बच्चों के लिए ज्वरनाशक दवाएं बाल रोग विशेषज्ञ द्वारा निर्धारित की जाती हैं। लेकिन बुखार के साथ आपातकालीन स्थितियाँ होती हैं जब बच्चे को तुरंत दवा देने की आवश्यकता होती है। तब माता-पिता जिम्मेदारी लेते हैं और ज्वरनाशक दवाओं का उपयोग करते हैं। शिशुओं को क्या देने की अनुमति है? आप बड़े बच्चों में तापमान कैसे कम कर सकते हैं? कौन सी दवाएँ सबसे सुरक्षित हैं?

कोई मैट्रिक्स एआदेश एम×एनएक संग्रह के रूप में माना जा सकता है एमस्ट्रिंग वैक्टर या एनस्तंभ सदिश.

पदमैट्रिक्स एआदेश एम×एनरैखिकतः स्वतंत्र स्तंभ सदिशों या पंक्ति सदिशों की अधिकतम संख्या है।

यदि मैट्रिक्स रैंक एके बराबर होती है आर, तो यह लिखा है:

मैट्रिक्स की रैंक ज्ञात करना

होने देना एमनमाना आदेश मैट्रिक्स एम× एन. मैट्रिक्स की रैंक ज्ञात करने के लिए एहम इसमें गाऊसी उन्मूलन विधि लागू करते हैं।

ध्यान दें कि यदि उन्मूलन के किसी चरण में अग्रणी तत्व शून्य के बराबर है, तो हम इस रेखा को उस रेखा से स्वैप करते हैं जिसमें अग्रणी तत्व शून्य से भिन्न होता है। यदि यह पता चलता है कि ऐसी कोई रेखा नहीं है, तो अगले कॉलम आदि पर आगे बढ़ें।

आगे की गाऊसी उन्मूलन प्रक्रिया के बाद, हमें एक मैट्रिक्स प्राप्त होता है जिसके मुख्य विकर्ण के नीचे के तत्व शून्य के बराबर होते हैं। इसके अलावा, शून्य पंक्ति वैक्टर भी हो सकते हैं।

गैर-शून्य पंक्ति वैक्टर की संख्या मैट्रिक्स की रैंक होगी ए.

आइए इस सब को सरल उदाहरणों से देखें।

उदाहरण 1।

पहली पंक्ति को 4 से गुणा करना और दूसरी पंक्ति में जोड़ना और पहली पंक्ति को 2 से गुणा करना और तीसरी पंक्ति में जोड़ना हमारे पास है:

दूसरी पंक्ति को -1 से गुणा करें और इसे तीसरी पंक्ति में जोड़ें:

हमें दो गैर-शून्य पंक्तियाँ प्राप्त हुईं और इसलिए, मैट्रिक्स की रैंक 2 है।

उदाहरण 2.

आइए निम्नलिखित मैट्रिक्स की रैंक ज्ञात करें:

पहली पंक्ति को -2 से गुणा करें और इसे दूसरी पंक्ति में जोड़ें। इसी प्रकार, हम पहले कॉलम की तीसरी और चौथी पंक्तियों के तत्वों को रीसेट करते हैं:

आइए दूसरे कॉलम की तीसरी और चौथी पंक्तियों के तत्वों को दूसरी पंक्ति में संख्या -1 से गुणा करके संबंधित पंक्तियों को जोड़कर रीसेट करें।

प्राथमिकनिम्नलिखित मैट्रिक्स परिवर्तनों को कहा जाता है:

1) किन्हीं दो पंक्तियों (या स्तंभों) का क्रमपरिवर्तन,

2) एक पंक्ति (या स्तंभ) को एक गैर-शून्य संख्या से गुणा करना,

3) एक पंक्ति (या स्तंभ) में दूसरी पंक्ति (या स्तंभ) जोड़ना, एक निश्चित संख्या से गुणा करना।

दो मैट्रिक्स कहलाते हैं समकक्ष, यदि उनमें से एक को प्राथमिक परिवर्तनों के एक सीमित सेट का उपयोग करके दूसरे से प्राप्त किया जाता है।

समतुल्य आव्यूह, आम तौर पर बोलते हुए, समान नहीं होते हैं, लेकिन उनकी रैंक बराबर होती है। यदि आव्यूह A और B समतुल्य हैं, तो इसे इस प्रकार लिखा जाता है: A ~ B.

कैनन कामैट्रिक्स एक मैट्रिक्स है जिसमें मुख्य विकर्ण की शुरुआत में एक पंक्ति में कई होते हैं (जिनकी संख्या शून्य हो सकती है), और अन्य सभी तत्व शून्य के बराबर होते हैं, उदाहरण के लिए,

पंक्तियों और स्तंभों के प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके, किसी भी मैट्रिक्स को विहित में कम किया जा सकता है। एक विहित मैट्रिक्स की रैंक उसके मुख्य विकर्ण पर मौजूद मैट्रिक्स की संख्या के बराबर होती है।

उदाहरण 2मैट्रिक्स की रैंक ज्ञात करें

ए=

और इसे विहित रूप में लाएँ।

समाधान।दूसरी पंक्ति से, पहली पंक्ति घटाएँ और इन पंक्तियों को पुनर्व्यवस्थित करें:

अब दूसरी और तीसरी पंक्ति से हम पहली पंक्ति को क्रमशः 2 और 5 से गुणा करके घटाते हैं:

