Los antipiréticos para niños los prescribe un pediatra. Pero hay situaciones de emergencia con fiebre en las que es necesario administrar medicamentos al niño de inmediato. Entonces los padres asumen la responsabilidad y utilizan fármacos antipiréticos. ¿Qué se le permite dar a los bebés? ¿Cómo se puede bajar la temperatura en niños mayores? ¿Qué medicamentos son los más seguros?

cualquier matriz A orden mxn puede considerarse como una colección metro vectores de cadena o norte vectores de columna.

Rango matrices A orden mxn es el número máximo de vectores de columna o vectores de fila linealmente independientes.

Si el rango de la matriz A es igual r, entonces se escribe:

Encontrar el rango de una matriz

Dejar A matriz de orden arbitrario metro× norte. Para encontrar el rango de una matriz. A Le aplicamos el método de eliminación gaussiano.

Tenga en cuenta que si en alguna etapa de la eliminación el elemento principal es igual a cero, entonces intercambiamos esta línea con la línea en la que el elemento principal es diferente de cero. Si resulta que no existe tal línea, pase a la siguiente columna, etc.

Después del proceso de eliminación gaussiana directa, obtenemos una matriz cuyos elementos bajo la diagonal principal son iguales a cero. Además, puede haber vectores de fila cero.

El número de vectores de fila distintos de cero será el rango de la matriz. A.

Veamos todo esto con ejemplos sencillos.

Ejemplo 1.

Multiplicando la primera línea por 4 y sumando a la segunda línea y multiplicando la primera línea por 2 y sumando a la tercera línea tenemos:

Multiplica la segunda línea por -1 y súmala a la tercera línea:

Recibimos dos filas distintas de cero y, por lo tanto, el rango de la matriz es 2.

Ejemplo 2.

Encontremos el rango de la siguiente matriz:

Multiplica la primera línea por -2 y agrégala a la segunda línea. De manera similar, restablecemos los elementos de la tercera y cuarta filas de la primera columna:

Restablezcamos los elementos de la tercera y cuarta filas de la segunda columna sumando las filas correspondientes a la segunda fila multiplicada por el número -1.

Elemental Las siguientes transformaciones matriciales se denominan:

1) permutación de dos filas (o columnas cualesquiera),

2) multiplicar una fila (o columna) por un número distinto de cero,

3) sumar a una fila (o columna) otra fila (o columna), multiplicada por un número determinado.

Las dos matrices se llaman equivalente, si uno de ellos se obtiene del otro mediante un conjunto finito de transformaciones elementales.

Las matrices equivalentes no son, en términos generales, iguales, pero sus rangos sí lo son. Si las matrices A y B son equivalentes, entonces se escribe de la siguiente manera: A ~ B.

Canónico Una matriz es una matriz en la que al comienzo de la diagonal principal hay varios unos seguidos (cuyo número puede ser cero) y todos los demás elementos son iguales a cero, por ejemplo,

Utilizando transformaciones elementales de filas y columnas, cualquier matriz se puede reducir a canónica. El rango de una matriz canónica es igual al número de unos en su diagonal principal.

Ejemplo 2 Encuentra el rango de una matriz.

y llevarlo a forma canónica.

Solución. De la segunda línea, resta la primera y reordena estas líneas:

Ahora de la segunda y tercera línea restamos la primera, multiplicada por 2 y 5, respectivamente:

;

reste la primera de la tercera línea; obtenemos una matriz

B = ,

la cual es equivalente a la matriz A, ya que a partir de ella se obtiene mediante un conjunto finito de transformaciones elementales. Obviamente, el rango de la matriz B es 2 y, por tanto, r(A)=2. Matrix B se puede reducir fácilmente a canónica. Al restar la primera columna, multiplicada por números adecuados, de todas las siguientes, ponemos a cero todos los elementos de la primera fila, excepto la primera, y los elementos de las filas restantes no cambian. Luego, restando la segunda columna, multiplicada por números adecuados, de todas las siguientes, ponemos a cero todos los elementos de la segunda fila, excepto la segunda, y obtenemos la matriz canónica:

Teorema de Kronecker-Capelli- criterio de compatibilidad para un sistema de ecuaciones algebraicas lineales:

Para que un sistema lineal sea consistente es necesario y suficiente que el rango de la matriz extendida de este sistema sea igual al rango de su matriz principal.

