मध्य रेखा की लंबाई कैसे ज्ञात की जाती है? सही त्रिकोण

वीडियो पाठ्यक्रम "गेट एन ए" में 60-65 अंकों के साथ गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा को सफलतापूर्वक उत्तीर्ण करने के लिए आवश्यक सभी विषय शामिल हैं। गणित में प्रोफ़ाइल एकीकृत राज्य परीक्षा के सभी कार्य 1-13 पूर्णतः। गणित में बेसिक यूनिफाइड स्टेट परीक्षा उत्तीर्ण करने के लिए भी उपयुक्त। यदि आप 90-100 अंकों के साथ एकीकृत राज्य परीक्षा उत्तीर्ण करना चाहते हैं, तो आपको भाग 1 को 30 मिनट में और गलतियों के बिना हल करना होगा!

ग्रेड 10-11 के साथ-साथ शिक्षकों के लिए एकीकृत राज्य परीक्षा के लिए तैयारी पाठ्यक्रम। गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा के भाग 1 (पहली 12 समस्याएं) और समस्या 13 (त्रिकोणमिति) को हल करने के लिए आपको जो कुछ भी चाहिए वह सब कुछ। और यह एकीकृत राज्य परीक्षा में 70 अंक से अधिक है, और न तो 100 अंक वाला छात्र और न ही मानविकी का छात्र इनके बिना कर सकता है।

सभी आवश्यक सिद्धांत. एकीकृत राज्य परीक्षा के त्वरित समाधान, नुकसान और रहस्य। FIPI टास्क बैंक से भाग 1 के सभी मौजूदा कार्यों का विश्लेषण किया गया है। पाठ्यक्रम पूरी तरह से एकीकृत राज्य परीक्षा 2018 की आवश्यकताओं का अनुपालन करता है।

पाठ्यक्रम में 5 बड़े विषय हैं, प्रत्येक विषय 2.5 घंटे का है। प्रत्येक विषय प्रारंभ से, सरल और स्पष्ट रूप से दिया गया है।

सैकड़ों एकीकृत राज्य परीक्षा कार्य। शब्द समस्याएँ और संभाव्यता सिद्धांत। समस्याओं को हल करने के लिए सरल और याद रखने में आसान एल्गोरिदम। ज्यामिति। सिद्धांत, संदर्भ सामग्री, सभी प्रकार के एकीकृत राज्य परीक्षा कार्यों का विश्लेषण। स्टीरियोमेट्री। पेचीदा समाधान, उपयोगी चीट शीट, स्थानिक कल्पना का विकास। खरोंच से समस्या तक त्रिकोणमिति 13. रटने के बजाय समझना। जटिल अवधारणाओं की स्पष्ट व्याख्या. बीजगणित. मूल, घात और लघुगणक, कार्य और व्युत्पन्न। एकीकृत राज्य परीक्षा के भाग 2 की जटिल समस्याओं को हल करने का आधार।

1 अतिरिक्त निर्माण जो त्रिभुज मध्य रेखा प्रमेय, समलम्बाकार और त्रिभुजों की समानता गुणों की ओर ले जाता है।

और वह आधे कर्ण के बराबर.
परिणाम 1.
परिणाम 2.

इससे यह स्पष्ट है कि

1 समान न्यूनकोण वाले सभी समकोण त्रिभुज समरूप होते हैं। त्रिकोणमितीय कार्यों पर एक नजर.

रची हुई और बिना रची हुई भुजाओं वाले त्रिभुज समान होते हैं क्योंकि उनके दोनों कोण बराबर होते हैं। इसलिए कहाँ

इसका मतलब यह है कि संकेतित संबंध केवल समकोण त्रिभुज के न्यून कोण पर निर्भर करते हैं और अनिवार्य रूप से इसे निर्धारित करते हैं। यह त्रिकोणमितीय कार्यों की उपस्थिति के कारणों में से एक है:

अक्सर समान समकोण त्रिभुजों में कोणों के त्रिकोणमितीय फलन लिखना समरूपता संबंध लिखने की तुलना में अधिक स्पष्ट होता है!