;

तीसरी पंक्ति से पहली को घटाएँ; हमें एक मैट्रिक्स मिलता है

बी = ,

जो मैट्रिक्स ए के समतुल्य है, क्योंकि इसे प्रारंभिक परिवर्तनों के एक सीमित सेट का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है। जाहिर है, मैट्रिक्स बी की रैंक 2 है, और इसलिए r(A)=2 है। मैट्रिक्स बी को आसानी से कैनोनिकल में घटाया जा सकता है। पहले कॉलम को उपयुक्त संख्याओं से गुणा करके, बाद के सभी कॉलमों से घटाकर, हम पहली पंक्ति के सभी तत्वों को शून्य कर देते हैं, पहली को छोड़कर, और शेष पंक्तियों के तत्व नहीं बदलते हैं। फिर, दूसरे कॉलम को उपयुक्त संख्याओं से गुणा करके, बाद के सभी नंबरों से घटाकर, हम दूसरे को छोड़कर, दूसरी पंक्ति के सभी तत्वों को शून्य कर देते हैं, और विहित मैट्रिक्स प्राप्त करते हैं:

क्रोनकर - कैपेली प्रमेय- रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली के लिए अनुकूलता मानदंड:

एक रैखिक प्रणाली के सुसंगत होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि इस प्रणाली के विस्तारित मैट्रिक्स की रैंक उसके मुख्य मैट्रिक्स की रैंक के बराबर हो।

प्रमाण (सिस्टम अनुकूलता स्थितियाँ)

ज़रूरत

होने देना प्रणालीसंयुक्त फिर कुछ संख्याएं ऐसी हैं. इसलिए, कॉलम मैट्रिक्स के कॉलमों का एक रैखिक संयोजन है। इस तथ्य से कि एक मैट्रिक्स की रैंक नहीं बदलेगी यदि एक पंक्ति (कॉलम) को उसकी पंक्तियों (कॉलम) के सिस्टम से हटा दिया जाता है या जोड़ा जाता है, जो कि अन्य पंक्तियों (कॉलम) का एक रैखिक संयोजन है, यह इस प्रकार है।

पर्याप्तता

होने देना । आइए मैट्रिक्स में कुछ बुनियादी माइनर लें। चूँकि, तब यह मैट्रिक्स का आधार माइनर भी होगा। फिर, आधार प्रमेय के अनुसार नाबालिग, मैट्रिक्स का अंतिम कॉलम आधार कॉलम, यानी मैट्रिक्स के कॉलम का एक रैखिक संयोजन होगा। इसलिए, सिस्टम के मुक्त पदों का कॉलम मैट्रिक्स के कॉलमों का एक रैखिक संयोजन है।

नतीजे

मुख्य चरों की संख्या प्रणालीसिस्टम के रैंक के बराबर.

संयुक्त प्रणालीपरिभाषित किया जाएगा (इसका समाधान अद्वितीय है) यदि सिस्टम की रैंक उसके सभी चरों की संख्या के बराबर है।

समीकरणों की सजातीय प्रणाली

प्रस्ताव15 . 2 समीकरणों की सजातीय प्रणाली

सदैव संयुक्त है.

सबूत. इस प्रणाली के लिए, संख्याओं का समुच्चय , , , एक समाधान है।

इस अनुभाग में हम सिस्टम के मैट्रिक्स नोटेशन का उपयोग करेंगे:।

प्रस्ताव15 . 3 रैखिक समीकरणों की एक सजातीय प्रणाली के समाधानों का योग इस प्रणाली का एक समाधान है। किसी संख्या से गुणा किया गया हल भी एक हल होता है।

सबूत. उन्हें सिस्टम के समाधान के रूप में काम करने दें। फिर और. होने देना । तब

तब से - समाधान.

चलो एक मनमाना संख्या हो, . तब

तब से - समाधान.

परिणाम15 . 1 यदि रैखिक समीकरणों की एक सजातीय प्रणाली में एक गैर-शून्य समाधान होता है, तो इसमें अनंत रूप से कई अलग-अलग समाधान होते हैं।

दरअसल, एक गैर-शून्य समाधान को विभिन्न संख्याओं से गुणा करने पर, हमें अलग-अलग समाधान प्राप्त होंगे।

परिभाषा15 . 5 हम कहेंगे कि समाधान सिस्टम फॉर्म समाधान की मौलिक प्रणाली, यदि कॉलम एक रैखिक रूप से स्वतंत्र प्रणाली बनाते हैं और प्रणाली का कोई भी समाधान इन स्तंभों का एक रैखिक संयोजन होता है।

यह आलेख मैट्रिक्स की रैंक और आवश्यक अतिरिक्त अवधारणाओं जैसी अवधारणा पर चर्चा करेगा। हम मैट्रिक्स की रैंक ज्ञात करने के उदाहरण और प्रमाण देंगे, और आपको यह भी बताएंगे कि मैट्रिक्स माइनर क्या है और यह इतना महत्वपूर्ण क्यों है।

Yandex.RTB R-A-339285-1

मैट्रिक्स माइनर

यह समझने के लिए कि मैट्रिक्स की रैंक क्या है, आपको मैट्रिक्स माइनर की अवधारणा को समझने की आवश्यकता है।

