Знак модуля, пожалуй, одно из самых интересных явлений в математике. В связи с этим у многих школьников возникает вопрос, как строить графики функций, содержащих модуль. Давайте подробно разберем этот вопрос.

1. Построение графиков функций, содержащих модуль

Пример 1.

Построить график функции y = x 2 – 8|x| + 12.

Решение.

Определим четность функции. Значение для y(-x) совпадает со значением для y(x), поэтому данная функция четная. Тогда ее график симметричен относительно оси Oy. Строим график функции y = x 2 – 8x + 12 для x ≥ 0 и симметрично отображаем график относительно Oy для отрицательных x (рис. 1).

Пример 2.

Следующий график вида y = |x 2 – 8x + 12|.

– Какова область значений предложенной функции? (y ≥ 0).

– Как расположен график? (Над осью абсцисс или касаясь ее).

Это значит, что график функции получают следующим образом: строят график функции y = x 2 – 8x + 12, оставляют часть графика, которая лежит над осью Ox, без изменений, а часть графика, которая лежит под осью абсцисс, симметрично отображают относительно оси Ox (рис. 2).

Пример 3.

Для построения графика функции y = |x 2 – 8|x| + 12| проводят комбинацию преобразований:

y = x 2 – 8x + 12 → y = x 2 – 8|x| + 12 → y = |x 2 – 8|x| + 12|.

Ответ: рисунок 3.

Рассмотренные преобразования справедливы для всех видов функций. Составим таблицу:

2. Построение графиков функций, содержащих в формуле «вложенные модули»

Мы уже познакомились с примерами квадратичной функции, содержащей модуль, а так же с общими правилами построения графиков функций вида y = f(|x|), y = |f(x)| и y = |f(|x|)|. Эти преобразования помогут нам при рассмотрении следующего примера.

Пример 4.

Рассмотрим функцию вида y = |2 – |1 – |x|||. Выражение, задающее функцию, содержит «вложенные модули».

Решение.

Воспользуемся методом геометрических преобразований.

Запишем цепочку последовательных преобразований и сделаем соответствующий чертеж (рис. 4):

y = x → y = |x| → y = -|x| → y = -|x| + 1 → y = |-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1| + 2 → y = |2 –|1 – |x|||.

Рассмотрим случаи, когда преобразования симметрии и параллельного переноса не являются основным приемом при построении графиков.

Пример 5.

Построить график функции вида y = (x 2 – 4)/√(x + 2) 2 .

Решение.

Прежде чем строить график, преобразуем формулу, которой задана функция, и получим другое аналитическое задание функции (рис. 5).

y = (x 2 – 4)/√(x + 2) 2 = (x– 2)(x + 2)/|x + 2|.

Раскроем в знаменателе модуль:

При x > -2, y = x – 2, а при x < -2, y = -(x – 2).

Область определения D(y) = (-∞; -2)ᴗ(-2; +∞).

Область значений E(y) = (-4; +∞).

Точки, в которых график пересекает с оси координат: (0; -2) и (2; 0).

Функция убывает при всех x из интервала (-∞; -2), возрастает при x от -2 до +∞.

Здесь нам пришлось раскрывать знак модуля и строить график функции для каждого случая.

Пример 6.

Рассмотрим функцию y = |x + 1| – |x – 2|.

Решение.

Раскрывая знак модуля, необходимо рассмотреть всевозможную комбинацию знаков подмодульных выражений.

Возможны четыре случая:

{x + 1 – x + 2 = 3, при x ≥ -1 и x ≥ 2;

{-x – 1 + x – 2 = -3, при x < -1 и x < 2;

{x + 1 + x – 2 = 2x - 1, при x ≥ -1 и x < 2;

{-x – 1 – x + 2 = -2x + 1, при x < -1 и x ≥ 2 – пустое множество.

Тогда исходная функция будет иметь вид:

{3, при x ≥ 2;

y = {-3, при x < -1;

{2x – 1, при -1 ≤ x < 2.