आइए हम ऊँचाई CH को कर्ण AB से कम करें। हमारे पास तीन समरूप त्रिभुज ABC, AHC और CHB हैं। आइए त्रिकोणमितीय फलनों के लिए व्यंजक लिखें:

इससे यह स्पष्ट है कि . जोड़ने पर, हमें पाइथागोरस प्रमेय प्राप्त होता है, क्योंकि:

पाइथागोरस प्रमेय के एक अन्य प्रमाण के लिए, समस्या 4 की टिप्पणी देखें।
3 अतिरिक्त निर्माण का एक महत्वपूर्ण उदाहरण त्रिभुज के कोणों में से एक के बराबर कोण का निर्माण है।

समकोण के शीर्ष से हम एक सीधी रेखा खंड खींचते हैं जो दिए गए समकोण त्रिभुज ABC के कोण CAB के बराबर पाद CA के साथ एक कोण बनाता है। परिणामस्वरूप, हमें आधार कोणों वाला एक समद्विबाहु त्रिभुज ACM प्राप्त होता है। लेकिन इस निर्माण से उत्पन्न होने वाला दूसरा त्रिभुज भी समद्विबाहु होगा, क्योंकि आधार पर इसका प्रत्येक कोण बराबर है (एक समकोण त्रिभुज के कोणों की संपत्ति और निर्माण द्वारा - कोण को समकोण से "घटाया" गया था)। इस तथ्य के कारण कि त्रिभुज बीएमसी और एएमसी उभयनिष्ठ भुजा एमसी के साथ समद्विबाहु हैं, हमारे पास समानता एमबी = एमए = एमसी है, यानी। एम.सी. एक समकोण त्रिभुज के कर्ण पर खींची गई माध्यिका, और वह आधे कर्ण के बराबर.
परिणाम 1.कर्ण का मध्यबिंदु इस त्रिभुज के चारों ओर परिचालित वृत्त का केंद्र है, क्योंकि इससे पता चलता है कि कर्ण का मध्यबिंदु समकोण त्रिभुज के शीर्षों से समान दूरी पर है।
परिणाम 2.एक समकोण त्रिभुज की मध्य रेखा, कर्ण के मध्य और पैर के मध्य को जोड़ती है, विपरीत पैर के समानांतर होती है और उसके आधे के बराबर होती है।

समद्विबाहु त्रिभुजों बीएमसी और एएमसी में, आइए आधारों की ऊंचाई एमएच और एमजी को कम करें। चूँकि एक समद्विबाहु त्रिभुज में, आधार से नीचे की ऊँचाई भी माध्यिका (और समद्विभाजक) होती है, तो MH और MG एक समकोण त्रिभुज की रेखाएँ हैं जो कर्ण के मध्य को पैरों के मध्य बिंदुओं से जोड़ती हैं। निर्माण से, वे विपरीत पैरों के समानांतर और उनके आधे के बराबर हो जाते हैं, क्योंकि त्रिकोण बराबर हैं एमएचसी और एमजीसी बराबर हैं (और एमएचसीजी एक आयत है)। यह परिणाम एक मनमाना त्रिभुज की मध्य रेखा पर प्रमेय के प्रमाण का आधार है और, आगे, एक ट्रेपेज़ॉइड की मध्य रेखा और उन्हें प्रतिच्छेद करने वाली दो सीधी रेखाओं पर समानांतर रेखाओं द्वारा काटे गए खंडों की आनुपातिकता की संपत्ति है।

कार्य
समानता गुणों का उपयोग -1
मूल गुणों का उपयोग - 2
अतिरिक्त गठन 3-4 का उपयोग करना

1 2 3 4

किसी समकोण त्रिभुज के समकोण के शीर्ष से गिराई गई ऊंचाई उन खंडों की लंबाई के वर्गमूल के बराबर होती है जिनमें यह कर्ण को विभाजित करता है।

यदि आप त्रिभुजों की समानता से पाइथागोरस प्रमेय की व्युत्पत्ति जानते हैं तो समाधान स्पष्ट प्रतीत होता है:

\(\mathrm(tg)\beta=\frac(h)(c_1)=\frac(c_2)(h)\),
जहां से \(h^2=c_1c_2\).