परिभाषा 1

नाबालिगकमैट्रिक्स का वां क्रम क्रम k×k के एक वर्ग मैट्रिक्स का निर्धारक है, जो मैट्रिक्स A के तत्वों की स्थिति को बनाए रखते हुए, पूर्व-चयनित k-पंक्तियों और k-कॉलम में स्थित मैट्रिक्स A के तत्वों से बना है।

सीधे शब्दों में कहें, यदि मैट्रिक्स ए में आप (पी-के) पंक्तियां और (एन-के) कॉलम हटाते हैं, और जो तत्व बचे हैं, उनमें से मैट्रिक्स ए के तत्वों की व्यवस्था को संरक्षित करते हुए एक मैट्रिक्स बनाते हैं, तो परिणामी मैट्रिक्स का निर्धारक है मैट्रिक्स ए का क्रम k माइनर।

उदाहरण से यह पता चलता है कि मैट्रिक्स ए के प्रथम क्रम के अवयस्क स्वयं मैट्रिक्स तत्व हैं।

हम दूसरे क्रम के अवयस्कों के कई उदाहरण दे सकते हैं। आइए दो पंक्तियों और दो स्तंभों का चयन करें। उदाहरण के लिए, पहली और दूसरी पंक्ति, तीसरा और चौथा स्तंभ।

तत्वों के इस विकल्प के साथ, दूसरे क्रम का लघु होगा - 1 3 0 2 = (- 1) × 2 - 3 × 0 = - 2

मैट्रिक्स A का दूसरा क्रम लघु 0 0 1 1 = 0 है

आइए हम मैट्रिक्स ए के दूसरे क्रम के नाबालिगों के निर्माण के उदाहरण प्रदान करें:

मैट्रिक्स ए के तीसरे कॉलम को पार करके एक तीसरा ऑर्डर माइनर प्राप्त किया जाता है:

0 0 3 1 1 2 - 1 - 4 0 = 0 × 1 × 0 + 0 × 2 × (- 1) + 3 × 1 × (- 4) - 3 × 1 × (- 1) - 0 × 1 × 0 - 0 × 2 × (- 4) = - 9

मैट्रिक्स ए का तीसरा क्रम माइनर कैसे प्राप्त किया जाता है इसका चित्रण:

किसी दिए गए मैट्रिक्स के लिए, तीसरे क्रम से अधिक कोई माइनर नहीं है, क्योंकि

k ≤ m i n (p , n) = m i n (3 , 4) = 3

क्रम p×n के मैट्रिक्स A के लिए क्रम k के कितने लघु हैं?

नाबालिगों की संख्या की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

सी पी के × सी एन के, जहां ई सी पी के = पी ! क! (पी-के) ! और सी एन के = एन ! क! (एन - के) ! - क्रमशः p से k, n से k तक संयोजनों की संख्या।

यह निर्धारित करने के बाद कि मैट्रिक्स ए के नाबालिग क्या हैं, हम मैट्रिक्स ए की रैंक निर्धारित करने के लिए आगे बढ़ सकते हैं।

मैट्रिक्स रैंक: खोजने के तरीके

परिभाषा 2

मैट्रिक्स रैंक - शून्य के अलावा मैट्रिक्स का उच्चतम क्रम।

पदनाम 1

रैंक (ए), रग (ए), रंग (ए)।

मैट्रिक्स की रैंक और मैट्रिक्स के माइनर की परिभाषा से यह स्पष्ट हो जाता है कि शून्य मैट्रिक्स की रैंक शून्य के बराबर होती है, और गैर-शून्य मैट्रिक्स की रैंक शून्य से भिन्न होती है।

परिभाषा के अनुसार मैट्रिक्स की रैंक ज्ञात करना

परिभाषा 3

अवयस्कों की गणना करने की विधि - मैट्रिक्स की रैंक निर्धारित करने पर आधारित एक विधि।

अवयस्कों की गणना करने की विधि का उपयोग करके क्रियाओं का एल्गोरिदम :

क्रम के मैट्रिक्स ए की रैंक ज्ञात करना आवश्यक है पी× एन. यदि कम से कम एक गैर-शून्य तत्व है, तो मैट्रिक्स की रैंक कम से कम एक के बराबर है ( क्योंकि एक प्रथम क्रम का लघुगणक है जो शून्य के बराबर नहीं है).

इसके बाद दूसरे क्रम के अवयस्कों की गणना आती है। यदि दूसरे क्रम के सभी अवयस्क शून्य के बराबर हैं, तो रैंक एक के बराबर है। यदि दूसरे क्रम का कम से कम एक गैर-शून्य अवयस्क है, तो तीसरे क्रम के अवयस्कों की गणना के लिए आगे बढ़ना आवश्यक है, और इस मामले में मैट्रिक्स की रैंक, कम से कम दो के बराबर होगी।

आइए तीसरे क्रम की रैंक के साथ भी ऐसा ही करें: यदि मैट्रिक्स के सभी अवयस्क शून्य के बराबर हैं, तो रैंक दो के बराबर होगी। यदि तीसरे क्रम का कम से कम एक गैर-शून्य लघु है, तो मैट्रिक्स की रैंक कम से कम तीन है। और इसी तरह, सादृश्य द्वारा।

उदाहरण 2

मैट्रिक्स की रैंक ज्ञात करें:

ए = - 1 1 - 1 - 2 0 2 2 6 0 - 4 4 3 11 1 - 7

चूँकि मैट्रिक्स गैर-शून्य है, इसलिए इसकी न्यूनतम रैंक एक है।

दूसरे क्रम का लघु - 1 1 2 2 = (- 1) × 2 - 1 × 2 = 4 गैर-शून्य है। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि मैट्रिक्स A की रैंक कम से कम दो है।

हम तीसरे क्रम के अवयस्कों को सुलझाते हैं: सी 3 3 × सी 5 3 = 1 5! 3! (5-3) ! = 10 टुकड़े.