Получили кусочно-заданную функцию, график которой изображен на рисунке 6.

3. Алгоритм построения графиков функций вида

y = a 1 |x – x 1 | + a 2 |x – x 2 | + … + a n |x – x n | + ax + b.

В предыдущем примере было достаточно легко раскрыть знаки модуля. Если же сумм модулей больше, то рассмотреть всевозможные комбинации знаков подмодульных выражений проблематично. Как же в этом случае построить график функции?

Заметим, что графиком является ломаная, с вершинами в точках, имеющих абсциссы -1 и 2. При x = -1 и x = 2 подмодульные выражения равны нулю. Практическим путем мы приблизились к правилу построения таких графиков:

Графиком функции вида y = a 1 |x – x 1 | + a 2 |x – x 2 | + … + a n |x – x n | + ax + b является ломаная с бесконечными крайними звеньями. Чтобы построить такую ломаную, достаточно знать все ее вершины (абсциссы вершин есть нули подмодульных выражений) и по одной контрольной точке на левом и правом бесконечных звеньях.

Задача.

Построить график функции y = |x| + |x – 1| + |x + 1| и найти ее наименьшее значение.

Решение:

Нули подмодульных выражений: 0; -1; 1. Вершины ломаной (0; 2); (-1; 3); (1; 3). Контрольная точка справа (2; 6), слева (-2; 6). Строим график (рис. 7). min f(x) = 2.

Остались вопросы? Не знаете, как построить график функции с модулем?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Распространенными примерами с модулями является уравнение типа модуль в модуле. Двойной модуль можно записать в виде формулы
||a*x-b|-c|=k*x+m.
Если k=0 то такое уравнение с модулем легче решать графическим методом. Классическое раскрытия модулей в таких ситуациях громоздкое и не дает желаемого эффекта (экономии времени) на контрольных и тестах. Графический метод позволяет за короткое время выполнить построение модульных функций и найти количество корней уравнения.

Алгоритм построения двойного, тройного модуля достаточно прост и из приведенных ниже примеров понравится многим. Для закрепления методики внизу приведены примеры для самостоятельного вычисления.

Пример 1. Решить уравнение модуль в модуле ||x-3|-5|=3.
Решение: Решим уравнение с модулями классическим методом и графически. Найдем ноль внутреннего модуля
x-3=0 x=3.
В точке x=3 уравнения с модулем разделяется на 2 . Кроме того, ноль внутреннего модуля является точкой симметрии графика модулей и если правая сторона уравнения равна постоянной, то корни лежат на одинаковом расстоянии от этой точки. То есть можно решить одно уравнение из двух, а остальные корней вычислить из этого условия.
Раскроем внутренний модуль для x>3
|x-3-5|=3; |x-8|=3 .
Полученное уравнение при раскрытии модуля делится на 2
Под модульная функция >0
x-8=3; x=3+8=11;
и для значений < 0 получим
-(x-8)=3; x=8-3=5.
Оба корня уравнения удовлетворяют условию x>3, то есть являются решениями.
Учитывая записано выше правило симметрии решений уравнения с модулями, можно не искать корни уравнения для x< 3, которое имеет вид
|-(x-3)-5|=3; |-x-2|=3 ,
а вычислить их.
Значение симметрично относительно x=3 для x=11 равно
x=3-(11-3)=6-11=-5.
По той же формуле находим второе решение
x=3-(5-3)=6-5=1.
Заданное уравнение модуля в модуле имеет 4 решения
x=-5; x=1; x=5; x=11.
Теперь найдем решения уравнения с модулями графическим методом . С внутреннего модуля |x-3| следует что график стандартной модуль функции является смещен по оси Ох вправо на 3 .
Дальше - отнять 5 означает что график необходимо опустить на 5 клеток по оси Oy . Чтобы получить модуль полученной функции симметрично отражаем все что находится ниже оси Ox .
И напоследок выполняем построение прямой y=3 , параллельной оси Ox . Лучше всего для вычислений уравнений с модулями графически использовать тетрадь в клеточку, поскольку в ней удобно строить графики.
Окончательный вид графика модулей имеет вид

Точки пересечения модуль функции и прямой y=3 и является искомыми решениями x=-5;x=1; x=5;x=11 .

