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1 Construcción adicional que conduce al teorema de la línea media del triángulo, al trapezoide y a las propiedades de similitud de los triángulos.
Y ella igual a la mitad de la hipotenusa.
Corolario 1.
Corolario 2.
De esto queda claro que 
1 Todos los triángulos rectángulos con el mismo ángulo agudo son semejantes. Una mirada a las funciones trigonométricas.
Los triángulos con lados sombreados y no sombreados son similares en que sus dos ángulos son iguales. Por lo tanto donde
Esto significa que las relaciones indicadas dependen únicamente del ángulo agudo del triángulo rectángulo y esencialmente lo determinan. Ésta es una de las razones de la aparición de funciones trigonométricas:
¡A menudo escribir funciones trigonométricas de ángulos en triángulos rectángulos similares es más claro que escribir relaciones de similitud!
2 Un ejemplo de construcción adicional es una altura bajada a la hipotenusa. Derivación del teorema de Pitágoras a partir de la semejanza de triángulos.
Bajemos la altura CH a la hipotenusa AB. Tenemos tres triángulos semejantes ABC, AHC y CHB. Escribamos expresiones para funciones trigonométricas:
De esto queda claro que . Sumando, obtenemos el teorema de Pitágoras, ya que:
Para otra demostración del teorema de Pitágoras, consulte el comentario al problema 4.
3 Un ejemplo importante de una construcción adicional es la construcción de un ángulo igual a uno de los ángulos de un triángulo.
Desde el vértice del ángulo recto trazamos un segmento de recta que forma un ángulo con el cateto CA igual al ángulo CAB del triángulo rectángulo dado ABC. Como resultado, obtenemos un triángulo isósceles ACM con ángulos base. Pero el otro triángulo resultante de esta construcción también será isósceles, ya que cada uno de sus ángulos en la base es igual (por la propiedad de los ángulos de un triángulo rectángulo y por construcción: el ángulo fue "restado" del ángulo recto). Debido a que los triángulos BMC y AMC son isósceles con lado común MC, tenemos la igualdad MB=MA=MC, es decir MC mediana trazada a la hipotenusa de un triángulo rectángulo, y ella igual a la mitad de la hipotenusa.
Corolario 1. El punto medio de la hipotenusa es el centro del círculo circunscrito a este triángulo, ya que resulta que el punto medio de la hipotenusa equidista de los vértices del triángulo rectángulo.
Corolario 2. La línea media de un triángulo rectángulo, que conecta la mitad de la hipotenusa y la mitad del cateto, es paralela al cateto opuesto y es igual a la mitad del mismo.
En los triángulos isósceles BMC y AMC, bajemos las alturas MH y MG a las bases. Dado que en un triángulo isósceles la altura bajada a la base también es la mediana (y la bisectriz), entonces MH y MG son las líneas de un triángulo rectángulo que conectan la mitad de la hipotenusa con los puntos medios de los catetos. Por construcción, resultan ser paralelos a los catetos opuestos e iguales a sus mitades, ya que los triángulos son iguales MHC y MGC son iguales (y MHCG es un rectángulo). Este resultado es la base para la demostración del teorema sobre la línea media de un triángulo arbitrario y, además, la línea media de un trapezoide y la propiedad de proporcionalidad de los segmentos cortados por líneas paralelas en dos rectas que los cortan.
Tareas
Usando propiedades de similitud -1
Usando propiedades básicas - 2
Usando formación adicional 3-4
1 2 3 4
La altura caída desde el vértice de un ángulo recto de un triángulo rectángulo es igual a la raíz cuadrada de las longitudes de los segmentos en los que divide la hipotenusa.
La solución parece obvia si se conoce la derivación del teorema de Pitágoras a partir de la semejanza de triángulos:
\(\mathrm(tg)\beta=\frac(h)(c_1)=\frac(c_2)(h)\),
de donde \(h^2=c_1c_2\).
Encuentre el lugar geométrico de los puntos (GMT) de intersección de las medianas de todos los triángulos rectángulos posibles cuya hipotenusa AB es fija.
El punto de intersección de las medianas de cualquier triángulo corta un tercio de la mediana, contando desde el punto de su intersección con el lado correspondiente. En un triángulo rectángulo, la mediana trazada desde el ángulo recto es igual a la mitad de la hipotenusa. Por lo tanto, el GMT deseado es un círculo de radio igual a 1/6 de la longitud de la hipotenusa, con un centro en el medio de esta hipotenusa (fija).
