Calculadora online.
Evaluar una expresión con fracciones numéricas.
Multiplicar, restar, dividir, sumar y reducir fracciones con diferentes denominadores.

Con esta calculadora en línea puedes multiplicar, restar, dividir, sumar y reducir fracciones con diferentes denominadores.

El programa trabaja con fracciones de números regulares, impropios y mixtos.

Este programa (calculadora en línea) puede:
- realizar la suma de fracciones mixtas con diferentes denominadores
- realizar restas de fracciones mixtas con diferentes denominadores
- dividir fracciones mixtas con diferentes denominadores
- multiplicar fracciones mixtas con diferentes denominadores
- reducir fracciones a un denominador común
- convertir fracciones mixtas en fracciones impropias
- reducir fracciones

También puedes ingresar no una expresión con fracciones, sino una sola fracción.
En este caso, la fracción se reducirá y la parte entera se separará del resultado.

Una calculadora en línea para calcular expresiones con fracciones numéricas no solo da la respuesta al problema, sino que también solución detallada con explicaciones, es decir Muestra el proceso de búsqueda de una solución.

Este programa puede ser útil para estudiantes de secundaria. escuelas secundarias En preparación para pruebas y exámenes, al evaluar conocimientos antes del Examen Estatal Unificado, para que los padres controlen la solución de muchos problemas de matemáticas y álgebra. ¿O tal vez le resulte demasiado caro contratar un tutor o comprar libros de texto nuevos? ¿O simplemente quieres hacerlo lo más rápido posible? tarea¿En matemáticas o álgebra? En este caso, también puede utilizar nuestros programas con soluciones detalladas.

De esta forma podrás realizar tu propia formación y/o formación tuya. hermanos menores o hermanas, mientras aumenta el nivel de educación en el campo de los problemas a resolver.

Si no está familiarizado con las reglas para ingresar expresiones con fracciones numéricas, le recomendamos que se familiarice con ellas.

Reglas para ingresar expresiones con fracciones numéricas

Sólo un número entero puede actuar como numerador, denominador y parte entera de una fracción.

El denominador no puede ser negativo.

Al ingresar una fracción numérica, el numerador se separa del denominador mediante un signo de división: /
Entrada: -2/3 + 7/5
Resultado: \(-\frac(2)(3) + \frac(7)(5)\)

La parte entera está separada de la fracción por el signo comercial: &
Entrada: -1 y 2/3 * 5 y 8/3
Resultado: \(-1\frac(2)(3) \cdot 5\frac(8)(3)\)

La división de fracciones se introduce mediante el signo de dos puntos: :
Entrada: -9 y 37/12: -3 y 5/14
Resultado: \(-9\frac(37)(12) : \left(-3\frac(5)(14) \right) \)
¡Recuerda que no puedes dividir por cero!

Puede utilizar paréntesis al ingresar expresiones con fracciones numéricas.
Aporte: -2/3 * (6&1/2-5/9) : 2&1/4 + 1/3
Resultado: \(-\frac(2)(3) \cdot \left(6 \frac(1)(2) - \frac(5)(9) \right) : 2\frac(1)(4) + \frac(1)(3)\)

Ingresa una expresión usando fracciones numéricas.

Calcular

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Un poco de teoría.

Fracciones ordinarias. División con resto

Si necesitamos dividir 497 entre 4, al dividir veremos que 497 no es divisible por 4, es decir el resto de la división permanece. En tales casos se dice que está completo. división con resto, y la solución se escribe de la siguiente manera:
497: 4 = 124 (1 resto).

Los componentes de la división en el lado izquierdo de la igualdad se llaman igual que en la división sin resto: 497 - dividendo, 4 - divisor. El resultado de la división cuando se divide con un resto se llama privado incompleto. En nuestro caso, este es el número 124. Y finalmente, el último componente, que no está en la división ordinaria, es resto. En los casos en los que no queda resto, se dice que un número está dividido por otro sin dejar rastro, o completamente. Se cree que con tal división el resto es cero. En nuestro caso el resto es 1.

El resto siempre es menor que el divisor.

La división se puede comprobar mediante la multiplicación. Si, por ejemplo, existe una igualdad 64: 32 = 2, entonces la verificación se puede realizar así: 64 = 32 * 2.

A menudo, en los casos en que se realiza una división con resto, es conveniente utilizar la igualdad.
a = b * n + r,
donde a es el dividendo, b es el divisor, n es el cociente parcial y r es el resto.

El cociente de números naturales se puede escribir como fracción.

El numerador de una fracción es el dividendo y el denominador es el divisor.

Como el numerador de una fracción es el dividendo y el denominador es el divisor, creen que la línea de una fracción significa la acción de división. A veces es conveniente escribir la división como una fracción sin utilizar el signo ":".

El cociente de la división de números naturales myn se puede escribir como una fracción \(\frac(m)(n)\), donde el numerador m es el dividendo y el denominador n es el divisor:
\(m:n = \frac(m)(n) \)

Las siguientes reglas son verdaderas:

Para obtener la fracción \(\frac(m)(n)\), necesitas dividir la unidad en n partes iguales (acciones) y tomar m de esas partes.

Para obtener la fracción \(\frac(m)(n)\), debes dividir el número m por el número n.

Para encontrar una parte de un todo, es necesario dividir el número correspondiente al todo por el denominador y multiplicar el resultado por el numerador de la fracción que expresa esta parte.

Para encontrar un entero a partir de su parte, es necesario dividir el número correspondiente a esta parte por el numerador y multiplicar el resultado por el denominador de la fracción que expresa esta parte.

Si tanto el numerador como el denominador de una fracción se multiplican por el mismo número (excepto cero), el valor de la fracción no cambiará:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)

Si tanto el numerador como el denominador de una fracción se dividen por el mismo número (excepto cero), el valor de la fracción no cambiará:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
Esta propiedad se llama propiedad principal de una fracción.

Las dos últimas transformaciones se llaman reduciendo una fracción.

Si es necesario representar fracciones como fracciones con el mismo denominador, entonces esta acción se llama llevar fracciones a un denominador común.

Fracciones propias e impropias. Numeros mezclados

Ya sabes que se puede obtener una fracción dividiendo un todo en partes iguales y tomando varias de esas partes. Por ejemplo, la fracción \(\frac(3)(4)\) significa tres cuartos de uno. En muchos problemas del párrafo anterior fracciones comunes utilizado para denotar una parte de un todo. Sentido común sugiere que la parte siempre debe ser menor que el todo, pero ¿qué pasa con fracciones como, por ejemplo, \(\frac(5)(5)\) o \(\frac(8)(5)\)? Está claro que esto ya no forma parte de la unidad. Probablemente por eso las fracciones cuyo numerador es mayor o igual que el denominador se llaman fracciones impropias. El resto de fracciones, es decir, aquellas cuyo numerador es menor que el denominador, se denominan fracciones correctas.

Como sabes, cualquier fracción común, tanto propia como impropia, puede considerarse como el resultado de dividir el numerador por el denominador. Por lo tanto, en matemáticas, a diferencia del lenguaje ordinario, el término “fracción impropia” no significa que hayamos hecho algo mal, sino solo que el numerador de esta fracción es mayor o igual que el denominador.

Si un número consta de una parte entera y una fracción, entonces tal las fracciones se llaman mixtas.

Por ejemplo:
\(5:3 = 1\frac(2)(3) \) : 1 es la parte entera y \(\frac(2)(3) \) es la parte fraccionaria.

Si el numerador de la fracción \(\frac(a)(b)\) es divisible por un número natural n, entonces para dividir esta fracción entre n, su numerador debe dividirse por este número:
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) \)

Si el numerador de la fracción \(\frac(a)(b)\) no es divisible por un número natural n, entonces para dividir esta fracción por n, debes multiplicar su denominador por este número:
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) \)

Tenga en cuenta que la segunda regla también es cierta cuando el numerador es divisible por n. Por tanto, podemos utilizarlo cuando sea difícil determinar a primera vista si el numerador de una fracción es divisible por n o no.

Acciones con fracciones. Sumar fracciones.

Con números fraccionarios, como con números naturales, puedes realizar operaciones aritméticas. Primero veamos la suma de fracciones. Es fácil sumar fracciones con denominadores similares. Encontremos, por ejemplo, la suma de \(\frac(2)(7)\) y \(\frac(3)(7)\). Es fácil entender que \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \)

Para sumar fracciones con el mismo denominador, debes sumar sus numeradores y dejar el denominador igual.