Prueba (condiciones de compatibilidad del sistema)

Necesidad

Dejar sistema articulación Luego hay números tales que . Por tanto, la columna es una combinación lineal de las columnas de la matriz. Del hecho de que el rango de una matriz no cambiará si se elimina o agrega una fila (columna) del sistema de sus filas (columnas), que es una combinación lineal de otras filas (columnas), se deduce que .

Adecuación

Dejar . Tomemos algo menor básico en la matriz. Ya que entonces también será la base menor de la matriz. Entonces, según el teorema de la base menor, la última columna de la matriz será una combinación lineal de las columnas base, es decir, las columnas de la matriz. Por tanto, la columna de términos libres del sistema es una combinación lineal de las columnas de la matriz.

Consecuencias

Número de variables principales sistemas igual al rango del sistema.

Articulación sistema se definirá (su solución es única) si el rango del sistema es igual al número de todas sus variables.

Sistema homogéneo de ecuaciones.

Oferta15 . 2 Sistema homogéneo de ecuaciones.

siempre es conjunta.

Prueba. Para este sistema, el conjunto de números , , , es una solución.

En esta sección usaremos la notación matricial del sistema: .

Oferta15 . 3 La suma de soluciones de un sistema homogéneo de ecuaciones lineales es una solución de este sistema. Una solución multiplicada por un número también es una solución.

Prueba. Que sirvan como soluciones al sistema. Entonces y. Dejar . Entonces

Desde entonces, la solución.

Sea un número arbitrario, . Entonces

Desde entonces, la solución.

Consecuencia15 . 1 Si un sistema homogéneo de ecuaciones lineales tiene una solución distinta de cero, entonces tiene infinitas soluciones diferentes.

De hecho, multiplicando una solución distinta de cero por varios números, obtendremos soluciones diferentes.

Definición15 . 5 Diremos que las soluciones forma de sistemas sistema fundamental de soluciones, si columnas forman un sistema linealmente independiente y cualquier solución del sistema es una combinación lineal de estas columnas.

Este artículo discutirá conceptos como el rango de una matriz y los conceptos adicionales necesarios. Le daremos ejemplos y pruebas de cómo encontrar el rango de una matriz y también le diremos qué es una matriz menor y por qué es tan importante.

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Matriz menor

Para comprender cuál es el rango de una matriz, es necesario comprender el concepto de matriz menor.

Definición 1

Menorkésimo orden de la matriz es el determinante de una matriz cuadrada de orden k×k, que está compuesta por elementos de la matriz A ubicados en k-filas y k-columnas preseleccionadas, manteniendo la posición de los elementos de la matriz A.

En pocas palabras, si en la matriz A elimina (p-k) filas y (n-k) columnas, y de los elementos que quedan, crea una matriz, preservando la disposición de los elementos de la matriz A, entonces el determinante de la matriz resultante es el orden k menor de la matriz A.

Del ejemplo se deduce que los menores de primer orden de la matriz A son los propios elementos de la matriz.

Podemos dar varios ejemplos de menores de segundo orden. Seleccionemos dos filas y dos columnas. Por ejemplo, primera y segunda fila, tercera y cuarta columna.

Con esta elección de elementos, el menor de segundo orden será - 1 3 0 2 = (- 1) × 2 - 3 × 0 = - 2

Otro menor de segundo orden de la matriz A es 0 0 1 1 = 0

Proporcionemos ilustraciones de la construcción de menores de segundo orden de la matriz A:

Un menor de tercer orden se obtiene tachando la tercera columna de la matriz A:

0 0 3 1 1 2 - 1 - 4 0 = 0 × 1 × 0 + 0 × 2 × (- 1) + 3 × 1 × (- 4) - 3 × 1 × (- 1) - 0 × 1 × 0 - 0 × 2 × (- 4) = - 9

Ilustración de cómo se obtiene el menor de tercer orden de la matriz A:

Para una matriz dada, no hay menores superiores al tercer orden, porque

k ≤ metro yo norte (p , n) = metro yo norte (3 , 4) = 3

¿Cuántos menores de orden k hay para la matriz A de orden p×n?