La figura 1 muestra dos triángulos. El triángulo ABC es semejante al triángulo A1B1C1. Y los lados adyacentes son proporcionales, es decir, AB es a A1B1 como AC es a A1C1. De estas dos condiciones se sigue la semejanza de los triángulos.
Cómo encontrar la línea media de un triángulo: un signo de paralelismo de líneas
La figura 2 muestra las líneas a y b, secante c. Esto crea 8 esquinas. Los ángulos 1 y 5 son correspondientes, si las rectas son paralelas, entonces los ángulos correspondientes son iguales, y viceversa. 
Cómo encontrar la línea media de un triángulo
En la Figura 3, M es el medio de AB, N es el medio de AC y BC es la base. El segmento MN se llama línea media del triángulo. El propio teorema dice: La línea media de un triángulo es paralela a la base e igual a la mitad de ella.
Para demostrar que MN es la línea media de un triángulo, necesitamos la segunda prueba de similitud de triángulos y la prueba de paralelismo de rectas.
El triángulo AMN es similar al triángulo ABC, según el segundo criterio. En triángulos semejantes, los ángulos correspondientes son iguales, el ángulo 1 es igual al ángulo 2, y estos ángulos son correspondientes cuando dos rectas se cruzan con una transversal, por lo tanto, las rectas son paralelas, MN es paralela a BC. El ángulo A es común, AM/AB = AN/AC = ½
El coeficiente de similitud de estos triángulos es ½, se deduce que ½ = MN/BC, MN = ½ BC 
Entonces encontramos la línea media del triángulo y demostramos el teorema sobre la línea media del triángulo. Si aún no entiendes cómo encontrar la línea media, mira el video a continuación.
La línea media de un triángulo es un segmento que conecta los puntos medios de sus 2 lados. En consecuencia, cada triángulo tiene tres líneas medias. Conociendo la calidad de la línea media, así como las longitudes de los lados del triángulo y sus ángulos, puedes determinar la longitud de la línea media.
Necesitará
- Lados de un triángulo, ángulos de un triángulo.
Instrucciones
1. Sea en el triángulo ABC MN la línea media que conecta los puntos medios de los lados AB (punto M) y AC (punto N). Por propiedad, la línea media de un triángulo que conecta los puntos medios de 2 lados es paralela al tercer lado e igual a la mitad de. él. Esto significa que la línea media MN será paralela al lado BC e igual a BC/2. En consecuencia, para determinar la longitud de la línea media del triángulo, basta con conocer la longitud del lado de este tercer lado en particular.
2. Conozcamos ahora los lados cuyos puntos medios están conectados por la línea media MN, es decir, AB y AC, así como el ángulo BAC entre ellos. Debido a que MN es la línea media, entonces AM = AB/2 y AN = AC/2 Entonces, según el teorema del coseno, objetivamente: MN^2 = (AM^2)+(AN^2)-2*AM. *AN*cos (BAC) = (AB^2/4)+(AC^2/4)-AB*AC*cos(BAC)/2. Por lo tanto, MN = sqrt((AB^2/4)+(AC^2/4)-AB*AC*cos(BAC)/2).
3. Si se conocen los lados AB y AC, entonces la línea media MN se puede encontrar conociendo el ángulo ABC o ACB. Digamos que la esquina ABC es famosa. Dado que según la propiedad de la línea media MN es paralela a BC, entonces los ángulos ABC y AMN son correspondientes y, en consecuencia, ABC = AMN. Luego, según el teorema del coseno: AN^2 = AC^2/4 = (AM^2)+(MN^2)-2*AM*MN*cos(AMN). En consecuencia, el lado MN se puede encontrar a partir de la ecuación cuadrática (MN^2)-AB*MN*cos(ABC)-(AC^2/4) = 0.
Un triángulo cuadrado se llama más correctamente triángulo rectángulo. Las relaciones entre los lados y los ángulos de esta figura geométrica se analizan en detalle en la disciplina matemática de la trigonometría.
Necesitará
- - papel;
- - bolígrafo;
- — mesas Bradis;
- - calculadora.