उन सभी संभावित समकोण त्रिभुजों की माध्यिकाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु (GMT) का स्थान ज्ञात कीजिए जिनका कर्ण AB निश्चित है।

किसी भी त्रिभुज की माध्यिकाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु, संगत भुजा के साथ उसके प्रतिच्छेदन बिंदु से गिनती करते हुए, माध्यिका से एक तिहाई काट देता है। एक समकोण त्रिभुज में, समकोण से खींची गई माध्यिका कर्ण के आधे के बराबर होती है। इसलिए, वांछित GMT कर्ण की लंबाई के 1/6 के बराबर त्रिज्या का एक वृत्त है, जिसमें इस (निश्चित) कर्ण के मध्य में एक केंद्र होता है।

चित्र 1 दो त्रिभुज दिखाता है। त्रिभुज ABC त्रिभुज A1B1C1 के समान है। और आसन्न भुजाएँ आनुपातिक हैं, अर्थात AB, A1B1 के समानुपाती है, जैसे AC, A1C1 के समानुपाती है। इन दोनों स्थितियों से त्रिभुजों की समानता निकलती है।

त्रिभुज की मध्य रेखा कैसे ज्ञात करें - रेखाओं की समानता का संकेत

चित्र 2 रेखाएँ a और b, छेदक c दिखाता है। इससे 8 कोने बनते हैं. कोण 1 और 5 संगत हैं, यदि रेखाएँ समानांतर हैं, तो संगत कोण बराबर हैं, और इसके विपरीत।

त्रिभुज की मध्य रेखा कैसे ज्ञात करें

चित्र 3 में, M, AB का मध्य है, और N, AC का मध्य है, BC आधार है। खंड एमएन को त्रिभुज की मध्य रेखा कहा जाता है। प्रमेय स्वयं कहता है: त्रिभुज की मध्य रेखा आधार के समानांतर और उसके आधे के बराबर होती है।

यह सिद्ध करने के लिए कि एमएन एक त्रिभुज की मध्य रेखा है, हमें त्रिभुजों की समानता के लिए दूसरे परीक्षण और रेखाओं की समानता के लिए परीक्षण की आवश्यकता है।

दूसरे मानदंड के अनुसार, त्रिभुज AMN, त्रिभुज ABC के समान है। समान त्रिभुजों में, संगत कोण बराबर होते हैं, कोण 1 कोण 2 के बराबर होता है, और ये कोण तब संगत होते हैं जब दो रेखाएँ एक तिर्यक रेखा के साथ प्रतिच्छेद करती हैं, इसलिए, रेखाएँ समानांतर होती हैं, MN BC के समानांतर होता है। कोण A उभयनिष्ठ है, AM/AB = AN/AC = ½

इन त्रिभुजों का समरूपता गुणांक ½ है, इसका तात्पर्य यह है कि ½ = MN/BC, MN = ½ BC


इसलिए हमने त्रिभुज की मध्य रेखा ढूंढी, और त्रिभुज की मध्य रेखा के बारे में प्रमेय को सिद्ध किया, यदि आप अभी भी नहीं समझ पाए हैं कि मध्य रेखा कैसे खोजें, तो नीचे दिया गया वीडियो देखें।

किसी त्रिभुज की मध्य रेखा उसकी दो भुजाओं के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाला एक खंड है। तदनुसार, प्रत्येक त्रिभुज में तीन मध्य रेखाएँ होती हैं। मध्य रेखा की गुणवत्ता, साथ ही त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई और उसके कोणों को जानकर, आप मध्य रेखा की लंबाई निर्धारित कर सकते हैं।