Usando letras, la regla para sumar fracciones con denominadores iguales se puede escribir de la siguiente manera:
\(\large \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)

Si necesitas sumar fracciones con diferentes denominadores, primero debes reducirlas a un denominador común. Por ejemplo:
\(\large \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3 ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)

Para fracciones, como para números naturales, son válidas las propiedades conmutativas y asociativas de la suma.

Sumar fracciones mixtas

Notaciones como \(2\frac(2)(3)\) se llaman fracciones mixtas. En este caso, el número 2 se llama Toda una parte fracción mixta, y el número \(\frac(2)(3)\) es su parte fraccional. La entrada \(2\frac(2)(3)\) se lee como sigue: “dos y dos tercios”.

Al dividir el número 8 por el número 3, puedes obtener dos respuestas: \(\frac(8)(3)\) y \(2\frac(2)(3)\). Expresan el mismo número fraccionario, es decir, \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3)\)

Así, la fracción impropia \(\frac(8)(3)\) se representa como una fracción mixta \(2\frac(2)(3)\). En tales casos dicen que de una fracción impropia destacó toda la parte.

Restar fracciones (números fraccionarios)

La resta de números fraccionarios, como los números naturales, se determina sobre la base de la acción de la suma: restar otro de un número significa encontrar un número que, sumado al segundo, da el primero. Por ejemplo:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \) ya que \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9 ) = \frac(8)(9)\)

La regla para restar fracciones con denominadores iguales es similar a la regla para sumar tales fracciones:
Para encontrar la diferencia entre fracciones con el mismo denominador, debes restar el numerador de la segunda del numerador de la primera fracción y dejar el denominador igual.

Usando letras, esta regla se escribe así:
\(\large \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)

Multiplicar fracciones

Para multiplicar una fracción por una fracción, debes multiplicar sus numeradores y denominadores y escribir el primer producto como numerador y el segundo como denominador.

Usando letras, la regla para multiplicar fracciones se puede escribir de la siguiente manera:
\(\large \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)

Usando la regla formulada, puedes multiplicar una fracción por un número natural, por una fracción mixta y también multiplicar fracciones mixtas. Para hacer esto, necesitas escribir un número natural como una fracción con un denominador de 1, una fracción mixta, como una fracción impropia.

El resultado de la multiplicación debe simplificarse (si es posible) reduciendo la fracción y aislando toda la parte de la fracción impropia.

Para fracciones, como para números naturales, son válidas las propiedades conmutativas y combinativas de la multiplicación, así como la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma.

División de fracciones

Tomemos la fracción \(\frac(2)(3)\) y “volvamosla”, intercambiando el numerador y el denominador. Obtenemos la fracción \(\frac(3)(2)\). Esta fracción se llama contrarrestar fracciones \(\frac(2)(3)\).

Si ahora “invertimos” la fracción \(\frac(3)(2)\), obtendremos la fracción original \(\frac(2)(3)\). Por lo tanto, fracciones como \(\frac(2)(3)\) y \(\frac(3)(2)\) se llaman mutuamente inversas.

Por ejemplo, las fracciones \(\frac(6)(5) \) y \(\frac(5)(6) \), \(\frac(7)(18) \) y \(\frac (18) )(7)\).

Usando letras, las fracciones recíprocas se pueden escribir de la siguiente manera: \(\frac(a)(b) \) y \(\frac(b)(a) \)

Está claro que el producto de fracciones recíprocas es igual a 1. Por ejemplo: \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)

Usando fracciones recíprocas, puedes reducir la división de fracciones a multiplicación.

La regla para dividir una fracción entre una fracción es:
Para dividir una fracción por otra, debes multiplicar el dividendo por el recíproco del divisor.

496. Encontrar X, Si:

497. 1) Si sumas 10 1/2 a 3/10 de un número desconocido, obtienes 13 1/2. Encuentra el número desconocido.

2) Si restas 10 1/2 a 7/10 de un número desconocido, obtienes 15 2/5. Encuentra el número desconocido.

498 *. Si restas 10 a 3/4 de un número desconocido y multiplicas la diferencia resultante por 5, obtienes 100. Encuentra el número.

499 *. Si aumentas un número desconocido en 2/3, obtienes 60. ¿Qué número es este?

500 *. Si sumas la misma cantidad al número desconocido y además 20 1/3, obtienes 105 2/5. Encuentra el número desconocido.

501. 1) El rendimiento medio de la patata con la siembra en racimos cuadrados es de 150 céntimos por hectárea, y con la siembra convencional es de 3/5 de esta cantidad. ¿Cuántas patatas más se pueden cosechar en un área de 15 hectáreas si se plantan con el método de racimos cuadrados?

2) Un trabajador experimentado produjo 18 piezas en 1 hora y un trabajador sin experiencia produjo 2/3 de esta cantidad. ¿Cuántas piezas más puede producir un trabajador experimentado en una jornada de 7 horas?

502. 1) Los pioneros reunidos dentro tres días 56 kg de semillas diferentes. El primer día se recogieron 3/14 del total, el segundo una vez y media más y el tercer día el resto del grano. ¿Cuántos kilogramos de semillas recolectaron los pioneros el tercer día?

2) Al moler el trigo, el resultado fue: harina 4/5 de la cantidad total de trigo, sémola - 40 veces menos que harina y el resto era salvado. ¿Cuánta harina, sémola y salvado por separado se produjeron al moler 3 toneladas de trigo?

503. 1) Tres garajes con capacidad para 460 coches. El número de autos que caben en el primer garaje es 3/4 veces el número de autos que caben en el segundo, y en el tercer garaje es 1 1/2 veces. mas autos que en el primero. ¿Cuántos coches caben en cada garaje?

2) Una fábrica con tres talleres emplea a 6.000 trabajadores. En el segundo taller hay 1 1/2 veces menos trabajadores que en el primero, y el número de trabajadores en el tercer taller es 5/6 del número de trabajadores en el segundo taller. ¿Cuántos trabajadores hay en cada taller?

504. 1) Primero se vertieron 2/5, luego 1/3 del queroseno total del tanque con queroseno, y luego quedaron 8 toneladas de queroseno en el tanque. ¿Cuánto queroseno había inicialmente en el tanque?

2) Los ciclistas corrieron durante tres días. El primer día recorrieron 4/15 de todo el viaje, el segundo 2/5 y el tercer día los 100 km restantes. ¿Qué distancia recorrieron los ciclistas en tres días?

505. 1) El rompehielos se abrió paso a través del campo de hielo durante tres días. El primer día caminó la 1/2 de la distancia total, el segundo día 3/5 de la distancia restante y el tercer día los 24 km restantes. Calcula la longitud del camino recorrido por el rompehielos en tres días.

2) Tres grupos de escolares plantaron árboles para reverdecer el pueblo. El primer destacamento plantó 7/20 de todos los árboles, el segundo 5/8 de los árboles restantes y el tercero los 195 árboles restantes. ¿Cuántos árboles plantaron los tres equipos en total?

506. 1) Una cosechadora cosechó trigo de una parcela en tres días. El primer día cosechó de 5/18 de toda el área de la parcela, el segundo día de 7/13 del área restante, y el tercer día de 30 1/2 del área restante. hectáreas. De cada hectárea se cosecharon una media de 20 céntimos de trigo. ¿Cuánto trigo se cosechó en toda el área?

2) El primer día los participantes del rally cubrieron 3/11 de todo el recorrido, el segundo día 7/20 del recorrido restante, el tercer día 5/13 del nuevo resto y el cuarto día el resto. 320 kilómetros. ¿Cuánto dura el recorrido del rally?

507. 1) El primer día el coche recorrió 3/8 de la distancia total, el segundo día 15/17 de lo recorrido el primero, y el tercer día los 200 km restantes. ¿Cuánta gasolina se consumió si un automóvil consume 1 3/5 kg de gasolina en 10 km?

2) La ciudad consta de cuatro distritos. Y 4/13 de todos los habitantes de la ciudad viven en el primer distrito, 5/6 de los habitantes del primer distrito viven en el segundo, 4/11 de los habitantes del primero viven en el tercero; dos distritos combinados y 18 mil personas viven en el cuarto distrito. ¿Cuánto pan necesita toda la población de la ciudad para 3 días, si en promedio una persona consume 500 g por día?

508. 1) El turista caminó el primer día 10/31 de todo el recorrido, el segundo 9/10 de lo que caminó el primer día, y el tercero el resto del camino, y el tercer día caminó 12 km más que el segundo día. ¿Cuántos kilómetros caminó el turista en cada uno de los tres días?