El número de menores se calcula mediante la siguiente fórmula:

C p k × C n k , donde e C p k = p ! ¡k! (paquete) ! y C n k = n ! ¡k! (n - k) ! - el número de combinaciones de p a k, de n a k, respectivamente.

Una vez que hayamos determinado cuáles son los menores de la matriz A, podemos proceder a determinar el rango de la matriz A.

Rango de matriz: métodos de búsqueda

Definición 2

rango de matriz - el orden más alto de la matriz distinto de cero.

Designación 1

Rango (A), Rg (A), sonó (A).

A partir de la definición del rango de una matriz y el menor de una matriz, queda claro que el rango de una matriz cero es igual a cero y el rango de una matriz distinta de cero es diferente de cero.

Encontrar el rango de una matriz por definición

Definición 3

Método de empadronamiento de menores - un método basado en la determinación del rango de una matriz.

Algoritmo de acciones mediante el método de enumeración de menores. :

Es necesario encontrar el rango de una matriz A de orden. pag× norte. Si hay al menos un elemento distinto de cero, entonces el rango de la matriz es al menos igual a uno ( porque hay un menor de primer orden que no es igual a cero).

Luego viene la enumeración de los menores de segundo orden. Si todos los menores de segundo orden son iguales a cero, entonces el rango es igual a uno. Si hay al menos un menor de segundo orden distinto de cero, es necesario pasar a enumerar los menores de tercer orden, y el rango de la matriz, en este caso, será igual a al menos dos.

Haremos lo mismo con el rango de 3er orden: si todos los menores de la matriz son iguales a cero, entonces el rango será igual a dos. Si hay al menos un menor distinto de cero de tercer orden, entonces el rango de la matriz es al menos tres. Y así sucesivamente, por analogía.

Ejemplo 2

Encuentre el rango de la matriz:

A = - 1 1 - 1 - 2 0 2 2 6 0 - 4 4 3 11 1 - 7

Como la matriz es distinta de cero, su rango mínimo es uno.

El menor de segundo orden - 1 1 2 2 = (- 1) × 2 - 1 × 2 = 4 no es cero. De ello se deduce que el rango de la matriz A es al menos dos.

Separamos los menores de tercer orden: ¡C 3 3 × C 5 3 = 1 5! 3! (5 - 3) ! = 10 piezas.

1 1 - 1 2 2 6 4 3 11 = (- 1) × 2 × 11 + 1 × 6 × 4 + (- 1) × 2 × 3 - (- 1) × 2 × 4 - 1 × 2 × 11 - (- 1) × 6 × 3 = 0

1 - 1 - 2 2 6 0 4 11 1 = (- 1) × 6 × 1 + (- 1) × 0 × 4 + (- 2) × 2 × 11 - (- 2) × 6 × 4 - (- 1) × 2 × 1 - (- 1) × 0 × 11 = 0

1 1 - 2 2 2 0 4 3 1 = (- 1) × 2 × 1 + 1 × 0 × 4 + (- 2) × 2 × 3 - (- 2) × 2 × 4 - 1 × 2 × 1 - (- 1) × 0 × 3 = 0

1 - 1 0 2 6 - 4 4 11 - 7 = (- 1) × 6 × (- 7) + (- 1) × (- 4) × 4 + 0 × 2 × 11 - 0 × 6 × 4 - ( - 1) × 2 × (- 7) - (- 1) × (- 4) × 11 = 0

1 - 1 0 2 6 - 4 3 11 - 7 = 1 × 6 × (- 7) + (- 1) × (- 4) × 3 + 0 × 2 × 11 - 0 × 6 × 3 - (- 1) × 2 × (- 7) - 1 × (- 4) × 11 = 0

1 - 2 0 2 0 - 4 3 1 - 7 = 1 × 0 × (- 7) + (- 2) × (- 4) × 3 + 0 × 2 × 1 - 0 × 0 × 3 - (- 2) × 2 × (- 7) - 1 × (- 4) × 1 = 0

1 - 2 0 6 0 - 4 11 1 - 7 = (- 1) × 0 × (- 7) + (- 2) × (- 4) × 11 + 0 × 6 × 1 - 0 × 0 × 11 - ( - 2) × 6 × (- 7) - (- 1) × (- 4) × 1 = 0

Los menores de tercer orden son iguales a cero, por lo que el rango de la matriz es dos.

