फाइबोनैचि संख्याओं का परिचय

फाइबोनैचि संख्याएँकिसी संख्या अनुक्रम के तत्वों के नाम बताइए। इसमें किसी श्रृंखला की प्रत्येक अगली संख्या पिछली दो संख्याओं के योग से प्राप्त की जाती है।

उदाहरण अनुक्रम: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987...

आप इसे इस तरह लिख सकते हैं:

एफ 0 = 0, एफ 1 = 1, एफ एन = एफ एन-1 + एफ एन-2, एन ≥ 2

आप नकारात्मक मानों के साथ फाइबोनैचि संख्याओं की एक श्रृंखला शुरू कर सकते हैं एन. इसके अलावा, इस मामले में अनुक्रम दो-तरफा है (अर्थात, यह नकारात्मक और सकारात्मक संख्याओं को कवर करता है) और दोनों दिशाओं में अनंत की ओर जाता है।

ऐसे अनुक्रम का एक उदाहरण: -55, -34, -21, -13, -8, 5, 3, 2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 , 34, 55.

इस मामले में सूत्र इस तरह दिखता है:

एफ एन = एफ एन+1 - एफ एन+2या फिर आप यह कर सकते हैं: एफ -एन = (-1) एन+1 एफएन.

जिसे अब हम "फाइबोनैचि संख्या" के रूप में जानते हैं, वह यूरोप में उपयोग शुरू होने से बहुत पहले प्राचीन भारतीय गणितज्ञों को ज्ञात था। और यह नाम आम तौर पर एक सतत ऐतिहासिक किस्सा है। आइए इस तथ्य से शुरू करें कि फाइबोनैचि ने स्वयं को अपने जीवनकाल के दौरान कभी भी फाइबोनैचि नहीं कहा - यह नाम पीसा के लियोनार्डो पर उनकी मृत्यु के कई शताब्दियों बाद ही लागू किया जाने लगा। लेकिन आइए हर चीज़ के बारे में क्रम से बात करें।

पीसा के लियोनार्डो, उर्फ फाइबोनैचि

एक व्यापारी का बेटा जो गणितज्ञ बन गया, और बाद में मध्य युग के दौरान यूरोप के पहले प्रमुख गणितज्ञ के रूप में भावी पीढ़ियों से मान्यता प्राप्त की। कम से कम फाइबोनैचि संख्याओं के लिए धन्यवाद (जिन्हें, हमें याद रखना चाहिए, अभी तक ऐसा नहीं कहा जाता था)। जिसका वर्णन उन्होंने 13वीं सदी की शुरुआत में अपने काम "लिबर अबासी" ("बुक ऑफ अबेकस", 1202) में किया था।

मैंने अपने पिता के साथ पूर्व की यात्रा की, लियोनार्डो ने अरब शिक्षकों के साथ गणित का अध्ययन किया (और उन दिनों वे इस मामले में और कई अन्य विज्ञानों में सर्वश्रेष्ठ विशेषज्ञों में से थे)। उन्होंने पुरातन और प्राचीन भारत के गणितज्ञों के कार्यों को अरबी अनुवाद में पढ़ा।

उन्होंने जो कुछ भी पढ़ा था उसे पूरी तरह से समझने और अपने जिज्ञासु दिमाग का उपयोग करने के बाद, फिबोनाची ने गणित पर कई वैज्ञानिक ग्रंथ लिखे, जिनमें उपर्युक्त "अबेकस की पुस्तक" भी शामिल है। इसके अतिरिक्त मैंने बनाया:

"प्रैक्टिका ज्योमेट्री" ("प्रैक्टिस ऑफ़ ज्योमेट्री", 1220);
"फ्लोस" ("फूल", 1225 - घन समीकरणों पर एक अध्ययन);
"लिबर क्वाड्रेटरम" ("वर्गों की पुस्तक", 1225 - अनिश्चित द्विघात समीकरणों पर समस्याएं)।

वह गणितीय प्रतियोगिताओं के बहुत बड़े प्रशंसक थे, इसलिए अपने ग्रंथों में उन्होंने विभिन्न गणितीय समस्याओं के विश्लेषण पर बहुत ध्यान दिया।

लियोनार्डो के जीवन के बारे में बहुत कम जीवनी संबंधी जानकारी बची है। जहाँ तक फाइबोनैचि नाम का सवाल है, जिसके तहत उन्होंने गणित के इतिहास में प्रवेश किया, यह उन्हें केवल 19वीं शताब्दी में सौंपा गया था।

फाइबोनैचि और उसकी समस्याएं

फाइबोनैचि के बाद बड़ी संख्या में समस्याएं बनी रहीं जो बाद की शताब्दियों में गणितज्ञों के बीच बहुत लोकप्रिय रहीं। हम खरगोश की समस्या को देखेंगे, जिसे फाइबोनैचि संख्याओं का उपयोग करके हल किया गया है।

खरगोश न केवल मूल्यवान फर हैं

फाइबोनैचि ने निम्नलिखित स्थितियाँ निर्धारित की हैं: ऐसी दिलचस्प नस्ल के नवजात खरगोशों (नर और मादा) की एक जोड़ी है कि वे नियमित रूप से (दूसरे महीने से शुरू करके) संतान पैदा करते हैं - हमेशा खरगोशों की एक नई जोड़ी। इसके अलावा, जैसा कि आप अनुमान लगा सकते हैं, एक नर और एक मादा।

इन सशर्त खरगोशों को एक सीमित स्थान में रखा जाता है और उत्साह के साथ प्रजनन किया जाता है। यह भी निर्धारित है कि एक भी खरगोश किसी रहस्यमय खरगोश रोग से नहीं मरेगा।

हमें यह गणना करने की आवश्यकता है कि हमें एक वर्ष में कितने खरगोश मिलेंगे।

1 महीने की शुरुआत में हमारे पास खरगोशों का 1 जोड़ा होता है। महीने के अंत में वे संभोग करते हैं।
दूसरा महीना - हमारे पास पहले से ही 2 जोड़े खरगोश हैं (एक जोड़े के माता-पिता हैं + 1 जोड़ा उनकी संतान है)।
तीसरा महीना: पहला जोड़ा एक नए जोड़े को जन्म देता है, दूसरा जोड़ा संभोग करता है। कुल - 3 जोड़े खरगोश।
चौथा महीना: पहला जोड़ा एक नए जोड़े को जन्म देता है, दूसरा जोड़ा समय बर्बाद नहीं करता है और एक नए जोड़े को भी जन्म देता है, तीसरा जोड़ा अभी भी केवल संभोग कर रहा है। कुल - खरगोशों के 5 जोड़े।

खरगोशों की संख्या एनवां महीना = पिछले महीने के खरगोशों के जोड़े की संख्या + नवजात जोड़े की संख्या (खरगोशों के जोड़े की संख्या उतनी ही है जितनी अब से 2 महीने पहले खरगोशों के जोड़े थे)। और यह सब उस सूत्र द्वारा वर्णित है जो हम पहले ही ऊपर दे चुके हैं: एफ एन = एफ एन-1 + एफ एन-2.