1 1 - 1 2 2 6 4 3 11 = (- 1) × 2 × 11 + 1 × 6 × 4 + (- 1) × 2 × 3 - (- 1) × 2 × 4 - 1 × 2 × 11 - (- 1) × 6 × 3 = 0

1 - 1 - 2 2 6 0 4 11 1 = (- 1) × 6 × 1 + (- 1) × 0 × 4 + (- 2) × 2 × 11 - (- 2) × 6 × 4 - (- 1) × 2 × 1 - (- 1) × 0 × 11 = 0

1 1 - 2 2 2 0 4 3 1 = (- 1) × 2 × 1 + 1 × 0 × 4 + (- 2) × 2 × 3 - (- 2) × 2 × 4 - 1 × 2 × 1 - (- 1) × 0 × 3 = 0

1 - 1 0 2 6 - 4 4 11 - 7 = (- 1) × 6 × (- 7) + (- 1) × (- 4) × 4 + 0 × 2 × 11 - 0 × 6 × 4 - ( - 1) × 2 × (- 7) - (- 1) × (- 4) × 11 = 0

1 - 1 0 2 6 - 4 3 11 - 7 = 1 × 6 × (- 7) + (- 1) × (- 4) × 3 + 0 × 2 × 11 - 0 × 6 × 3 - (- 1) × 2 × (- 7) - 1 × (- 4) × 11 = 0

1 - 2 0 2 0 - 4 3 1 - 7 = 1 × 0 × (- 7) + (- 2) × (- 4) × 3 + 0 × 2 × 1 - 0 × 0 × 3 - (- 2) × 2 × (- 7) - 1 × (- 4) × 1 = 0

1 - 2 0 6 0 - 4 11 1 - 7 = (- 1) × 0 × (- 7) + (- 2) × (- 4) × 11 + 0 × 6 × 1 - 0 × 0 × 11 - ( - 2) × 6 × (- 7) - (- 1) × (- 4) × 1 = 0

तीसरे क्रम के अवयस्क शून्य के बराबर हैं, इसलिए मैट्रिक्स की रैंक दो है।

उत्तर : रैंक (ए) = 2.

बॉर्डरिंग माइनर्स पद्धति का उपयोग करके मैट्रिक्स की रैंक ज्ञात करना

परिभाषा 3

अवयस्कों को सीमाबद्ध करने की विधि - एक विधि जो आपको कम कम्प्यूटेशनल कार्य के साथ परिणाम प्राप्त करने की अनुमति देती है।

किनारा छोटा - मैट्रिक्स ए के वें क्रम का लघु एम ओ के (के + 1), जो मैट्रिक्स ए के क्रम के लघु एम की सीमा बनाता है, यदि लघु एम ओ के से मेल खाने वाले मैट्रिक्स में वह मैट्रिक्स शामिल है जो से मेल खाता है नाबालिग एम.

सीधे शब्दों में कहें तो बॉर्डरिंग माइनर M से संबंधित मैट्रिक्स एक पंक्ति और एक कॉलम के तत्वों को हटाकर बॉर्डरिंग माइनर M o k से संबंधित मैट्रिक्स से प्राप्त किया जाता है।

उदाहरण 3

मैट्रिक्स की रैंक ज्ञात करें:

ए = 1 2 0 - 1 3 - 2 0 3 7 1 3 4 - 2 1 1 1 0 0 3 6 5

रैंक ज्ञात करने के लिए हम दूसरे क्रम का लघु M = 2 - 1 4 1 लेते हैं

हम सभी सीमावर्ती नाबालिगों को लिखते हैं:

1 2 - 1 - 2 0 7 3 4 1 , 2 0 - 1 0 3 7 4 - 2 1 , 2 - 1 3 0 7 1 4 1 1 , 1 2 - 1 3 4 1 0 0 6 , 2 0 - 1 4 - 2 1 0 3 6 , 2 - 1 3 4 1 1 0 6 5 .

अवयस्कों की सीमा निर्धारण की विधि को उचित ठहराने के लिए, हम एक प्रमेय प्रस्तुत करते हैं, जिसके निर्माण के लिए प्रमाण की आवश्यकता नहीं होती है।

प्रमेय 1

यदि क्रम p बटा n के मैट्रिक्स A के kवें क्रम के लघु की सीमा वाले सभी अवयस्क शून्य के बराबर हैं, तो मैट्रिक्स A के क्रम (k+1) के सभी अवयस्क शून्य के बराबर हैं।

क्रियाओं का एल्गोरिदम :

किसी मैट्रिक्स की रैंक ज्ञात करने के लिए, सभी माइनरों को देखना आवश्यक नहीं है, बस सीमावर्ती माइनरों को देखें।

यदि सीमावर्ती अवयस्क शून्य के बराबर हैं, तो मैट्रिक्स की रैंक शून्य है। यदि कम से कम एक ऐसा अवयस्क है जो शून्य के बराबर नहीं है, तो हम सीमावर्ती अवयस्कों पर विचार करते हैं।

यदि वे सभी शून्य हैं, तो रैंक (ए) दो है। यदि कम से कम एक गैर-शून्य सीमावर्ती लघु है, तो हम उसके सीमावर्ती लघु पर विचार करने के लिए आगे बढ़ते हैं। और इसी तरह, इसी तरह.