2) El automóvil recorrió toda la ruta desde la ciudad A a la ciudad B en tres días. El primer día el coche recorrió 7/20 de la distancia total, el segundo 8/13 de la distancia restante y el tercer día el coche recorrió 72 km menos que el primer día. ¿Cuál es la distancia entre las ciudades A y B?

509. 1) El comité ejecutivo asignó el terreno. trabajadores de tres fábricas bajo parcelas de jardín. A la primera planta se le asignaron 9/25 del número total de parcelas, a la segunda planta se le asignaron 5/9 del número de parcelas asignadas a la primera y a la tercera, las parcelas restantes. ¿Cuántas parcelas en total se asignaron a los trabajadores de tres fábricas, si a la primera fábrica se le asignaron 50 parcelas menos que a la tercera?

2) El avión entregó un turno de trabajadores de invierno a la estación polar desde Moscú en tres días. El primer día voló 2/5 de la distancia total, el segundo, 5/6 de la distancia recorrida el primer día y el tercer día voló 500 km menos que el segundo día. ¿Qué distancia recorrió el avión en tres días?

510. 1) La planta contaba con tres talleres. El número de trabajadores en el primer taller es 2/5 de todos los trabajadores de la planta; en el segundo taller hay 1 1/2 veces menos trabajadores que en el primero, y en el tercer taller hay 100 trabajadores más que en el segundo. ¿Cuántos trabajadores hay en la fábrica?

2) La finca colectiva incluye residentes de tres pueblos vecinos. El número de familias en la primera aldea es 3/10 de todas las familias de la granja colectiva; en la segunda aldea el número de familias es 1,5 veces mayor que en la primera, y en la tercera aldea el número de familias es 420 menos que en la segunda. ¿Cuántas familias hay en la finca colectiva?

511. 1) El artel agotó 1/3 de sus existencias de materias primas en la primera semana y 1/3 del resto en la segunda. ¿Cuánta materia prima queda en el artel si en la primera semana el consumo de materias primas fue 3/5 toneladas más que en la segunda semana?

2) Del carbón importado, 1/6 se gastó en calentar la casa en el primer mes y 3/8 del resto en el segundo mes. ¿Cuánto carbón queda para calentar la casa si en el segundo mes se utilizó 1 3/4 más que en el primero?

512. 3/5 del total de la tierra de la finca colectiva se destina a la siembra de cereales, 13/36 del resto está ocupado por huertas y prados, el resto de la tierra es bosque y la superficie sembrada de la finca colectiva es La superficie forestal es 217 hectáreas mayor, 1/3 de la tierra destinada a la siembra de cereales se siembra con centeno y el resto con trigo. ¿Cuántas hectáreas de tierra sembró la finca colectiva con trigo y cuántas con centeno?

513. 1) El recorrido del tranvía tiene una longitud de 14 3/8 km. A lo largo de esta ruta, el tranvía realiza 18 paradas y tarda una media de 1,1/6 minutos por parada. La velocidad media del tranvía en todo el recorrido es de 12,5 km por hora. ¿Cuánto tiempo le toma a un tranvía completar un viaje?

2) Ruta de autobús 16 km. A lo largo de este recorrido el autobús realiza 36 paradas de 3/4 minutos cada una. en promedio cada uno. La velocidad media de los autobuses es de 30 kilómetros por hora. ¿Cuánto tiempo tarda un autobús en hacer una ruta?

514*. 1) Ahora son las 6 en punto. tardes. ¿Qué parte es lo que queda del día del pasado y qué parte del día queda?

2) Un barco de vapor recorre la distancia entre dos ciudades con la corriente en 3 días. y volver la misma distancia en 4 días. ¿Cuántos días flotarán las balsas río abajo de una ciudad a otra?

515. 1) ¿Cuántas tablas se utilizarán para colocar el piso en una habitación cuyo largo es 6 2/3 m, ancho 5 1/4 m, si el largo de cada tabla es 6 2/3 m y su ancho es 3/ 80 de la longitud?

2) Una plataforma rectangular tiene una longitud de 45 1/2 m y su ancho es 5/13 de su longitud. Esta zona está bordeada por un camino de 4/5 m de ancho. Calcula el área del camino.

516. encontrar el promedio números aritméticos:

517. 1) La media aritmética de dos números es 6 1/6. Uno de los números es 3 3/4. Encuentra otro número.

2) La media aritmética de dos números es 14 1/4. Uno de estos números es 15 5/6. Encuentra otro número.

518. 1) El tren de mercancías estuvo en la carretera durante tres horas. En la primera hora recorrió 36 1/2 km, en la segunda 40 km y en la tercera 39 3/4 km. Encuentre la velocidad promedio del tren.

2) El automóvil recorrió 81 1/2 km en las primeras dos horas y 95 km en las siguientes 2 1/2 horas. ¿Cuántos kilómetros caminó en promedio por hora?

519. 1) El conductor del tractor completó la tarea de arar la tierra en tres días. El primer día aró 12 1/2 hectáreas, el segundo día 15 3/4 hectáreas y el tercer día 14 1/2 hectáreas. En promedio, ¿cuántas hectáreas de tierra ara un tractorista por día?

2) Un grupo de escolares, que realizaban un viaje turístico de tres días, estuvieron de viaje 6 1/3 horas el primer día y 7 horas el segundo. y el tercer día - 4 2/3 horas. ¿Cuántas horas en promedio viajan los escolares cada día?

520. 1) En la casa viven tres familias. La primera familia tiene 3 focos para iluminar el departamento, la segunda tiene 4 y la tercera tiene 5 focos. ¿Cuánto debería pagar cada familia por la electricidad si todas las lámparas fueran iguales y la factura total de electricidad (para toda la casa) fuera de 7 1/5 rublos?

2) Una pulidora estaba puliendo los pisos de un departamento donde vivían tres familias. La primera familia tenía una superficie habitable de 36 1/2 metros cuadrados. m, el segundo es de 24 1/2 m2. m, y el tercero - 43 metros cuadrados. m. Por todo el trabajo se pagaron 2 rublos. 08 kop. ¿Cuánto pagó cada familia?

521. 1) En la parcela del jardín, se recolectaron patatas de 50 arbustos a 1 1/10 kg por arbusto, de 70 arbustos a 4/5 kg por arbusto, de 80 arbustos a 9/10 kg por arbusto. ¿Cuántos kilogramos de patatas se cosechan en promedio de cada arbusto?

2) El equipo de campo en un área de 300 hectáreas recibió una cosecha de 20 1/2 quintales de trigo de invierno por 1 hectárea, de 80 hectáreas a 24 quintales por 1 ha, y de 20 hectáreas - 28 1/2 quintales por 1ha. ¿Cuál es el rendimiento promedio en una brigada de 1 hectárea?

522. 1) La suma de dos números es 7 1/2. Un número es 4 4/5 mayor que el otro. Encuentra estos números.

2) Si sumas los números que expresan el ancho de Tatarsky y el ancho Estrecho de Kerch juntos obtenemos 11 7/10 km. El estrecho tártaro es 3 1/10 km más ancho que el estrecho de Kerch. ¿Cuál es el ancho de cada estrecho?

523. 1) La suma de tres números es 35 2/3. Primer número mas que el segundo por 5 1/3 y más del tercero por 3 5/6. Encuentra estos números.

2) Islas Nueva tierra, Sakhalin y Severnaya Zemlya ocupan juntas una superficie de 196 7/10 mil metros cuadrados. km. El área de Novaya Zemlya es de 44 1/10 mil metros cuadrados. km más área Severnaya Zemlya y 5 1/5 mil metros cuadrados. km más grande que el área de Sakhalin. ¿Cuál es el área de cada una de las islas enumeradas?

524. 1) El apartamento consta de tres habitaciones. El área de la primera habitación es de 24 3/8 m2. my es 13/36 de toda el área del apartamento. El área de la segunda habitación es de 8 1/8 metros cuadrados. m más que el área del tercero. ¿Cuál es el área de la segunda habitación?

2) Un ciclista durante una competencia de tres días el primer día estuvo en la carretera durante 3 1/4 horas, lo que fue 13/43 del tiempo total de viaje. El segundo día montó 1 1/2 horas más que el tercer día. ¿Cuántas horas recorrió el ciclista el segundo día de competición?

525. Tres piezas de hierro pesan juntas 17 1/4 kg. Si el peso de la primera pieza se reduce en 1 1/2 kg, el peso de la segunda en 2 1/4 kg, entonces las tres piezas tendrán el mismo peso. ¿Cuánto pesó cada pieza de hierro?