Преимущество графического метода над раскрытием модулей для простых уравнений очевидно. Однако графически неудобно искать корни когда правая сторона имеет вид k*x+m , то есть является прямой наклоненной к оси абсцисс под углом.
Здесь таких уравнений рассматривать не будем.

Пример 2. Сколько корней имеет уравнение ||2x-3|-2|=2?
Решение: Правая сторона равна постоянной, поэтому скорее найти решение можно графическим методом. Внутренний модуль обращается в нуль
|2x-3|=0 x=3/2=1,5
в точке x=1,5.
Значит в эту точку смещаем график функции y=|2x|. Для того, чтобы его построить подставьте несколько точек и проведите через них прямые. От полученной функции вычитаем 2 то есть график опускаем на двойку вниз и, чтобы получить модуль переносим отрицательные значения (y< 0) симметрично относительно оси Ox .

Видим, что заданное уравнение имеет три решения.

Пример 3. При каком значении параметра a уравнение с модулем |||x+1|-2|-5|=a имеет 5 решений?
Решение : Имеем уравнение с тремя вложенными модулями. Найдем ответ с графического анализа. Начнем, как всегда, из внутреннего модуля. Он обращается в нуль
|x+1|=0 x=-1
в точке x=-1 .
Строим график модуль функции в этой точке

Повторно выполним смещение графика модуль функции вниз на 5 и симметрично переносим отрицательные значения функции. В результате получим левую сторону уравнения с модулями
y=|||x+1|-2|-5| .

Параметр а соответствует значению параллельной прямой, которая должна пересечь график модуль функции в 5 точках. Сначала проводим такую прямую, далее ищем точку пересечения ее с осью Oy.
Это прямая y=3 , то есть искомый параметр равен a=3 .
Методом раскрытия модулей данную задачу можно было решать целый урок, если не больше. Здесь все свелось к нескольким графикам.
Ответ: a=3 .

Пример 4. Сколько решений имеет уравнение |||3x-3|-2|-7|=x+5 ?
Решение: Раскроем внутренний модуль уравнения
|3x-3|=0 <=> x=3/3=1.
Строим график функции y=|3x-3|. Для этого на одну клетки изменения x от найденной точки добавляем 3 клетки по y. Выполняйте построение корней уравнения в тетради в клеточку, а я расскажу как это можно сделать в среде Maple.

Restart;with(plots): Приравниваем к нулю все переменные и подключаем модуль для работы с графикой.

> plot(abs(3*x-3),x=-2..4):

Далее опускаем график на 2 клетки вниз и симметрично оси Ox переносим отрицательные значения (y <0) .
Получим график двух внутренних модулей Полученный график опускаем на двойку и симметрично отражаем. получим график
y=||3x-3|-2|.
В математическом пакете мейпл это равносильно записи еще одного модуля
> plot(abs(abs(3*x-3)-2),x=-2..4):

Повторно смещаем график вниз на семь единиц и симметрично переносим. Получим график функции
y=|||3x-3|-2|-7|

В Мэйпл это равносильно следующей ленте кода
> plot(abs(abs(abs(3*x-3)-2)-7),x=-5..7):
Строим прямую y=x+5 по двум точкам. Первая - пересечение прямой с осью абсцисс

Знак модуля, пожалуй, одно из самых интересных явлений в математике. В связи с этим у многих школьников возникает вопрос, как строить графики функций, содержащих модуль. Давайте подробно разберем этот вопрос.

1. Построение графиков функций, содержащих модуль

Пример 1.