इस प्रकार, हम एक आवर्ती (स्पष्टीकरण के बारे में) प्राप्त करते हैं प्रत्यावर्तन- नीचे) संख्या क्रम। जिसमें प्रत्येक अगली संख्या पिछली दो के योग के बराबर है:

1 + 1 = 2
2 + 1 = 3
3 + 2 = 5
5 + 3 = 8
8 + 5 = 13
13 + 8 = 21
21 + 13 = 34
34 + 21 = 55
55 + 34 = 89
89 + 55 = 144
144 + 89 = 233
233+ 144 = 377 <…>

आप इस क्रम को लंबे समय तक जारी रख सकते हैं: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987<…>. लेकिन चूंकि हमने एक विशिष्ट अवधि निर्धारित की है - एक वर्ष, हम 12वीं "चाल" पर प्राप्त परिणाम में रुचि रखते हैं। वे। अनुक्रम का 13वां सदस्य: 377.

समस्या का उत्तर: यदि बताई गई सभी शर्तें पूरी होती हैं तो 377 खरगोश प्राप्त किए जाएंगे।

फाइबोनैचि संख्या अनुक्रम का एक गुण बहुत दिलचस्प है। यदि आप किसी श्रृंखला से लगातार दो जोड़े लेते हैं और बड़ी संख्या को छोटी संख्या से विभाजित करते हैं, तो परिणाम धीरे-धीरे सामने आएगा सुनहरा अनुपात(आप इसके बारे में लेख में बाद में अधिक पढ़ सकते हैं)।

गणितीय शब्दों में, "रिश्तों की सीमा ए एन+1को एकस्वर्णिम अनुपात के बराबर".

अधिक संख्या सिद्धांत समस्याएं

एक ऐसी संख्या खोजें जिसे 7 से विभाजित किया जा सके। साथ ही, यदि आप इसे 2, 3, 4, 5, 6 से विभाजित करते हैं, तो शेषफल एक होगा।
वर्ग संख्या ज्ञात कीजिये. इसके बारे में यह ज्ञात है कि यदि आप इसमें 5 जोड़ते हैं या 5 घटाते हैं, तो आपको फिर से एक वर्ग संख्या प्राप्त होती है।

हमारा सुझाव है कि आप इन समस्याओं के उत्तर स्वयं खोजें। आप इस लेख की टिप्पणियों में हमें अपने विकल्प छोड़ सकते हैं। और फिर हम आपको बताएंगे कि क्या आपकी गणना सही थी।

प्रत्यावर्तन की व्याख्या

प्रत्यावर्तन- किसी वस्तु या प्रक्रिया की परिभाषा, विवरण, छवि जिसमें यह वस्तु या प्रक्रिया स्वयं शामिल हो। अर्थात, संक्षेप में, कोई वस्तु या प्रक्रिया स्वयं का एक हिस्सा है।

गणित और कंप्यूटर विज्ञान और यहां तक कि कला और लोकप्रिय संस्कृति में भी रिकर्सन का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

फाइबोनैचि संख्याएँ पुनरावृत्ति संबंध का उपयोग करके निर्धारित की जाती हैं। संख्या के लिए n>2 n-ई संख्या बराबर है (एन - 1) + (एन - 2).

स्वर्णिम अनुपात की व्याख्या

सुनहरा अनुपात- संपूर्ण (उदाहरण के लिए, एक खंड) को ऐसे भागों में विभाजित करना जो निम्नलिखित सिद्धांत के अनुसार संबंधित हैं: बड़ा भाग छोटे से उसी प्रकार संबंधित होता है जैसे संपूर्ण मान (उदाहरण के लिए, दो खंडों का योग) होता है बड़े हिस्से को.

स्वर्णिम अनुपात का पहला उल्लेख यूक्लिड के ग्रंथ "एलिमेंट्स" (लगभग 300 ईसा पूर्व) में मिलता है। एक नियमित आयत के निर्माण के संदर्भ में।

हमारे लिए परिचित यह शब्द 1835 में जर्मन गणितज्ञ मार्टिन ओम द्वारा प्रचलन में लाया गया था।

यदि हम स्वर्णिम अनुपात का लगभग वर्णन करें, तो यह दो असमान भागों में आनुपातिक विभाजन का प्रतिनिधित्व करता है: लगभग 62% और 38%। संख्यात्मक दृष्टि से स्वर्णिम अनुपात वह संख्या है 1,6180339887 .

सुनहरा अनुपात ललित कला (लियोनार्डो दा विंची और अन्य पुनर्जागरण चित्रकारों द्वारा पेंटिंग), वास्तुकला, सिनेमा (एस. एसेनस्टीन द्वारा "बैटलशिप पोटेमकिन") और अन्य क्षेत्रों में व्यावहारिक अनुप्रयोग पाता है। लंबे समय से यह माना जाता था कि स्वर्णिम अनुपात सबसे सौंदर्यपूर्ण अनुपात है। यह राय आज भी लोकप्रिय है. हालाँकि, शोध के परिणामों के अनुसार, दृष्टिगत रूप से अधिकांश लोग इस अनुपात को सबसे सफल विकल्प नहीं मानते हैं और इसे बहुत लम्बा (अनुपातहीन) मानते हैं।

अनुभाग की लंबाई साथ = 1, ए = 0,618, बी = 0,382.
नज़रिया साथको ए = 1, 618.
नज़रिया साथको बी = 2,618

आइए अब फाइबोनैचि संख्याओं पर वापस आते हैं। आइए इसके क्रम से लगातार दो पद लें। बड़ी संख्या को छोटी संख्या से विभाजित करें और लगभग 1.618 प्राप्त करें। और अब हम उसी बड़ी संख्या और श्रृंखला के अगले सदस्य (यानी, उससे भी बड़ी संख्या) का उपयोग करते हैं - उनका अनुपात प्रारंभिक 0.618 है।

यहाँ एक उदाहरण है: 144, 233, 377।

233/144 = 1.618 और 233/377 = 0.618

वैसे, यदि आप अनुक्रम की शुरुआत से संख्याओं के साथ एक ही प्रयोग करने का प्रयास करते हैं (उदाहरण के लिए, 2, 3, 5), तो कुछ भी काम नहीं करेगा। लगभग। अनुक्रम की शुरुआत के लिए सुनहरे अनुपात नियम का शायद ही पालन किया जाता है। लेकिन जैसे-जैसे आप श्रृंखला में आगे बढ़ते हैं और संख्याएँ बढ़ती हैं, यह बढ़िया काम करता है।

और फाइबोनैचि संख्याओं की पूरी श्रृंखला की गणना करने के लिए, अनुक्रम के तीन शब्दों को एक के बाद एक जानना पर्याप्त है। आप इसे स्वयं देख सकते हैं!