526. 1) La suma de dos números es 15 1/5. Si el primer número se reduce en 3 1/10 y el segundo se aumenta en 3 1/10, entonces estos números serán iguales. ¿A qué es igual cada número?

2) Había 38 1/4 kg de cereal en dos cajas. Si viertes 4 3/4 kg de cereal de una caja en otra, habrá cantidades iguales de cereal en ambas cajas. ¿Cuánto cereal hay en cada caja?

527 . 1) La suma de dos números es 17 17 / 30. Si restas 5 1/2 del primer número y lo sumas al segundo, el primero seguirá siendo mayor que el segundo en 2 17/30. Encuentra ambos números.

2) Hay 24 1/4 kg de manzanas en dos cajas. Si transfiere 3 1/2 kg de la primera caja a la segunda, en la primera todavía habrá 3/5 kg más de manzanas que en la segunda. ¿Cuántos kilogramos de manzanas hay en cada caja?

528 *. 1) La suma de dos números es 8 11/14 y su diferencia es 2 3/7. Encuentra estos números.

2) El barco avanzaba a lo largo del río a una velocidad de 15 1/2 km por hora y contra la corriente a 8 1/4 km por hora. ¿Cuál es la velocidad del flujo del río?

529. 1) En dos garajes hay 110 coches, y en uno de ellos hay 1 1/5 veces más que en el otro. ¿Cuantos autos hay en cada garaje?

2) La superficie habitable de un apartamento que consta de dos habitaciones es de 47 1/2 m2. m. El área de una habitación es 8/11 del área de la otra. Encuentra el área de cada habitación.

530. 1) Una aleación de cobre y plata pesa 330 g. El peso del cobre en esta aleación es 5/28 del peso de la plata. ¿Cuánta plata y cuánto cobre hay en la aleación?

2) La suma de dos números es 6 3/4 y el cociente es 3 1/2. Encuentra estos números.

531. La suma de tres números es 22 1/2. El segundo número es 3 1/2 veces y el tercero es 2 1/4 veces el primero. Encuentra estos números.

532. 1) La diferencia de dos números es 7; el cociente de dividir un número mayor por un número menor es 5 2/3. Encuentra estos números.

2) La diferencia entre dos números es 29 3/8 y su razón múltiplo es 8 5/6. Encuentra estos números.

533. En una clase, el número de alumnos ausentes es 3/13 del número de alumnos presentes. ¿Cuántos alumnos hay en la clase según la lista si hay 20 personas más presentes que ausentes?

534. 1) La diferencia entre dos números es 3 1/5. Un número es 5/7 de otro. Encuentra estos números.

2) padre mayor que mi hijo durante 24 años. El número de años del hijo es igual a 5/13 de los años del padre. ¿Cuántos años tiene el padre y cuántos años tiene el hijo?

535. El denominador de una fracción es 11 unidades mayor que su numerador. ¿Cuál es el valor de una fracción si su denominador es 3 3/4 veces el numerador?

N° 536 - 537 oralmente.

536. 1) El primer número es la mitad del segundo. ¿Cuántas veces es mayor el segundo número que el primero?

2) El primer número es 3/2 del segundo. ¿Qué parte del primer número es el segundo número?

537. 1) 1/2 del primer número es igual a 1/3 del segundo número. ¿Qué parte del primer número es el segundo número?

2) 2/3 del primer número es igual a 3/4 del segundo número. ¿Qué parte del primer número es el segundo número? ¿Qué parte del segundo número es la primera?

538. 1) La suma de dos números es 16. Encuentra estos números si 1/3 del segundo número es igual a 1/5 del primero.

2) La suma de dos números es 38. Encuentra estos números si 2/3 del primer número es igual a 3/5 del segundo.

539 *. 1) Dos niños recogieron juntos 100 hongos. 3/8 del número de hongos recolectados por el primer niño es numéricamente igual a 1/4 del número de hongos recolectados por el segundo niño. ¿Cuántos hongos recogió cada niño?

2) La institución emplea a 27 personas. ¿Cuantos hombres trabajan y cuantas mujeres trabajan si 2/5 de todos los hombres son iguales a 3/5 de todas las mujeres?

540 *. Tres niños compraron una pelota de voleibol. Determine el aporte de cada niño, sabiendo que 1/2 del aporte del primer niño es igual a 1/3 del aporte del segundo, o 1/4 del aporte del tercero, y que el aporte del tercero El niño cuesta 64 kopeks más que la contribución del primero.

541 *. 1) Un número es 6 más que el otro. Encuentra estos números si 2/5 de un número son iguales a 2/3 del otro.

2) La diferencia de dos números es 35. Encuentra estos números si 1/3 del primer número es igual a 3/4 del segundo número.

542. 1) El primer equipo puede completar algún trabajo en 36 días y el segundo en 45 días. ¿En cuántos días ambos equipos, trabajando juntos, completarán este trabajo?

2) Un tren de pasajeros cubre la distancia entre dos ciudades en 10 horas y un tren de mercancías cubre esta distancia en 15 horas. Ambos trenes partieron de estas ciudades al mismo tiempo hacia el otro. ¿En cuántas horas se encontrarán?

543. 1) Un tren rápido recorre la distancia entre dos ciudades en 6 1/4 horas y un tren de pasajeros en 7 1/2 horas. ¿Cuántas horas más tarde se encontrarán estos trenes si salen de ambas ciudades al mismo tiempo hacia la otra? (Redondea la respuesta a la hora más cercana).

2) Dos motociclistas salieron simultáneamente de dos ciudades uno hacia el otro. Un motociclista puede recorrer toda la distancia entre estas ciudades en 6 horas y otro en 5 horas. ¿Cuántas horas después de la salida se encontrarán los motociclistas? (Redondea la respuesta a la hora más cercana).

544. 1) Tres vehículos de diferente capacidad de carga pueden transportar alguna carga, trabajando por separado: el primero en 10 horas, el segundo en 12 horas. y el tercero en 15 horas ¿En cuántas horas pueden transportar la misma carga, trabajando juntos?

2) Dos trenes salen de dos estaciones simultáneamente uno hacia el otro: el primer tren cubre la distancia entre estas estaciones en 12 1/2 horas y el segundo en 18 3/4 horas. ¿Cuántas horas después de la salida se encontrarán los trenes?

545. 1) Hay dos grifos conectados a la bañera. Por uno de ellos se puede llenar el baño en 12 minutos, por el otro 1 1/2 veces más rápido. ¿Cuántos minutos tardarán en llenar 5/6 de toda la bañera si abres ambos grifos a la vez?

2) Dos mecanógrafos deberán volver a mecanografiar el manuscrito. El primer conductor puede completar este trabajo en 3 1/3 días y el segundo 1 1/2 veces más rápido. ¿Cuántos días les tomará a ambos mecanógrafos completar el trabajo si trabajan simultáneamente?

546. 1) La piscina se llena con el primer tubo en 5 horas, y por el segundo tubo se puede vaciar en 6 horas. ¿Después de cuántas horas se llenará toda la piscina si se abren ambos tubos al mismo tiempo?

Nota. En una hora, la piscina se llena hasta (1/5 - 1/6 de su capacidad).

2) Dos tractores araron el campo en 6 horas. El primer tractor, trabajando solo, podría arar este campo en 15 horas. ¿Cuántas horas tardaría el segundo tractor, trabajando solo, en arar este campo?

547 *. Dos trenes salen simultáneamente de dos estaciones y se encuentran al cabo de 18 horas. después de su liberación. ¿Cuánto tiempo tarda el segundo tren en cubrir la distancia entre estaciones si el primer tren recorre esta distancia en 1 día 21 horas?

548 *. La piscina se llena con dos tuberías. Primero abrieron el primer tubo, y luego de 3 3/4 horas, cuando la mitad de la piscina estaba llena, abrieron el segundo tubo. Después de 2 1/2 horas colaboración la piscina estaba llena. Determine la capacidad de la piscina si por el segundo tubo se vierten 200 cubos de agua por hora.

549. 1) Un tren de mensajería salió de Leningrado hacia Moscú y recorre 1 km en 3/4 minutos. Media hora después de que este tren saliera de Moscú, salió de Moscú hacia Leningrado un tren rápido, cuya velocidad era igual a 3/4 de la velocidad del tren expreso. ¿A qué distancia estarán los trenes entre sí 2 1/2 horas después de la salida del tren de mensajería, si la distancia entre Moscú y Leningrado es de 650 km?