उदाहरण 4

एज माइनर्स विधि का उपयोग करके मैट्रिक्स की रैंक ज्ञात करें

ए = 2 1 0 - 1 3 4 2 1 0 - 1 2 1 1 1 1 - 4 0 0 2 4 - 14

कैसे हल करें?

चूँकि मैट्रिक्स A का तत्व a 11 शून्य के बराबर नहीं है, हम पहले क्रम का एक अवयस्क लेते हैं। आइए एक बॉर्डरिंग माइनर की तलाश शुरू करें जो शून्य से अलग हो:

2 1 4 2 = 2 × 2 - 1 × 4 = 0 2 0 4 1 = 2 × 1 - 0 × 4 = 2

हमें दूसरे क्रम का एक बॉर्डरिंग माइनर मिला जो शून्य 2 0 4 1 के बराबर नहीं है।

आइए सीमावर्ती नाबालिगों की गणना करें - (वहाँ (4 - 2) × (5 - 2) = 6 टुकड़े हैं)।

2 1 0 4 2 1 2 1 1 = 0 ; 2 0 - 1 4 1 0 2 1 1 = 0 ; 2 0 3 4 1 - 1 2 1 - 4 = 0 ; 2 1 0 4 2 1 0 0 2 = 0 ; 2 0 - 1 4 1 0 0 2 4 = 0 ; 2 0 3 4 1 - 1 0 2 - 14 = 0

उत्तर : रैंक(ए) = 2.

गॉसियन विधि (प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके) का उपयोग करके मैट्रिक्स की रैंक ढूँढना

आइए याद रखें कि प्राथमिक परिवर्तन क्या हैं।

प्राथमिक परिवर्तन:

मैट्रिक्स की पंक्तियों (स्तंभों) को पुनर्व्यवस्थित करके;
मैट्रिक्स की किसी भी पंक्ति (स्तंभ) के सभी तत्वों को एक मनमाना गैर-शून्य संख्या k से गुणा करके;

किसी भी पंक्ति (स्तंभ) के तत्वों में ऐसे तत्व जोड़कर जो मैट्रिक्स की दूसरी पंक्ति (स्तंभ) से मेल खाते हैं, जिन्हें एक मनमानी संख्या k से गुणा किया जाता है।

परिभाषा 5

गॉसियन पद्धति का उपयोग करके मैट्रिक्स की रैंक ज्ञात करना - एक विधि जो मैट्रिक्स तुल्यता के सिद्धांत पर आधारित है: यदि मैट्रिक्स बी प्रारंभिक परिवर्तनों की एक सीमित संख्या का उपयोग करके मैट्रिक्स ए से प्राप्त किया जाता है, तो रैंक (ए) = रैंक (बी)।

इस कथन की वैधता मैट्रिक्स की परिभाषा से मिलती है:

यदि मैट्रिक्स की पंक्तियों या स्तंभों को पुनर्व्यवस्थित किया जाता है, तो इसका निर्धारक चिह्न बदल जाता है। यदि यह शून्य के बराबर है, तो पंक्तियों या स्तंभों को पुनर्व्यवस्थित करने पर यह शून्य के बराबर रहता है;
मैट्रिक्स की किसी भी पंक्ति (स्तंभ) के सभी तत्वों को एक मनमानी संख्या k से गुणा करने की स्थिति में जो शून्य के बराबर नहीं है, परिणामी मैट्रिक्स का निर्धारक मूल मैट्रिक्स के निर्धारक के बराबर होता है, जिसे गुणा किया जाता है क;

किसी मैट्रिक्स की एक निश्चित पंक्ति या स्तंभ के तत्वों को दूसरी पंक्ति या स्तंभ के संबंधित तत्वों को जोड़ने के मामले में, जिसे संख्या k से गुणा किया जाता है, इसके निर्धारक को नहीं बदलता है।

प्राथमिक परिवर्तन की विधि का सार : प्रारंभिक परिवर्तनों का उपयोग करके उस मैट्रिक्स को कम करें जिसकी रैंक को एक ट्रैपेज़ॉइडल में पाया जाना चाहिए।

किस लिए?

इस प्रकार के मैट्रिक्स की रैंक ढूंढना काफी आसान है। यह उन रेखाओं की संख्या के बराबर है जिनमें कम से कम एक गैर-शून्य तत्व है। और चूंकि प्राथमिक परिवर्तन करते समय रैंक नहीं बदलती है, इसलिए यह मैट्रिक्स की रैंक होगी।

आइए इस प्रक्रिया को स्पष्ट करें:

क्रम p बटा n के आयताकार आव्यूह A के लिए, जिनमें पंक्तियों की संख्या स्तंभों की संख्या से अधिक है:

ए ~ 1 बी 12 बी 13 ⋯ बी 1 एन - 1 बी 1 एन 0 1 बी 23 ⋯ बी 2 एन - 2 बी 2 एन ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 बी एन - 1 एन 0 0 0 ⋯ 0 1 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0, आर ए एन के (ए) = एन