स्वर्ण आयत और फाइबोनैचि सर्पिल

फाइबोनैचि संख्याओं और सुनहरे अनुपात के बीच एक और दिलचस्प समानता तथाकथित "सुनहरा आयत" है: इसकी भुजाएँ 1.618 से 1 के अनुपात में हैं। लेकिन हम पहले से ही जानते हैं कि संख्या 1.618 क्या है, है ना?

उदाहरण के लिए, आइए फाइबोनैचि श्रृंखला के दो लगातार पद - 8 और 13 - लें और निम्नलिखित मापदंडों के साथ एक आयत बनाएं: चौड़ाई = 8, लंबाई = 13।

और फिर हम बड़े आयत को छोटे आयतों में विभाजित करेंगे। अनिवार्य शर्त: आयतों की भुजाओं की लंबाई फाइबोनैचि संख्याओं के अनुरूप होनी चाहिए। वे। बड़े आयत की भुजा की लंबाई दो छोटे आयतों की भुजाओं के योग के बराबर होनी चाहिए।

जिस तरह से यह इस चित्र में किया गया है (सुविधा के लिए, आंकड़े लैटिन अक्षरों में हस्ताक्षरित हैं)।

वैसे, आप आयतों को उल्टे क्रम में बना सकते हैं। वे। 1 की भुजा वाले वर्गों के साथ निर्माण शुरू करें। ऊपर बताए गए सिद्धांत द्वारा निर्देशित, फाइबोनैचि संख्याओं के बराबर भुजाओं वाली आकृतियाँ पूरी की जाती हैं। सैद्धांतिक रूप से, इसे अनिश्चित काल तक जारी रखा जा सकता है - आखिरकार, फाइबोनैचि श्रृंखला औपचारिक रूप से अनंत है।

यदि हम चित्र में प्राप्त आयतों के कोनों को एक चिकनी रेखा से जोड़ते हैं, तो हमें एक लघुगणकीय सर्पिल प्राप्त होता है। या यों कहें, इसका विशेष मामला फाइबोनैचि सर्पिल है। इसकी विशेषता, विशेष रूप से, इस तथ्य से है कि इसकी कोई सीमा नहीं है और यह आकार नहीं बदलता है।

एक समान सर्पिल अक्सर प्रकृति में पाया जाता है। क्लैम शैल सबसे आकर्षक उदाहरणों में से एक हैं। इसके अलावा, कुछ आकाशगंगाएँ जिन्हें पृथ्वी से देखा जा सकता है उनका आकार सर्पिल है। यदि आप टीवी पर मौसम के पूर्वानुमानों पर ध्यान देते हैं, तो आपने देखा होगा कि उपग्रहों से ली गई तस्वीरों में चक्रवातों का आकार एक समान सर्पिल होता है।

यह उत्सुक है कि डीएनए हेलिक्स भी सुनहरे खंड के नियम का पालन करता है - इसके मोड़ के अंतराल में संबंधित पैटर्न देखा जा सकता है।

इस तरह के अद्भुत "संयोग" दिमाग को उत्तेजित नहीं कर सकते हैं और कुछ एकल एल्गोरिदम के बारे में बात करने का मौका देते हैं, जिसका ब्रह्मांड के जीवन में सभी घटनाएं पालन करती हैं। अब क्या आप समझ गए कि इस लेख को ऐसा क्यों कहा जाता है? और गणित आपके लिए किस तरह की अद्भुत दुनिया खोल सकता है?

प्रकृति में फाइबोनैचि संख्याएँ

फाइबोनैचि संख्याओं और सुनहरे अनुपात के बीच संबंध दिलचस्प पैटर्न का सुझाव देता है। इतनी उत्सुकता कि प्रकृति में और यहां तक कि ऐतिहासिक घटनाओं के दौरान भी फाइबोनैचि संख्याओं के समान अनुक्रम खोजने का प्रयास करना आकर्षक है। और प्रकृति वास्तव में ऐसी धारणाओं को जन्म देती है। लेकिन क्या हमारे जीवन की हर चीज़ को गणित का उपयोग करके समझाया और वर्णित किया जा सकता है?

जीवित चीजों के उदाहरण जिन्हें फाइबोनैचि अनुक्रम का उपयोग करके वर्णित किया जा सकता है:

पौधों में पत्तियों (और शाखाओं) की व्यवस्था - उनके बीच की दूरियाँ फाइबोनैचि संख्या (फाइलोटैक्सिस) से संबंधित होती हैं;

सूरजमुखी के बीजों की व्यवस्था (बीजों को अलग-अलग दिशाओं में मुड़े हुए सर्पिलों की दो पंक्तियों में व्यवस्थित किया जाता है: एक पंक्ति दक्षिणावर्त, दूसरी वामावर्त);

पाइन शंकु तराजू की व्यवस्था;
फूलों की पंखुड़ियों;
अनानास कोशिकाएं;
मानव हाथ पर उंगलियों के फालेंजों की लंबाई का अनुपात (लगभग), आदि।

कॉम्बिनेटरिक्स समस्याएं

कॉम्बिनेटरिक्स समस्याओं को हल करने में फाइबोनैचि संख्याओं का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

साहचर्यगणित की एक शाखा है जो निर्दिष्ट सेट, गणना आदि से तत्वों की एक निश्चित संख्या के चयन का अध्ययन करती है।

आइए हाई स्कूल स्तर के लिए डिज़ाइन की गई कॉम्बिनेटरिक्स समस्याओं के उदाहरण देखें (स्रोत - http://www.problems.ru/)।

कार्य 1:

लेशा 10 सीढ़ियाँ चढ़ती है। एक समय में वह या तो एक कदम या दो कदम ऊपर कूदता है। लेसा कितने तरीकों से सीढ़ियाँ चढ़ सकती है?

लेसा कितने तरीकों से सीढ़ियाँ चढ़ सकती है एनचरण, आइए निरूपित करें और n।यह इस प्रकार है कि एक 1 = 1, एक 2= 2 (आखिरकार, लेशा एक या दो कदम कूदती है)।

इस बात पर भी सहमति है कि लेशा सीढ़ियों से ऊपर कूदती है n> 2 कदम। मान लीजिए कि उसने पहली बार दो कदम छलांग लगाई। इसका मतलब है, समस्या की स्थितियों के अनुसार, उसे एक और छलांग लगाने की जरूरत है एन - 2कदम। फिर चढ़ाई पूरी करने के तरीकों की संख्या इस प्रकार बताई गई है एक एन-2. और अगर हम मान लें कि पहली बार लेशा ने केवल एक कदम छलांग लगाई, तो हम चढ़ाई पूरी करने के तरीकों की संख्या का वर्णन इस प्रकार करते हैं ए एन–1.

यहाँ से हमें निम्नलिखित समानता प्राप्त होती है: a n = a n–1 + a n–2(परिचित लगता है, है ना?)।

चूँकि हम जानते हैं एक 1और एक 2और याद रखें कि समस्या की स्थितियों के अनुसार 10 चरण हैं, क्रम से सभी की गणना करें और n: एक 3 = 3, एक 4 = 5, एक 5 = 8, एक 6 = 13, एक 7 = 21, एक 8 = 34, एक 9 = 55, एक 10 = 89.