Построить график функции y = x 2 – 8|x| + 12.

Решение.

Определим четность функции. Значение для y(-x) совпадает со значением для y(x), поэтому данная функция четная. Тогда ее график симметричен относительно оси Oy. Строим график функции y = x 2 – 8x + 12 для x ≥ 0 и симметрично отображаем график относительно Oy для отрицательных x (рис. 1).

Пример 2.

Следующий график вида y = |x 2 – 8x + 12|.

– Какова область значений предложенной функции? (y ≥ 0).

– Как расположен график? (Над осью абсцисс или касаясь ее).

Это значит, что график функции получают следующим образом: строят график функции y = x 2 – 8x + 12, оставляют часть графика, которая лежит над осью Ox, без изменений, а часть графика, которая лежит под осью абсцисс, симметрично отображают относительно оси Ox (рис. 2).

Пример 3.

Для построения графика функции y = |x 2 – 8|x| + 12| проводят комбинацию преобразований:

y = x 2 – 8x + 12 → y = x 2 – 8|x| + 12 → y = |x 2 – 8|x| + 12|.

Ответ: рисунок 3.

Рассмотренные преобразования справедливы для всех видов функций. Составим таблицу:

2. Построение графиков функций, содержащих в формуле «вложенные модули»

Мы уже познакомились с примерами квадратичной функции, содержащей модуль, а так же с общими правилами построения графиков функций вида y = f(|x|), y = |f(x)| и y = |f(|x|)|. Эти преобразования помогут нам при рассмотрении следующего примера.

Пример 4.

Рассмотрим функцию вида y = |2 – |1 – |x|||. Выражение, задающее функцию, содержит «вложенные модули».

Решение.

Воспользуемся методом геометрических преобразований.

Запишем цепочку последовательных преобразований и сделаем соответствующий чертеж (рис. 4):

y = x → y = |x| → y = -|x| → y = -|x| + 1 → y = |-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1| + 2 → y = |2 –|1 – |x|||.

Рассмотрим случаи, когда преобразования симметрии и параллельного переноса не являются основным приемом при построении графиков.

Пример 5.

Построить график функции вида y = (x 2 – 4)/√(x + 2) 2 .

Решение.

Прежде чем строить график, преобразуем формулу, которой задана функция, и получим другое аналитическое задание функции (рис. 5).

y = (x 2 – 4)/√(x + 2) 2 = (x– 2)(x + 2)/|x + 2|.

Раскроем в знаменателе модуль:

При x > -2, y = x – 2, а при x < -2, y = -(x – 2).

Область определения D(y) = (-∞; -2)ᴗ(-2; +∞).

Область значений E(y) = (-4; +∞).

Точки, в которых график пересекает с оси координат: (0; -2) и (2; 0).

Функция убывает при всех x из интервала (-∞; -2), возрастает при x от -2 до +∞.

Здесь нам пришлось раскрывать знак модуля и строить график функции для каждого случая.

Пример 6.

Рассмотрим функцию y = |x + 1| – |x – 2|.

Решение.

Раскрывая знак модуля, необходимо рассмотреть всевозможную комбинацию знаков подмодульных выражений.

Возможны четыре случая:

{x + 1 – x + 2 = 3, при x ≥ -1 и x ≥ 2;

{-x – 1 + x – 2 = -3, при x < -1 и x < 2;

{x + 1 + x – 2 = 2x - 1, при x ≥ -1 и x < 2;

{-x – 1 – x + 2 = -2x + 1, при x < -1 и x ≥ 2 – пустое множество.

Тогда исходная функция будет иметь вид:

{3, при x ≥ 2;

y = {-3, при x < -1;

{2x – 1, при -1 ≤ x < 2.

Получили кусочно-заданную функцию, график которой изображен на рисунке 6.

3. Алгоритм построения графиков функций вида

y = a 1 |x – x 1 | + a 2 |x – x 2 | + … + a n |x – x n | + ax + b.