आपको चाहिये होगा

• त्रिभुज की भुजाएँ, त्रिभुज के कोण

निर्देश

1. माना त्रिभुज ABC MN में भुजाओं AB (बिंदु M) और AC (बिंदु N) के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाली मध्य रेखा है, गुण के अनुसार, 2 भुजाओं के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाली त्रिभुज की मध्य रेखा तीसरी भुजा के समानांतर और आधे के बराबर होती है। यह। इसका मतलब यह है कि मध्य रेखा MN भुजा BC के समानांतर और BC/2 के बराबर होगी। परिणामस्वरूप, त्रिभुज की मध्य रेखा की लंबाई निर्धारित करने के लिए, इस विशेष तीसरी भुजा की लंबाई जानना पर्याप्त है।

2. आइए अब उन पक्षों को जानें, जिनके मध्य बिंदु मध्य रेखा एमएन, यानी एबी और एसी, साथ ही उनके बीच के कोण बीएसी से जुड़े हुए हैं। क्योंकि MN मध्य रेखा है, तो AM = AB/2, और AN = AC/2, फिर, कोसाइन प्रमेय के अनुसार, वस्तुनिष्ठ रूप से: MN^2 = (AM^2)+(AN^2)-2*AM *AN*cos (BAC) = (AB^2/4)+(AC^2/4)-AB*AC*cos(BAC)/2. इसलिए, MN = sqrt((AB^2/4)+(AC^2/4)-AB*AC*cos(BAC)/2)।

3. यदि भुजाएँ AB और AC ज्ञात हैं, तो कोण ABC या ACB जानकर मध्य रेखा MN ज्ञात की जा सकती है। मान लीजिए कि एबीसी कोना प्रसिद्ध है। चूँकि मध्य रेखा के गुण के अनुसार MN, BC के समानांतर है, तो कोण ABC और AMN संगत हैं, और, परिणामस्वरूप, ABC = AMN है। फिर, कोसाइन प्रमेय द्वारा: AN^2 = AC^2/4 = (AM^2)+(MN^2)-2*AM*MN*cos(AMN)। नतीजतन, एमएन पक्ष द्विघात समीकरण (MN^2)-AB*MN*cos(ABC)-(AC^2/4) = 0 से पाया जा सकता है।

एक वर्ग त्रिभुज को अधिक सही ढंग से समकोण त्रिभुज कहा जाता है। त्रिकोणमिति के गणितीय अनुशासन में इस ज्यामितीय आकृति की भुजाओं और कोणों के बीच संबंधों पर विस्तार से चर्चा की गई है।

आपको चाहिये होगा

• - कागज़;
• - कलम;
• - ब्रैडिस टेबल;
• - कैलकुलेटर।

निर्देश

1. खोज करना ओरआयताकार त्रिकोणपाइथागोरस प्रमेय के समर्थन से। इस प्रमेय के अनुसार, कर्ण का वर्ग पैरों के वर्गों के योग के बराबर है: c2 = a2+b2, जहां c कर्ण है त्रिकोण, ए और बी इसके पैर हैं। इस समीकरण को लागू करने के लिए, आपको एक आयताकार की किन्हीं दो भुजाओं की लंबाई जानने की आवश्यकता है त्रिकोण .

2. यदि स्थितियाँ पैरों के आयाम निर्दिष्ट करती हैं, तो कर्ण की लंबाई ज्ञात करें। ऐसा करने के लिए, कैलकुलेटर का उपयोग करके, पैरों के योग का वर्गमूल निकालें, उनमें से प्रत्येक का पहले से वर्ग करें।

3. यदि आप कर्ण और दूसरे पैर के आयाम जानते हैं तो एक पैर की लंबाई की गणना करें। कैलकुलेटर का उपयोग करके, कर्ण के वर्ग और अग्रणी पैर के वर्ग के बीच के अंतर का वर्गमूल निकालें।