उत्तर: 89 तरीके.

कार्य #2:

आपको 10 अक्षर लंबे शब्दों की संख्या ज्ञात करनी होगी जिसमें केवल "ए" और "बी" अक्षर शामिल हों और एक पंक्ति में दो अक्षर "बी" न हों।

आइए निरूपित करें एकशब्दों की लंबाई की संख्या एनवे अक्षर जिनमें केवल "ए" और "बी" अक्षर शामिल हैं और एक पंक्ति में दो अक्षर "बी" नहीं हैं। मतलब, एक 1= 2, एक 2= 3.

अनुक्रम में एक 1, एक 2, <…>, एकहम इसके प्रत्येक अगले सदस्य को पिछले सदस्यों के माध्यम से व्यक्त करेंगे। अत: लंबाई के शब्दों की संख्या है एनवे अक्षर जिनमें दोहरा अक्षर "बी" नहीं है और वे "ए" अक्षर से शुरू होते हैं ए एन–1. और यदि शब्द लम्बा है एनअक्षर "बी" अक्षर से शुरू होते हैं, यह तर्कसंगत है कि ऐसे शब्द में अगला अक्षर "ए" है (आखिरकार, समस्या की शर्तों के अनुसार दो "बी" नहीं हो सकते हैं)। अत: लंबाई के शब्दों की संख्या है एनइस मामले में हम अक्षरों को इस प्रकार निरूपित करते हैं एक एन-2. पहले और दूसरे दोनों मामलों में, कोई भी शब्द (लंबाई) एन - 1और एन - 2अक्षर क्रमशः) डबल "बी" के बिना।

हम इसका औचित्य सिद्ध करने में सक्षम थे a n = a n–1 + a n–2.

आइए अब गणना करें एक 3= एक 2+ एक 1= 3 + 2 = 5, एक 4= एक 3+ एक 2= 5 + 3 = 8, <…>, एक 10= एक 9+ एक 8= 144. और हमें परिचित फाइबोनैचि अनुक्रम मिलता है।

उत्तर: 144.

कार्य #3:

कल्पना कीजिए कि एक टेप कोशिकाओं में विभाजित है। यह दाईं ओर जाता है और अनिश्चित काल तक रहता है। टेप के पहले वर्ग पर एक टिड्डा रखें। वह टेप के किसी भी सेल पर हो, वह केवल दाईं ओर जा सकता है: या तो एक सेल, या दो। ऐसे कितने तरीके हैं जिनसे एक टिड्डा टेप की शुरुआत से छलांग लगा सकता है? एन-वें कोशिकाएं?

आइए हम बेल्ट के साथ टिड्डे को स्थानांतरित करने के तरीकों की संख्या बताएं एन-वें कोशिकाएं पसंद करती हैं एक. इस मामले में एक 1 = एक 2= 1. में भी एन+1टिड्डा -th कोशिका में से किसी एक में प्रवेश कर सकता है एन-वें सेल, या उसके ऊपर से कूदकर। यहाँ से ए एन + 1 = ए एन - 1 + एक. कहाँ एक = एफएन - 1.

उत्तर: एफएन - 1.

आप स्वयं ऐसी ही समस्याएँ बना सकते हैं और अपने सहपाठियों के साथ गणित के पाठों में उन्हें हल करने का प्रयास कर सकते हैं।

आइए इसे संक्षेप में बताएं

हमें उम्मीद है कि आज हम आपको बहुत सी रोचक और उपयोगी बातें बताने में सफल रहे। उदाहरण के लिए, अब आप अपने आस-पास की प्रकृति में फाइबोनैचि सर्पिल की तलाश कर सकते हैं। शायद आप ही वह व्यक्ति होंगे जो "जीवन, ब्रह्मांड और सामान्य रूप से रहस्य" को जानने में सक्षम होंगे।

कॉम्बिनेटरिक्स समस्याओं को हल करते समय फाइबोनैचि संख्याओं के सूत्र का उपयोग करें। आप इस आलेख में वर्णित उदाहरणों पर भरोसा कर सकते हैं।

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फाइबोनैचि संख्या अनुक्रम. क्या आपने इसके बारे में पहली बार सुना है और यह भी नहीं जानते कि यह ज्ञान के किस क्षेत्र से है? यह पता चला है कि प्राकृतिक घटनाओं की नियमितता, हमारे ग्रह पर जीवित जीवों की संरचना और विविधता, वह सब कुछ जो हमें घेरता है, अपनी सद्भाव और व्यवस्था के साथ कल्पना को चकित करता है, ब्रह्मांड के नियम, मानव विचार की गति और उपलब्धियों विज्ञान - यह सब संक्षेपण द्वारा समझाया गया है फिबोनाची अनुक्रम.

मनुष्य की खुद को और अपने आसपास की दुनिया को समझने की शाश्वत इच्छा ने विज्ञान को आगे बढ़ाया है।

गणित में सबसे महत्वपूर्ण उपलब्धियों में से एक रोमन अंकों के बजाय अरबी अंकों की शुरूआत है। यह बारहवीं सदी के सबसे उल्लेखनीय वैज्ञानिकों में से एक फिबोनाची (1175) का है। उनके द्वारा की गई एक और खोज का नाम उनके नाम पर रखा गया - सारांश अनुक्रम: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,... ये तथाकथित हैं फाइबोनैचि संख्याएँ.

गणित में यह पैटर्न एक अन्य मध्यकालीन वैज्ञानिक, थॉमस एक्विनास के लिए रुचिकर था। "बीजगणित के साथ सामंजस्य को मापने" की इच्छा से प्रेरित होकर, वैज्ञानिक ने निष्कर्ष निकाला कि गणित और सौंदर्य के बीच सीधा संबंध है। थॉमस एक्विनास ने योगात्मक अनुक्रम के समान सिद्धांत द्वारा प्रकृति द्वारा अनुपात में निर्मित सामंजस्यपूर्ण वस्तुओं पर विचार करते समय उत्पन्न होने वाली सौंदर्य भावनाओं को समझाया।

यह सिद्धांत बताता है कि 1.1 से शुरू करके, अगली संख्या पिछली दो संख्याओं का योग होगी। यह पैटर्न बहुत महत्वपूर्ण है। यह अनुक्रम धीमा और धीमा है - स्पर्शोन्मुख रूप से - एक निश्चित स्थिर अनुपात के करीब। हालाँकि, यह संबंध अतार्किक है, अर्थात इसमें भिन्नात्मक भाग में संख्याओं का एक अनंत और अप्रत्याशित क्रम है। इसकी सटीक अभिव्यक्ति असंभव है. फाइबोनैचि अनुक्रम के किसी भी पद को उसके पूर्ववर्ती पद से विभाजित करने पर, हमें एक मान मिलता है जो 1.61803398875... (तर्कहीन) के आसपास उतार-चढ़ाव करता है, जो या तो हर बार उस तक नहीं पहुंचेगा या उससे अधिक होगा। यहां तक कि अनंत काल भी इस अनुपात को सटीक रूप से निर्धारित करने के लिए पर्याप्त नहीं है। संक्षिप्तता के लिए, हम इसे 1.618 के रूप में उपयोग करेंगे।