В предыдущем примере было достаточно легко раскрыть знаки модуля. Если же сумм модулей больше, то рассмотреть всевозможные комбинации знаков подмодульных выражений проблематично. Как же в этом случае построить график функции?

Заметим, что графиком является ломаная, с вершинами в точках, имеющих абсциссы -1 и 2. При x = -1 и x = 2 подмодульные выражения равны нулю. Практическим путем мы приблизились к правилу построения таких графиков:

Графиком функции вида y = a 1 |x – x 1 | + a 2 |x – x 2 | + … + a n |x – x n | + ax + b является ломаная с бесконечными крайними звеньями. Чтобы построить такую ломаную, достаточно знать все ее вершины (абсциссы вершин есть нули подмодульных выражений) и по одной контрольной точке на левом и правом бесконечных звеньях.

Задача.

Построить график функции y = |x| + |x – 1| + |x + 1| и найти ее наименьшее значение.

Решение:

Нули подмодульных выражений: 0; -1; 1. Вершины ломаной (0; 2); (-1; 3); (1; 3). Контрольная точка справа (2; 6), слева (-2; 6). Строим график (рис. 7). min f(x) = 2.

Остались вопросы? Не знаете, как построить график функции с модулем?
Чтобы получить помощь репетитора – .

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Графики прямой, параболы, гиперболы, с модулем

Пошаговое построение графиков.

«Навешивание» модулей на прямые, параболы, гиперболы.

Графики - самая наглядная тема по алгебре. Рисуя графики, можно творить, а если еще и сможешь задать уравнения своего творчества, то и учитель достойно это оценит.

Для понимания друг друга введу немного «обзываний» системы координат:

Для начала построим график прямой y = 2x − 1.

Не сомневаюсь, что ты помнишь. Я напомню себе, что через 2 точки можно провести одну прямую. Поэтому берем любые две точки А = (0; −1) и B = (1; 1) и проводим единственную прямую.

А если теперь добавить модуль? y = |2x − 1|.

Модуль - это всегда положительное значение , получается, что «y» должен быть всегда положительным.

Значит, если модуль «надет» на весь график, то, что было в нижней части «−y», отразится в верхнюю (как будто сворачиваете лист по оси х и то, что было снизу, отпечатываете сверху).

Красота! А как же будет выглядеить график, если надеть модуль только на «х»: y = 2|x| − 1?

Одна строчка рассуждений и рисуем:

Модуль на «x», тогда в этом случае x = −x, то есть все, что было в правой части, отражаем в левую. А то, что было в плоскости «−x», убираем.

Суть построения точно такая же, только здесь отражаем относительно оси «y» .

Смертельный номер: y = |2|x| − 1|.

Для начала построим y = |2x − 1|, отразив относительно оси «x». В положительной части он будет такой же, как y =|2|x| − 1|.

А после этого отражаем относительно оси «y», то, что мы получили справа:

Если ты человек амбициозный, то прямых тебе будет мало! Но то, что описано выше, работает на всех остальных графиках.

Разберем по винтикам параболу y = x² + x − 2. Точки пересечения с осью «x» получим с помощью дискриминанта: x₁ = 1 и x ₂ = -2.

Можно найти вершину у параболы и взять пару точек для точного построения.

А как будет выглядеть график: y = |x²| + x − 2? Слышу: «Такого мы еще не проходили», а если подумаем? Модуль на x², он же и так всегда положителен, от модуля тут толку, как от стоп-сигнала зайцу − никакого.

При y = x² + |x| − 2 все так же стираем всю левую часть, и отражаем справа налево:

Следующий смертельный номер: |y| = x² + x − 2, подумай хорошенько, а еще лучше попробуй нарисовать сам.

При положительных значениях «y» от модуля нет смысла − уравнения y = x² + x − 2, а при «−y» ничего не меняется, будет так же y = x² + x − 2!

Рисуем параболу в верхней части системы координат (где у > 0), а затем отражаем вниз.