2) Desde la finca colectiva hasta la ciudad 24 km. Un camión sale de la finca colectiva y recorre 1 km en 2 1/2 minutos. Después de 15 min. Después de que este coche salió de la ciudad, un ciclista se dirigió a la granja colectiva, a la mitad de la velocidad del camión. ¿Cuánto tiempo después de partir se encontrará el ciclista con el camión?

550. 1) Un peatón salió de un pueblo. 4 1/2 horas después de que el peatón se fue, un ciclista viajó en la misma dirección, cuya velocidad era 2 1/2 veces la velocidad del peatón. ¿Cuántas horas después de que el peatón se haya marchado lo alcanzará el ciclista?

2) Un tren rápido recorre 187 1/2 km en 3 horas y un tren de carga recorre 288 km en 6 horas. 7 1/4 horas después de la salida del tren de mercancías, parte una ambulancia en la misma dirección. ¿Cuánto tiempo tardará el tren rápido en alcanzar al tren de carga?

551. 1) De dos granjas colectivas por donde pasa el camino hacia el centro regional, dos agricultores colectivos salieron al mismo tiempo a caballo hacia la región. El primero de ellos viajó a 8 3/4 km por hora y el segundo 1 1/7 veces más que el primero. El segundo granjero colectivo alcanzó al primero después de tres horas y cuarto. Determinar la distancia entre granjas colectivas.

2) 26 1/3 horas después de la salida del tren Moscú-Vladivostok, cuya velocidad media era de 60 km por hora, un avión TU-104 despegó en la misma dirección, a una velocidad 14 1/6 veces mayor que la velocidad del tren. ¿Cuántas horas después de la salida alcanzará el avión al tren?

552. 1) La distancia entre ciudades a lo largo del río es de 264 km. El vapor recorrió esta distancia río abajo en 18 horas, deteniéndose 1/12 de este tiempo. La velocidad del río es de 1 1/2 km por hora. ¿Cuánto tiempo tardaría un barco de vapor en recorrer 87 km sin detenerse en aguas tranquilas?

2) Una lancha a motor recorrió 207 km a lo largo del río en 13 1/2 horas, dedicando 1/9 de este tiempo a paradas. La velocidad del río es de 1 3/4 km por hora. ¿Cuántos kilómetros puede recorrer este barco en aguas tranquilas en 2 1/2 horas?

553. El barco recorrió una distancia de 52 km a través del embalse sin detenerse en 3 horas y 15 minutos. Además, siguiendo el río contra corriente, cuya velocidad es de 1 3/4 km por hora, este barco recorrió 28 1/2 km en 2 1/4 horas, haciendo 3 paradas de igual duración. ¿Cuántos minutos esperó el barco en cada parada?

554. De Leningrado a Kronstadt a las 12 en punto. El vapor partió por la tarde y recorrió toda la distancia entre estas ciudades en 1 hora y media. En el camino se encontró con otro barco que partió de Kronstadt hacia Leningrado a las 12:18 p.m. y caminando a 1 1/4 veces la velocidad del primero. ¿A qué hora se encontraron los dos barcos?

555. El tren debía recorrer una distancia de 630 km en 14 horas. Habiendo recorrido 2/3 de esta distancia, fue detenido durante 1 hora y 10 minutos. ¿A qué velocidad debe continuar su viaje para llegar sin demora a su destino?

556. A las 4:20 am Por la mañana un tren de carga salió de Kiev hacia Odessa con velocidad media 31 1/5 kilómetros por hora. Después de un tiempo, salió a su encuentro de Odessa un tren correo, cuya velocidad era 1 17/39 veces mayor que la velocidad de un tren de mercancías, y se encontró con el tren de mercancías 6 1/2 horas después de su salida. ¿A qué hora salió el tren postal de Odessa, si la distancia entre Kiev y Odessa es de 663 km?

557*. El reloj marca el mediodía. ¿Cuánto tiempo tardarán en coincidir las manecillas de las horas y los minutos?

558. 1) La planta cuenta con tres talleres. El número de trabajadores en el primer taller es 9/20 de todos los trabajadores de la planta, en el segundo taller hay 1 1/2 veces menos trabajadores que en el primero, y en el tercer taller hay 300 trabajadores menos que en el segundo. ¿Cuántos trabajadores hay en la fábrica?

2) Hay tres escuelas secundarias en la ciudad. El número de alumnos de la primera escuela es 3/10 de todos los alumnos de estas tres escuelas; en la segunda escuela hay 1 1/2 veces más estudiantes que en la primera, y en la tercera escuela hay 420 estudiantes menos que en la segunda. ¿Cuántos estudiantes hay en las tres escuelas?

559. 1) Dos operadores de cosechadoras trabajaron en la misma área. Después de que una combinadora cosechó 9/16 de toda la parcela y la segunda 3/8 de la misma parcela, resultó que la primera cosechadora cosechó 97 1/2 hectáreas más que la segunda. En promedio, por hectárea se trillaban 32 1/2 quintales de grano. ¿Cuántos céntimos de grano trilló cada operador de la cosechadora?

2) Dos hermanos compraron una cámara. Uno costaba 5/8, el segundo 4/7 del coste de la cámara y el primero valía 2 rublos. 25 kopeks más que el segundo. Todos pagaron la mitad del coste del dispositivo. ¿Cuánto dinero les queda a todos?

560. 1) Un turismo sale de la ciudad A hacia la ciudad B, la distancia entre ellas es de 215 km, a una velocidad de 50 km por hora. Al mismo tiempo, dejó la ciudad B hacia la ciudad A. vagón de carga. ¿Cuántos kilómetros recorrió el automóvil de pasajeros antes de encontrarse con el camión, si la velocidad por hora del camión era 18/25 de la velocidad del automóvil de pasajeros?

2) Entre las ciudades A y B 210 km. Un automóvil de pasajeros salió de la ciudad A hacia la ciudad B. Al mismo tiempo, un camión salió de la ciudad B hacia la ciudad A. ¿Cuántos kilómetros recorrió el camión antes de encontrarse con el automóvil de pasajeros, si el automóvil de pasajeros viajaba a una velocidad de 48 km por hora y la velocidad del camión por hora era 3/4 de la velocidad del automóvil de pasajeros?

561. En la finca colectiva se cosechaban trigo y centeno. Se sembraron 20 hectáreas más de trigo que de centeno. Tarifa general El centeno representó 5/6 de la cosecha total de trigo con un rendimiento de 20 céntimos por hectárea tanto para el trigo como para el centeno. La granja colectiva vendió al Estado las 7/11 de toda la cosecha de trigo y centeno y dejó el resto del grano para satisfacer sus necesidades. ¿Cuántos viajes tuvieron que hacer los camiones de dos toneladas para retirar el pan vendido al estado?

562. A la panadería se llevaba harina de centeno y trigo. El peso de la harina de trigo era 3/5 del peso de la harina de centeno y se trajeron 4 toneladas más de harina de centeno que de harina de trigo. ¿Cuánto trigo y cuánto pan de centeno horneará la panadería con esta harina si los productos horneados constituyen 2/5 del total de harina?

563. En tres días, un equipo de trabajadores completó ¾ de los trabajos de reparación de la carretera entre las dos granjas colectivas. El primer día se repararon 2 2/5 kilómetros de esta carretera, el segundo día 1 1/2 veces más que el primero, y el tercer día 5/8 de lo reparado en los dos primeros días juntos. Encuentre la longitud de la carretera entre granjas colectivas.

564. Complete los espacios vacíos de la tabla, donde S es el área del rectángulo, A- la base del rectángulo, a h-alto (ancho) del rectángulo.

565. 1) La longitud de un terreno rectangular es de 120 m y el ancho del terreno es 2/5 de su largo. Encuentra el perímetro y el área del sitio.

2) El ancho de la sección rectangular es de 250 m y su largo es 1 1/2 veces el ancho. Encuentra el perímetro y el área del sitio.

566. 1) El perímetro del rectángulo es de 6 1/2 dm, su base es de 1/4 dm más altura. Encuentra el área de este rectángulo.

2) El perímetro del rectángulo es de 18 cm, su altura es 2 1/2 cm menor que la base. Encuentra el área del rectángulo.

567. Calcula las áreas de las figuras que se muestran en la Figura 30 dividiéndolas en rectángulos y encontrando las dimensiones del rectángulo por medición.

568. 1) ¿Cuántas láminas de yeso seco se necesitarán para cubrir el techo de una habitación cuyo largo es de 4 1/2 m y ancho 4 m, si las dimensiones de la lámina de yeso son 2 m x l 1/2 m?