मध्यकालीन गणितज्ञ लुका पैसिओली ने इस अनुपात को दैवीय अनुपात कहा है। केपलर ने योग अनुक्रम को "ज्यामिति के खजानों में से एक" कहा। आधुनिक विज्ञान में, संक्षेपण फिबोनाची अनुक्रमइसके कई नाम हैं, जो कम काव्यात्मक नहीं हैं: घूमने वाले वर्गों का अनुपात, स्वर्णिम औसत, स्वर्णिम अनुपात। गणित में इसे ग्रीक अक्षर फाई (Ф=1.618) से दर्शाया जाता है।

अनुक्रम की स्पर्शोन्मुख प्रकृति, अपरिमेय फाइबोनैचि संख्या के आसपास इसके दोलन, जो फीके पड़ जाते हैं, स्पष्ट हो जाएंगे यदि हम इस अनुक्रम के पहले शब्दों के संबंधों पर विचार करें। नीचे दिए गए उदाहरण में, हम फाइबोनैचि संख्याओं को देखेंगे और दूसरे का पहले पद से, तीसरे से दूसरे का, इत्यादि का अनुपात देंगे:
1:1 = 1.0000, यह फाई से 0.6180 कम है
2:1 = 2.0000, यह फाई से 0.3820 अधिक है
3:2 = 1.5000, यह फाई से 0.1180 कम है
5:3 = 1.6667, यह फाई से 0.0486 अधिक है
8:5 = 1.6000, यह फाई से 0.0180 कम है
फाइबोनैचि अनुक्रम के साथ आगे बढ़ते हुए, प्रत्येक नया शब्द अगले को विभाजित करेगा, अप्राप्य संख्या एफ के करीब और करीब आएगा।

इसके बाद हम देखेंगे कि कुछ फाइबोनैचि संख्याएँ, इसके सारांश अनुक्रम को बनाते हुए, विभिन्न वस्तुओं की कीमतों की गतिशीलता में दिखाई देते हैं; विदेशी मुद्रा तकनीकी विश्लेषण विधियों का उपयोग किया जाता है फाइबोनैचि स्तर. 1.615 के करीब अनुपातों में एक या दूसरी राशि के उतार-चढ़ाव का पता लगाया जा सकता है, जिसमें वे प्रत्यावर्तन नियम में दिखाई देते हैं। अवचेतन रूप से, प्रत्येक व्यक्ति कुख्यात दैवीय अनुपात की तलाश करता है, जो आराम की इच्छा को पूरा करने के लिए आवश्यक है।

यदि हम फाइबोनैचि अनुक्रम के किसी भी पद को उसके बाद वाले पद से विभाजित करते हैं, तो हमें 1.618 का व्युत्क्रम प्राप्त होता है, अर्थात 1:1.618। यह भी एक असामान्य घटना है, शायद उल्लेखनीय भी। मूल अनुपात एक अनंत अंश है, इसलिए यह अनुपात भी अनंत होना चाहिए।

एक अन्य महत्वपूर्ण तथ्य निम्नलिखित है. फाइबोनैचि अनुक्रम में किसी भी पद का वर्ग अनुक्रम में उसके पहले आने वाली संख्या को उसके बाद आने वाली संख्या से गुणा करके, प्लस या माइनस के बराबर होता है।
5 2 = (3 x 8) + 1
8 2 = (5 x 13) – 1
13 2 = (8 x 21) + 1
प्लस और माइनस हमेशा वैकल्पिक होते हैं, और यह इलियट वेव थ्योरी का हिस्सा है जिसे वैकल्पिक नियम कहा जाता है। यह नियम कहता है: सुधारात्मक प्रकृति की जटिल तरंगें सरल तरंगों के साथ वैकल्पिक होती हैं, आवेगपूर्ण प्रकृति की मजबूत तरंगें सुधारात्मक प्रकृति की कमजोर तरंगों के साथ वैकल्पिक होती हैं, इत्यादि।

प्रकृति में दैवीय अनुपात की अभिव्यक्ति

खोजा गया गणितीय अनुक्रम किसी को अनंत संख्या में स्थिरांक की गणना करने की अनुमति देता है। इस अनुक्रम के सदस्य हमेशा अनंत संख्या में संयोजनों में दिखाई देंगे।
एक स्थापित पैटर्न का उपयोग करके, प्राकृतिक घटनाओं की गणितीय व्याख्या दी जाती है। इस संबंध में, गणितीय अनुक्रम की खोज ऐतिहासिक ज्ञान में सबसे महत्वपूर्ण स्थानों में से एक है।
हम गणितीय अनुक्रम से प्राप्त कई दिलचस्प सिद्धांतों का उल्लेख कर सकते हैं।

गीज़ा का पिरामिड

पिरामिड का डिज़ाइन अनुपात Ф=1.618 पर आधारित है। इस पिरामिड के रहस्यों को जानने की कई कोशिशों के बाद यह खोज हुई। गणितीय अनुक्रम के नियमों के बारे में कुछ ज्ञान देने के लिए गीज़ा का पिरामिड अपने आप में वंशजों के लिए एक प्रकार का संदेश प्रतीत होता है। पिरामिड के निर्माण के समय, इसके निर्माताओं के पास ज्ञात कानूनों को व्यक्त करने के पर्याप्त अवसर नहीं थे। उस समय लेखन का अस्तित्व नहीं था और चित्रलिपि का प्रयोग नहीं होता था। हालाँकि, पिरामिड के निर्माता, अपनी रचना के ज्यामितीय अनुपात की मदद से, गणितीय पैटर्न के बारे में अपने ज्ञान को भविष्य की पीढ़ियों तक स्थानांतरित करने में कामयाब रहे।