А настоящие профи могут разобраться, почему же данные графики выглядят так:

Легкий и средний уровень позади, и настала пора выжать концетрацию на максимум , потому что дальше тебя ждут гиперболы, которые частенько встречаются во второй части ЕГЭ и ОГЭ.

y = 1/x - простая гипербола, которую проще всего построить по точкам, 6-8 точек должно быть достаточно:

А что будет, если мы добавим в знаменателе «+1»? График сдвинется влево на единицу:

А что будет, если мы добавим в знаменателе « −1»? График сдвинется вправо на единицу.

А если добавить отдельно «+1» y = (1/x) + 1? Конечно, график поднимется вверх на единицу!

Глупый вопрос: а если добавить отдельно «−1» y = (1/x) − 1? Вниз на единицу!

Теперь начнем «накручивать» модули: y = |1/x + 1| - отражаем все из нижней части в верхнюю.

Возьмем другой модуль, мой амбициозный друг, раз ты дошел до этогог места: y = |1/(x + 1)|. Как и выше, когда модуль надет на всю функцию, мы отражаем снизу вверх.

Можно придумывать массу вариантов, но общий принцип остается для любого графика. Принципы повторим в выводах в конце статьи.

Модули не так уж страшны, если еще вспомнить, что их можно раскрыть по определнию:

И построить график, разбив его на кусочно-заданные функции.

Например для прямой:

Для параболы с одним модулем будет два кусочно заданных графика:

C двумя модулями кусочно заданных графиков будет четыре:

Таким способом, медленно и кропотливо можно построить любой график!

Выводы:

1. Модуль - это не просто две палочки, а жизнерадостное, всегда положительное значение!
2. Модулю без разницы находится он в прямой, параболе или еще где-то. Отражения происходят одни и те же.
3. Любой нестандартный модуль можно разбить на кусочно-заданные функции, условия только вводятся на каждый модуль .
4. Существует большое количество модулей, но парочку вариантов стоит запомнить, чтобы не строить по точкам:

• Если модуль «надет» на все выражение (например, y = |x² + x − 2|), то нижняя часть отражается наверх.
• Если модуль «надет» только на х (например, y = x² + |x| − 2), то правая часть графика отражается на левую часть. А «старая» левая часть стирается.
• Если модуль «надет» и на х, и на все выражение (например, y = |x² + |x| − 2|), то сначала отражаем график снизу вверх, после этого стираем полностью левую часть и отражаем справа налево.
• Если модуль «надет» на y (например, |y| = x² + x − 2), то мы оставляем верхнюю часть графика, нижнюю стираем. А после отражаем сверху вниз.

Урок 5. Преобразования графиков с модулями (факультативное занятие)

Цель: освоить основные навыки преобразования графиков с модулями.

I. Сообщение темы и цели урока

II . Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (письменный опрос).

Вариант 1

f (х), построить график функции у = f (-х) + 2?

2. Постройте график функции:

Вариант 2

1. Как, зная график функции у = f (х), построить график функции у = - f (х) - 1?

2. Постройте график функции:

III. Изучение нового материала

Из материала предыдущего урока видно, что способы преобразования графиков чрезвычайно полезны при их построении. Поэтому рассмотрим также основные способы преобразования графиков, содержащих модули. Эти способы являются универсальными и пригодны для любых функций. Для простоты построения будем рассматривать кусочно-линейную функцию f (х) с областью определения D (f ), график которой представлен на рисунке. Рассмотрим три стандартных преобразования графиков с модулями.

1) Построение графика функции у = | f (x )|

f /(x ), если Дх)>0,

По определению модуля получим: Это означает, что для построения графика функции у = | f (x )| надо сохранить часть графика функции у = f (x ), для которой у ≥ 0. Ту часть графика функции у = f (х), для которой у < 0, надо симметрично отразить вверх относительно оси абсцисс.