Respuesta : Rango (A) = 2.

Encontrar el rango de una matriz utilizando el método de menores limítrofes

Definición 3

Método menor limítrofe - un método que le permite obtener resultados con menos trabajo computacional.

Borde menor - menor M o k (k + 1) de orden ésimo de la matriz A, que limita con la menor M de orden k de la matriz A, si la matriz que corresponde a la menor M o k “contiene” la matriz que corresponde a la menor m.

En pocas palabras, la matriz que corresponde al menor limítrofe M se obtiene de la matriz correspondiente al menor limítrofe M o k eliminando los elementos de una fila y una columna.

Ejemplo 3

Encuentre el rango de la matriz:

A = 1 2 0 - 1 3 - 2 0 3 7 1 3 4 - 2 1 1 0 0 3 6 5

Para encontrar el rango tomamos el menor de segundo orden M = 2 - 1 4 1

Anotamos todos los menores limítrofes:

1 2 - 1 - 2 0 7 3 4 1 , 2 0 - 1 0 3 7 4 - 2 1 , 2 - 1 3 0 7 1 4 1 1 , 1 2 - 1 3 4 1 0 0 6 , 2 0 - 1 4 - 2 1 0 3 6 , 2 - 1 3 4 1 1 0 6 5 .

Para justificar el método de bordear menores, presentamos un teorema, cuya formulación no requiere demostración.

Teorema 1

Si todos los menores que bordean el k-ésimo orden menor de una matriz A de orden p por n son iguales a cero, entonces todos los menores de orden (k+1) de la matriz A son iguales a cero.

Algoritmo de acciones :

Para encontrar el rango de una matriz no es necesario pasar por todos los menores, basta con mirar los limítrofes.

Si los menores limítrofes son iguales a cero, entonces el rango de la matriz es cero. Si hay al menos un menor que no es igual a cero, entonces consideramos menores limítrofes.

Si todos son cero, entonces el rango (A) es dos. Si hay al menos un menor limítrofe distinto de cero, entonces procedemos a considerar sus menores limítrofes. Y así sucesivamente, de la misma manera.

Ejemplo 4

Encuentre el rango de una matriz usando el método de aristas menores

A = 2 1 0 - 1 3 4 2 1 0 - 1 2 1 1 1 - 4 0 0 2 4 - 14

¿Cómo resolver?

Dado que el elemento a 11 de la matriz A no es igual a cero, tomamos un menor de primer orden. Empecemos a buscar un menor limítrofe distinto de cero:

2 1 4 2 = 2 × 2 - 1 × 4 = 0 2 0 4 1 = 2 × 1 - 0 × 4 = 2

Encontramos un menor limítrofe de segundo orden distinto de cero 2 0 4 1 .

Enumeremos los menores limítrofes - (hay (4 - 2) × (5 - 2) = 6 piezas).

2 1 0 4 2 1 2 1 1 = 0 ; 2 0 - 1 4 1 0 2 1 1 = 0 ; 2 0 3 4 1 - 1 2 1 - 4 = 0 ; 2 1 0 4 2 1 0 0 2 = 0 ; 2 0 - 1 4 1 0 0 2 4 = 0 ; 2 0 3 4 1 - 1 0 2 - 14 = 0

Respuesta : Rango(A) = 2.

Encontrar el rango de una matriz usando el método gaussiano (usando transformaciones elementales)

Recordemos qué son las transformaciones elementales.

Transformaciones elementales:

reorganizando las filas (columnas) de la matriz;
multiplicando todos los elementos de cualquier fila (columna) de la matriz por un número arbitrario distinto de cero k;

sumando a los elementos de cualquier fila (columna) elementos que corresponden a otra fila (columna) de la matriz, que se multiplican por un número arbitrario k.