मंदिर के पुजारियों ने हेरोडोटस को गीज़ा के पिरामिड का रहस्य बताया। इसे इस प्रकार बनाया गया है कि प्रत्येक फलक का क्षेत्रफल इस फलक की ऊंचाई के वर्ग के बराबर हो।
त्रिभुज का क्षेत्रफल: 356 x 440/2 = 78320
वर्ग क्षेत्रफल: 280 x 280 = 78400
गीज़ा पिरामिड का मुख 783.3 फीट (238.7 मीटर) लंबा है और इसकी ऊंचाई 484.4 फीट (147.6 मीटर) है। चेहरे की लंबाई को ऊंचाई से विभाजित करने पर, आप अनुपात Ф=1.618 पर पहुंचते हैं। 484.4 फीट की ऊंचाई 5813 इंच (5-8-13) से मेल खाती है, जो फाइबोनैचि अनुक्रम संख्याओं से अधिक कुछ नहीं है। ये सभी अवलोकन हमें इस निष्कर्ष पर पहुंचाते हैं कि पिरामिड का संपूर्ण डिज़ाइन अनुपात Ф = 1.618 पर आधारित है।
ये फाइबोनैचि अनुक्रम की संख्याएँ हैं। ये दिलचस्प अवलोकन बताते हैं कि पिरामिड का डिज़ाइन अनुपात Ф=1.618 पर आधारित है।
यह जानकारी यह मानने का कारण देती है कि उस समय गणित और ज्योतिष के क्षेत्र में ज्ञान अत्यधिक विकसित था। न केवल मानव हाथों की, बल्कि उसके दिमाग की भी यह सबसे बड़ी रचना संख्या 1.618 के अनुसार बनाई गई थी। गोल्डन सेक्शन के कानून के अनुसार सख्ती से देखे गए पिरामिड के बहुत आंतरिक और बाहरी अनुपात, हमारे वंशजों के लिए, सदियों के सबसे महान ज्ञान की गहराई से एक संदेश हैं।

मैक्सिकन पिरामिड

यह आश्चर्यजनक है कि मेक्सिको में पिरामिड इसी सिद्धांत पर बनाए गए थे। कोई भी मदद नहीं कर सकता लेकिन यह मान सकता है कि मैक्सिकन पिरामिड मिस्र के पिरामिडों के समान ही बनाए गए थे; इसके अलावा, बिल्डरों को स्वर्ण अनुपात के गणितीय कानून का ज्ञान था।
पिरामिड का एक क्रॉस सेक्शन एक सीढ़ी के आकार को प्रकट करता है। इसके पहले स्तर में 16 सीढ़ियाँ हैं, दूसरे में 42 सीढ़ियाँ हैं, तीसरे में 68 सीढ़ियाँ हैं। संख्याएँ फ़िब्नेसी अनुक्रम पर इस प्रकार आधारित हैं:
16 x 1.618 = 26
16 + 26 = 42
26 x 1.618 = 42
42 + 26 = 68
संख्या Ф = 1.618 मैक्सिकन पिरामिड के अनुपात को रेखांकित करती है। (

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निस्संदेह, आप इस विचार से परिचित हैं कि गणित सभी विज्ञानों में सबसे महत्वपूर्ण है। लेकिन कई लोग इससे असहमत हो सकते हैं, क्योंकि... कभी-कभी ऐसा लगता है कि गणित सिर्फ समस्याएं, उदाहरण और इसी तरह की उबाऊ चीजें हैं। हालाँकि, गणित हमें पूरी तरह से अपरिचित पक्ष से परिचित चीजें आसानी से दिखा सकता है। इसके अलावा, वह ब्रह्मांड के रहस्यों को भी उजागर कर सकती है। कैसे? आइए फाइबोनैचि संख्याओं को देखें।

फाइबोनैचि संख्याएँ क्या हैं?

फाइबोनैचि संख्याएं एक संख्यात्मक अनुक्रम के तत्व हैं, जहां प्रत्येक अगला पिछले दो को जोड़कर होता है, उदाहरण के लिए: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89... एक नियम के रूप में, ऐसा क्रम सूत्र द्वारा लिखा जाता है: F 0 = 0, F 1 = 1, F n = F n-1 + F n-2, n ≥ 2।

फाइबोनैचि संख्याएं "एन" के नकारात्मक मानों से शुरू हो सकती हैं, लेकिन इस मामले में अनुक्रम दो-तरफ़ा होगा - यह सकारात्मक और नकारात्मक दोनों संख्याओं को कवर करेगा, जो दोनों दिशाओं में अनंत की ओर प्रवृत्त होंगे। ऐसे अनुक्रम का एक उदाहरण होगा: -34, -21, -13, -8, -5, -3, -2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 , 21, 34, और सूत्र होगा: F n = F n+1 - F n+2 या F -n = (-1) n+1 Fn।

फाइबोनैचि संख्याओं के निर्माता मध्य युग में यूरोप के पहले गणितज्ञों में से एक हैं, जिनका नाम पीसा के लियोनार्डो है, जिन्हें वास्तव में फाइबोनैचि के नाम से जाना जाता है - उन्हें यह उपनाम उनकी मृत्यु के कई वर्षों बाद मिला।

अपने जीवनकाल के दौरान, पीसा के लियोनार्डो को गणितीय प्रतियोगिताओं का बहुत शौक था, यही कारण है कि उनके कार्यों में ("लिबर अबासी" / "बुक ऑफ अबेकस", 1202; "प्रैक्टिका जियोमेट्री" / "प्रैक्टिस ऑफ ज्योमेट्री", 1220, "फ्लोस" / "फ्लावर", 1225) - क्यूबिक समीकरणों और "लिबर क्वाड्रेटरम" पर एक अध्ययन / "बुक ऑफ स्क्वेयर", 1225 - अनिश्चित द्विघात समीकरणों के बारे में समस्याएं) अक्सर सभी प्रकार की गणितीय समस्याओं का विश्लेषण किया जाता है।

स्वयं फाइबोनैचि के जीवन पथ के बारे में बहुत कम जानकारी है। लेकिन यह निश्चित है कि उनकी समस्याओं को बाद की शताब्दियों में गणितीय हलकों में भारी लोकप्रियता मिली। हम इनमें से एक पर आगे विचार करेंगे।

खरगोशों के साथ फाइबोनैचि समस्या

कार्य को पूरा करने के लिए, लेखक ने निम्नलिखित स्थितियाँ निर्धारित कीं: नवजात खरगोशों (मादा और नर) की एक जोड़ी है, जो एक दिलचस्प विशेषता से प्रतिष्ठित है - जीवन के दूसरे महीने से, वे खरगोशों की एक नई जोड़ी पैदा करते हैं - एक मादा और एक भी एक पुरुष। खरगोशों को सीमित स्थानों में रखा जाता है और वे लगातार प्रजनन करते रहते हैं। और एक भी खरगोश नहीं मरता.