2) Построение графика функции у = f (| x |)

Г/О), если Дх)>0,

Раскроем модуль и получим: Поэтому для построения графика функции у = f (| x |) надо сохранить часть графика функции у = f (х), для которой х ≥ 0. Кроме того, эту часть надо симметрично отразить влево относительно оси ординат.

3) Построение графика уравнения |у| = f (x )

По определению модуля имеем, что при f (х) ≥ 0 надо построить графики двух функций: у = f (х) и у = - f (х). Это означает, что для построения графика уравнения |у| = f (х) надо сохранить часть графика функции у = f (х), для которой у ≥ 0. Кроме того, эту часть надо симметрично отразить вниз относительно оси абсцисс.

Заметим, что зависимость |у| = f (х) не задает функцию, т. е. при х ∈ (-2,6; 1,4) каждому значению х соответствуют два значения у. Поэтому на рисунке представлен именно график уравнения |у| = f (х).

Используем рассмотренные способы преобразования графиков с модулями для построения графиков более сложных функций и уравнений.

Пример 1

Построим график функции

Выделим в этой функции целую часть Такой график получается при смещении графика функции у = -1/ x на 2 единицы вправо и на 1 единицу вниз. Графиком данной функции является гипербола.

Пример 2

Построим график функции

В соответствии со способом 1 сохраним часть графика из примера 1, для которой у ≥ 0. Ту часть графика, для которой у < 0, симметрично отразим вверх относительно оси абсцисс.

Пример 3

Построим график функции

Используя способ 2, сохраним часть графика из примера 1, для которой х ≥ 0. Эту сохраненную часть, кроме того, зеркально отразим влево относительно оси ординат. Получим график функции, симметричный относительно оси ординат.

Пример 4

Построим график уравнения

В соответствии со способом 3 сохраним часть графика из примера 1, для которой у ≥ 0. Кроме того, эту сохраненную часть симметрично отразим вниз относительно оси абсцисс. Получим график данного уравнения.

Разумеется, рассмотренные способы преобразования графиков можно использовать и совместно.

Пример 5

Построим график функции

Используем график функции построенный в примере 3. Чтобы построить данный график, сохраним те части графика 3, для которых у ≥ 0. Те части графика 3, для которых у < 0, симметрично отразим вверх относительно оси абсцисс.

В тех случаях, когда модули входят в зависимость иным образом (чем в способах 1-3), необходимо эти модули раскрыть.

Пример 6

Построим график функции

Выражения х - 1 и x + 2, входящие под знаки модулей, меняют свои знаки в точках х = 1 и x = -2 соответственно. Отметим эти точки на координатной прямой. Они разбивают ее на три интервала. Используя определения модуля, раскроем модули в каждом промежутке.

Получим:

1. При

2. При

3. При

Построим графики этих функций, учитывая интервалы для переменной х, в которых раскрывались знаки модуля. Получим ломаную прямую.

Достаточно часто при построении графиков уравнений с модулями для их раскрытия используют координатную плоскость. Поясним это следующим примером.

Пример 7

Построим график уравнения

Выражение у - х меняет свой знак на прямой у = х. Построим эту прямую - биссектрису первого и третьего координатных углов. Эта прямая разбивает точки плоскости на две области: 1 - точки, расположенные над прямой у – х; 2 - точки, расположенные под этой прямой. Раскроем модуль в таких областях. В области 1 возьмем, например, контрольную точку (0; 5). Видим, что для этой точки выражение у - х > 0. Раскрывая модуль, получим: у - х + у + х = 4 или y = 2. Строим такую прямую в пределах первой области. Очевидно, в области 2 выражение у - х < 0. Раскрывая модуль, имеем: -(у - х) + у + х = 4 или х = 2. Строим эту прямую в пределах области 2. Получаем график данного уравнения.

3. Постройте график дробно-линейной функции и уравнения:

4. Постройте график функции, уравнения, неравенства:

VIII. Подведение итогов урока