2) ¿Cuántas tablas de 4 1/2 m de largo y 1/4 m de ancho se necesitan para colocar un piso de 4 1/2 m de largo y 3 1/2 m de ancho?

569. 1) Se sembró con frijol una parcela rectangular de 560 m de largo y 3/4 de su largo de ancho. ¿Cuántas semillas se necesitaron para sembrar la parcela si se sembró 1 céntimo por hectárea?

2) En un campo rectangular se recogió una cosecha de trigo de 25 quintales por hectárea. ¿Cuánto trigo se cosechó en todo el campo si el largo del campo es de 800 m y el ancho es 3/8 de su largo?

570 . 1) Se construye un terreno rectangular de 78 3/4 m de largo y 56 4/5 m de ancho de manera que 4/5 de su superficie estén ocupadas por edificaciones. Determine el área de terreno debajo de los edificios.

2) En un terreno rectangular, cuya longitud es de 9/20 km y su ancho es de 4/9 de su longitud, la finca colectiva planea construir un jardín. ¿Cuántos árboles se plantarán en este jardín si se requiere una superficie promedio de 36 m2 para cada árbol?

571. 1) Para la iluminación normal de la habitación con luz natural, es necesario que el área de todas las ventanas sea al menos 1/5 del área del piso. Determine si hay suficiente luz en una habitación cuyo largo es de 5 1/2 m y ancho de 4 m. ¿Tiene la habitación una ventana que mide 1 1/2 m x 2 m?

2) Utilizando la condición del problema anterior, averigua si hay suficiente luz en tu salón de clases.

572. 1) El granero tiene unas dimensiones de 5 1/2 m x 4 1/2 m x 2 1/2 m. ¿Cuánto heno (en peso) cabe en este granero si se llena hasta 3/4 de su altura y si tiene 1 cubo? . ¿M de heno pesa 82 kg?

2) La pila de leña tiene forma de paralelepípedo rectangular, cuyas dimensiones son 2 1/2 m x 3 1/2 m x 1 1/2 m ¿Cuál es el peso de la pila de leña si es 1 cúbico? ¿M de leña pesa 600 kg?

573. 1) Un acuario rectangular se llena con agua hasta 3/5 de su altura. El largo del acuario es de 1 1/2 m, el ancho es de 4/5 m y el alto es 3/4 m. ¿Cuántos litros de agua se vierten en el acuario?

2) Una piscina en forma de paralelepípedo rectangular tiene una longitud de 6 1/2 m, un ancho de 4 m y una altura de 2 m. La piscina se llena con agua hasta 3/4 de su altura. Calcula la cantidad de agua que se vierte en la piscina.

574. Es necesario construir una cerca alrededor de un terreno rectangular de 75 m de largo y 45 m de ancho. ¿Cuántos metros cúbicos de tablas se deben utilizar para su construcción si el espesor de la tabla es de 2 1/2 cm y la altura de la cerca debe ser de 2 1/4 m?

575. 1) ¿Qué ángulo es el minuto y horario a las 13? a las 15? a las 17? a las 21? a las 23:30?

2) ¿Cuántos grados girará la manecilla de las horas en 2 horas? ¿5:00? ¿8 en punto? 30 minutos.?

3) ¿Cuántos grados contiene un arco igual a medio círculo? ¿1/4 de círculo? 1/24 de circulo? ¿5/24 círculos?

576. 1) Con un transportador, dibuja: a) un ángulo recto; b) un ángulo de 30°; c) un ángulo de 60°; d) ángulo de 150°; e) un ángulo de 55°.

2) Usando un transportador, mida los ángulos de la figura y encuentre la suma de todos los ángulos de cada figura (Fig. 31).

577. Sigue estos pasos:

578. 1) El semicírculo se divide en dos arcos, uno de los cuales es 100° mayor que el otro. Encuentra el tamaño de cada arco.

2) El semicírculo se divide en dos arcos, uno de los cuales es 15° menor que el otro. Encuentra el tamaño de cada arco.

3) El semicírculo se divide en dos arcos, uno de los cuales mide el doble que el otro. Encuentra el tamaño de cada arco.

4) El semicírculo se divide en dos arcos, uno de los cuales es 5 veces más pequeño que el otro. Encuentra el tamaño de cada arco.

579. 1) El diagrama "Alfabetización de la población en la URSS" (Fig. 32) muestra el número de personas alfabetizadas por cada cien habitantes de la población. Con base en los datos del diagrama y su escala, determine el número de hombres y mujeres alfabetizados para cada uno de los años indicados.

Escribe los resultados en la tabla:

2) Utilizando los datos del diagrama "Enviados soviéticos al espacio" (Fig. 33), cree tareas.

580. 1) Según el gráfico circular “Rutina diaria de un alumno de quinto grado” (Fig. 34), complete la tabla y responda las preguntas: ¿qué parte del día se dedica a dormir? ¿para tarea? ¿a la escuela?

2) Construya un gráfico circular sobre su rutina diaria.

El numerador, y lo que se divide por es el denominador.

Para escribir una fracción, primero escribe el numerador, luego dibuja una línea horizontal debajo del número y escribe el denominador debajo de la línea. La línea horizontal que separa el numerador y el denominador se llama línea de fracción. A veces se representa como una "/" o "∕" oblicua. En este caso, el numerador se escribe a la izquierda de la línea y el denominador a la derecha. Así, por ejemplo, la fracción “dos tercios” se escribirá como 2/3. Para mayor claridad, el numerador generalmente se escribe en la parte superior de la línea y el denominador en la parte inferior, es decir, en lugar de 2/3 puedes encontrar: ⅔.

Para calcular el producto de fracciones, primero multiplica el numerador de uno fracciones al numerador es diferente. Escribe el resultado en el numerador del nuevo fracciones. Después de esto, multiplica los denominadores. Introduzca el valor total en el nuevo fracciones. Por ejemplo, ¿1/3? 1/5 = 1/15 (1 × 1 = 1; 3 × 5 = 15).

Para dividir una fracción entre otra, primero se multiplica el numerador de la primera por el denominador de la segunda. Haz lo mismo con la segunda fracción (divisor). O, antes de realizar todas las acciones, primero “voltea” el divisor, si te resulta más conveniente: el denominador debe aparecer en lugar del numerador. Luego multiplica el denominador del dividendo por el nuevo denominador del divisor y multiplica los numeradores. Por ejemplo, 1/3: 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1? 5 = 5; 3? 1 = 3).

Fuentes:

• Problemas básicos de fracciones

Los números fraccionarios te permiten expresar el valor exacto de una cantidad en diferentes formas. Puedes hacer las mismas operaciones matemáticas con fracciones que con números enteros: resta, suma, multiplicación y división. Para aprender a decidir fracciones, debemos recordar algunas de sus características. Dependen del tipo fracciones, la presencia de una parte entera, un denominador común. Algunas operaciones aritméticas requieren que la parte fraccionaria del resultado se reduzca después de la ejecución.

Necesitará

• - calculadora

Instrucciones

Mire de cerca los números. Si entre las fracciones hay decimales e irregulares, a veces es más conveniente realizar primero operaciones con decimales y luego convertirlas a la forma irregular. Puedes traducir fracciones de esta forma inicialmente, escribiendo el valor después del punto decimal en el numerador y poniendo 10 en el denominador. Si es necesario, reduce la fracción dividiendo los números de arriba y de abajo por un divisor. Las fracciones en las que se aísla la parte entera se deben convertir a la forma incorrecta multiplicándola por el denominador y sumando el numerador al resultado. Este valor se convertirá en el nuevo numerador. fracciones. Para seleccionar una parte entera a partir de una inicialmente incorrecta fracciones, necesitas dividir el numerador por el denominador. Escribe el resultado completo de fracciones. Y el resto de la división se convertirá en el nuevo numerador, denominador. fracciones no cambia. Para fracciones con parte entera, es posible realizar acciones por separado, primero para la parte entera y luego para las partes fraccionarias. Por ejemplo, se puede calcular la suma de 1 2/3 y 2 ¾:
- Convertir fracciones a la forma incorrecta:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- Suma de partes de términos, enteras y fraccionarias por separado:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 +(8/12 + 9/12) = 3 + 12/17 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.

Vuelve a escribirlos usando el separador “:” y continúa con la división normal.