काम: एक वर्ष में खरगोशों की संख्या निर्धारित करें।

समाधान:

हमारे पास है:

पहले महीने की शुरुआत में खरगोशों का एक जोड़ा, जो महीने के अंत में संभोग करता है
दूसरे महीने में खरगोश के दो जोड़े (पहला जोड़ा और संतान)
तीसरे महीने में खरगोशों के तीन जोड़े (पहला जोड़ा, पिछले महीने के पहले जोड़े की संतान और नई संतान)
चौथे महीने में पाँच जोड़े खरगोश (पहला जोड़ा, पहले जोड़े की पहली और दूसरी संतान, पहले जोड़े की तीसरी संतान और दूसरे जोड़े की पहली संतान)

प्रति माह खरगोशों की संख्या "एन" = पिछले महीने खरगोशों की संख्या + खरगोशों के नए जोड़े की संख्या, दूसरे शब्दों में, उपरोक्त सूत्र: एफ एन = एफ एन-1 + एफ एन-2। इसके परिणामस्वरूप एक आवर्ती संख्या अनुक्रम बनता है (हम बाद में पुनरावृत्ति के बारे में बात करेंगे), जहां प्रत्येक नई संख्या दो पिछली संख्याओं के योग से मेल खाती है:

1 महीना: 1 + 1 = 2

2 महीना: 2 + 1 = 3

3 महीना: 3 + 2 = 5

4 महीना: 5 + 3 = 8

5 महीना: 8 + 5 = 13

6 महीना: 13 + 8 = 21

7वां महीना: 21 + 13 = 34

आठवां महीना: 34 + 21 = 55

9वां महीना: 55 + 34 = 89

10वां महीना: 89 + 55 = 144

11वाँ महीना: 144 + 89 = 233

12 महीना: 233+ 144 = 377

और यह क्रम अनिश्चित काल तक जारी रह सकता है, लेकिन यह देखते हुए कि कार्य एक वर्ष के बाद खरगोशों की संख्या का पता लगाना है, परिणाम 377 जोड़े हैं।

यहां यह भी ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि फाइबोनैचि संख्याओं का एक गुण यह है कि यदि आप दो लगातार जोड़ियों की तुलना करते हैं और फिर बड़े को छोटे से विभाजित करते हैं, तो परिणाम सुनहरे अनुपात की ओर बढ़ जाएगा, जिसके बारे में हम नीचे भी बात करेंगे। .

इस बीच, हम आपको फाइबोनैचि संख्याओं पर दो और समस्याएं प्रदान करते हैं:

एक वर्ग संख्या ज्ञात करें, जिसके बारे में हम केवल इतना जानते हैं कि यदि आप इसमें से 5 घटा दें या इसमें 5 जोड़ दें, तो आपको फिर से एक वर्ग संख्या प्राप्त होगी।
7 से विभाज्य एक संख्या निर्धारित करें, लेकिन इस शर्त पर कि इसे 2, 3, 4, 5 या 6 से विभाजित करने पर 1 शेष बचे।

ऐसे कार्य न केवल दिमाग को विकसित करने का एक उत्कृष्ट तरीका होंगे, बल्कि एक मनोरंजक शगल भी होंगे। आप इंटरनेट पर जानकारी खोजकर यह भी पता लगा सकते हैं कि इन समस्याओं का समाधान कैसे किया जाता है। हम उन पर ध्यान केंद्रित नहीं करेंगे, लेकिन अपनी कहानी जारी रखेंगे।

पुनरावर्तन और स्वर्णिम अनुपात क्या हैं?

प्रत्यावर्तन

रिकर्सन किसी वस्तु या प्रक्रिया का विवरण, परिभाषा या छवि है, जिसमें दी गई वस्तु या प्रक्रिया स्वयं शामिल होती है। दूसरे शब्दों में किसी वस्तु या प्रक्रिया को उसका ही एक भाग कहा जा सकता है।

रिकर्सन का उपयोग न केवल गणितीय विज्ञान में, बल्कि कंप्यूटर विज्ञान, लोकप्रिय संस्कृति और कला में भी व्यापक रूप से किया जाता है। फाइबोनैचि संख्याओं पर लागू, हम कह सकते हैं कि यदि संख्या "n>2" है, तो "n" = (n-1)+(n-2)।

सुनहरा अनुपात

स्वर्णिम अनुपात संपूर्ण का उन हिस्सों में विभाजन है जो सिद्धांत के अनुसार संबंधित हैं: बड़ा छोटे से उसी तरह संबंधित है जैसे कुल मूल्य बड़े हिस्से से संबंधित है।

सुनहरे अनुपात का उल्लेख पहली बार यूक्लिड (ग्रंथ "एलिमेंट्स," लगभग 300 ईसा पूर्व) द्वारा किया गया था, जो एक नियमित आयत के निर्माण के बारे में बात कर रहा था। हालाँकि, एक अधिक परिचित अवधारणा जर्मन गणितज्ञ मार्टिन ओम द्वारा प्रस्तुत की गई थी।

लगभग, सुनहरे अनुपात को दो अलग-अलग भागों में आनुपातिक विभाजन के रूप में दर्शाया जा सकता है, उदाहरण के लिए, 38% और 68%। स्वर्णिम अनुपात की संख्यात्मक अभिव्यक्ति लगभग 1.6180339887 है।

व्यवहार में, सुनहरे अनुपात का उपयोग वास्तुकला, ललित कला (कार्यों को देखें), सिनेमा और अन्य क्षेत्रों में किया जाता है। लंबे समय तक, जैसा कि अब है, सुनहरे अनुपात को एक सौंदर्यवादी अनुपात माना जाता था, हालांकि अधिकांश लोग इसे अनुपातहीन - बढ़ा हुआ मानते हैं।

आप निम्नलिखित अनुपातों द्वारा निर्देशित होकर स्वयं स्वर्णिम अनुपात का अनुमान लगाने का प्रयास कर सकते हैं:

खंड की लंबाई a = 0.618
खंड b की लंबाई = 0.382
खंड की लंबाई c = 1
c और a का अनुपात = 1.618
c और b का अनुपात = 2.618

आइए अब फाइबोनैचि संख्याओं पर सुनहरा अनुपात लागू करें: हम इसके अनुक्रम के दो आसन्न पद लेते हैं और बड़े को छोटे से विभाजित करते हैं। हमें लगभग 1.618 मिलता है। यदि हम वही बड़ी संख्या लें और उसे उसके बाद अगली बड़ी संख्या से विभाजित करें, तो हमें लगभग 0.618 प्राप्त होता है। इसे स्वयं आज़माएँ: 21 और 34 या कुछ अन्य संख्याओं के साथ "खेलें"। यदि हम इस प्रयोग को फाइबोनैचि अनुक्रम की पहली संख्याओं के साथ करते हैं, तो ऐसा परिणाम मौजूद नहीं रहेगा, क्योंकि अनुक्रम की शुरुआत में सुनहरा अनुपात "काम नहीं करता"। वैसे, सभी फाइबोनैचि संख्याओं को निर्धारित करने के लिए, आपको केवल पहले तीन लगातार संख्याओं को जानने की आवश्यकता है।

और अंत में, विचार के लिए कुछ और सामग्री।

स्वर्ण आयत और फाइबोनैचि सर्पिल

"गोल्डन रेक्टेंगल" सुनहरे अनुपात और फाइबोनैचि संख्याओं के बीच एक और संबंध है, क्योंकि... इसका पक्षानुपात 1.618 से 1 है (संख्या 1.618 याद रखें!)।

यहां एक उदाहरण है: हम फाइबोनैचि अनुक्रम से दो संख्याएं लेते हैं, उदाहरण के लिए 8 और 13, और 8 सेमी की चौड़ाई और 13 सेमी की लंबाई के साथ एक आयत बनाते हैं। इसके बाद, हम मुख्य आयत को छोटे में विभाजित करते हैं, लेकिन उनके लंबाई और चौड़ाई फाइबोनैचि संख्याओं के अनुरूप होनी चाहिए - बड़े आयत के एक किनारे की लंबाई छोटे आयत के किनारे की दो लंबाई के बराबर होनी चाहिए।