4. यदि समस्या कर्ण और उसके निकटवर्ती तीव्र कोणों में से एक को निर्दिष्ट करती है, तो ब्रैडिस तालिकाओं का उपयोग करें। वे बड़ी संख्या में कोणों के लिए त्रिकोणमितीय कार्यों के मान प्रदान करते हैं। साइन और कोसाइन फ़ंक्शंस के साथ-साथ त्रिकोणमिति प्रमेयों के साथ एक कैलकुलेटर का उपयोग करें जो एक आयताकार के पक्षों और कोणों के बीच संबंधों का वर्णन करता है त्रिकोण .

5. बुनियादी त्रिकोणमितीय कार्यों का उपयोग करके पैर खोजें: a = c*sin?, b = c*cos?, जहां a कोने के विपरीत पैर है?, b कोने से सटा हुआ पैर है? इसी प्रकार भुजाओं के आकार की गणना करें त्रिकोण, यदि कर्ण और एक अन्य न्यून कोण दिया गया है: b = c*sin?, a = c*cos?, जहां b कोण के विपरीत पैर है?, और क्या पैर कोण के निकट है?

6. उस स्थिति में जब हम पैर a और उससे सटे न्यून कोण को लेते हैं?, यह न भूलें कि एक समकोण त्रिभुज में न्यून कोणों का योग हमेशा 90° के बराबर होता है: ? + ? = 90°. पैर a के विपरीत कोण का मान ज्ञात कीजिए: ? = 90° – ?. या त्रिकोणमितीय कमी सूत्रों का उपयोग करें: पाप? = पाप (90° – ?) = क्योंकि ?; टीजी? = टीजी (90° – ?) = सीटीजी ? = 1/टीजी?

7. यदि हमारे पास पाद a है और इसके विपरीत तीव्र कोण है?, ब्रैडिस तालिकाओं, एक कैलकुलेटर और त्रिकोणमितीय कार्यों का उपयोग करके, सूत्र का उपयोग करके कर्ण की गणना करें: c=a*sin?, पाद: b=a*tg?।

विषय पर वीडियो

त्रिभुज का मध्यबिंदु कैसे ज्ञात करें: एक ज्यामिति समस्या। यूक्लिडियन ज्यामिति की मुख्य प्राथमिक समस्याएँ प्राचीन काल से हमारे पास आईं। उनमें स्वयं प्राथमिक सार और स्थानिक रूपों की मानवीय धारणा के बारे में आवश्यक बुनियादी ज्ञान शामिल है। ऐसी ही एक समस्या त्रिभुज का मध्यबिंदु ज्ञात करने की समस्या है। आज इस समस्या को स्कूली बच्चों की बौद्धिक क्षमताओं को विकसित करने की एक शैक्षिक तकनीक माना जाता है। प्राचीन दुनिया में, त्रिभुज के मध्य को खोजने का ज्ञान व्यवहार में भी उपयोग किया जाता था: भूमि प्रबंधन में, विभिन्न तंत्रों के निर्माण में, आदि। इस ज्यामितीय रिबस का सार क्या है?

माध्यिका क्या है? समस्या को हल करने से पहले, आपको त्रिभुजों के संबंध में सबसे सरल ज्यामितीय शब्दावली से परिचित होना होगा। सबसे पहले, प्रत्येक त्रिभुज में तीन शीर्ष, तीन भुजाएँ और तीन कोण होते हैं, यहीं से इस ज्यामितीय आकृति का नाम आता है। यह जानना महत्वपूर्ण है कि शीर्षों को विपरीत भुजाओं से जोड़ने वाली रेखाएँ क्या कहलाती हैं: ऊँचाई, समद्विभाजक और माध्यिका।