Definición 5

Encontrar el rango de una matriz usando el método gaussiano - un método que se basa en la teoría de la equivalencia de matrices: si la matriz B se obtiene a partir de la matriz A mediante un número finito de transformaciones elementales, entonces Rango(A) = Rango(B).

La validez de esta afirmación se desprende de la definición de la matriz:

Si se reordenan las filas o columnas de una matriz, su determinante cambia de signo. Si es igual a cero, al reorganizar filas o columnas permanece igual a cero;
en el caso de multiplicar todos los elementos de cualquier fila (columna) de la matriz por un número arbitrario k distinto de cero, el determinante de la matriz resultante es igual al determinante de la matriz original, que se multiplica por k;

en el caso de sumar a los elementos de una determinada fila o columna de una matriz los elementos correspondientes de otra fila o columna, que se multiplican por el número k, no cambia su determinante.

La esencia del método de transformaciones elementales. : reduzca la matriz cuyo rango debe encontrarse a una trapezoidal utilizando transformaciones elementales.

¿Para qué?

El rango de matrices de este tipo es bastante fácil de encontrar. Es igual al número de líneas que tienen al menos un elemento distinto de cero. Y como el rango no cambia al realizar transformaciones elementales, este será el rango de la matriz.

Ilustremos este proceso:

para matrices rectangulares A de orden p por n, cuyo número de filas es mayor que el número de columnas:

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 n - 1 b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 n - 2 b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 b n - 1 n 0 0 0 ⋯ 0 1 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 , R a n k (A) = n

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 k b 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 k b 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 b k k + 1 ⋯ b k n 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 , R a n k (A) = k

para matrices rectangulares A de orden p por n, cuyo número de filas es menor que el número de columnas:

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 p b 1 p + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 p b 2 p + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 b p p + 1 ⋯ segundo p norte , R a norte k (A) = p

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 k b 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 k b 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 b k k + 1 ⋯ b k n 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0

para matrices cuadradas A de orden n por n:

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 n - 1 b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 n - 1 b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 b n - 1 n 0 0 0 ⋯ 0 1 , R a n k (A) = n

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 k b 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 k b 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 b k k + 1 ⋯ b k n 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 , R a n k (A) = k , k< n

Ejemplo 5

Encuentre el rango de la matriz A usando transformaciones elementales:

A = 2 1 - 2 6 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11

¿Cómo resolver?

Como el elemento a 11 es distinto de cero, es necesario multiplicar los elementos de la primera fila de la matriz A por 1 a 11 = 1 2:

A = 2 1 - 2 6 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11 ~

A los elementos de la 2ª línea sumamos los elementos correspondientes de la 1ª línea, que se multiplican por (-3). A los elementos de la 3ª línea le sumamos los elementos de la 1ª línea, que se multiplican por (-1):

~A (1) = 1 1 2 - 1 3 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11 ~A (2) = = 1 1 2 - 1 3 3 + 1 (- 3) 0 + 1 2 (- 3) 0 + (- 1) (- 3) - 1 + 3 (- 3) 1 + 1 (- 3) - 1 + 1 2 (- 3) 2 + (- 1) (- 1) - 7 + 3 (- 1) 5 + 1 (- 5) - 2 + 1 2 (- 5) 4 + (- 1) (- 5) - 15 + 3 (- 5) 7 + 1 (- 7) 2 + 1 2 (- 7) - 4 + (- 1) (- 7) 11 + 3 (- 7) =

1 1 2 - 1 3 0 - 3 2 3 - 10 0 - 3 2 3 - 10 0 - 9 2 9 - 30 0 - 3 2 3 - 10

El elemento a 22 (2) es distinto de cero, por lo que multiplicamos los elementos de la 2da fila de la matriz A por A (2) por 1 a 22 (2) = - 2 3:

A (3) = 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 - 3 2 3 - 10 0 - 9 2 9 - 30 0 - 3 2 3 - 10 ~ A (4) = 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 - 3 2 + 1 3 2 3 + (- 2) 3 2 - 10 + 20 3 × 3 2 0 - 9 2 + 1 9 2 9 + (- 2) 9 2 - 30 + 20 3 × 9 2 0 - 3 2 + 1 3 2 3 + (- 2) 3 2 - 10 + 20 3 × 3 2 = = 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

A los elementos de la 3ª fila de la matriz resultante le sumamos los elementos correspondientes de la 2ª fila, que se multiplican por 3 2;
a los elementos de la cuarta línea: los elementos de la segunda línea, que se multiplican por 9 2;
a los elementos de la quinta fila: los elementos de la segunda fila, que se multiplican por 3 2.