Instrucciones
1. Descubrir lado rectangular triángulo con el apoyo del teorema de Pitágoras. Según este teorema, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos: c2 = a2+b2, donde c es la hipotenusa triángulo, a y b son sus patas. Para aplicar esta ecuación, necesitas saber la longitud de 2 lados cualesquiera de un rectángulo. triángulo .
2. Si las condiciones especifican las dimensiones de los catetos, encuentre la longitud de la hipotenusa. Para hacer esto, usando una calculadora, extraiga la raíz cuadrada de la suma de los catetos, eleve cada uno de ellos al cuadrado de antemano.
3. Calcula la longitud de uno de los catetos si conoces las dimensiones de la hipotenusa y del otro cateto. Usando una calculadora, extrae la raíz cuadrada de la diferencia entre la hipotenusa al cuadrado y el cateto principal también al cuadrado.
4. Si el problema especifica la hipotenusa y uno de los ángulos agudos adyacentes a ella, utilice las tablas de Bradis. Proporcionan los valores de funciones trigonométricas para una gran cantidad de ángulos. Utilice una calculadora con funciones seno y coseno, así como teoremas de trigonometría que describen las relaciones entre los lados y ángulos de un rectángulo. triángulo .
5. Encuentre los catetos usando funciones trigonométricas básicas: a = c*sin?, b = c*cos?, ¿dónde a es el cateto opuesto a la esquina?, b ¿es el cateto adyacente a la esquina?. Calcula el tamaño de los lados de la misma manera. triángulo, si se dan la hipotenusa y otro ángulo agudo: b = c*sin?, a = c*cos?, donde b es el cateto opuesto al ángulo?, y el cateto adyacente al ángulo?.
6. En el caso de que tomemos el cateto a y el ángulo agudo adyacente a él?, no olvidemos que en un triángulo rectángulo la suma de los ángulos agudos es invariablemente igual a 90°: ? + ? = 90°. Encuentre el valor del ángulo opuesto al cateto a: ? = 90° – ?. O utilizar fórmulas de reducción trigonométrica: ¿pecado? = pecado (90° – ?) = cos ?; ¿tg? = tg (90° – ?) = ctg ? = 1/tg?.
7. Si tenemos el cateto a y el ángulo agudo opuesto a él?, usando tablas de Bradis, calculadora y funciones trigonométricas, calculamos la hipotenusa usando la fórmula: c=a*sin?, cateto: b=a*tg?.
Vídeo sobre el tema.
Cómo encontrar el punto medio de un triángulo: un problema de geometría. Los principales problemas elementales de la geometría euclidiana nos llegaron desde la antigüedad. Contienen la esencia primaria misma y el conocimiento básico necesario sobre la percepción humana de las formas espaciales. Uno de esos problemas es el de encontrar el punto medio de un triángulo. Hoy en día, este problema se considera una técnica educativa para desarrollar las capacidades intelectuales de los escolares. En el mundo antiguo, el conocimiento de cómo encontrar la mitad de un triángulo también se utilizaba en la práctica: en la gestión de tierras, en la fabricación de diversos mecanismos, etc. ¿Cuál es la esencia de este acertijo geométrico?
¿Cuál es la mediana? Antes de resolver el problema, es necesario familiarizarse con la terminología geométrica más simple relacionada con los triángulos. En primer lugar, cada triángulo tiene tres vértices, tres lados y tres ángulos, de ahí el nombre de esta figura geométrica. Es importante saber cómo se llaman las rectas que conectan los vértices con lados opuestos: altura, bisectriz y mediana.
La altura es una línea perpendicular al lado opuesto al vértice desde el cual se traza; bisectriz: divide un ángulo por la mitad; La mediana divide por la mitad el lado opuesto al vértice saliente. Para resolver este problema, necesitas saber cómo encontrar las coordenadas del punto medio de un segmento, porque es el punto de intersección de las medianas del triángulo el que es su punto medio.
Encuentra los puntos medios de los lados del triángulo. Encontrar el punto medio de un segmento también es un problema geométrico clásico, para resolverlo necesitarás un compás y una regla sin divisiones. Colocamos la aguja del compás en el punto final del segmento y dibujamos un semicírculo mayor que la mitad del segmento en el medio del último. Hacemos lo mismo en el otro lado del segmento. Los semicírculos resultantes necesariamente se cruzarán en dos puntos, porque sus radios son mayores que la mitad del segmento original.