ऊँचाई उस शीर्ष के विपरीत दिशा में लंबवत एक रेखा है जहाँ से इसे खींचा गया है; समद्विभाजक - एक कोण को आधे में विभाजित करता है; मध्यिका निवर्तमान शीर्ष के विपरीत पक्ष को आधे में विभाजित करती है। इस समस्या को हल करने के लिए, आपको यह जानना होगा कि किसी खंड के मध्यबिंदु के निर्देशांक कैसे खोजें, क्योंकि यह त्रिभुज के मध्यबिंदु का प्रतिच्छेदन बिंदु है जो इसका मध्यबिंदु है।

त्रिभुज की भुजाओं के मध्यबिंदु ज्ञात कीजिए। किसी खंड का मध्यबिंदु ढूँढना भी एक क्लासिक ज्यामितीय समस्या है, जिसे हल करने के लिए आपको एक कम्पास और बिना विभाजन वाले रूलर की आवश्यकता होगी। हम कम्पास की सुई को खंड के अंतिम बिंदु पर रखते हैं और अंतिम खंड के मध्य में खंड के आधे से अधिक बड़ा अर्धवृत्त खींचते हैं। हम खंड के दूसरी तरफ भी ऐसा ही करते हैं। परिणामी अर्धवृत्त आवश्यक रूप से दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करेंगे, क्योंकि उनकी त्रिज्या मूल खंड के आधे से अधिक है।

हम एक रूलर का उपयोग करके वृत्त के दो प्रतिच्छेदन बिंदुओं को एक सीधी रेखा से जोड़ते हैं। यह रेखा मूल खण्ड को ठीक उसके मध्य में काटती है। अब, यह जानते हुए कि किसी खंड के मध्य का पता कैसे लगाया जाए, हम इसे त्रिभुज की प्रत्येक भुजा के साथ करते हैं। त्रिभुज की भुजाओं के सभी मध्यबिंदु ज्ञात करने के बाद, आप इसका अपना मध्यबिंदु बनाने के लिए तैयार हैं।

हम त्रिभुज के मध्य का निर्माण करते हैं। त्रिभुज के शीर्षों को विपरीत भुजाओं के मध्यबिंदुओं के साथ सीधी रेखाओं से जोड़ने पर, हमें तीन माध्यिकाएँ प्राप्त होती हैं। यह कुछ लोगों को आश्चर्यचकित कर सकता है, लेकिन इस ज्यामितीय आकृति के सामंजस्य का एक नियम यह है कि तीनों माध्यिकाएँ हमेशा एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं। यह वह बिंदु है जो त्रिभुज का वांछित मध्यबिंदु होगा, जिसे खोजना इतना कठिन नहीं है यदि आप जानते हैं कि खंड के मध्यबिंदु का निर्माण कैसे किया जाता है।

यह भी दिलचस्प है कि माध्यिकाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु न केवल ज्यामितीय, बल्कि त्रिभुज के "भौतिक" मध्य का भी प्रतिनिधित्व करता है। यानी, उदाहरण के लिए, यदि आप प्लाईवुड से एक त्रिकोण काटते हैं, उसका मध्य ढूंढते हैं और इस बिंदु को सुई की नोक पर रखते हैं, तो आदर्श रूप से ऐसी आकृति संतुलित होगी और गिरेगी नहीं। प्राथमिक ज्यामिति में ऐसे कई आकर्षक "रहस्य" शामिल हैं, जिनका ज्ञान आसपास की दुनिया के सामंजस्य और अधिक जटिल चीजों की प्रकृति को समझने में मदद करता है।

वह चतुर्भुज जिसमें केवल दो भुजाएँ समान्तर हों, कहलाता है चतुर्भुज.