Todos los elementos de la fila son cero. Así, utilizando transformaciones elementales, llevamos la matriz a una forma trapezoidal, de la cual se puede ver que R an k (A (4)) = 2. De ello se deduce que el rango de la matriz original también es igual a dos.

Comentario

Si realiza transformaciones elementales, ¡no se permiten valores aproximados!

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>>Rango de matriz

rango de matriz

Determinar el rango de una matriz

Considere una matriz rectangular. Si en esta matriz seleccionamos arbitrariamente k líneas y k columnas, entonces los elementos en la intersección de las filas y columnas seleccionadas forman una matriz cuadrada de orden k. El determinante de esta matriz se llama menor de orden k matriz A. Obviamente, la matriz A tiene menores de cualquier orden desde 1 hasta el más pequeño de los números my n. Entre todos los menores distintos de cero de la matriz A, hay al menos un menor cuyo orden es el mayor. El mayor de los órdenes menores distintos de cero de una matriz determinada se llama rango matrices. Si el rango de la matriz A es r, esto significa que la matriz A tiene un menor de orden distinto de cero r, pero todo menor de orden mayor que r, es igual a cero. El rango de la matriz A se denota por r(A). Obviamente, la relación se mantiene

Calcular el rango de una matriz usando menores

El rango de la matriz se encuentra mediante el método de menores limítrofes o mediante el método de transformaciones elementales. Al calcular el rango de una matriz utilizando el primer método, debe pasar de menores de orden inferior a menores de orden superior. Si ya se ha encontrado un menor D de k-ésimo orden de la matriz A, diferente de cero, entonces sólo los menores de orden (k+1) que bordean el menor D requieren cálculo, es decir, conteniéndolo como menor de edad. Si todos son iguales a cero, entonces el rango de la matriz es igual a k.

Ejemplo 1.Encuentre el rango de la matriz usando el método de menores limítrofes.

Solución.Comenzamos con menores de primer orden, es decir. de los elementos de la matriz A. Elijamos, por ejemplo, un (elemento) menor M 1 = 1, ubicado en la primera fila y la primera columna. Bordeando con ayuda de la segunda fila y tercera columna obtenemos un menor M 2 = distinto de cero. Pasemos ahora a los menores de tercer orden que bordean M2. Solo hay dos (puedes agregar una segunda o cuarta columna). Calculémoslos: = 0. Por tanto, todos los menores limítrofes de tercer orden resultaron ser iguales a cero. El rango de la matriz A es dos.

Calcular el rango de una matriz mediante transformaciones elementales

ElementalLas siguientes transformaciones matriciales se denominan:

1) permutación de dos filas (o columnas cualesquiera),

2) multiplicar una fila (o columna) por un número distinto de cero,

3) sumar a una fila (o columna) otra fila (o columna), multiplicada por un número determinado.

Las dos matrices se llaman equivalente, si uno de ellos se obtiene del otro mediante un conjunto finito de transformaciones elementales.

Las matrices equivalentes no son, en términos generales, iguales, pero sus rangos sí lo son. Si las matrices A y B son equivalentes, entonces se escribe de la siguiente manera: A~B.

CanónicoUna matriz es una matriz en la que al comienzo de la diagonal principal hay varios unos seguidos (cuyo número puede ser cero) y todos los demás elementos son iguales a cero, por ejemplo,

Utilizando transformaciones elementales de filas y columnas, cualquier matriz se puede reducir a canónica. El rango de una matriz canónica es igual al número de unos en su diagonal principal.

Ejemplo 2Encuentra el rango de una matriz.

y llevarlo a forma canónica.