ए ~ 1 बी 12 बी 13 ⋯ बी 1 के बी 1 के + 1 ⋯ बी 1 एन 0 1 बी 23 ⋯ बी 2 के बी 2 के + 1 ⋯ बी 2 एन ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 बी के के + 1 ⋯ बी के एन 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0, आर ए एन के (ए) = के

क्रम p बटा n के आयताकार आव्यूह A के लिए, जिनमें पंक्तियों की संख्या स्तंभों की संख्या से कम है:

ए ~ 1 बी 12 बी 13 ⋯ बी 1 पी बी 1 पी + 1 ⋯ बी 1 एन 0 1 बी 23 ⋯ बी 2 पी बी 2 पी + 1 ⋯ बी 2 एन ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 बी पी पी + 1 ⋯ बी पी एन , आर ए एन के (ए) = पी

ए ~ 1 बी 12 बी 13 ⋯ बी 1 के बी 1 के + 1 ⋯ बी 1 एन 0 1 बी 23 ⋯ बी 2 के बी 2 के + 1 ⋯ बी 2 एन ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 बी के के + 1 ⋯ बी के एन 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0

n बटा n क्रम के वर्ग आव्यूह A के लिए:

ए ~ 1 बी 12 बी 13 ⋯ बी 1 एन - 1 बी 1 एन 0 1 बी 23 ⋯ बी 2 एन - 1 बी 2 एन ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 बी एन - 1 एन 0 0 0 ⋯ 0 1 , आर ए एन के (ए) = एन

ए ~ 1 बी 12 बी 13 ⋯ बी 1 के बी 1 के + 1 ⋯ बी 1 एन 0 1 बी 23 ⋯ बी 2 के बी 2 के + 1 ⋯ बी 2 एन ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 बी के के + 1 ⋯ बी के एन 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0, आर ए एन के (ए) = के, के< n

उदाहरण 5

प्रारंभिक परिवर्तनों का उपयोग करके मैट्रिक्स ए की रैंक ज्ञात करें:

ए = 2 1 - 2 6 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11

कैसे हल करें?

चूँकि तत्व a 11 शून्य से भिन्न है, इसलिए मैट्रिक्स A की पहली पंक्ति के तत्वों को 1 a 11 = 1 2 से गुणा करना आवश्यक है:

ए = 2 1 - 2 6 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11 ~

हम दूसरी पंक्ति के तत्वों में पहली पंक्ति के संबंधित तत्वों को जोड़ते हैं, जिन्हें (-3) से गुणा किया जाता है। तीसरी पंक्ति के तत्वों में हम पहली पंक्ति के तत्वों को जोड़ते हैं, जिन्हें (-1) से गुणा किया जाता है:

~ ए (1) = 1 1 2 - 1 3 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11 ~ ए (2) = = 1 1 2 - 1 3 3 + 1 (- 3) 0 + 1 2 (- 3) 0 + (- 1) (- 3) - 1 + 3 (- 3) 1 + 1 (- 3) - 1 + 1 2 (- 3) 2 + (- 1) (- 1) - 7 + 3 (- 1) 5 + 1 (- 5) - 2 + 1 2 (- 5) 4 + (- 1) (- 5) - 15 + 3 (- 5) 7 + 1 (- 7) 2 + 1 2 (- 7) - 4 + (- 1) (- 7) 11 + 3 (- 7) =

1 1 2 - 1 3 0 - 3 2 3 - 10 0 - 3 2 3 - 10 0 - 9 2 9 - 30 0 - 3 2 3 - 10

तत्व a 22 (2) गैर-शून्य है, इसलिए हम मैट्रिक्स A की दूसरी पंक्ति के तत्वों को A (2) से 1 a 22 (2) = - 2 3 से गुणा करते हैं:

ए (3) = 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 - 3 2 3 - 10 0 - 9 2 9 - 30 0 - 3 2 3 - 10 ~ ए (4) = 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 - 3 2 + 1 3 2 3 + (- 2) 3 2 - 10 + 20 3 × 3 2 0 - 9 2 + 1 9 2 9 + (- 2) 9 2 - 30 + 20 3 × 9 2 0 - 3 2 + 1 3 2 3 + (- 2) 3 2 - 10 + 20 3 × 3 2 = = 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

परिणामी मैट्रिक्स की तीसरी पंक्ति के तत्वों में हम दूसरी पंक्ति के संबंधित तत्वों को जोड़ते हैं, जिन्हें 3 2 से गुणा किया जाता है;
चौथी पंक्ति के तत्वों के लिए - दूसरी पंक्ति के तत्व, जिन्हें 9 2 से गुणा किया जाता है;
5वीं पंक्ति के तत्वों के लिए - दूसरी पंक्ति के तत्व, जिन्हें 3 2 से गुणा किया जाता है।

सभी पंक्ति तत्व शून्य हैं. इस प्रकार, प्रारंभिक परिवर्तनों का उपयोग करके, हम मैट्रिक्स को एक ट्रेपोज़ॉइडल रूप में लाए, जिससे यह देखा जा सकता है कि आर और के (ए (4)) = 2। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि मूल मैट्रिक्स की रैंक भी दो के बराबर है।