किसी समलम्ब चतुर्भुज की समानांतर भुजाएँ उसकी कहलाती हैं कारण, और वे भुजाएँ जो समानांतर नहीं हैं, कहलाती हैं दोनों पक्ष. यदि भुजाएँ समान हों, तो ऐसा समलम्ब चतुर्भुज समद्विबाहु होता है। आधारों के बीच की दूरी को समलम्ब चतुर्भुज की ऊँचाई कहा जाता है।

मध्य रेखा समलम्ब चतुर्भुज

मध्य रेखा ट्रेपेज़ॉइड के पार्श्व पक्षों के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाला एक खंड है। समलम्ब चतुर्भुज की मध्य रेखा इसके आधारों के समानांतर होती है।

प्रमेय:

यदि एक तरफ के मध्य को पार करने वाली सीधी रेखा ट्रेपेज़ॉइड के आधारों के समानांतर है, तो यह ट्रेपेज़ॉइड के दूसरे पक्ष को समद्विभाजित करती है।

प्रमेय:

मध्य रेखा की लंबाई उसके आधारों की लंबाई के अंकगणितीय माध्य के बराबर होती है

एमएन मध्य रेखा, एबी और सीडी - आधार, एडी और बीसी - पार्श्व पक्ष

एमएन = (एबी + डीसी)/2

प्रमेय:

एक समलम्ब चतुर्भुज की मध्य रेखा की लंबाई उसके आधारों की लंबाई के अंकगणितीय माध्य के बराबर होती है।

मुख्य कार्य: सिद्ध करें कि समलम्ब चतुर्भुज की मध्य रेखा एक खंड को समद्विभाजित करती है जिसके सिरे समलम्ब चतुर्भुज के आधारों के मध्य में स्थित होते हैं।

त्रिभुज की मध्य रेखा

किसी त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्यबिंदुओं को जोड़ने वाला खंड त्रिभुज की मध्य रेखा कहलाता है। यह तीसरी भुजा के समानांतर है और इसकी लंबाई तीसरी भुजा की आधी लंबाई के बराबर है।
प्रमेय: यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के मध्यबिंदु को प्रतिच्छेद करने वाली रेखा त्रिभुज की दूसरी भुजा के समानांतर हो, तो वह तीसरी भुजा को समद्विभाजित करती है।

एएम = एमसी और बीएन = एनसी =>

एक त्रिभुज और समलम्ब चतुर्भुज की मध्य रेखा गुणों को लागू करना

किसी खंड को निश्चित संख्या में बराबर भागों में बाँटना।
कार्य: खंड AB को 5 बराबर भागों में विभाजित करें।
समाधान:
मान लीजिए p एक यादृच्छिक किरण है जिसका मूल बिंदु A है और जो रेखा AB पर स्थित नहीं है। हम क्रमिक रूप से पी एए 1 = ए 1 ए 2 = ए 2 ए 3 = ए 3 ए 4 = ए 4 ​​ए 5 पर 5 समान खंड अलग रखते हैं।
हम A 5 को B से जोड़ते हैं और A 4, A 3, A 2 और A 1 से होकर ऐसी रेखाएँ खींचते हैं जो A 5 B के समानांतर हैं। वे AB को क्रमशः बिंदु B 4, B 3, B 2 और B 1 पर काटते हैं। ये बिंदु खंड AB को 5 बराबर भागों में विभाजित करते हैं। दरअसल, समलम्ब चतुर्भुज BB 3 A 3 A 5 से हम देखते हैं कि BB 4 = B 4 B 3. इसी प्रकार, समलम्ब चतुर्भुज B 4 B 2 A 2 A 4 से हमें B 4 B 3 = B 3 B 2 प्राप्त होता है।

जबकि समलंब से B 3 B 1 A 1 A 3, B 3 B 2 = B 2 B 1.
फिर बी 2 एए 2 से यह निष्कर्ष निकलता है कि बी 2 बी 1 = बी 1 ए। निष्कर्ष में हम पाते हैं:
एबी 1 = बी 1 बी 2 = बी 2 बी 3 = बी 3 बी 4 = बी 4 बी
यह स्पष्ट है कि खंड AB को समान भागों की अन्य संख्या में विभाजित करने के लिए, हमें समान संख्या में समान खंडों को किरण p पर प्रक्षेपित करने की आवश्यकता है। और फिर ऊपर वर्णित तरीके से जारी रखें।