Solución. De la segunda línea, resta la primera y reorganiza estas líneas:

Ahora de la segunda y tercera línea restamos la primera, multiplicada por 2 y 5, respectivamente:

;

reste la primera de la tercera línea; obtenemos una matriz

B = ,

Sea alguna matriz:

Seleccionemos en esta matriz cadenas arbitrarias y columnas arbitrarias
. Entonces el determinante ésimo orden, compuesto por elementos matriciales
, ubicado en la intersección de filas y columnas seleccionadas, se llama menor matriz de orden
.

Definición 1.13. rango de matriz
es el orden más grande del menor distinto de cero de esta matriz.

Para calcular el rango de una matriz se deben considerar todos sus menores de orden inferior y, si al menos uno de ellos es diferente de cero, se procede a considerar los menores de orden superior. Este enfoque para determinar el rango de una matriz se denomina método limítrofe (o método de menores limítrofes).

Problema 1.4. Utilizando el método de menores limítrofes, determine el rango de la matriz.
.

Considere los bordes de primer orden, por ejemplo,
. Luego pasamos a considerar algunos bordes de segundo orden.

Por ejemplo,
.

Finalmente, analicemos el borde de tercer orden.

Entonces el orden más alto de un menor distinto de cero es 2, por lo tanto
.

Al resolver el problema 1.4, se puede observar que un número de menores limítrofes de segundo orden son distintos de cero. En este sentido, se aplica el siguiente concepto.

Definición 1.14. Una base menor de una matriz es cualquier menor distinta de cero cuyo orden sea igual al rango de la matriz.

Teorema 1.2.(Teorema básico menor). Las filas básicas (columnas básicas) son linealmente independientes.

Tenga en cuenta que las filas (columnas) de una matriz son linealmente dependientes si y sólo si al menos una de ellas puede representarse como una combinación lineal de las demás.

Teorema 1.3. El número de filas de la matriz linealmente independientes es igual al número de columnas de la matriz linealmente independientes y es igual al rango de la matriz.

Teorema 1.4.(Condición necesaria y suficiente para que el determinante sea igual a cero). Para que el determinante -ésimo orden era igual a cero, es necesario y suficiente que sus filas (columnas) sean linealmente dependientes.

Calcular el rango de una matriz en función de su definición es demasiado engorroso. Esto resulta especialmente importante para matrices de órdenes superiores. En este sentido, en la práctica, el rango de una matriz se calcula con base en la aplicación de los Teoremas 10.2 - 10.4, así como el uso de los conceptos de equivalencia matricial y transformaciones elementales.

Definición 1.15. Dos matrices
Y se llaman equivalentes si sus rangos son iguales, es decir
.

Si matrices
Y son equivalentes, entonces tenga en cuenta
 .

Teorema 1.5. El rango de la matriz no cambia debido a transformaciones elementales.

Llamaremos transformaciones matriciales elementales.
cualquiera de las siguientes operaciones sobre una matriz:

Reemplazar filas con columnas y columnas con filas correspondientes;

Reorganizar las filas de la matriz;

Tachar una línea cuyos elementos son todos cero;

Multiplicar una cadena por un número distinto de cero;

Sumar a los elementos de una línea los elementos correspondientes de otra línea multiplicados por el mismo número
.

Corolario del teorema 1.5. si matriz
obtenido de la matriz usando un número finito de transformaciones elementales, entonces la matriz
Y son equivalentes.

Al calcular el rango de una matriz, se debe reducir a una forma trapezoidal utilizando un número finito de transformaciones elementales.

Definición 1.16. Llamaremos trapezoidal a una forma de representación de una matriz cuando, en el menor limítrofe de mayor orden distinto de cero, todos los elementos por debajo de los diagonales desaparecen. Por ejemplo:

Aquí
, elementos de matriz
ir a cero. Entonces la forma de representación de dicha matriz será trapezoidal.

Como regla general, las matrices se reducen a una forma trapezoidal mediante el algoritmo gaussiano. La idea del algoritmo de Gauss es que, multiplicando los elementos de la primera fila de la matriz por los factores correspondientes, se consigue que todos los elementos de la primera columna situados debajo del elemento
, volvería a cero. Luego, multiplicando los elementos de la segunda columna por los factores correspondientes, nos aseguramos de que todos los elementos de la segunda columna ubicados debajo del elemento
, volvería a cero. Luego proceda de la misma manera.