Conectamos los dos puntos de intersección del círculo con una línea recta usando una regla. Esta línea cruza el segmento original exactamente en su centro. Ahora bien, sabiendo encontrar la mitad de un segmento, esto lo hacemos con cada lado del triángulo. Después de encontrar todos los puntos medios de los lados del triángulo, estás listo para construir su propio punto medio.
Construimos la mitad del triángulo. Al conectar los vértices del triángulo con los puntos medios de los lados opuestos con líneas rectas, obtenemos tres medianas. Esto puede sorprender a algunos, pero una de las leyes de armonía de esta figura geométrica es que las tres medianas siempre se cruzan en un punto. Es este punto el que será el punto medio deseado del triángulo, que no es tan difícil de encontrar si sabes cómo construir el punto medio del segmento.
También es interesante que el punto de intersección de las medianas representa no sólo el centro geométrico, sino también el centro "físico" del triángulo. Es decir, si, por ejemplo, corta un triángulo de madera contrachapada, encuentra su centro y coloca esta punta en la punta de la aguja, lo ideal es que esa figura se equilibre y no caiga. La geometría elemental contiene muchos "secretos" fascinantes, cuyo conocimiento ayuda a comprender la armonía del mundo circundante y la naturaleza de cosas más complejas.
Un cuadrilátero en el que sólo dos lados son paralelos se llama trapezoide.
Los lados paralelos de un trapezoide se llaman sus razones, y aquellos lados que no son paralelos se llaman lados. Si los lados son iguales, entonces dicho trapezoide es isósceles. La distancia entre las bases se llama altura del trapezoide.
Trapezoide de línea media
La línea media es un segmento que conecta los puntos medios de los lados laterales del trapezoide. La línea media del trapezoide es paralela a sus bases.
Teorema:
Si la línea recta que cruza el centro de un lado es paralela a las bases del trapezoide, entonces biseca el segundo lado del trapezoide.
Teorema:
La longitud de la línea media es igual a la media aritmética de las longitudes de sus bases.
MN || AB || corriente continuaAM = MD; BN=NC
MN línea media, AB y CD - bases, AD y BC - lados laterales
MN = (AB + DC)/2
Teorema:
La longitud de la línea media de un trapecio es igual a la media aritmética de las longitudes de sus bases.
La tarea principal: Demuestre que la línea media de un trapezoide biseca un segmento cuyos extremos se encuentran en el medio de las bases del trapezoide.
Línea media del triángulo
El segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo se llama línea media del triángulo. Es paralelo al tercer lado y su longitud es igual a la mitad de la longitud del tercer lado.
Teorema: Si una línea que corta el punto medio de un lado de un triángulo es paralela al otro lado del triángulo, entonces biseca el tercer lado.
AM = MC y BN = NC =>
Aplicar las propiedades de la línea media de un triángulo y un trapezoide.
Dividir un segmento en un número determinado de partes iguales.
Tarea: Divida el segmento AB en 5 partes iguales.
Solución:
Sea p un rayo aleatorio cuyo origen es el punto A y que no se encuentra en la recta AB. Reservamos secuencialmente 5 segmentos iguales en p AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = A 4 A 5
Conectamos A 5 con B y trazamos líneas a través de A 4, A 3, A 2 y A 1 que son paralelas a A 5 B. Se cruzan con AB respectivamente en los puntos B 4, B 3, B 2 y B 1. Estos puntos dividen el segmento AB en 5 partes iguales. De hecho, del trapecio BB 3 A 3 A 5 vemos que BB 4 = B 4 B 3. De la misma forma, del trapezoide B 4 B 2 A 2 A 4 obtenemos B 4 B 3 = B 3 B 2
Mientras que del trapezoide B 3 B 1 A 1 A 3, B 3 B 2 = B 2 B 1.
Luego de B 2 AA 2 se deduce que B 2 B 1 = B 1 A. En conclusión obtenemos:
AB 1 = B 1 B 2 = B 2 B 3 = B 3 B 4 = B 4 B
Está claro que para dividir el segmento AB en otro número de partes iguales, necesitamos proyectar el mismo número de segmentos iguales sobre el rayo p. Y luego continúe de la manera descrita anteriormente.