Para obtener el resultado final, reduce la fracción resultante dividiendo el numerador y el denominador por un número entero, el mayor posible en en este caso. En este caso, debe haber números enteros encima y debajo de la línea.

nota

No realices aritmética con fracciones cuyos denominadores sean diferentes. Elige un número tal que al multiplicar el numerador y el denominador de cada fracción por él, el resultado sea que los denominadores de ambas fracciones sean iguales.

Consejo útil

Al escribir números fraccionarios, el dividendo se escribe encima de la línea. Esta cantidad se designa como el numerador de la fracción. El divisor o denominador de la fracción se escribe debajo de la línea. Por ejemplo, un kilo y medio de arroz como fracción se escribirá de la siguiente manera: 1 ½ kg de arroz. Si el denominador de una fracción es 10, la fracción se llama decimal. En este caso, el numerador (dividendo) se escribe a la derecha de la parte entera, separado por una coma: 1,5 kg de arroz. Para facilitar el cálculo, esta fracción siempre se puede escribir en forma incorrecta: 1 2/10 kg de patatas. Para simplificar, puedes reducir los valores del numerador y denominador dividiéndolos por un número entero. EN en este ejemplo Se puede dividir entre 2. El resultado será 1 1/5 kg de patatas. Asegúrate de que los números con los que vas a realizar aritmética se presenten en la misma forma.

Multiplicar y dividir fracciones.

¡Atención!
Hay adicionales
materiales en la Sección Especial 555.
Para los que son muy "no muy..."
Y para los que “mucho…”)

¡Esta operación es mucho mejor que la suma-resta! Porque es más fácil. Como recordatorio, para multiplicar una fracción por una fracción, debes multiplicar los numeradores (este será el numerador del resultado) y los denominadores (este será el denominador). Eso es:

Por ejemplo:

Todo es extremadamente simple. ¡Y por favor no busques un denominador común! No lo necesito aquí...

Para dividir una fracción por una fracción, debes invertir segundo(¡Esto es importante!) fraccionarlos y multiplicarlos, es decir:

Por ejemplo:

Si te encuentras con multiplicaciones o divisiones con números enteros y fracciones, está bien. Al igual que con la suma, hacemos una fracción a partir de un número entero con uno en el denominador, ¡y adelante! Por ejemplo:

En la escuela secundaria, a menudo tienes que lidiar con fracciones de tres pisos (¡o incluso de cuatro pisos!). Por ejemplo:

¿Cómo puedo hacer que esta fracción parezca decente? ¡Sí, muy sencillo! Utilice división de dos puntos:

¡Pero no te olvides del orden de división! A diferencia de la multiplicación, ¡esto aquí es muy importante! Por supuesto, no confundiremos 4:2 o 2:4. Pero es fácil cometer un error en una fracción de tres pisos. Tenga en cuenta, por ejemplo:

En el primer caso (expresión de la izquierda):

En el segundo (expresión de la derecha):

¿Sientes la diferencia? 4 y 1/9!

¿Qué determina el orden de división? Ya sea con corchetes o (como aquí) con la longitud de las líneas horizontales. Desarrolla tu ojo. Y si no hay corchetes ni guiones, como:

luego divide y multiplica en orden, de izquierda a derecha!

Y otra técnica muy sencilla e importante. En acciones con títulos, ¡te será de gran utilidad! Dividamos uno por cualquier fracción, por ejemplo, por 13/15:

¡El tiro se ha volcado! Y esto siempre sucede. Al dividir 1 por cualquier fracción, el resultado es la misma fracción, sólo que al revés.

Eso es todo para operaciones con fracciones. La cosa es bastante sencilla, pero da errores de sobra. Nota Consejo practico¡Y habrá menos (errores)!

Consejos prácticos:

1. ¡Lo más importante cuando se trabaja con expresiones fraccionarias es la precisión y la atención! ¡Estas no son palabras generales, ni buenos deseos! ¡Esta es una necesidad extrema! Realice todos los cálculos del Examen Estatal Unificado como una tarea completa, enfocada y clara. Es mejor escribir dos líneas extra en tu borrador que equivocarte al hacer cálculos mentales.

2. En ejemplos con diferentes tipos fracciones: vaya a fracciones ordinarias.

3. Reducimos todas las fracciones hasta que pare.

4. Reducimos expresiones fraccionarias de varios niveles a ordinarias usando división por dos puntos (¡seguimos el orden de división!).

5. Divide mentalmente una unidad por una fracción, simplemente dándole la vuelta a la fracción.

Estas son las tareas que definitivamente debes resolver. Las respuestas se dan después de todas las tareas. Utilice los materiales sobre este tema y consejos prácticos. Calcula cuántos ejemplos pudiste resolver correctamente. ¡La primera vez! ¡Sin calculadora! Y sacar las conclusiones correctas...

Recuerde: la respuesta correcta es ¡Recibido por segunda (especialmente la tercera) vez no cuenta! Así de dura es la vida.

Entonces, resolver en modo examen ! Por cierto, esto ya es preparación para el Examen Estatal Unificado. Resolvemos el ejemplo, lo comprobamos, resolvemos el siguiente. Decidimos todo y volvimos a comprobar desde el principio hasta el último. Pero sólo Entonces mira las respuestas.

Calcular:

¿Has decidido?

Estamos buscando respuestas que coincidan con las suyas. Las escribí deliberadamente en desorden, lejos de la tentación, por así decirlo... Aquí están, las respuestas, escritas con punto y coma.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

Ahora sacamos conclusiones. Si todo salió bien, ¡me alegro por ti! ¡Los cálculos básicos con fracciones no son tu problema! Puedes hacer cosas más serias. Si no...

Entonces tienes uno de dos problemas. O ambas cosas a la vez.) Falta de conocimiento y (o) falta de atención. Pero esto soluble Problemas.

Si te gusta este sitio...

Por cierto, tengo un par de sitios más interesantes para ti).

Podrás practicar la resolución de ejemplos y descubrir tu nivel. Pruebas con verificación instantánea. Aprendamos, ¡con interés!)

Puede familiarizarse con funciones y derivadas.

Este artículo es una visión general del funcionamiento con fracciones. Aquí formularemos y justificaremos las reglas de suma, resta, multiplicación, división y exponenciación de fracciones de la forma general A/B, donde A y B son algunos números, expresiones numéricas o expresiones con variables. Como es habitual, proporcionaremos el material con ejemplos explicativos con descripciones detalladas de las soluciones.

Navegación de páginas.

Reglas para realizar operaciones con fracciones numéricas generales.

Pongámonos de acuerdo en fracciones numéricas. vista general Comprender fracciones en las que el numerador y/o denominador puede representarse no sólo por números naturales, sino también por otros números o expresiones numéricas. Para mayor claridad, aquí hay algunos ejemplos de tales fracciones: , .

Conocemos las reglas por las que se llevan a cabo. Usando las mismas reglas, puedes realizar operaciones con fracciones generales:

Justificación de las reglas

Para justificar la validez de las reglas para realizar operaciones con fracciones numéricas de forma general, se puede partir de los siguientes puntos:

• La barra diagonal es esencialmente un signo de división,
• la división por algún número distinto de cero se puede considerar como una multiplicación por el inverso del divisor (esto explica inmediatamente la regla dividir fracciones),
• propiedades de las operaciones con números reales,
• y su comprensión general,

Te permiten realizar las siguientes transformaciones que justifican las reglas de suma, resta de fracciones con denominadores iguales y diferentes, así como la regla de multiplicación de fracciones:

Ejemplos

Demos ejemplos de cómo realizar operaciones con fracciones generales según las reglas aprendidas en el párrafo anterior. Digamos de inmediato que, por lo general, después de realizar acciones con fracciones, la fracción resultante requiere simplificación y el proceso de simplificación de una fracción suele ser más complicado que realizar las acciones anteriores. No nos detendremos en la simplificación de fracciones (las transformaciones correspondientes se analizan en el artículo sobre transformación de fracciones), para no distraernos del tema que nos interesa.

Comencemos con ejemplos de suma y resta de fracciones con denominadores similares. Primero, sumemos las fracciones y . Obviamente los denominadores son iguales. Según la regla correspondiente, escribimos una fracción cuyo numerador es igual a la suma numeradores de las fracciones originales, y dejamos el denominador igual, tenemos . La suma está hecha, solo queda simplificar la fracción resultante: . Entonces, .

La solución podría abordarse de otra manera: primero hacer la transición a fracciones ordinarias y luego realizar la suma. Con este enfoque tenemos .