इसके बाद, हम अपने पास मौजूद सभी आयतों के कोनों को एक चिकनी रेखा से जोड़ते हैं और लघुगणकीय सर्पिल का एक विशेष मामला प्राप्त करते हैं - फाइबोनैचि सर्पिल। इसका मुख्य गुण सीमाओं का अभाव और आकार में परिवर्तन हैं। ऐसा सर्पिल अक्सर प्रकृति में पाया जा सकता है: सबसे हड़ताली उदाहरण मोलस्क के गोले, उपग्रह छवियों में चक्रवात और यहां तक कि कई आकाशगंगाएं हैं। लेकिन अधिक दिलचस्प बात यह है कि जीवित जीवों का डीएनए भी इसी नियम का पालन करता है, क्योंकि क्या आपको याद है कि इसका आकार सर्पिल होता है?

ये और कई अन्य "यादृच्छिक" संयोग आज भी वैज्ञानिकों की चेतना को उत्तेजित करते हैं और सुझाव देते हैं कि ब्रह्मांड में सब कुछ एक एकल एल्गोरिदम, इसके अलावा, एक गणितीय के अधीन है। और यह विज्ञान बड़ी संख्या में पूरी तरह से उबाऊ रहस्यों और रहस्यों को छुपाता है।

फाइबोनैचि संख्याएँ - विदेशी मुद्रा में - एक गणितीय संबंध हैं और विदेशी मुद्रा में तकनीकी विश्लेषण के विभिन्न तरीकों और रणनीतियों की नींव हैं। ये संख्याएँ कई अन्य विदेशी मुद्रा बाज़ार रणनीतियों का आधार हैं।

उनके सम्मान में, थोड़ी देर बाद, ऐसी संख्याओं के अनुक्रम का नाम स्वयं संस्थापक के नाम पर रखा गया - " फाइबोनैचि श्रृंखला».

इस पुस्तक की मदद से, यूरोपीय लोगों ने संख्याओं के इंडो-अरबी अनुक्रम को सीखा, जिसके बाद रोमन अंकों को गणित और ज्यामिति में उपयोग से बाहर कर दिया गया। लियोनार्डो फाइबोनैचि द्वारा सभी कार्य, भौतिकी, गणित, खगोल विज्ञान आदि के विकास में भारी लाभ लाया. अद्वितीय फाइबोनैचि सूत्र अपने आप में आश्चर्यजनक रूप से सरल है: 1, 2, 3, 5, 8 (और इसी तरह अनंत काल तक)।

फाइबोनैचि संख्या श्रृंखला में बहुत ही असामान्य विशेषताएं हैं, अर्थात्, प्रत्येक संख्या पिछले एक से संबंधित है। दो आसन्न फाइबोनैचि संख्याओं के योग को एक साथ जोड़ने पर पहले दो के बाद वाली संख्या प्राप्त होती है। उदाहरण के तौर पर, हम निम्नलिखित दे सकते हैं: 2 + 2 = 4. किसी भी संख्या का पिछली संख्या से अनुपात का मान 1.618 के स्वर्णिम माध्य के करीब है। उदाहरण के लिए: 13: 8 = 1.625; या 21:13 = 1.615; और इसी तरह।
आइए लियोनार्डो फाइबोनैचि के अनुक्रम के एक अन्य उदाहरण पर भी विचार करें:

ध्यान दें कि संख्याओं का अनुपात 0.618 के मान के आसपास कैसे उतार-चढ़ाव करता है!

वास्तव में, लियोनार्डो फाइबोनैचि को स्वयं इस संख्या श्रृंखला का पहला खोजकर्ता नहीं माना जाता है। क्योंकि इस गणितीय संबंध के निशान संगीत, जीव विज्ञान और वास्तुकला में पाए गए हैं। यहां तक कि ग्रहों और संपूर्ण सौर मंडल की व्यवस्था भी इन्हीं नियमों पर आधारित है।

पार्थेनन के निर्माण के दौरान यूनानियों द्वारा और गीज़ा में प्रसिद्ध पिरामिड के निर्माण के दौरान मिस्रियों द्वारा निर्माण में फाइबोनैचि संख्याओं का उपयोग किया गया था। "संख्यात्मक माध्य" के अद्वितीय गुण प्लेटो, पाइथागोरस, आर्किमिडीज़ और लियोनार्डो दा विंची जैसे प्राचीन काल के महानतम वैज्ञानिकों को भी ज्ञात थे।

अद्भुत फाइबोनैचि संख्या पैटर्न

लियोनार्डो फाइबोनैचि संख्या अनुपात और सुधार स्तर का % अनुपात।

एक नियम के रूप में, एक सुधार में हमेशा 3 छलांगें होती हैं...

पारंपरिक सुधार को 2 प्रकारों में विभाजित किया गया है:

यह एक ज़िगज़ैग 5, 3, 5 है,
साथ ही समतल तरंग 3, 3, 5।

चौथे पर, आमतौर पर त्रिकोण बनते हैं, जो लगातार अंतिम गठित लहर से पहले होते हैं। यह गठन एक सुधारात्मक तरंग बी भी हो सकता है।

प्रत्येक तरंग छोटी-छोटी तरंगों में विभाजित होती है और लंबी तरंग का एक घटक होती है।

ऐसा होता है कि एक आवेग तरंग खिंच जाती है, और अन्य दो, एक नियम के रूप में, आकार और गठन के समय में समान होनी चाहिए।

फाइबोनैचि अनुपात और इन संख्याओं का उपयोग करके प्राप्त किए गए सुधार आकारों के अनुपात को खोजने के लिए उपयोग किया जाता है।

सुधार के आकार और पिछले रुझान आंदोलन के बीच संबंध आमतौर पर बराबर होता है: 62, 50, 38 प्रतिशत।

वैकल्पिक विधि कहती है: आपको लगातार 2 बार मूल्य गतिशीलता की एक ही अभिव्यक्ति की प्रतीक्षा नहीं करनी चाहिए।

एक सक्रिय बुल मार्केट पिछली 4 लहर की शुरुआत से नीचे नहीं गिर सकता।

इसके अलावा, तरंग 4 को पहले के साथ प्रतिच्छेद नहीं करना चाहिए।

एलियट के सिद्धांत के मुख्य मानदंड हैं:

1) तरंगरूप;
2) उनकी लंबाई का अनुपात;
3) उनके विकास की अवधि.

इसके अलावा, जैसा कि हमने पहले ही उल्लेख किया है, कई और लियोनार्डो फाइबोनैचि द्वारा प्राप्त अनुक्रम पर आधारित हैं, जिन्हें निश्चित रूप से इस साइट की सामग्रियों में छुआ जाएगा।

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