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मैट्रिक्स रैंक

मैट्रिक्स की रैंक का निर्धारण

एक आयताकार मैट्रिक्स पर विचार करें. यदि इस मैट्रिक्स में हम मनमाने ढंग से चयन करते हैं कलाइनें और ककॉलम, फिर चयनित पंक्तियों और स्तंभों के प्रतिच्छेदन पर तत्व kवें क्रम का एक वर्ग मैट्रिक्स बनाते हैं। इस मैट्रिक्स के निर्धारक को कहा जाता है kवें क्रम का अवयस्कमैट्रिक्स ए। जाहिर है, मैट्रिक्स ए में 1 से लेकर सबसे छोटी संख्या एम और एन तक किसी भी क्रम के नाबालिग हैं। मैट्रिक्स ए के सभी गैर-शून्य नाबालिगों में से, कम से कम एक नाबालिग है जिसका क्रम सबसे बड़ा है। किसी दिए गए मैट्रिक्स के गैर-शून्य लघु आदेशों में से सबसे बड़े को कहा जाता है पद matrices. यदि मैट्रिक्स A की रैंक है आर, इसका मतलब है कि मैट्रिक्स ए में ऑर्डर का गैर-शून्य नाबालिग है आर, लेकिन क्रम का हर छोटा इससे बड़ा आर, शून्य के बराबर है. मैट्रिक्स A की रैंक को r(A) द्वारा दर्शाया गया है। जाहिर है, रिश्ता कायम है

अवयस्कों का उपयोग करके मैट्रिक्स की रैंक की गणना करना

मैट्रिक्स की रैंक या तो बॉर्डरिंग माइनर्स की विधि से या प्राथमिक परिवर्तनों की विधि से पाई जाती है। पहली विधि का उपयोग करके मैट्रिक्स की रैंक की गणना करते समय, आपको निचले क्रम के नाबालिगों से उच्च क्रम के नाबालिगों की ओर जाना चाहिए। यदि मैट्रिक्स A के kवें क्रम का एक लघु D, शून्य से भिन्न, पहले ही पाया जा चुका है, तो केवल लघु D की सीमा वाले (k+1) क्रम के लघुगणकों को गणना की आवश्यकता होती है, अर्थात। इसे नाबालिग के रूप में शामिल किया गया है। यदि वे सभी शून्य के बराबर हैं, तो मैट्रिक्स की रैंक बराबर है क.

उदाहरण 1।बॉर्डरिंग माइनर्स की विधि का उपयोग करके मैट्रिक्स की रैंक ज्ञात करें

समाधान।हम प्रथम क्रम के अवयस्कों से शुरू करते हैं, अर्थात्। मैट्रिक्स ए के तत्वों से आइए, उदाहरण के लिए, एक लघु (तत्व) एम 1 = 1 चुनें, जो पहली पंक्ति और पहले कॉलम में स्थित है। दूसरी पंक्ति और तीसरे स्तंभ की सहायता से सीमाबद्ध करते हुए, हमें एक लघु M 2 = शून्य से भिन्न प्राप्त होता है। अब हम एम2 की सीमा से लगे तीसरे क्रम के माइनरों की ओर मुड़ते हैं। उनमें से केवल दो हैं (आप दूसरा या चौथा कॉलम जोड़ सकते हैं)। आइए उनकी गणना करें: = 0. इस प्रकार, तीसरे क्रम के सभी सीमावर्ती अवयस्क शून्य के बराबर निकले। मैट्रिक्स A की रैंक दो है।

प्रारंभिक परिवर्तनों का उपयोग करके मैट्रिक्स की रैंक की गणना करना

प्राथमिकनिम्नलिखित मैट्रिक्स परिवर्तनों को कहा जाता है:

1) किन्हीं दो पंक्तियों (या स्तंभों) का क्रमपरिवर्तन,

2) एक पंक्ति (या स्तंभ) को एक गैर-शून्य संख्या से गुणा करना,

समतुल्य आव्यूह, आम तौर पर बोलते हुए, समान नहीं होते हैं, लेकिन उनकी रैंक बराबर होती है। यदि आव्यूह A और B समतुल्य हैं, तो इसे इस प्रकार लिखा जाता है: A~बी.

उदाहरण 2मैट्रिक्स की रैंक ज्ञात करें

ए=

और इसे विहित रूप में लाएँ।

;

तीसरी पंक्ति से पहली को घटाएँ; हमें एक मैट्रिक्स मिलता है

बी = ,

आइए कुछ मैट्रिक्स दिया जाए:

आइए इस मैट्रिक्स में चयन करें मनमाना तार और मनमाना कॉलम
. फिर निर्धारक वां क्रम, मैट्रिक्स तत्वों से बना है
, चयनित पंक्तियों और स्तंभों के चौराहे पर स्थित, को लघु कहा जाता है वें क्रम मैट्रिक्स
.

परिभाषा 1.13.मैट्रिक्स रैंक
इस मैट्रिक्स के गैर-शून्य लघु का सबसे बड़ा क्रम है।

किसी मैट्रिक्स की रैंक की गणना करने के लिए, किसी को उसके निम्नतम क्रम के सभी अवयस्कों पर विचार करना चाहिए और, यदि उनमें से कम से कम एक शून्य से भिन्न है, तो उच्चतम क्रम के अवयस्कों पर विचार करने के लिए आगे बढ़ना चाहिए। मैट्रिक्स की रैंक निर्धारित करने के इस दृष्टिकोण को बॉर्डरिंग विधि (या माइनर्स को बॉर्डर करने की विधि) कहा जाता है।

समस्या 1.4.अवयस्कों को बॉर्डर करने की विधि का उपयोग करके, मैट्रिक्स की रैंक निर्धारित करें
.