Ahora restemos de la fracción. fracción . Los denominadores de las fracciones son iguales, por lo tanto, seguimos la regla para restar fracciones con los mismos denominadores:

Pasemos a ejemplos de suma y resta de fracciones con diferentes denominadores. La principal dificultad aquí es llevar las fracciones a un denominador común. Para las fracciones generales, este es un tema bastante extenso; lo examinaremos en detalle en un artículo aparte. llevar fracciones a un denominador común. Ahora limitémonos a un par. Recomendaciones generales, ya que en este momento Estamos más interesados ​​en la técnica de realizar operaciones con fracciones.

En general, el proceso es similar a reducir fracciones ordinarias a un denominador común. Es decir, los denominadores se presentan en forma de productos, luego se toman todos los factores del denominador de la primera fracción y se les suman los factores que faltan del denominador de la segunda fracción.

Cuando los denominadores de fracciones que se suman o restan no tienen factores comunes, entonces es lógico tomar su producto como denominador común. Pongamos un ejemplo.

Digamos que necesitamos realizar la suma de fracciones y 1/2. Aquí, como denominador común, es lógico tomar el producto de los denominadores de las fracciones originales, es decir, . En este caso, el factor adicional de la primera fracción será 2. Después de multiplicar el numerador y el denominador por él, la fracción tomará la forma. Y para la segunda fracción, el factor adicional es la expresión. Con su ayuda, la fracción 1/2 se reduce a la forma . Ya solo queda sumar las fracciones resultantes con los mismos denominadores. Aquí hay un resumen de toda la solución:

En el caso de las fracciones generales, ya no hablamos del mínimo común denominador, al que suelen reducirse las fracciones ordinarias. Aunque en esta materia sigue siendo recomendable apostar por algo de minimalismo. Con esto queremos decir que no se debe tomar inmediatamente como denominador común el producto de los denominadores de las fracciones originales. Por ejemplo, no es necesario tomar el denominador común de fracciones y el producto. . Aquí podemos tomar.

Pasemos a ejemplos de multiplicación de fracciones generales. Multipliquemos fracciones y . La regla para realizar esta acción nos indica que escribamos una fracción, cuyo numerador es el producto de los numeradores de las fracciones originales y el denominador es el producto de los denominadores. Tenemos . Aquí, como en muchos otros casos al multiplicar fracciones, puedes reducir la fracción: .

La regla para dividir fracciones te permite pasar de la división a la multiplicación por la fracción recíproca. Aquí debes recordar que para obtener el inverso de una fracción dada, debes intercambiar el numerador y el denominador de la fracción dada. A continuación se muestra un ejemplo de la transición de la división de fracciones numéricas generales a la multiplicación: . Solo queda realizar la multiplicación y simplificar la fracción resultante (si es necesario, ver la transformación de expresiones irracionales):

Concluyendo la información de este párrafo, recordemos que cualquier número o expresión numérica se puede representar como una fracción con denominador 1, por lo tanto, la suma, resta, multiplicación y división de números y fracciones se puede considerar como realizar la operación correspondiente con fracciones, una. de los cuales tiene uno en el denominador. Por ejemplo, reemplazando en la expresión raíz de tres por una fracción, pasamos de multiplicar una fracción por un número a multiplicar dos fracciones: .

Hacer cosas con fracciones que contienen variables

Las reglas de la primera parte de este artículo también se aplican al realizar operaciones con fracciones que contienen variables. Justifiquemos el primero de ellos: la regla para sumar y restar fracciones con denominadores idénticos, el resto se demuestra absolutamente de la misma manera.

Demostremos que para cualesquiera expresiones A, C y D (D no es idénticamente igual a cero) se cumple la igualdad en su rango de valores permisibles de variables.

Tomemos un cierto conjunto de variables de ODZ. Dejemos que las expresiones A, C y D tomen los valores a 0, c 0 y d 0 para estos valores de las variables. Luego, sustituir los valores de las variables del conjunto seleccionado en la expresión la convierte en una suma (diferencia) de fracciones numéricas con denominadores similares de la forma , que, de acuerdo con la regla de suma (resta) de fracciones numéricas con denominadores similares , es igual a . Pero sustituir los valores de las variables del conjunto seleccionado en la expresión la convierte en la misma fracción. Esto significa que para el conjunto seleccionado de valores de variables de ODZ, los valores de las expresiones y son iguales. Está claro que los valores de las expresiones indicadas serán iguales para cualquier otro conjunto de valores de variables de la ODZ, lo que significa que las expresiones y son idénticamente iguales, es decir, la igualdad que se prueba es verdadera. .

Ejemplos de suma y resta de fracciones con variables

Cuando los denominadores de las fracciones que se suman o restan son iguales, entonces todo es bastante simple: los numeradores se suman o restan, pero el denominador sigue siendo el mismo. Está claro que la fracción obtenida después de esto se simplifica si es necesario y posible.

Tenga en cuenta que a veces los denominadores de las fracciones difieren solo a primera vista, pero en realidad son expresiones idénticas, por ejemplo, y , o y . Y a veces basta con simplificar las fracciones originales para que “aparezcan” sus denominadores idénticos.

Ejemplo.

, b) , V) .

Solución.

a) Necesitamos restar fracciones con denominadores iguales. Según la regla correspondiente, dejamos el denominador igual y restamos los numeradores, tenemos . La acción ha sido completada. Pero también puedes abrir los paréntesis en el numerador y presentar términos similares: .

b) Obviamente, los denominadores de las fracciones que se suman son los mismos. Por tanto, sumamos los numeradores y dejamos el denominador igual: . Adición completada. Pero es fácil ver que la fracción resultante se puede reducir. De hecho, el numerador de la fracción resultante se puede contraer usando la fórmula al cuadrado de la suma como (lgx+2) 2 (ver fórmulas de multiplicación abreviada), por lo que se producen las siguientes transformaciones: .

c) Fracciones en suma tienen distintos denominadores. Pero, habiendo transformado una de las fracciones, puedes pasar a sumar fracciones con los mismos denominadores. Mostraremos dos soluciones.

Primera manera. El denominador de la primera fracción se puede factorizar usando la fórmula de diferencia de cuadrados y luego reducir esta fracción: . De este modo, . Aún así no está de más liberarse de la irracionalidad en el denominador de la fracción: .

Segunda vía. Multiplicar el numerador y el denominador de la segunda fracción por (esta expresión no llega a cero para ningún valor de la variable x de la ODZ para la expresión original) te permite lograr dos objetivos a la vez: liberarte de la irracionalidad y pasar a Sumar fracciones con el mismo denominador. Tenemos

Respuesta:

A) , b) , V) .

Último ejemplo nos llevó a la cuestión de reducir fracciones a un denominador común. Allí llegamos casi accidentalmente a los mismos denominadores al simplificar una de las fracciones sumadas. Pero en la mayoría de los casos, al sumar y restar fracciones con diferentes denominadores, debes llevar las fracciones a un denominador común a propósito. Para hacer esto, generalmente los denominadores de las fracciones se presentan en forma de productos, se toman todos los factores del denominador de la primera fracción y se les suman los factores que faltan del denominador de la segunda fracción.

Ejemplo.

Realizar operaciones con fracciones: a) , antes de Cristo) .

Solución.

a) No es necesario hacer nada con los denominadores de las fracciones. Como denominador común tomamos el producto. . En este caso, el factor adicional para la primera fracción es la expresión, y para la segunda fracción, el número 3. Estos factores adicionales llevan las fracciones a un denominador común, lo que luego nos permite realizar la acción que necesitamos, tenemos

b) En este ejemplo, los denominadores ya están representados como productos y no requieren transformaciones adicionales. Obviamente, los factores en los denominadores difieren solo en los exponentes, por lo tanto, como denominador común tomamos el producto de los factores con los exponentes más altos, es decir, . Entonces el factor adicional para la primera fracción será x 4, y para la segunda – ln(x+1) . Ahora estamos listos para restar fracciones:

c) Y en este caso, primero trabajaremos con los denominadores de fracciones. Las fórmulas diferencia de cuadrados y cuadrado de la suma te permiten pasar de la suma original a la expresión . Ahora está claro que estas fracciones se pueden reducir a un denominador común. . Con este enfoque, la solución se verá así:

Respuesta:

A)

b)

V)

Ejemplos de multiplicación de fracciones con variables.

La multiplicación de fracciones produce una fracción cuyo numerador es el producto de los numeradores de las fracciones originales y el denominador es el producto de los denominadores. Aquí, como ves, todo es familiar y sencillo, y solo podemos agregar que la fracción obtenida como resultado de realizar esta acción muchas veces resulta reducible. En estos casos se reduce, salvo, claro está, que sea necesario y justificado.