उदाहरण के लिए, प्रथम-क्रम किनारा पर विचार करें,
. फिर हम दूसरे क्रम के कुछ किनारों पर विचार करने के लिए आगे बढ़ते हैं।

उदाहरण के लिए,
.

अंत में, आइए तीसरे क्रम की सीमा निर्धारण का विश्लेषण करें।

अत: एक गैर-शून्य लघु का उच्चतम क्रम 2 है
.

समस्या 1.4 को हल करते समय, आप देख सकते हैं कि कई दूसरे क्रम के सीमांत अवयस्क गैर-शून्य हैं। इस संबंध में, निम्नलिखित अवधारणा लागू होती है।

परिभाषा 1.14.मैट्रिक्स का आधार माइनर कोई भी गैर-शून्य माइनर होता है जिसका क्रम मैट्रिक्स की रैंक के बराबर होता है।

प्रमेय 1.2.(आधार लघु प्रमेय)। आधार पंक्तियाँ (आधार स्तंभ) रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं।

ध्यान दें कि मैट्रिक्स की पंक्तियाँ (स्तंभ) रैखिक रूप से निर्भर होती हैं यदि और केवल तभी जब उनमें से कम से कम एक को अन्य के रैखिक संयोजन के रूप में दर्शाया जा सके।

प्रमेय 1.3.रैखिक रूप से स्वतंत्र मैट्रिक्स पंक्तियों की संख्या रैखिक रूप से स्वतंत्र मैट्रिक्स स्तंभों की संख्या के बराबर है और मैट्रिक्स की रैंक के बराबर है।

प्रमेय 1.4.(निर्धारक के शून्य के बराबर होने के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्त)। निर्धारक के लिए -वाँ क्रम शून्य के बराबर था, यह आवश्यक एवं पर्याप्त है कि इसकी पंक्तियाँ (स्तम्भ) रैखिकतः आश्रित हों।

किसी मैट्रिक्स की परिभाषा के आधार पर उसकी रैंक की गणना करना बहुत बोझिल है। यह उच्च कोटि के मैट्रिक्स के लिए विशेष रूप से महत्वपूर्ण हो जाता है। इस संबंध में, व्यवहार में, मैट्रिक्स की रैंक की गणना प्रमेय 10.2 - 10.4 के अनुप्रयोग के साथ-साथ मैट्रिक्स तुल्यता और प्राथमिक परिवर्तनों की अवधारणाओं के उपयोग के आधार पर की जाती है।

परिभाषा 1.15.दो आव्यूह
और समतुल्य कहलाते हैं यदि उनकी रैंक समान हो, अर्थात्।
.

यदि मैट्रिक्स
और समतुल्य हैं, तो ध्यान दें
 .

प्रमेय 1.5.प्रारंभिक परिवर्तनों के कारण मैट्रिक्स की रैंक नहीं बदलती है।

हम प्राथमिक मैट्रिक्स परिवर्तन कहेंगे
मैट्रिक्स पर निम्नलिखित में से कोई भी ऑपरेशन:

पंक्तियों को स्तंभों से और स्तंभों को संगत पंक्तियों से बदलना;

मैट्रिक्स पंक्तियों को पुनर्व्यवस्थित करना;

एक ऐसी रेखा को पार करना जिसके सभी तत्व शून्य हैं;

किसी स्ट्रिंग को शून्य के अलावा किसी अन्य संख्या से गुणा करना;

एक पंक्ति के तत्वों को दूसरी पंक्ति के संगत तत्वों को जोड़कर उसी संख्या से गुणा किया जाता है
.

प्रमेय 1.5 का परिणाम.यदि मैट्रिक्स
मैट्रिक्स से प्राप्त किया गया प्रारंभिक परिवर्तनों की एक सीमित संख्या का उपयोग करके, फिर मैट्रिक्स का
और समतुल्य हैं.

मैट्रिक्स की रैंक की गणना करते समय, प्राथमिक परिवर्तनों की एक सीमित संख्या का उपयोग करके इसे एक ट्रैपेज़ॉइडल रूप में घटाया जाना चाहिए।

परिभाषा 1.16.हम ट्रैपेज़ॉइडल को मैट्रिक्स के प्रतिनिधित्व का एक रूप कहेंगे, जब शून्य के अलावा उच्चतम क्रम के बॉर्डरिंग माइनर में, विकर्ण के नीचे के सभी तत्व गायब हो जाते हैं। उदाहरण के लिए:

यहाँ
, मैट्रिक्स तत्व
शून्य पर जाओ. तब ऐसे मैट्रिक्स के प्रतिनिधित्व का रूप समलम्बाकार होगा।

एक नियम के रूप में, गाऊसी एल्गोरिदम का उपयोग करके मैट्रिक्स को एक ट्रैपेज़ॉइडल आकार में घटा दिया जाता है। गॉस एल्गोरिथ्म का विचार यह है कि, मैट्रिक्स की पहली पंक्ति के तत्वों को संबंधित कारकों से गुणा करके, यह प्राप्त किया जाता है कि तत्व के नीचे स्थित पहले कॉलम के सभी तत्व
, शून्य हो जायेगा। फिर, दूसरे कॉलम के तत्वों को संबंधित कारकों से गुणा करके, हम यह सुनिश्चित करते हैं कि दूसरे कॉलम के सभी तत्व तत्व के नीचे स्थित हैं
, शून्य हो जायेगा। फिर इसी तरह आगे बढ़ें.